Questão 11
Pela
Lei
da
Gravitação Universal de
G ⋅M ⋅m
, em que G é a consR2
tante gravitacional – pode-se calcular a força
de atração gravitacional existente entre dois
corpos de massas M e m, distantes entre si
de uma medida R. Assim sendo, considere a
Terra e a Lua como esferas cujos raios medem
6 400 km e 1 920 km, respectivamente, e que,
se M é a massa da Terra, então a massa da
Lua é igual a 0,015M.
Nessas condições, se dois corpos de mesma
massa forem colocados, um na superfície da
Terra e outro na superfície da Lua, a razão
entre a atração gravitacional na Lua e na
Terra, nesta ordem, é
1
1
1
1
1
a)
b)
c)
d)
e)
12
6
4
3
2
Newton – F =
diação eletromagnética, para suprir ou substituir outras fontes de potência. Sabe-se que
células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro quadrado de célula solar, que recebe
diretamente a luz do sol, é gerado 0,01 watt
de potência elétrica.
Considere que a malha quadriculada abaixo
representa um painel que tem parte de sua
superfície revestida por 9 células solares octogonais, todas feitas de um mesmo material.
alternativa B
Considerando um corpo de massa m na superfície da Terra, a força de atração entre esse corpo
G ⋅ MT ⋅ m
G ⋅M ⋅m
.
e a Terra é FT =
=
2
6 400 2
RT
Para o mesmo corpo de massa m na superfície
da Lua, a força de atração entre esse corpo e a
G ⋅ ML ⋅ m
G ⋅ 0,015M ⋅ m
.
Lua é FL =
=
2
1 920 2
RL
Logo a razão
FL
é igual a
FT
G ⋅ 0,015M ⋅ m
1 920 2
1
= .
6
Se, quando a luz do sol incide diretamente sobre tais células, elas são capazes de, em conjunto, gerar 50 400 watts de potência elétrica, então a área, em metros quadrados, da
superfície do painel não ocupada pelas células solares, é
a) 144
b) 189
c) 192
d) 432
e) 648
2
⋅
6 400 2
15
⎛ 6 400 ⎞
=
⋅⎜
⎟ =
G ⋅ M ⋅ m 1 000 ⎝ 1 920 ⎠
Questão 12
Toda energia necessária para o consumo na
Terra provém de fonte natural ou sintética.
Ultimamente, tem havido muito interesse em
aproveitar a energia solar, sob a forma de ra-
alternativa A
A área que gera 50 400 watts de potência elétrica
50 400
é
= 5 040 000 cm 2 = 504 m 2 .
0,01
1
Cada célula octogonal ocupa 5 + 4 ⋅
= 7 de
2
cada 9 quadradinhos, de modo que a área não
9 −7
2
ocupada pelas células solares é
da
=
7
7
2
área ocupada. Ou seja, é
⋅ 504 = 144 m 2 .
7
matemática 2
Questão 13
5 ⎤
⎡1 a
Seja a matriz A = ⎢a b
c ⎥ em que a, b,
⎢
⎥
⎢⎣c 12 x + 5⎥⎦
c são constantes reais positivas e x é uma variável real. Considerando que, ordenadamente, as seqüências de termos das duas primeiras linhas de A constituem progressões aritméticas, enquanto que as seqüências de termos das duas primeiras colunas constituem
progressões geométricas, então, se det A =
= 18, o valor de log8 x é
3
2
1
a) 3
b)
c) 1
d)
e)
2
3
3
alternativa D
1+5
= 3.
2
(3, b, 12), com b > 0, é uma PG ⇔
⇔ b = 3 ⋅ 12 = 6.
3 +c
• (3, 6, c) é uma PA ⇔ 6 = 2 ⇔
⇔ c = 9.
1 3
5
Assim, det A = 3 6
= 18 ⇔
9
9 12 x + 5
⇔ 6x + 30 + 243 + 180 − 270 − 108 − 9x − 45 =
= 18 ⇔ x = 4.
2
Portanto log 8 x = log 8 4 = log 3 2 2 = .
2
3
•
•
Assim:
Como | z | = | z 2 | = | z 3 | = 1, ΔOP1P2 e ΔOP2 P3 são
isósceles e, assim, m (OP$2 P1 ) = m (OP$2 P3 ) =
180o − 30o
= 75 o . Logo m (P1P$2 P3 ) = 2 ⋅75 o =
2
= 150o . Como o ângulo obtido é obtuso, é o maior
ângulo do triângulo P1P2 P3 .
=
(1, a, 5) é uma PA ⇔ a =
Questão 14
Dado o número complexo
π
π
z = cos
+ i ⋅ sen , então,
6
6
se P1 , P2 e P3 são as respectivas imagens de z,
z2 e z 3 no plano complexo, a medida do maior
ângulo interno do triângulo P1 P2 P3 é
a) 75o
b) 100o
c) 120o
d) 135o
e) 150o
alternativa E
Pelo Teorema de Moivre:
π
π
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
z 2 = cos ⎜
+ i sen e
⎟ + i sen ⎜
⎟ = cos
⎝ 6 ⎠
⎝ 6 ⎠
3
3
π
π
⎛3π ⎞
⎛3π ⎞
z 3 = cos ⎜
+ i sen .
⎟ + i sen ⎜
⎟ = cos
⎝ 6 ⎠
⎝ 6 ⎠
2
2
Questão 15
O Prefeito de certa cidade solicitou a uma
equipe de trabalho que obtivesse uma fórmula que lhe permitisse estudar a rentabilidade mensal de cada um dos ônibus de uma
determinada linha. Para tal, os membros da
equipe consideraram que havia dois tipos de
gastos – uma quantia mensal fixa (de manutenção) e o custo do combustível – e que os
rendimentos seriam calculados multiplicando-se 2 reais por quilômetro rodado. A tabela
abaixo apresenta esses valores para um único
ônibus de tal linha, relativamente ao mês de
outubro de 2008.
OUTUBRO
QUANTIA FIXA
(reais)
1 150
CONSUMO DE
COMBUSTÍVEL
(litros / 100 km)
40
CUSTO DE 1 LITRO DE
COMBUSTÍVEL (reais)
4
RENDIMENTOS / km
(reais)
2
DISTÂNCIA PERCORRIDA
(km)
X
matemática 3
Considerando constantes os gastos e o rendi- Assim, no mês em questão são gastos
mento, a menor quantidade de quilômetros 1 150 + 1,6x reais. Além disso, o rendimento é 2x
que o ônibus deverá percorrer no mês para reais.
Para que os gastos não superem o rendimento,
que os gastos não superem o rendimento é
devemos ter 1 150 + 1,6x ≤ 2x ⇔ x ≥ 2 875 , ou
a) 2 775
b) 2 850
c) 2 875
seja, a menor quantidade de quilômetros para que
d) 2 900
e) 2 925
isso ocorra é 2 875.
alternativa C
Pela tabela dada, o ônibus gasta:
4 reais
40 l
⋅
= 1,6 real/km
1l
100 km