F 228 aula 3:
equilíbrio e elasticidade
UNICAMP 2º semestre de 2012 Bloco inclinado
Qual é o ângulo máximo para o bloco não se deslocar (deslizar):
a) para µ = 0,57 (aço sobre aço sem lubificação)?
b) Para µ = 1,73 (silicone sobre plástico) ?
Solução
Certo ? Depende
Condições para o equilíbrio
•  Um corpo rígido está em equilíbrio se:
–  O momento linear P e o momento angular L
têm valor constante.
•  Esta definição não exige que o corpo esteja
em repouso, ou seja, P e L não são
necessariamente zero.
•  Se P e L são zero então temos equilíbrio
estático. Equações de movimento para o
corpo rígido
A translação do centro de massa (CM)
A rotação em torno do centro de massa
Estática para o corpo rígido
As condições de equilíbrio são
Cada vetor tem 3 componentes e as equações formam um sistema de 6 equações escalares simultâneas Forças coplanares
Forças no plano xy
têm versão simplificada
Centro de Gravidade
Anteriormente consideramos que a força total que atua
em um corpo rígido devida à gravidade poderia ser
substituída por uma força única (peso) atuando no CM
do corpo de massa total M.
então O torque da força peso em cada elemento de um corpo rígido é
Como g pode ser fatorado
O torque resultante é igual ao torque de uma única
força atuando no CM !
Determinação do centro de gravidade
Equilíbrio estável, instável e
indiferente
Estável: o corpo é deslocado e sofre a ação de uma força ou torque no senEdo contrário do deslocamento, voltando à posição de equilíbrio. Instável: o corpo é deslocado e sofre a ação de uma força ou torque no mesmo senEdo do deslocamento, não retornando à posição de equilíbrio. Indiferente: Equilíbrio independe do deslocamento. Outro exemplo
hNp://cnx.org/content/m42172/latest/?collecEon=col11406/latest Equilíbrio estável instabilidade Equilíbrio instável independentemente do deslocamento X Exemplo 1
h = 55 m, d = 7,0 m x = 4.5 m.
Qual seriam os valores de x e θ para a torre
ficar prestes a cair?
x h x´ Para cair: CG Inicialmente, r Logo x´deve aumentar 3,5 – 2,25 = 1,25 m
e x deve aumentar 2,5 m.
Exemplo 2
Barra de tamanho L e massa m = 1.8
kg se apoia em duas balanças. Um
bloco de massa M = 2.7 kg se apoia
na barra a um quarto de distância da
balança esquerda. Quais as leituras
nas balanças?
Pivot ?
As forças:
Os torques:
ou
dai
Exemplo 3
O bíceps é responsável por dobrar o braço. É
um sistema de
alavanca como mostra a figura. Os valores típicos para
o
tamanho do braço, a = 30 cm, e a distância do bíceps ao
cotovelo, x = 4 cm. Se uma massa M é sustentada pela mão qual a
força feita pelo bíceps? (despreze o peso do braço!)
Pivot ? Torque total com relação ao cotovelo A força feita pelo bíceps é muito maior que o peso pois 30/4 = 7.5 A escada apoiada
Qual é o ângulo mínimo para o qual a escada não escorrega?
Só há atrito com o chão.
faculty.mu.edu.sa/download.php?fid=17353 A escada apoiada Forças:
1. força normal na base da escada
2. Força de atrito na base da escada
3. peso da escada
4. força normal no topo da escada
Pivot:
base da escada
A escada apoiada Torques:
1. devido ao peso da escada
2. devido à normal no topo
Solução:
Forças na direção x: µ n1 – n2 = 0 Forças na direção y: n1 – mg = 0 Torque:
Ln2sinφ – (L/2) mg cosφ = 0
A escada apoiada Das equações de força
n2= µ mg. Portanto,
µsinφ – (1/2)cosφ = 0 E, por fim
tanφ = 1/(2µ) Desafio:
Alguns experimentos
hNp://phet.colorado.edu/pt_BR/simulaEon/balancing-­‐act Alguem pode reproduzir o experimento e
descrever as condições de equilíbrio?
hNp://www.hmc.edu/academicsclinicresearch/
academicdepartments/physics/kiosk1/
demos1/mechanics1/staEcs1/
equilibrium.html?
PHPSESSID=3e55a456706329889101f4ecca828
c26 Outras dúvidas do Fritz
Vestibular UNICAMP 2002
Tensão(stress) e deformação(strain)
•  Dois tipos de mudança de forma (deformação) de um
sólido quando forças atuam sobre ele:
–  O cilindro é esticado pela tensão de elongação.
–  O cilindro é deformado pela tensão de
cisalhamento.
•  A terceira seria compressão uniforme (pressão
hidrostática) onde as forças são aplicadas
uniformemente em todas as direções.
Tensão e deformação
A tensão é, no regime elástico, proporcional à deformação e
a constante de proporcionalidade é o módulo de elasticidade.
Tensão = módulo de elasticidade X deformação
hNp://dolbow.cee.duke.edu/TENSILE/tutorial/node6.html Tensão e deformação
Tensão ou compressão simples (ou de elongação) se define como
F/A associada a uma deformação ΔL/L como na figura abaixo
Aqui, o módulo de elasticidade se chama módulo de Young E
Material Density (kg/m3) Steela Aluminum Glass Concretec Woodd Bone Polystyrene 7860 2710 2190 2320 525 1900 1050 Young's Modulus 109 N/m2 200 70 65 30 13 9b 3 UlEmate Strength Su 106 N/m2 400 110 50b 40b 50b 170b 48 Yield Strength Sy 106 N/m2 250 95 ... ... ... ... ... Solução do vestibular (ouro)
e o aço real
Tensão de cisalhamento
Tensão de cisalhamento se define como F/A associada a
uma deformação ΔL/L como na figura abaixo.
O módulo neste caso se chama módulo de cisalhamento G
A tensão de cisalhamento tem papel importante
fratura de ossos devido a torções!
em
A tensão-elongamento dos ossos
http://depts.washington.edu/bonebio/ASBMRed/mechanics.html
http://hansmalab.physics.ucsb.edu/macrobone.html
Como medir o módulo de cisalhamento
Aço:
Módulo de Young versus de cisalhamento
Em geral é mais fácil torcer do que esticar
pêndulo de torção para medir G!
(não confundir com o G
- constante da gravitação universal –
medida com um...pêndulo de torção, aula 1) hNp://www.ejsong.com/mdme/memmods/MEM23061A/Torsion/Torsion.html Medida do período do pêndulo de torção
hNp://rustam.uwp.edu/202/individual/torsion_pend.pdf Fio de teia de aranha:
produção sintética é um dos desafios da nanotecnologia
Tensão real versus tensão de engenharia
Link para a próxima aula
Fluidos não resistem a tensões de cisalhamento
e outra tensão é protagonista:
pressão hidrostática
Módulo volumétrico: