VETORES
GRANDEZAS VETORIAIS
Grandezas físicas que não ficam totalmente determinadas com um valor e uma unidade são
denominadas grandezas vetoriais. As grandezas que ficam totalmente expressas por um valor e uma unidade
são denominadas grandezas escalares. Como exemplos de grandezas escalares temos a massa, o tempo, a
pressão, etc. Já as grandezas vetoriais, para que fiquem totalmente definidas, necessitam de (no mínimo):
•
•
•
•
Um valor numérico (módulo);
Uma unidade;
Uma direção;
Um sentido.
Como exemplos de grandezas vetoriais temos: deslocamento, velocidade, força, aceleração, campo elétrico,
campo magnético, torque, etc.
Um vetor, por sua vez, tem três características: módulo, direção e sentido. Para representar
graficamente um vetor usamos um segmento de reta orientado. Exemplo:
No ponto A temos a origem do vetor e no ponto B temos a extremidade do vetor, na qual se localiza sua seta.
Nota: u significa unidade de comprimento, que pode ser, por exemplo, medida em centímetros (cm), metros
(m), quilômetros (km), etc.
O módulo do vetor representa, numericamente, o comprimento de sua flecha ou, em outras palavras,
a sua intensidade. No caso anterior, o módulo do vetor é igual a distância entre os pontos A e B que, por sua
vez, vale 3u.
Para indicar os vetores usamos algumas notações. Por exemplo, o vetor V pode ser caracterizado de
duas formas, conforme abaixo:
r
V=V
(Lê-se: vetor V)
Ou seja, pode ser uma letra (de preferência escrita em maiúsculo) em negrito ou, então (como é mais usual),
uma letra indicada por uma seta sob a mesma.
O módulo de um vetor é indicado utilizando-se duas barras verticais com a letra em negrito (ou com
seta) entre as mesmas ou, ainda, pela mesma letra sem negrito e sem barras. Exemplo:
r
V = |V| = V
(Lê-se: módulo do vetor V)
OPERAÇÕES COM VETORES
Vamos estudar agora algumas das maneiras de operar com as grandezas físicas vetoriais (ou com
vetores). Já estamos bastante familiarizados em somar ou subtrair grandezas escalares de uma mesma
espécie:
a) A adição de um comprimento de 20 m de tecido com 40 m de outro nos fornece cerca de
20 m + 40 m = 60 m;
b) Um volume de 5 L somado com um outro de 10 L nos fornece um volume resultante de 15 L;
c) Se subtrairmos 4 h, de um intervalo de tempo de 15 h, obteremos 15 h – 4 h = 11 h;
d) Já a operação 10 L + 2 h não é possível ser efetuada visto tratar-se de grandezas de espécies
diferentes.
1
ADIÇÃO (GRÁFICA) DE VETORES
Podemos somar dois ou mais vetores graficamente para obter um vetor soma (vetor resultante).
Ligam-se os vetores um ao outro, de maneira que a origem de um fique com a extremidade do outro. As
direções/orientações espaciais dos mesmos devem ser mantidas. Assim, o vetor soma é aquele que tem sua
origem na origem do 1º vetor usado na soma e sua extremidade na extremidade do último vetor somado.
Exemplo: Sejam os vetores A, B e C dados abaixo O vetor soma S será graficamente dado, abaixo e ao lado
(direito), por:
r
r
r
r
Analiticamente, o vetor soma S é dado por: S = A + B + C (ou S = A + B + C ).
SUBTRAÇÃO (GRÁFICA) DE VETORES
Para subtrair dois vetores adicionamos um deles ao oposto do outro.
Exemplo: Usando os vetores A e B do exemplo anterior, determinamos o vetor diferença D = A − B
invertendo o “sentido” de B (embora sua direção permaneça a “mesma”) conforme abaixo.
Analiticamente, o vetor diferença D é dado por: D = A – B. Ainda, conforme mencionado, esta relação pode
ser entendida como uma “soma (adição)” do vetor A com o “oposto” de B, ou seja, −B. Assim, temos que:
D = A + (−B) = A – B
VETOR versus NÚMERO REAL
O produto de um número real n por um vetor A resulta em um vetor (vetor resultante) com sentido
igual ao de A se n for positivo ou sentido oposto ao de A se n for negativo. O módulo do vetor resultante é
igual a n|A|.
Exemplo: Seja o vetor V multiplicado pelo fator 2 (isto é, n = 2). Obteremos um novo vetor com o dobro do
comprimento de V, ou seja, 2V. Se multiplicarmos 2V por −1 obteremos um vetor de mesmo comprimento,
mesma direção, porém com sentido contrário, como é o caso de −2V. Se dividirmos o vetor V por 2
obteremos um vetor com metade do comprimento do vetor original (V), ou seja, 0,5V.
2
REGRA DO PARALELOGRAMO
Podemos usar a “Regra do Paralelogramo” para determinar o módulo do vetor soma (resultante) R
entre dois vetores qualquer, A e B, que formem um ângulo θ entre eles.
Regra:
•
•
•
•
Escolhe-se um ponto P qualquer.
Coloca-se a origem dos dois vetores nesse ponto.
Completa-se o paralelogramo usando linhas imaginárias.
O vetor resultante tem origem no ponto P e tem a mesma direção da diagonal que parte de P.
Utilizando-se a Lei dos Co-senos pode-se deduzir que a magnitude do vetor resultante R é dada por:
r
R =
r2 r2
r r
A + B + 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ cos(θ ) ,
onde θ é o ângulo entre as direções dos dois vetores A e B. No caso em que θ for igual a 90º ou 270º (ou
seja, os vetores A e B são perpendiculares entre si), a regra do paralelogramo recai no Teorema de Pitágoras.
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
A decomposição de vetores permite determinar dois novos vetores (denominados componentes do
vetor original) os quais representam vetor original quando os mesmos são somados vetorialmente, segundo o
teorema de Pitágoras. Assim sendo, a decomposição de vetores é usada para facilitar o cálculo algébrico do
vetor resultante em um sistema de vetores.
r
Na figura ao lado, o vetor F , aplicado na origem do
sistema de coordenadas xy, forma um ângulo α (alfa) com a
“horizontal” (frequentemente o eixo x) e, em outras palavras, um
r
ângulo β com a vertical (frequentemente o eixo y). O vetor Fx
r
representa o vetor componente horizontal do vetor F (ou
r
componente do vetor F ao longo do eixo x ou projeção do vetor
r
r
F ao longo do eixo x), enquanto que o vetor Fy representa o
r
vetor componente vertical do vetor F (ou componente do vetor
r
r
F ao longo do eixo y ou projeção do vetor F ao longo do eixo y).
r
r
A magnitude (módulo ou intensidade) das componentes horizontal ( Fx ) e vertical ( Fy ) do vetor original
r
F podem ser determinadas usando as relações triginométricas seno e cosseno, onde:
r
Fx
cos(α ) = r
F
e
r
Fy
sen(α ) = r
F
ou, então,
r
Fx
sen( β ) = r
F
e
r
Fy
cos( β ) = r
F
Pelo triângulo retângulo do gráfico acima, se percebe que cos(α ) = sen( β ) e sen(α ) = cos( β ) . Assim:
r
r
Fx = F ⋅ cos(α )
↔
r
r
Fx = F ⋅ sen ( β )
e
r
r
Fy = F ⋅ sen(α ) ↔
r
r
Fy = F ⋅ cos( β )
3
r
r r
r
r
Seja F o resultado da seguinte operação vetorial: F = Fx + Fy . Então, o módulo do vetor (resultante) F
obedece ao teorema de Pitágoras, de forma que:
r2 r 2 r 2
F = Fx + Fy
→
r
F =
r 2 r 2
Fx + Fy
=
r
módulo do vetor resultante F .
Dicas (passos) para trabalhar com vetores no plano xy:
1) Colocar, em um plano xy, o sistema de eixos coordenados com a origem sobre o ponto no qual
se deseja calcular a grandeza vetorial em questão (seja esta uma força, velocidade, torque,
campo magnético, etc).
2) Decompor os vetores aplicados no determinado ponto, os quais formam ângulos de inclinação
com a horizontal (ou com a vertical) de modo a identificar suas componentes horizontais (ao
longo do eixo x) e suas componentes verticais (ao longo do eixo y).
3) Fazer um novo diagrama (plano xy) com a origem sobre o ponto no qual se deseja calcular a
grandeza vetorial em questão. Porém, agora substituindo os vetores que formam ângulos de
inclinação com a horizontal (ou com a vertical) pelas suas componentes horizontais e verticais.
4) Efetuar o somatório (∑) das componentes horizontais e verticais dos vetores determinadas
anteriormente. Normalmente, as componentes horizontais com sentido para a direita são
consideradas positivas (sentido “crescente” do eixo x), enquanto aquelas para a esquerda são
consideradas negativas (sentido “decrescente” do eixo x). As componentes verticais com
sentido para cima são consideradas positivas (sentido “crescente” do eixo y), enquanto aquelas
para baixo são consideradas negativas (sentido “decrescente” do eixo y). As componentes
horizontais somam-se algebricamente, em separado das verticais. Faz-se o mesmo com relação
às componentes verticais. Assim, são obtidas duas resultantes: uma horizontal, que simboliza a
soma vetorial líquida (ou resultante) das componentes horizontais em questão, e outra vertical,
que simboliza a soma vetorial líquida (ou resultante) das componentes verticais em questão.
Essas resultantes, horizontal e vertical, podem assumir valores positivos, negativos ou nulos,
dependendo do caso.
5) Fazer um novo diagrama (plano xy) com a origem sobre o ponto no qual se deseja calcular a
grandeza vetorial em questão. Porém, agora substituindo suas “componentes horizontais e
verticais” usadas anteriormente (no passo 3) pelas resultantes horizontal e vertical
devidamente aplicadas no ponto em consideração.
6) Determinar o vetor resultante (módulo, direção e sentido) no ponto considerado. Neste caso,
aplicam-se o teorema de Pitágoras, as relações trigonométricas e o conceito dos quadrantes. O
teorema de Pitágoras fornece o módulo (intensidade ou magnitude) do vetor resultante. As
relações trigonométricas (seno, cosseno e/ou tangente) são usadas para determinar o ângulo de
inclinação que o vetor resultante forma com a horizontal (ou a vertical). Os “quadrantes”
indicam o sentido do vetor resultante (região do plano xy na qual a extremidade do vetor
resultante se encontra).
Quando os vetores, em determinado ponto, estiverem aplicados apenas “horizontalmente”, a direção
do vetor resultante será então horizontal e o sentido do mesmo poderá ser para a direita ou para a esquerda.
Neste caso, o módulo do somatório ( Σ ) dos vetores aplicados ao longo da horizontal (eixo x) será a própria
resultante dos vetores aplicados no ponto em questão (de modo que não há componente vertical). O sinal do
somatório realizado (positivo ou negativo) indica o sentido do vetor resultante.
De forma similar, quando os vetores, em determinado ponto, estiverem aplicados apenas
“verticalmente”, a direção do vetor resultante será então vertical e o sentido do mesmo poderá ser para cima
ou para baixo. Neste caso, o módulo do somatório ( Σ ) dos vetores aplicados ao longo da vertical (eixo y)
será a própria resultante dos vetores aplicados no ponto em questão (de modo que não há componente
horizontal). O sinal do somatório realizado (positivo ou negativo) indica o sentido do vetor resultante.
4
NOTA: Nem todas as grandezas físicas que apresentam intensidade (módulo) e direção são necessariamente
vetoriais (como é o caso, por exemplo, da corrente elétrica).
Exemplos:
r
r
r
r
1. Considere os vetores a , b , c e d no diagrama abaixo. Determine, graficamente, a resultante
r
vetorial R para cada uma das operações indicadas abaixo.
a)
b)
c)
d)
e)
r r r r r
R=a +b +c +d
r r r r r
R =a −b +c −d
r r r r
R =d −b −c
r r r
r
R = −b − c + d
r r
r
r r
R = 2a + d / 2 − b − c
2. O diagrama abaixo mostra cinco forças aplicadas em um bloco, o qual se supõe ser maciço e que se
r
move horizontalmente sobre uma superfície plana. O módulo de cada força é: F1 = 60 N,
r
r
r
r
F2 = 10 N, F3 = 30 N, F4 = 70 N e F5 = 40 N. Com base nestas informações, pede-se para
determinar:
r
a) O módulo da componente horizontal da força resultante ( FRX ) que atua no bloco.
r
b) O módulo da componente vertical da força resultante ( FRY ) que atua no bloco.
r
c) O módulo da força resultante ( FR ) que atua no bloco.
r
d) O ângulo de inclinação que o vetor força resultante FR forma com a direção horizontal.
r
e) O vetor força resultante FR (módulo, direção e sentido) que atua no bloco.
3. O diagrama vetorial ao lado mostra cinco forças aplicadas em um
bloco, o qual se supõe ser maciço e que se move verticalmente. A
r
r
r
intensidade de cada força é: F1 = 60 N, F2 = 10 N, F3 = 30 N,
r
r
F4 = 70 N e F5 = 40 N. Com base nestas informações, pede-se
para determinar:
a) A intensidade da componente horizontal da força resultante
r
( FRX ) que atua no bloco.
b) A intensidade da componente vertical da força resultante
r
( FRY ) que atua no bloco.
r
c) A intensidade da força resultante ( FR ) que atua no bloco.
r
d) O ângulo de inclinação que o vetor força resultante FR
forma com a direção vertical.
r
e) O vetor força resultante FR (módulo, direção e sentido) que
atua no bloco.
5
4. O diagrama vetorial ao lado mostra duas forças aplicadas em um
mesmo ponto P comum. Essas forças apresentam as seguintes
r
r
magnitudes: F1 = 40 N e F2 = 30 N. Com base nestas informações,
pede-se para determinar:
r
a) A magnitude da força resultante ( FR ) que atua no ponto P.
r
b) O ângulo de inclinação que o vetor força resultante FR forma com a direção horizontal.
r
c) O vetor força resultante FR (módulo, direção e sentido) que atua no ponto P.
5. Uma determinada força F com magnitude de 50 N forma um ângulo de 30° com relação à direção
horizontal. Assim sendo, determine:
a) A magnitude da componente horizontal do vetor força F.
b) A magnitude da componente vertical do vetor força F.
6. O diagrama vetorial ao lado mostra cinco forças aplicadas em um
mesmo ponto P comum. Essas forças apresentam as seguintes
r
r
r
r
magnitudes:
F1 = F4 = 40 N,
F2 = 30 N,
F3 = 10 N e
r
F5 = 20 N. O ângulo de inclinação que algumas das forças
formam com relação a direção horizontal ou vertical está
indicado no diagrama. Assim, pede-se para determinar:
r
a) O ângulo de inclinação entre o vetor força F1
r
b) O ângulo de inclinação entre o vetor força F2
r
c) O ângulo de inclinação entre o vetor força F3
r
d) O ângulo de inclinação entre o vetor força F4
r
e) O ângulo de inclinação entre o vetor força F5
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
e a direção horizontal.
e a direção horizontal.
e a direção horizontal.
e a direção horizontal.
e a direção horizontal.
r
A magnitude da componente horizontal do vetor força F1 que atua no ponto P.
r
A magnitude da componente vertical do vetor força F1 que atua no ponto P.
r
A magnitude da componente horizontal do vetor força F2 que atua no ponto P.
r
A magnitude da componente vertical do vetor força F2 que atua no ponto P.
r
A magnitude da componente horizontal do vetor força F3 que atua no ponto P.
r
A magnitude da componente vertical do vetor força F3 que atua no ponto P.
r
A magnitude da componente horizontal do vetor força F4 que atua no ponto P.
r
A magnitude da componente vertical do vetor força F4 que atua no ponto P.
r
A magnitude da componente horizontal do vetor força F5 que atua no ponto P.
r
A magnitude da componente vertical do vetor força F5 que atua no ponto P.
r
A intensidade da componente horizontal da força resultante ( FRX ) que atua no ponto P.
r
A intensidade da componente vertical da força resultante ( FRY ) que atua no ponto P.
r
A intensidade da força resultante ( FR ) que atua no ponto P.
r
O ângulo de inclinação que o vetor força resultante FR forma com a direção horizontal.
r
O vetor força resultante FR (módulo, direção e sentido) que atua no ponto P.
6
Exercícios Propostos:
r
1. Dados os vetores abaixo, determine graficamente o vetor resultante ( r ) indicado nos itens à seguir:
a)
b)
c)
r r r r r
r =a+b +c +d
r r r r r
r = a −b +c −d
r
r
r r
r
r = a / 2 + b / 3 − 2c + 3d / 2
r
r
2. Duas forças de intensidades F1 = 40 N e F2 = 30 N atuam
em um ponto P, conforme a ilustra a figura ao lado. Assim
sendo, determine:
r
a) O ângulo de inclinação entre o vetor força F1 e a direção horizontal.
r
b) O ângulo de inclinação entre o vetor força F2 e a direção horizontal.
r
c) A magnitude da componente horizontal do vetor força F1 que atua no ponto P.
r
d) A magnitude da componente vertical do vetor força F1 que atua no ponto P.
r
e) A magnitude da componente horizontal do vetor força F2 que atua no ponto P.
r
f) A magnitude da componente vertical do vetor força F2 que atua no ponto P.
r
g) A intensidade da componente horizontal da força resultante ( FRX ) que atua no ponto P.
r
h) A intensidade da componente vertical da força resultante ( FRY ) que atua no ponto P.
r
i) A intensidade da força resultante ( FR ) que atua no ponto P.
r
j) O ângulo de direção (inclinação) que o vetor força resultante ( FR ) forma com a direção
horizontal.
r
k) O vetor força resultante FR (módulo, direção e sentido) que atua no ponto P.
r
r
3. Duas forças de intensidades F1 = 40 N e F2 = 30 N atuam
em um ponto P, conforme a ilustra a figura ao lado. Assim
sendo, determine:
r
a) O ângulo de inclinação entre o vetor força F1 e a direção horizontal.
r
b) O ângulo de inclinação entre o vetor força F2 e a direção horizontal.
r
c) A magnitude da componente horizontal do vetor força F1 que atua no ponto P.
r
d) A magnitude da componente vertical do vetor força F1 que atua no ponto P.
r
e) A magnitude da componente horizontal do vetor força F2 que atua no ponto P.
r
f) A magnitude da componente vertical do vetor força F2 que atua no ponto P.
r
g) A intensidade da componente horizontal da força resultante ( FRX ) que atua no ponto P.
r
h) A intensidade da componente vertical da força resultante ( FRY ) que atua no ponto P.
r
i) A intensidade da força resultante ( FR ) que atua no ponto P.
r
j) O ângulo de direção (inclinação) que o vetor força resultante ( FR ) forma com a direção
horizontal.
r
k) O vetor força resultante FR (módulo, direção e sentido) que atua no ponto P.
7
r
4. Uma força F com magnitude de 100 N atua sobre um determinado ponto P, o qual está localizado
r
sobre a origem de um sistema cartesiano de coordenadas (xy). A força F se encontra no primeiro
quadrante desse sistema de coordenadas, sendo que a mesma forma um ângulo de 40° com relação à
direção vertical. Assim sendo, determine:
a)
b)
c)
d)
r
A magnitude da componente horizontal do vetor força F que atua no ponto P.
r
A magnitude da componente vertical do vetor força F que atua no ponto P.
r
A intensidade da força F que atua no ponto P.
r
O ângulo de direção (inclinação) que o vetor força F forma com a direção horizontal.
r
5. Uma força F atua sobre um determinado ponto P, o qual está localizado sobre a origem de um
r
sistema cartesiano de coordenadas (xy). A força F se encontra no primeiro quadrante desse sistema
de coordenadas, sendo que a mesma forma um ângulo de 17,46° com relação à direção horizontal.
Além disso, a componente (projeção) vertical da mesma apresenta uma intensidade de 18 N. Assim
sendo, determine:
a)
b)
c)
d)
r
A magnitude da componente horizontal do vetor força F que atua no ponto P.
r
A magnitude da componente vertical do vetor força F que atua no ponto P.
r
A intensidade da força F que atua no ponto P.
r
O ângulo de direção (inclinação) que o vetor força F forma com a direção horizontal.
r
6. Uma força F atua sobre um determinado ponto P, o qual está localizado sobre a origem de um
r
sistema cartesiano de coordenadas (xy). A força F se encontra no primeiro quadrante desse sistema
de coordenadas, sendo que as componentes (projeções) horizontal e vertical da mesma apresentam
intensidades de 38 N e 60 N, respectivamente. Assim sendo, determine:
a)
b)
c)
d)
r
A magnitude da componente horizontal do vetor força F que atua no ponto P.
r
A magnitude da componente vertical do vetor força F que atua no ponto P.
r
A intensidade da força F que atua no ponto P.
r
O ângulo de direção (inclinação) que o vetor força F forma com a direção horizontal.
r
r
7. Duas forças de intensidades F1 = 40 N e F2 = 30 N atuam
em um ponto P, conforme a ilustra a figura ao lado. Assim
sendo, determine:
r
a) O ângulo de inclinação entre o vetor força F1 e a direção horizontal.
r
b) O ângulo de inclinação entre o vetor força F2 e a direção horizontal.
r
c) A magnitude da componente horizontal do vetor força F1 que atua no ponto P.
r
d) A magnitude da componente vertical do vetor força F1 que atua no ponto P.
r
e) A magnitude da componente horizontal do vetor força F2 que atua no ponto P.
r
f) A magnitude da componente vertical do vetor força F2 que atua no ponto P.
r
g) A intensidade da componente horizontal da força resultante ( FRX ) que atua no ponto P.
r
h) A intensidade da componente vertical da força resultante ( FRY ) que atua no ponto P.
r
i) A intensidade da força resultante ( FR ) que atua no ponto P.
r
j) O ângulo de direção (inclinação) que o vetor força resultante ( FR ) forma com a direção
horizontal.
r
k) O vetor força resultante FR (módulo, direção e sentido) que atua no ponto P.
8
r
8. Cinco forças cujas intensidades são
F1 = 19 N,
r
r
r
r
F2 = 15 N, F3 = 16 N, F4 = 11 N e F5 = 12 N atuam
em um determinado ponto P, conforme mostra o diagrama
ao lado. Assim sendo, determine:
r
a) O ângulo de inclinação entre o vetor força F1 e a
direção horizontal.
r
b) O ângulo de inclinação entre o vetor força F2 e a direção horizontal.
r
c) O ângulo de inclinação entre o vetor força F3 e a direção horizontal.
r
d) O ângulo de inclinação entre o vetor força F4 e a direção horizontal.
r
e) O ângulo de inclinação entre o vetor força F5 e a direção horizontal.
r
f) A magnitude da componente horizontal do vetor força F1 que atua no ponto P.
r
g) A magnitude da componente vertical do vetor força F1 que atua no ponto P.
r
h) A magnitude da componente horizontal do vetor força F2 que atua no ponto P.
r
i) A magnitude da componente vertical do vetor força F2 que atua no ponto P.
r
j) A magnitude da componente horizontal do vetor força F3 que atua no ponto P.
r
k) A magnitude da componente vertical do vetor força F3 que atua no ponto P.
r
l) A magnitude da componente horizontal do vetor força F4 que atua no ponto P.
r
m) A magnitude da componente vertical do vetor força F4 que atua no ponto P.
r
n) A magnitude da componente horizontal do vetor força F5 que atua no ponto P.
r
o) A magnitude da componente vertical do vetor força F5 que atua no ponto P.
r
p) A intensidade da componente horizontal da força resultante ( FRX ) que atua no ponto P.
r
q) A intensidade da componente vertical da força resultante ( FRY ) que atua no ponto P.
r
r) A intensidade da força resultante ( FR ) que atua no ponto P.
r
s) O ângulo de direção (inclinação) que o vetor força resultante ( FR ) forma com a direção
horizontal.
r
t) O vetor força resultante FR (módulo, direção e sentido) que atua no ponto P.
9. Na figura abaixo, o diagrama vetorial,
r r
em escala, mostra duas forças, F1 e F2 ,
atuando em um objeto, o qual é
representado, pontualmente, por sua
massa m. Considere que essa massa m
esteja localizada sobre a origem de um
sistema cartesiano de coordenadas (xy).
Assim sendo, pede-se para determinar:
r
a) O ângulo de inclinação entre o vetor força F1 e a direção horizontal.
r
b) O ângulo de inclinação entre o vetor força F2 e a direção horizontal.
r
c) A magnitude da componente horizontal do vetor força F1 que atua sobre a massa m.
r
d) A magnitude da componente vertical do vetor força F1 que atua sobre a massa m.
r
e) A magnitude do vetor força F1 que atua sobre a massa m.
r
f) A magnitude da componente horizontal do vetor força F2 que atua sobre a massa m.
9
r
g) A magnitude da componente vertical do vetor força F2 que atua sobre a massa m.
r
h) A magnitude do vetor força F2 que atua sobre a massa m.
r
i) A intensidade da componente horizontal da força resultante ( FRX ) que atua sobre a massa
m.
r
A intensidade da componente vertical da força resultante ( FRY ) que atua sobre a massa m.
r
k) A intensidade da força resultante ( FR ) que atua sobre a massa m.
r
l) O ângulo de inclinação que o vetor força resultante ( FR ) forma com a direção horizontal.
r
m) O vetor força resultante FR (módulo, direção e sentido) que atua sobre a massa m.
j)
10. A figura ao lado ilustra o deslocamento de um escoteiro que
realizou uma caminhada em uma floresta com o auxílio de
uma bússola. Essa caminhada foi realizada em duas etapas,
sendo estas denominadas A e B. Inicialmente, na etapa A, o
escoteiro caminhou 17 km entre as direções sul (S) e leste (L),
de modo que nessa etapa seu deslocamento formou um ângulo
de 45° com a direção sul (S). Depois de um descanso, o
escoteiro retomou seu percurso, na etapa B, e caminhou
32 km para o norte (N), em uma direção que fez um ângulo de
50° com o leste (L). Assim sendo, considere que o ponto de
início de toda a trajetória realizada pelo escoteiro coincida
com a origem de um sistema de coordenadas cartesiano (xy). Considere que o sistema de
coordenadas esteja com o eixo y na direção norte-sul e o eixo x na direção leste-oeste. O sentido
norte deve coincidir com o sentido crescente do eixo y, ao passo que o sentido leste deve coincidir
com o sentido crescente do eixo x. Sendo o deslocamento realizado pelo escoteiro uma grandeza
vetorial, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
A magnitude da componente horizontal do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa A.
A magnitude da componente vertical do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa A.
A magnitude da componente horizontal do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa B.
A magnitude da componente vertical do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa B.
A magnitude da componente horizontal do deslocamento total (resultante) efetuado pelo
escoteiro.
f) A magnitude da componente vertical do deslocamento total (resultante) efetuado pelo
escoteiro.
g) A magnitude do deslocamento total (resultante) efetuado pelo escoteiro.
h) O ângulo de direção formado entre o deslocamento total (resultante) efetuado pelo escoteiro
e a direção leste.
11. A figura ao lado ilustra o deslocamento de um
escoteiro que realizou uma caminhada em uma
floresta com o auxílio de uma bússola. Essa
caminhada foi realizada em quatro etapas, sendo
estas as etapas A, B, C e D. Inicialmente, na
etapa A, o escoteiro caminhou 80 m no sentido
leste (L). Depois, ele caminhou 115 m no sentido
sul (S). Em seguida, o escoteiro redirecionou sua
caminhada novamente para o sentido leste (L)
percorrendo, nesta ocasião, 40 m. Por fim, ele
caminhou 110 m para o sul (S), de modo que
nessa etapa seu deslocamento formou um ângulo
de 30° com o oeste (O). Assim sendo, considere
que o ponto de início de toda a trajetória
realizada pelo escoteiro coincida com a origem
de um sistema de coordenadas cartesiano (xy).
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Considere que o sistema de coordenadas esteja com o eixo y na direção norte-sul e o eixo x na
direção leste-oeste. O sentido norte deve coincidir com o sentido crescente do eixo y, ao passo que o
sentido leste deve coincidir com o sentido crescente do eixo x. Sendo o deslocamento uma grandeza
de natureza vetorial, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
A magnitude da componente horizontal do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa A.
A magnitude da componente vertical do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa A.
A magnitude da componente horizontal do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa B.
A magnitude da componente vertical do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa B.
A magnitude da componente horizontal do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa C.
A magnitude da componente vertical do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa C.
A magnitude da componente horizontal do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa D.
A magnitude da componente vertical do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa D.
A magnitude da componente horizontal do deslocamento total (ou resultante R) efetuado
pelo escoteiro.
j) A magnitude da componente vertical do deslocamento total (ou resultante R) efetuado pelo
escoteiro.
k) A magnitude do deslocamento total (ou resultante R) efetuado pelo escoteiro.
l) O ângulo de direção formado entre o deslocamento total (ou resultante R) efetuado pelo
escoteiro e a direção leste.
m) O vetor deslocamento total (ou resultante R) efetuado pelo escoteiro (módulo, direção e
sentido).
n) O vetor deslocamento total (ou resultante R) efetuado pelo escoteiro graficamente no
diagrama apresentado no problema.
Respostas dos Exercícios:
1.
(a)
(b)
(c)
2. a) 0°; b) 0°; c) 40 N; d) 0 N; e) 30 N; f) 0 N; g) 10 N; h) 0 N; i) 10 N; j) 0°;
r
k) FR = {módulo: 10 N; direção: horizontal (ou 180°); sentido: para a esquerda}
3. a) 90°; b) 0°; c) 0 N; d) 40 N; e) 30 N; f) 0 N; g) 30 N; h) 40 N; i) 50 N; j) 53,13°;
r
k) FR = {módulo: 50 N; direção: 53,13°; sentido: 1o Quadrante}
4. a) 64,28 N; b) 76,6 N; c) 100 N; d) 50°
5. a) 57,24 N; b) 18 N; c) 60 N; d) 17,46°
6. a) 38 N; b) 60 N; c) 71,02 N; d) 57,65°
7. a) 0°; b) 60°; c) 40 N; d) 0 N; e) 15 N; f) 25,98 N; g) 55 N; h) 25,98 N; i) 60,83 N; j) 25,28°;
r
k) FR = {módulo: 60,83 N; direção: 25,28°; sentido: 1o Quadrante}
8. a) 0°; b) 60°; c) 45°; d) 30°; e) 90°; f) 19 N; g) 0 N; h) 7,5 N; i) 13 N; j) 11,31 N; k) 11,31 N;
l) 9,53 N; m) 5,5 N; n) 0 N; o) 12 N; p) 5,66 N; q) 6,81 N; r) 8,86 N; s) 50,27°;
r
t) FR = {módulo: 8,86 N; direção: 50,27°; sentido: 1o Quadrante}
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9. a) 26,57°; b) 90°; c) 6 N; d) 3 N; e) 6,71 N; f) 0 N; g) 4 N; h) 4 N; i) 6 N; j) 1 N; k) 6,16 N; l) 9,46°;
r
m) FR = {módulo: 6,16 N; direção: 350,54° (= −9,46°; ou 9,46° abaixo da horizontal);
sentido: 4o Quadrante }
10. a) 12,02 km; b) 12,02 km; c) 20,57 km; d) 24,51 km; e) 32,59 km; f) 12,49 km; g) 34,9 km;
h) 20,97°
11. a) 80 m; b) 0 m; c) 0 m; d) 115 m; e) 40 m; f) 0 m; g) 95,26 m; h) 55 m; i) 24,74 m; j) 170 m;
r
k) 171,79 m; l) 81,72°; m) R = R = {módulo: 171,79 m; direção: 81,72° com o leste (ou 8,28° com o
sul); sentido: sudeste};
n)
R
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