ÁLGEBRA E ARITMÉTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL: UM ESTUDO DE
COMO ENSINÁ-LAS DE FORMA INTEGRADA E COM BASE EM SIGNIFICADOS
Rondinele Nunes da Silva1
Orientador: Vilmondes Rocha
RESUMO
Esse estudo buscou compreender como álgebra e aritmética podem ser ensinadas conjuntamente no
ensino fundamental conferindo ao aluno legitimidade no seu aprendizado. Para isso foi realizada uma
pesquisa com alunos do 6º ano do ensino fundamental, com o objetivo de testar uma seqüência
didática elaborada sob o ponto de vista da produção de significados para álgebra e aritmética escolar.
Palavras-chave: Educação Aritmética, Educação Algébrica, Significados, Seqüência Didática.
1 INTRODUÇÃO
Existem várias formas de ensinar matemática, no entanto a mais utilizada é aquela
em que o professor explica um conteúdo, enfatiza suas regras e aplica uma série de
exercícios para “fixar” a técnica ensinada. Ele faz tudo para o aluno. Surge uma
dúvida na resolução de um determinado problema ou exercício, o professor resolve
todo o problema e aluno apenas copia o que o professor faz sem, muitas vezes,
entender o significado daqueles procedimentos realizados pelo professor. Sobre isso
os PCN destacam que:
É importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar
centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na
resolução de problemas em que o aluno desenvolve processos importantes
como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas para
a memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que
privilegie uma formalização precoce dos conceitos (PCN, 1998, p. 63).
Não obstante esse ensino é quase sempre norteado pelos livros didáticos nos quais
se verifica uma predominância de exercícios para aplicação de técnicas (Cruz, 2005)
que não são suficientes para o desenvolvimento do pensamento algébrico ou
mesmo para a ampliação da noção de números. Além disso, e talvez mais grave,
não há nos livros uma articulação entre os conteúdos de aritmética e álgebra que dê
ao aluno a oportunidade de construir conexões entre as letras e os números e por
isso não concebem a álgebra como ferramenta para provar regras e relações
numéricas (Cruz, 2005).
Contudo, como mudar essa perspectiva mecânica do processo de ensino
aprendizagem em relação ao ensino da aritmética e da álgebra no ensino
fundamental, de modo que ambas sejam desenvolvidas juntas e com vistas ao
desenvolvimento do sentido numérico e de um pensamento algébrico autônomo, de
forma articulada e significativa?
1
Licenciando no curso de Matemática da Universidade Católica de Brasília.
Um primeiro passo para isso foi buscar compreender como se desenvolvem os
pensamentos algébricos e aritméticos, como se processa a transição da aritmética
para a álgebra e o que há em comum ente elas.
Assim, com o objetivo de desenvolver e testar uma seqüência didática capaz de
desenvolver o pensamento algébrico inicial atrelado ao sentido numérico, para pelo
menos complementar o trabalho das técnicas rotineiras de ensino, é que se justifica
essa pesquisa. Para atingir tal objetivo acredita-se que no caminho haverá a
apreensão de métodos de ensino, de concepções mais claras a respeito das
atividades aritméticas e algébricas e o crescimento em termos pessoais e
profissionais da essência e do alcance da educação matemática.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1
EDUCAÇÃO ARITMÉTICA
A aritmética é uma ciência de todos os tempos, provêm do vocábulo ARITHMOS,
que significa número (GROENWALD et tal, 2006). Os números naturais foram se
formando pouco a pouco pela prática diária de contagens (ROSA et al, 2007). Isto é,
o homem primitivo conhecia de forma intuitiva uma série de conceitos que aplicava
em sua vida prática, e desta forma chegou a formalizar a representação de
quantidades.
Na escolarização básica a aritmética é desenvolvida desde os primeiros anos, o
trabalho com números e operações juntamente com o ensino do espaço e das
formas, integram os primeiros conteúdos vistos pela criança. Além disso, é preciso
lembrar que quando esta chega à escola já existe nela certa noção de número,
construída a partir de atitudes naturais de agrupamento e seriação. Mas, o que é a
aritmética e o que o seu ensino deve proporcionar aos alunos?
Parece fácil responder a essa pergunta, pois se pode dizer, sem medo de errar, que
aritmética são os números e suas operações: somar, subtrair, multiplicar, dividir e
outras. Mas, segundo Lins e Gimenez (1996), a educação aritmética é muito mais
que isso, ela inclui também representações e significações diversas, pontos de
referencias e núcleos, que ampliam a idéia simples do manipulativo (técnicas e
algoritmos). Eles são importantes, mas precisam ser revestidos de significados que
justifiquem o seu uso e torne esse uso adequado e racional.
Dessa maneira o ensino da aritmética deve proporcionar aos alunos o
desenvolvimento de um sentido numérico através de um processo extenso em que
se trabalhe o raciocínio figurativo e intuitivo (conservação de quantidades),
pensamento relativo e absoluto (percepção de quantidade), raciocínio estruturado
aditivo (mudança de estado, combinação) e pensamento proporcional (comparação
em forma multiplicativa), de forma que todo esse trabalho dê ao aluno condições de
produzir afirmações aritméticas com significados, sendo capazes de construir
justificações.
2.2
EDUCAÇÃO ALGÉBRICA
Os conteúdos sobre álgebra começam a ser ensinados nas escolas por volta da 7ª
ou 8ª séries do ensino fundamental, e não há dúvida quando coloca-se que:
equações, cálculo literal e funções são os elementos da álgebra. Para Linz e
Gimenes (1996), não há um consenso a respeito do que seja pensar
algebricamente, e o problema que surge em decorrência disso é uma caracterização
da álgebra como “fazer ou usar álgebra” e uma descrição da atividade algébrica
como “calcular com letras”, reduzindo o ensino da álgebra aos seus aspectos
lingüísticos e transformistas, ou seja, dando mais ênfase a sintaxe da linguagem
algébrica que ao pensamento algébrico.
Para Vygotsky (1998), pensamento e linguagem são interdependentes, um
promovendo o desenvolvimento do outro e vice-versa. Ou seja, no processo ensinoaprendizagem, a linguagem não antecede necessariamente o pensamento, embora
a apropriação da linguagem possa potencializar e promover o desenvolvimento do
pensamento algébrico.
Existe uma grande dificuldade em ensinar álgebra, primeiro porque os alunos
demoram a aceitar que letras agora são “números”, ou seja, correspondem a
quantidades, e isso por si só já causa certo bloqueio e segundo, que o material mais
utilizado pelos professores é o livro didático que, em sua maioria, introduz a álgebra
por meio de uma linguagem formal, falando de: equações, primeiro membro,
segundo membro, operação inversa, enfim conceitos desprovidos de significados
para o aluno.
Outro aspecto interessante que dificulta o ensino da álgebra é que a atividade
algébrica só seria possível de forma tardia, em termos de idade. Essa idéia, segundo
Lins e Gimenez (op. Cit.), é equivocada e indesejável. A partir dessa afirmação
podemos pensar no desenvolvimento do pensamento algébrico em crianças da
educação infantil, utilizando para isso dispositivos como diagramas e outras
atividades didáticas que dessem base para o pensamento algébrico no futuro,
facilitando sua formalização nas séries finais do ensino fundamental.
2.3
ARTICULAÇÃO ENTRE ÁLGEBRA E ARITMÉTICA
A educação matemática brasileira em geral é estruturada de tal forma a viabilizar
que seus diferentes ramos (aritmética, álgebra, geometria e trigonometria) sejam
ensinados pouco a pouco, seriadamente e atingindo níveis cada vez mais
complexos no decorrer da escolarização básica (fundamental e média). Tal
estruturação deve-se principalmente aos movimentos de reforma do ensino das
matemáticas, ocorridos em vários países no fim do século XIX, que propunham a
unificação de seus ramos numa única disciplina, a matemática. Mas foi somente na
década de 1930, seguindo princípios orientadores dos movimentos revolucionários
nos EUA em relação à educação matemática, que ocorreu a mudança estrutural no
currículo brasileiro.
Um novo momento histórico, pós-revolucionário, fará emergir, a partir das
polêmicas e discordâncias relativamente à fusão dos ramos matemáticos,
forças que ativamente participarão de uma nova reforma do ensino
nacional. Igreja, Estado e Sociedade civil, coordenadas pelo novo ministro
da Educação, Gustavo Capanema, produzirão um novo texto, por meio de
seus representantes, para a educação brasileira. A Reforma Capanema, de
1942, irá sepultar o ideário de Euclides Roxo de fusão completa da
Aritmética, Álgebra e Geometria. No entanto, esses ramos permanecerão
sob o mesmo manto da denominação Matemática, sendo eliminadas as
cadeiras separadas de Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria
(MIRANDA, 2003).
Segundo Marilene Miranda (op. Cit.), nos EUA, verdadeiramente, houve uma
discussão nacional relativamente à unificação. O grupo vencedor, encabeçado por
David Smith, barrou a proposta que vinha sendo desenvolvida por Myers e Breslich,
redefinindo o papel da Matemática no ensino norte-americano. No Brasil, a proposta
de unificação constituiu uma empreitada solitária de Euclides Roxo que, ungido pela
revolução, acreditou ser possível alterar práticas pedagógicas centenariamente
estabelecidas sem trazer para junto de si os professores e o meio educacional.
Mesmo com o fracasso na tentativa de unificação de seus ramos, a matemática
passou a constituir-se no Brasil em uma só disciplina. O que se pretendia era
agregar esses ramos de forma que cada um pudesse facilitar e tornar mais eficiente
o ensino e aprendizado do outro no nível da escola básica.
Atualmente aritmética e álgebra, no ensino fundamental, são ensinadas
separadamente. Nas séries iniciais é ensinada somente a aritmética e apesar de
saber que para o desenvolvimento do pensamento aritmético trabalha-se
intuitivamente noções de álgebra, o ensino dessa última, em geral, é efetivado
somente nas séries finais do ensino fundamental. Assim, para favorecer o ensino da
álgebra e da aritmética, poderia haver um esforço entre os educadores matemáticos
para que ambas pudessem ser concebidas como complementares, uma ajudando
no desenvolvimento da outra.
Para Lins e Gimenez (1997), na comunidade da Educação Matemática, há poucas
noções tão enraizadas como a de que aprender aritmética deve vir antes do
aprendizado da álgebra. Mais ainda, para uma discussão como essa, optam por
inserí-la em um quadro mais amplo, no qual examinam algumas características do
processo de produção de significados para a álgebra e para a aritmética. Isso para
poder explicar de que modo elas se relacionam de forma diferente das leituras
tradicionais, do tipo, “álgebra é aritmética generalizada” ou “álgebra é a estrutura da
aritmética”.
Infelizmente o ensino tradicional da matemática, caracterizado pela transmissão de
informação, treina os alunos por meio de seqüências que enfatizam o uso de
técnicas e processos exaustivos sem a preocupação de produzir significados e dar
sentido a essas técnicas. As crianças não são encorajadas a pensar
autonomamente. Os professores usam de recompensas e punição também no
domínio intelectual para que as crianças dêem resposta “correta” (Kamii, 1995).
Nesse contexto, segundo Zenere (2005), é imprescindível reconhecer que diferentes
propostas selecionadas para sala de aula expressam as visões ou idéias que
queremos promover através do ensino. Isso nos mostra que é preciso mudar a
forma como os professores desenvolvem suas aulas, pois o ensino de manipulações
rotinizadas e de algoritmos aprendidos não garante sozinho o sucesso dos alunos.
Talvez o maior indicador da ineficiência do sistema educacional seja a incapacidade
de transferir conhecimento para uma situação nova. Embora seja mais evidente com
a matemática, vale para todas (D’ AMBRÓSIO, 2003).
Uma ação pedagógica que vise à produção de significados matemáticos e de
sentido a suas aplicações práticas na vida cotidiana parece ser legitimada no desejo
natural de compreensão que cada criança traz em si. Para Bianchini e Silva (2005) o
professor precisa investigar e considerar os conhecimentos espontâneos das
crianças para a partir daí elaborar situações de aprendizagem de forma significativa.
Uma aprendizagem significativa parece ser o meio que a escola deve utilizar para
que os alunos se envolvam e apreendam novos conteúdos, elaborando significados
aos saberes matemáticos. Gimenez e Lins explicitam que:
A escola é, sim, lugar de tematizações. De formalizações, esse é papel
importante que ela deve cumprir. O de introduzir as crianças em sistemas
de significados o que Vygotsky chamou de conceitos científicos, e que
correspondem a um corpo de noções sistematizadas. [...] conceitos
científicos são parte do processo de organização da atividade humana.
(1997, p. 23).
Assim, Lins e Gimenez (op. Cit.), dizem que, em ambos os casos, o da aritmética e o
da álgebra, a mudança de perspectiva mais importante refere-se a passarmos a
pensar em termos de significados sendo produzidos no interior de atividades, e não,
como até aqui, pensamos em termos de técnicas ou conteúdos.
3 A PESQUISA
3.1
METODOLOGIA
Considerando que o problema da pesquisa caracteriza-se pela análise da eficiência
de uma seqüência didática que contemple ao mesmo tempo, aspectos aritméticos e
algébricos na construção do conhecimento lógico-matemático, foi realizada uma
experiência científico-didática, caracterizada pela abordagem metodológica
empírico-analítica, com alunos do ensino fundamental. Nesse sentido para melhor
compreender as etapas que constituem todo o processo optou-se por inserir os
princípios metodológicos da Engenharia Didática2 para pesquisas no campo da
educação matemática.
A engenharia didática possibilita uma sistematização metodológica para a
realização da pesquisa, levando em consideração as relações de
2
Uma das metodologias de pesquisa em educação matemática desenvolvidas na França durante a década de
1980. ARTIGUE, Michèle. Ingénierie Didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol 9,n. 3,
Grenoble, França, 1988.
dependência entre teoria e pratica. Esse é um dos argumentos que valoriza
sua escolha na conduta de investigação do fenômeno didático, pois sem
articulação entre a pesquisa e a ação pedagógica, cada uma destas
dimensões tem seu significado reduzido. (PANTOJA, 2006 apud PAIS,
2006, p. 99)
Segundo Pantoja (2006, p. 7) a engenharia didática se caracteriza como uma forma
particular de organizar os procedimentos metodológicos de pesquisas desenvolvidas
no contexto de sala de aula. Assim sendo seu principal objetivo é o de desenvolver
uma seqüência didática e avaliá-la mediante sua aplicação em sala de aula.
Para o uso da engenharia didática enquanto abordagem metodológica em trabalhos
de pesquisas em educação matemática é necessária a compreensão das fases que
dividem o seu desenvolvimento. Segundo Artigue (1988) são elas:
Análise preliminar,
Concepção e análise a priori,
Experimentação de uma seqüência didática e
Análise a posteriori.
A análise preliminar caracterizou-se pelo estudo sobre o assunto em questão, foram
consultadas bibliografias para saber como vem sendo desenvolvido o ensino atual
de álgebra e aritmética e a possibilidade de um trabalho em que ambas fossem
desenvolvidas de forma articulada e com base em significados.
Assim foram selecionados para a pesquisa 20 alunos do 6º ano do ensino
fundamental (antiga 5ª série) de uma escola pública de Águas Lindas de Goiás.
Todos os alunos foram orientados a preencher um termo de consentimento,
assinado pelos seus pais ou responsáveis, autorizando a participação deles na
pesquisa. Estes alunos foram então divididos em dois grupos, um de controle (GC) e
outro experimental (GE), e em seguida aplicou-se a ambos os grupos um mesmo
pré-teste, com o objetivo de verificar a homogeneidade e a concepção dos mesmos
quanto ao objeto de estudo, configurando dessa maneira a segunda fase da
engenharia didática, a análise a priori.
Nessa fase, por se tratar de alunos que ainda não haviam estudado formalmente
álgebra, foi feita a escolha pela alfabetização algébrica como objeto de ensino e
aprendizagem. Tendo como hipótese, que uma seqüência didática, tratada sob a
perspectiva da produção de significados para álgebra e aritmética, pode melhorar a
competência dos alunos em relação ao amplo desenvolvimento do sentido numérico
e de um pensamento algébrico autônomo.
Após a realização de uma análise preliminar seguida de uma análise a priori é que
foi possível então a elaboração de duas seqüências didáticas que seriam os objetos
de investigação. Uma tradicional e outra preparada sob ponto de vista da articulação
e produção de significados para objetos aritméticos e algébricos. Tal elaboração
exige toda uma preparação em que é definido certo número de atividades e a
quantidade de aulas necessárias para efetuar a observação das situações de
aprendizagem.
Aos grupos foram apresentados os objetivos e condições de realização da pesquisa.
Assim, explicou-se que ambos os grupos iriam aprender álgebra, um conhecimento
novo para eles, e que todas as aulas seriam realizadas no turno vespertino, no
laboratório de ciências da escola e que seriam 10 encontros, sendo no final aplicada
uma avaliação sobre o assunto.
Para o estabelecimento do contrato didático foi realizada uma socialização para que
cada um falasse do seu sentimento em relação às aulas de matemática e suas
principais dificuldades, após esse momento foi explicado como seria a relação entre
os alunos e o professor e a responsabilidade de cada um na pesquisa.
A seqüência didática utilizada pelo grupo de controle foi baseada no livro didático:
Praticando Matemática dos autores Álvaro Andrini e Maria José Vasconcelos,
publicado em 2002 pela Editora do Brasil. Esse livro didático destinado a alunos da
6ª série do ensino fundamental foi aprovado pelo Programa Nacional do Livro
Didático, realizado pelo Ministério da Educação em 2005.
A escolha do livro deu-se primeiramente tendo em vista a introdução da álgebra no
ensino fundamental, tanto pelos aspectos teóricos, quanto práticos do conteúdo que
trata de equações. Tal escolha ainda levou em consideração aspectos relevantes à
construção do conhecimento por parte do aluno, a produção de significados, e a
contribuição na formação da cidadania. Além disso, é preciso deixar claro que todas
as atividades (teoria, exemplos e exercícios) do livro foram adaptadas para o nível
de conhecimento dos alunos em relação aos conjuntos numéricos.
No grupo experimental, a seqüência didática foi elaborada a partir de atividades
proposta por vários autores de trabalhos científicos referentes ao ensino articulado
da álgebra e aritmética, com a preocupação de produzir significados legítimos para a
realidade dos alunos. As atividades utilizadas nessa seqüência dirigem-se
centralmente a criar situações nas quais os alunos podem tomar como legítimo certo
modo de produzir significados, qual seja, o de pensar em relação aos núcleos das
situações apresentadas justificando-as através da lógica das operações
subjacentes.
A fase de experimentação das seqüências didáticas iniciou-se no dia 09 de outubro
de 2007, sendo finalizada no dia 01 de novembro de 2007 com a aplicação do pósteste seguida de uma confraternização em agradecimento aos alunos e a toda a
equipe de apoio da escola.
3.2
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
A análise de todos os dados obtidos durante a fase de experimentação das
seqüências didáticas aplicadas configura a quarta fase da engenharia didática. Essa
análise apóia-se sobre todas as observações realizadas durante cada sessão de
ensino bem como das produções dos alunos nas atividades desenvolvidas.
Na engenharia didática a fase de validação da seqüência didática é feita
durante todo o processo de desenvolvimento da proposta em meio a uma
constante confrontação entre os dados obtidos na análise a priori e na
análise a posteriori, onde é verificado se as hipóteses feitas no inicio da
pesquisa foram confirmadas. (PANTOJA, 2006)
Na análise a priore, através da aplicação do pré-teste, foi constatado que nenhum
dos alunos justificou a escolha pela alternativa marcada, demonstrando o não
conhecimento de álgebra. Os escores obtidos pelos alunos nesse pré-teste referemse praticamente a duas, dentre as cinco questões presente no pré-teste, que
poderiam ser resolvidas utilizando apenas conhecimentos aritméticos.
Durante a fase de experimentação, todas as atividades desenvolvidas por ambos os
grupos foram analisadas em relação ao desempenho individual dos alunos. Cada
atividade possuía certo número de tarefas propostas que eram corrigidas segundo
os critérios: autonomia na resolução, uso do pensamento aritmético e uso do
pensamento algébrico.
A partir das análises feitas em todas as atividades para ambos os grupos, foi
montado um quadro geral de desempenho nas mesmas, com o objetivo de comparar
as duas seqüências didáticas para proceder na validação ou não da seqüência
experimental.
Analisando os dados da tabela 1 percebe-se o baixo desempenho dos alunos do
grupo de controle, exceto pela atividade 4 que teve um índice maior. A explicação
para esse resultado na atividade 4 dá-se em virtude do tipo tarefa, que utilizava na
sua consecução o pensamento algébrico na forma intuitiva, através do cálculo
mental. Por exemplo:
“Agrego um número ao número 300 e obtenho 1000. Que número agreguei?”
Tabela 1: Desempenho geral do Grupo de Controle. (%)
Aluno Pré-teste Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3 Atividade 4 Pós-teste
a
b
c
d
e
f
g
h
i
20
20
40
40
40
40
0
20
20
28
Média
σ
26,67
14,14
22,50
16,55
0
0
26
14
42
42
28
50
93
30
90
30
63
20
40
55
100
85
85
28
92
100
11
16
55
11
81,67
27,13
29,60
23,28
15
58,60
31,14
34,50
21,86
Percebe-se na tabela 2, que indica os escores do grupo experimental, um
desempenho um pouco melhor do que o grupo de controle em relação às seis
atividades desenvolvidas durante o experimento. Lembrando que nesse grupo o
objetivo das atividades era produzir significados através da lógica das operações
realizadas para justificar as afirmações feitas em relação ao núcleo da atividade. Por
exemplo: “Em um estacionamento, há motos e carros. Ambos são chamados
veículos, certo? Posso escrever V, para representar veículos; C, para carros; e M,
para motos.”
O objetivo dessa atividade era criar significados para afirmações do tipo:
“V – C = M”
Outra informação importante é o índice de participação nas atividades. Verifica-se,
conforme a tabela 3, que no GC os alunos faltavam muito às aulas, enquanto que no
GE quase não houve faltas. Uma resposta para essa observação, obtida por
questionamentos constantes aos alunos sobre a visão deles em relação às aulas, é
que no GC as atividades desenvolvidas eram consideradas muito, além de não
diferenciarem-se em nada das aulas habituais freqüentadas na escola. Opondo-se a
isso, as atividades do GE eram sempre diferentes e desenvolvidas sob a perspectiva
da contextualização para produção de significados e da articulação entre o
pensamento aritmético e algébrico, proporcionando aulas mais interessantes e
despertando nos alunos, maior desejo de participar das atividades.
Tabela 2: Desempenho do Grupo Experimental (GE). (%)
Aluno Pré-teste Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3 Atividade 4 Atividade 5 Atividade 6 Pós-teste
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
l
40
0
0
60
60
40
20
20
20
20
20
100
0
100
100
100
50
50
100
100
100
68
63
68
100
50
81
50
70
75
69
92
Media
σ
27,27
20,54
80,00
34,96
71,45
15,38
50
100
40
100
80
80
50
50
30
80
45
50
100
75
100
100
100
50
100
80
10
100
30
100
80
70
50
70
50
60
20
100
100
22
55
22
44
66
77
42
42
28
61
55
55,00
27,27
58,18
29,94
64,09
24,58
87,50
21,25
46,73
18,04
10
30
85
90
65
50
50
35
A tabela 3 mostra o índice de freqüência nas sessões de ensino-aprendizagem de
ambos os grupos durante a fase de experimentação. A justificativa para algumas
faltas foi o fato de ter havido dois dias de chuva forte, o que impediu que alguns
alunos fossem a escola.
Tabela 3: Freqüência dos Grupos de Controle (GC) e Experimental (GE). (%)
Sessões
GC
GE
1
100
100
2
100
100
3
78
91
4
56
100
5
44
91
6
44
91
7
67
100
8
44
100
9
67
100
10
56
100
Média
66
97
Pelos índices contidos na tabela 4, observamos que o pré-teste revela grupos com
distribuição normal, ou seja, seus elementos estão aproximadamente no mesmo
nível. O desempenho medido pela análise de todas as atividades mostra uma
considerável diferença de aproximadamente 20% na Média em favor do GE, o que
mostra que as atividades desenvolvidas na seqüência didática para esse grupo
atenderam aos objetivos de: produzir significados para álgebra e aritmética através
de um processo em que haja articulação entre as mesmas.
O pós-teste, que consiste de uma mesma avaliação aplicada a ambos os grupos,
resultou numa diferença, em favor do GE, de aproximadamente 17% com
desempenho mais regular para o GE, medido pelo Desvio padrão (σ). A ilustração 1
faz um paralelo entre os escores obtidos nos dois grupos e serve para visualizar
melhor os dados tabelados.
Tabela 4: Medidas estatísticas para comparação de desempenho dos grupos. (%)
GC
GE
Pré-teste
Média
σ
26,7
14,1
27,3
20,5
Atividades
Média
σ
49,3
26,3
69,4
12,7
Pós-teste
Média
σ
29,6
23,3
46,7
18,0
80,0
69,4
70,0
Média (%)
60,0
49,3
50,0
46,7
Grupo de Controle
40,0
30,0
26,7
29,6
27,3
Grupo Experimental
20,0
10,0
0,0
Pré-teste
Atividades
Pós-teste
Observações
Ilustração 1: Gráfico de comparação dos desempenhos dos grupos.
Contudo, é preciso comparar os escores alcançados pelos dois grupos com mais
especificidade. Assim para saber se o desempenho médio dos dois grupos foi
realmente diferente, realizou-se o Teste de Mann-Whitney, usado para testar se
duas amostras independentes foram retiradas de populações com médias iguais.
Utilizando os dados da tabela 5, um conjunto resumido de estatísticas calculadas
pelo referido teste, ao nível de 5% de probabilidade para região critica (negação de
hipótese), levantamos as seguintes hipóteses:
H0: as médias dos dois grupos são iguais.
H1: as médias são diferentes.
Verifica-se para todas as médias da tabela 5, que -1,96 ≤ Zcal ≤ 1,96, ou seja, a
variável está fora da região crítica. Com isso não se pode rejeitar H0 e concluímos
que ambos os grupos tiveram desempenhos médios iguais.
Tabela 5: Teste de hipóteses de Mann-Whitney para comparação de médias.
Pré-teste
Atividades
Pós-teste
µ(U):
σ(U):
Zcal:
n1
9
4
5
Pré-teste
49,5
13,2
0,0
Grupo de Controle
Média (%)
R1
26,7
94
49,3
17
29,6
29
µ(U):
σ(U):
Zcal:
U1
50
17
41
Atividades
12,0
4,7
1,1
n2
11
6
11
Grupo Experimental
Média (%)
R2
27,3
113
69,4
49
46,7
107
µ(U):
σ(U):
Zcal:
U2
57,5
-1
19,5
Pós-teste
27,5
8,8
1,5
Embora se tenha chegado à conclusão de que ambos os grupos tiveram
desempenhos médios iguais, não se pode dizer que privilegiar a compreensão,
evidenciando os significados e os porquês no ensino da matemática, seja uma
atitude neutra em relação ao ensino mecanizado. Pois como lembra Lorenzato
(2006), tal atitude resultará em um ensino que dá condições ao aluno de construir
seu próprio conhecimento.
A seqüência didática experimental apresentada nesse trabalho é passível de
reprodução em qualquer sala de aula, uma vez que requer para sua aplicação
apenas o interesse do professor em criar atividades para melhorar o aprendizado
dos alunos. Além disso, a mesma é constituída de atividades que articula bem a
álgebra e a aritmética, uma vez que trabalha com relações quantitativas referentes
aos núcleos dessas atividades.
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A falta de compreensão dos alunos em situações de ensino aprendizagem na
educação matemática faz com que muitos deles acreditem que a matemática é difícil
e em grande parte inútil. Essa situação é evidenciada em muitas pesquisas atuais e
antigas por todo o mundo, e muitas delas apontam como fator principal, o trabalho
do professor. Seja por má formação profissional, ou mesmo por acomodação em
virtude de: péssimas condições de trabalho, baixa remuneração ou perspectivas de
ascensão profissional, o professor é quem carrega essa culpa, ao lado é claro do
Estado e sua forma de governar.
Durante esse trabalho percebeu-se, que a Engenharia Didática constitui-se um
referencial metodológico importante e viável para o processo de ensino e
aprendizagem já que permite a compreensão dos efeitos causados pelas práticas
docentes desenvolvidas em sala de aula (PANTOJA, 2006).
Utilizando a Engenharia didática e pensando a educação aritmética e algébrica em
temos de significados verificou-se a possibilidade de criar condições para que os
alunos se motivem e desejem, cada vez mais, para aprender matemática. Além
disso, possibilitou o desenvolvimento de um sentido numérico adequado e um
pensamento algébrico autônomo, favorecendo assim a formação intelectual, cultural
e social dos alunos.
O trabalho realizado durante essa pesquisa não foi fácil, dificuldades de várias
ordens surgiram, mas foram todas superadas. Ao interagir com os alunos através de
situações didáticas metodologicamente preparadas para atingir um determinado
objetivo para o aprendizado, esse pesquisador percebeu o grande desafio que
constitui o trabalho de um professor determinado a ensinar verdadeiramente.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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BIANCHINI, B. L. ; SILVA, Maria Helena da. Análise do Primeiro Ciclo do PCN de
Matemática do Ensino Fundamental em relação a Números e Operações. In: IX
EBRAPEM, 2005, São Paulo. Anais do IX Encontro Brasileiro de Estudantes de PósGraduação em Educação Matemática. São Paulo : FE - USP, 2005.
BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares
Nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998.
_______. Ministério da Educação e do Desporto. Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais. SAEB 2005: novas perspectivas. Brasília, DF: INEP, 2005.
CRUZ, Eliana da Silva. A noção de variável em livros didáticos de ensino
fundamental: um estudo sob a ótica da organização praxeológica. São Paulo
(SP): PUC-SP, 2005. 46f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática).
Orientador: Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud.
FONSECA, Maria da Conceição Ferreira Reis; D'AMBROSIO, Ubiratan (Org.).
Letramento no Brasil: Habilidades matemáticas. Reflexões a partir do INAF 2002.
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GROENWALD, Claudia Oliveira et al. Teoria dos Números e suas aplicações no
processo de Ensino e Aprendizagem. Disponível em: < http://ccet.ucs.br/ eventos/
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LINS, Rômulo; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o
Século XXI. Campinas: Papyrus, 1997. (Coleção Perspectivas em Educação
Matemática).
KAMII, Constance. Desvendando a Aritmética: Implicações da Teoria de Piaget.
São Paulo. Papirus. 1995. p. 91-99.
Programa Internacional de Avaliação de Alunos: Pisa. Disponível em
<http://www.inep.gov.br/internacional/pisa/>. Acesso em: 27 maio 2007.
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estaitstica Geral e Aplicada. 3ª Edição. São Paulo:
Atlas, 2006. 421 p.
MIRANDA, Marilene Moussa. A experiência Norte-Americana de fusão da
Aritmética, Álgebra e Geometria e sua apropriação pela educação matemática
brasileira. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – PUC/SP. São Paulo.
2003. Disponível em: http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/. Acesso em: 14 nov. 2006.
PANTOJA, Lígia Françoise Lemos. Engenharia Didática: Articulando um
Referencial Metodológico para o Ensino de Matemática na EJA. (Programa de
Pós Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas). Universidade Federal do
Pará – UFPA. 2006.
ROSA, Jocélia et al. História da Matemática no Ensino da Matemática. Disponível
em: <http://educacaomatematica.vilabol.uol.com.br/histmat/texto1.htm>. Acesso em:
5 jun. 2007.
VIGOTSKI, Lev Semenovitch. Pensamento e Linguagem. São Paulo: Martins
Fontes. 2003. 194 p.
ZENERE, Liziane Cristine Sonda. Álgebra: Como encontrar o X da questão?..
(Especialização em Educação Matemática) – UNIVATES/Lajeado/RS. Rio Grande
do Sul. 2005. Disponível em: <http://ccet.ucs.br/eventos/outros/egem/relatos/re03>.
Acesso em 13 nov. 2007.
ANEXOS
A - SEQUÊNCIA DIDÁTICA APLICADA AO GRUPO EXPERIMENTAL
ATIVIDADE 1
A lógica do todo e das partes
Em um estacionamento, há motos e carros. Ambos são chamados veículos, certo?
Posso escrever V, para representar veículos; C, para carros; e M, para motos.
ESTACIONAMENTO
Ilustração 2: Carros e motos. Fonte: http://images.google.com.br.
O objetivo dessa atividade foi fazer o grupo entender a relação que existe entre o
todo e as partes de um determinado conjunto de objetos e também o de dá os
primeiros indícios do sentido de representação que as letras assumem. Para isso
apresentou-se para o grupo a seguinte representação dessa situação:
Ilustração 3: Diagrama todo partes.
A partir dessa representação criaram-se junto com os alunos as seguintes
afirmações:
se juntarmos as motos e os carros, temos os veículos. M+C=V
Se dos veículos tirarmos os carros, restam as motos. V-C=M
E se dos veículos subtrairmos as motos, sobram os carros. V-M=C
Essas três frases tornam-se parâmetros para o pensamento algébrico da criança.
Elas se referem a uma única situação e representam todas as relações possíveis
dentro dela.
Após terminar as explicações foi passado um exercício para os alunos para ver se
haviam assimilado as explicações. Tal exercício consistiu em criar afirmações como
as vistas anteriormente para a seguinte situação: no meu guarda-roupas tenho
bermudas, calças e camisetas.
ATIVIDADE 2
Representação por diagramas
O objetivo dessa atividade foi introduzir a representação simbólica de uma dada
situação, mostrando a eles novas formas de se resolver um problema.
A atividade caracterizou-se pela apresentação da seguinte situação:
1. Joãozinho tinha 5 bolas de gude, ganhou algumas e ficou com 15. Quantas
bolinhas ganhou?
2. Joãozinho tinha 15 bolinhas de gude, perdeu algumas e ficou com 5. Quantas
bolinhas perdeu?
Foi pedido aos alunos como primeira tarefa dessa atividade para que eles
analisassem os dois problemas e respondessem se eram de “mais” ou de “menos”,
ou seja, que identificassem se usariam adição ou subtração na resolução do
problema.
Após a tarefa apresentou-se para alunos os seguintes diagramas:
1.
2.
Dessa maneira, fica evidente que, nos dois casos, a resposta é 10 e a operação
necessária é a subtração 15-5.
Após as explicações e de responder as duvidas dos alunos foi apresentada a
segunda tarefa para essa atividade de representação por diagramas. Tal tarefa
consistiu na resolução de uma lista de problemas preparados sob a perspectiva do
campo aditivo, para fazer os alunos perceberem que diferentes situações podem ser
resolvidas pelo uso de uma mesma operação. A segunda tarefa então consistiu na
resolução da seguinte lista de problemas:
1. Marina tinha 20 figurinhas e ganhou 15 num jogo. Quantas figurinhas ela tem
agora?
2. Aline tinha algumas figurinhas. Ganhou algumas e focou com 45. quantas
figurinhas ela ganhou?
3. Pedro tinha 37 bolinhas, mas perdeu 12. quantas bolinhas ele tem agora?
4. Kairo tinha varias bolinhas, perdeu 8 e agora tem 51. Quantas bolinhas ele
tinha antes?
5. Numa classe, há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há ao todo?
6. Em uma classe de 47 alunos, 15 são meninos. Quantas são as meninas?
A terceira tarefa para essa atividade teve como principal objetivo o de introduzir o
conceito de incógnita sendo construído no interior de atividades envolvendo
operações do campo aditivo.
Para essa tarefa apresentou-se dois quadros, um com problemas de composição de
medidas com incógnita em uma das medidas e outro com problemas de comparação
e de combinação de medidas com incógnita na composição. São eles:
SESSÃO DE CINEMA
Completem a tabela com base na seguinte informação: no Cinema Central há 150 poltronas.
Quantas ficam ocupadas e quantas ficaram vazias na última sessão de cada dia da semana?
ULTIMA SESSÃO
Domingo
Segunda-feira
Terça-feira
Quarta-feira
Quinta-feira
Sexta-feira
Sábado
POLTRONAS OCUPADAS
95
37
POLTRONAS VAZIAS
104
131
83
29
8
QUEM VENCEU?
JOGADAS
EQUIPES
AZUL
1ª
2ª
3ª
4ª
11 100
9 700
4 200
3 100
VERMELHA
2 700
5 200
12 000
5 500
VERDE
20 000
11 300
9 000
2 700
AMARELA
2 100
6000
12 000
6 800
ROSA
3 200
17 000
3 000
2 000
Você é da equipe azul. Ela ganhou?
Qual é a diferença de pontos entre a equipe vencedora e a perdedora?
Quantos pontos deveria ter feito a equipe vermelha na ultima rodada ara atingir o vencedor?
ATIVIDADE 3
A balança de dois pratos
Para introduzir o conceito de equação para o grupo utilizou-se a metáfora da
balança de dois pratos. Apresentou-se aos alunos uma serie de desenhos de uma
balança de dois pratos, vários sacos de pesos desconhecidos marcados com a letra
X e pesos diversos, e problemas sobre o equilíbrio entre os pesos e os sacos na
balança. Mesmo sabendo que tal atividade possui limitações quanto à produção de
significados para as situações em que apare como resposta números negativos, ela
foi escolhida pelo fato de poder ser modelada com uma equação linear, uma vez que
seu equilíbrio corresponde a uma equação, ou seja, a uma igualdade no sentido de
uma equivalência que compara os conteúdos dos dois pratos.
Para explicação inicial apresentou ao grupo a seguinte situação:
Problema: Quanto deve pesar cada saco para que a balança permaneça em equilíbrio?
Explicou-se aos alunos que para que a balança permanecesse em equilíbrio a
somas dos sacos com os pesos de ambos os pratos deveriam ser iguais, sugerindo
em seguida que realizassem alguns testes atribuindo valores iguais aos sacos com
pesos desconhecidos e fazendo a comparação entre os resultados.
Após os alunos descobrirem o valor de “X” através dos testes, o professor então
modelou a situação para uma equação escrevendo e explicando a seguinte
igualdade:
“5 + X = 3 + X + X”
Seguindo a explicação, utilizou-se como procedimento para a resolução da equação
o principio aditivo, no sentido de isolar a incógnita em um dos lados da igualdade
efetuando operações em ambos os lados sempre com o cuidado de garantir o
equilíbrio da balança representada pela equação.
Por fim distribui-se ao grupo uma lista de outras 4 situações envolvendo a balança
de dois pratos.
Vamos descobrir qual o valor de cada saco para que a balança permaneça em
equilíbrio?
Nesse exercício permitiu-se que os alunos resolvessem os problemas testando
hipóteses para os valores das incógnitas para dá-lhes familiaridade com o
comportamento da balança e suas relações com a matemática.
Os alunos foram Incentivados a escreverem equações sobre o comportamento das
balanças, mesmo eles tendo encontrado os resultados pelo testes de hipóteses,
uma estratégia essencialmente aritmética.
Foram registrados todos os tipos de expressões produzidas, mesmos as erradas e
sem símbolos algébricos, e feita uma discussão sobre a validade delas em relação
ao núcleo das balanças para criar oportunidades de os alunos aprenderem a
construir argumentos matemáticos para problemas e situações engajando-os em
atividade algébrica.
ATIVIDADE 4
TANQUES
A finalidade dessa atividade foi de fazer os alunos criarem afirmações a cerca do
núcleo “tanques” produzindo significados aos objetos matemáticos criados para
justificar suas afirmações sobre a situação.
Feita então a leitura da situação apresentado o professor incentivou os alunos a
falarem sobre a situação. A primeira afirmação foi a de que no tanque da esquerda
havia menos água que no da direita, e então foi perguntado: “o que é que garante
que o que vocês sabem que podem dizer isso?” E surgiram as seguintes
justificações:
Aluno A: “dá pra ver no desenho dos baldes.”
Aluno B: “porque faltam mais baldes para encher o tanque da esquerda e eles são
iguais”.
Seguindo as discussões, o professor tratou das notações, introduzindo letras pra
designar o tanto de água em cada tanque. Os alunos usaram diversas letras para
representar o tanto de água de cada tanque. O professor usou “X” para o tanque da
esquerda, “Y” para o da direita e “b” para baldes. Não houve nesse momento
dificuldades de entendimento.
Introduzidas as notações, tratou-se de se criar outras afirmações sobre a situação
dos tanques de água, sempre com o cuidado de produzir significados através da
justificação pela lógica das operações. Algumas afirmações selecionadas com suas
justificações são:
“Se juntarmos 4 baldes a X, ficarão faltando 5 baldes do lado esquerdo, que é o
mesmo que falta do lado direito.”
“X + 4b = Y”
“Se retirarmos 4 baldes de Y, ficarão faltando 9 baldes do lado direito, que é o
mesmo que falta do lado esquerdo.”
“Y – 4b = X”
Essas afirmações visaram estabelecer que a diferença entre os dois tanques era de
4 baldes. Tal afirmação foi justificada através da seguinte operação: retire um balde
do tanque esquerdo e um do tanque direito. Quando o tanque esquerdo for
esgotado, sobrarão 4 baldes no tanque direito. Utilizou-se a seguinte equação para
ilustrar a operação:
“X + 9 = Y + 5”
Essa afirmação, produzida por alguns alunos, significa a situação em que os
tanques ficam com o mesmo nível de água. Logo retirando-se um balde de cada vez
em ambos os tanques, quando o 1º membro zerar o segundo ainda terá 4 baldes.
Como exercício envolvendo grandezas desconhecidas foi distribuída para os alunos
uma lista contendo duas tarefas. São elas:
1. Seja a seguinte situação-problema:
Um grupo de pedreiros de Águas Lindas é capaz de construir uma certa quantidade
de casas em um mês, enquanto outro grupo de pedreiros de Ceilândia constrói uma
outra quantidade de casas ao mesmo tempo. Vamos chamar de A esse tanto de
casas que o grupo de pedreiros de Águas Lindas constrói e vamos chamar de C o
tanto de casas construídas pelo grupo de pedreiros de Ceilândia. Nós sabemos que
A é maior do que B. O que poderíamos sugerir fazer para que número de casas
construídas pelo segundo grupo de pedreiros se tornasse igual ao número de casas
construídas pelo primeiro grupo?
2. Coloque o sinal que você acha certo:
V=L
a) V – X _____ L – Y
X>Y
b) V + Y _____L + X
c) V – L = ______
ATIVIDADE 5
Introdução ao Processo de generalização
A finalidade dessa atividade foi a de trabalhar com seqüências numéricas que
seguem um padrão simples de formação. O objetivo foi produzir junto com os alunos
a expressão algébrica para generalizar padrões aritméticos.
Apresentou-se a seguinte tabela:
Tabela 1
1
2
3
4
5
6
3
6
9
12
?
?
A primeira orientação foi para que eles observassem o comportamento de cada
coluna. Todos perceberam que a coluna da esquerda começava com 1 que a
seqüência era formada pela soma de uma unidade, e que a coluna da direita era de
3 em 3.
O professor então mostrou como as duas colunas se relacionavam e qual era a
operação empregada na formação da coluna da direita. Escreveu no quadro as
seguintes expressões: 3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9. Em seguida, percebendo que
todos já haviam entendido, introduziu-se as notações, estabelecendo que os
números da coluna da esquerda seriam representados pela letra “E” e os da direita
pela letra “D”. Com isso foi possível representar, de forma que todos entendessem,
que a expressão: 3 x E = D, relacionava os elementos da coluna direita sendo então
possível calcular os dois valores desconhecidos da tabela e qualquer outro que se
quisesse.
Como exercício para essa atividade foram propostas as seguintes tabelas:
Tabela 2
2
3
4
5
6
7
20
30
40
50
?
?
Tabela 3
3
4
5
6
7
8
5
6
7
8
?
?