FFCLRP-USP 1a¯ AULA INTEGRAL - CÁLCULO I- FIS-MED
Professor: Jair Silvério dos Santos
1. Função Primitiva e Integral Indefinida
Definição 0.1. Dada uma função f : [a, b] → R, se existir uma outra função derivável
F : [a, b] → R tal que F ′ (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b). Esta função F é denominada
Primitiva da função f .
Seja f : [a, b] → R dada por f (x) = cos x, podemos ver facilmente que F (x) = sen x é
tal que F ′ (x) = cos x = f (x). Portanto, pela definição 0.1 a função F (x) = sen x é uma
primitiva para f (x) = cos x. Também podemos ver que Fk (x) = sen x + k, onde k ∈ R
é uma constante, satisfaz F ′ (x) = cos x = f (x) qualquer que seja k ∈ R. Portanto,
segue da definição 0.1 que para cada número real k, a função Fk (x) = sen x + k é uma
primitiva para f (x) = cos x.
Vemos assim que se uma função qualquer f tiver uma primitiva, esta função terá, na
verdade, uma familia de primitivas. Vejamos como confirmar esta propriedade.
Teorema 0.1. Se F1 , F2 : [a, b] → R forem primitivas de uma mesma função f :
[a, b] → R, então a diferença é constante, isto é existe k ∈ R tal que F1 (x) − F2 (x) =
k = para todo x ∈ [a, b].
Note que se F1 (x) e F2 (x) são primitivas de f então
F1′ (x) = f (x) e F2′ (x) = f (x).
Defina φ : [a, b] → R dada por φ(x) = F1′ (x) − F2′ (x). Note φ é derivável e φ′ (x) =
F1′ (x) − F2′ (x) = 0 para todo x ∈ [a, b]. Pelo Teorema do Valor Médio, φ(x) − φ(a) =
(x − a)φ′ (ξ), onde ξ é um número real no intervalo (a, x). Como φ′ (ξ) = 0, teremos
φ(x) − φ(a) = 0 para todo x ∈ [a, b], o que nos diz que φ(x) = φ(a) ou seja F1 (x) −
F2 (x) = φ(a) = constante.
Definição 0.2. Dada uma função f : [a, b] → R, se F : [a, b] → R for uma primitiva
Primitiva da função f , então
Z
f (x)dx = F (x) + C,
C ∈ R.
F (x) + C é a integral indefinida de f (x).
Exemplo 0.1. Seja f, g : [a, b] → R dada por f (x) = x3 com g(x) = x4 .
Note que
Z
f (x)dx =
Z
1
x dx = x4 + C, C ∈ R, e
4
3
Z
g(x) dx =
Z
1
x4 dx = x5 + K, K ∈ R;
5
Teorema 0.2. Seja f : [a; b] → R dada por f (x) = xp . Então;
Z
1 p+1
x
+ k, k ∈ R.
a:
Se p 6= −1;
f (x) dx =
p+1
Z
Z
1
b : Se p = −1;
f (x) dx =
dx = ln |x| + k, k ∈ R.
x
3
Exemplo 0.2. Seja f (x) = x e g(x) = x . Calcule
−5
Z
f (x) dx e
Z
g(x) dx.
Resolução O Teorema 0.2 nos diz que
Z
Z
x3 dx =
x−5 dx =
1
1 3+1
x
+ k = x4 + k k ∈ R
3+1
4
1
1
x−5+1 + k = − x−4 + k k ∈ R.
−5 + 1
4
EXERCÍCIOS
1 Em cada caso abaixo, mostre que a função F (x) é primitiva para f (x).
(i) F (x) = ln |x| + 3 e f (x) = x−1 .
(ii) F (x) = tg x + 2 e f (x) = cos−2 (x).
1
(iii) F (x) = −cotg x + 2 e f (x) = sen −2 (x). (vi) F (x) = arc tg x e f (x) =
.
1 + x2
1
1 a + x
(v) f (x) = 2
e F (x) = ln + 4.
2
a −x
2a
a−x
2 Calcule as seguintes integrais
Z Z
Z √
√
4
4
2
3(x2 − x) x + 2 dx.
(a)
(x + 5x − 7)dx. (b)
3 x + 2 dx. (c)
x
x
Z
Z
Z
2
2
t
r
6r
√ dr.
(d)
(8t2 − + t)dt. (e)
dr. (f)
2
2
3−
2
(r + 5)
(r
2)2
Z √
Z
Z
2
√
6r
3
√ dr. (h)
3θ 2 − θ2 dθ. (i)
(3θ2 − 2) 2θ − θ3 dθ.
(g)
3−
3
(r
2)
Z
Z
Z
(j)
ex sen (ex )dx.
(j)
ex cos(ex )dx.
(k)
ex sec2 (ex − 7)dx.
Z
Z
Z
p
2
3
(m)
3x (x + 2) dx. (n)
cotg θ cossec θ dθ. (o)
esen x cos x dx.
Z
Z
Z
Z
1
x
tg x
2
(p)
(1 + e ) sec x dx. (q)
dx. (r)
dx. (s)
sen (2x − 6) dx
x+3
x2 + 3
√
2
Resp. a F (x) = 31 x3 + 25 x − 7x + k; k ∈ R. b F (x) = 2 x3 − 4x−1 + k; k ∈ R. e
3
F (r) = 2(r21+5) + k k ∈ R. h F (θ) = −(2 − θ2 ) 2 + k k ∈ R. j F (x) = − cos(ex ) + k;
2
3
k ∈ R. k F (x) = tg (ex − 7) + k; k ∈ R. m F (x) = 32 (x3 + 2) 2 + k, k ∈ R. m
F (θ) = −1
cotg 2 θ+k, k ∈ R. q F (x) = ln |x+3|+k k ∈ R. r F (x) = 21 ln(x2 +3)+k
2
k ∈ R.
BOA SORTE.