Tutoria de Geometria Analı́tica e Sistemas Lineares
1. (a) Escreva equações paramétricas para a reta r que passa pelo ponto P = (3, −1, 0)
paralela ao vetor V = (2, −2, 3).
Solução:
X = (x, y, z) ∈ r ⇐⇒ P~X = tV para algum t ∈ R ⇐⇒ X = P +tV para algum t ∈ R ⇐⇒
(x, y, z) = (3, −1, 0) + t(2, −2, 3) ⇐⇒ (x, y, z) = (3 + 2t, −1 − 2t, 3t) ⇐⇒

 x = 3 + 2t
y = −1 − 2t
r:
t∈R

z = 3t
(b) Encontre os pontos da reta r que distam
Solução:
√
70 do ponto Q = (6, −2, 3).
X = (x, y, z) ∈ r ⇐⇒ (x, y, z) = (3 + 2t, −1 − 2t, 3t) para algum t ∈ R
Logo:
d(X, Q) =
√
70 ⇐⇒ [6 − (3 + 2t)]2 + [−2 − (−1 − 2t)]2 + [3 − 3t]2 = 70 ⇐⇒
t2 − 2t − 3 = 0 ⇐⇒ t = −1 ou t = 3.
Portanto, os pontos são: X1 = (1, 1, −3) e X2 = (9, −7, 9).
2. (a) Escreva equações paramétricas para a reta r que passa pelo ponto P = (1, −2, −1)
e é perpendicular ao plano π1 : 2x + y − z = 1.
Solução: Um vetor normal ao plano é N = (2, 1, −1). Equações paramétricas da
reta r que passa pelo ponto P com vetor diretor N é:

 x = 1 + 2t
y = −2 + t
r:
t∈R

z = −1 − t
(b) Encontre uma equação geral do plano π que contém o ponto P = (2, −1, 3) e é
paralelo às retas r1 : (x, y, z) = (1+2t, −2+t, 3) e r2 : (x, y, z) = (−2+t, 4−t, 8−t),
t ∈ R.
Solução:
Dois vetores diretores às retas r1 e r2 são, respectivamente, V1 = (2, 1, 0) e V2 =
(1, −1, −1). Os vetores V1 e V2 são vetores paralelos ao plano π. Logo, um vetor
normal a π é:
~i
~k ~j
N = V1 × V2 = 2
1
0 = −~i + 2~j − 3~k ⇒ N = (−1, 2, −3)
1 −1 −1 Agora, equacionamos o plano π: um ponto X = (x, y, z) ∈ π se, e somente se:
P~X ⊥ N ⇐⇒ P~X · N = 0 ⇐⇒
(x − 2, y − (−1), z − 3) · (−1, 2, −3) = 0 ⇐⇒ −(x − 2) + 2(y + 1) − 3(z − 3) = 0
x − 2y + 3z = 13
3. (a) Escreva equações paramétricas para a reta r que passa pelos pontos A = (1, 2, 5) e
B = (0, 1, 0).
Solução:
~ = (0 − 1, 1 − 2, 0 − 5) = (−1, −1, −5). Portanto, são
Um vetor diretor de r é: AB
~
equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A com vetor diretor AB:

 x=1−t
y =2−t
r:
t∈R

z = 5 − 5t
(b) Determine P sobre a reta r tal que o comprimento do segmento P B seja o triplo
de P A.
Solução:
Temos que : P ∈ r ⇐⇒ P = (1 − t, 2 − t, 5 − 5t) para algum t ∈ R. Então:
p
P B = 3P A ⇐⇒
[0 − (1 − t)]2 + [1 − (2 − t)]2 + [0 − (5 − 5t)]2 =
p
3 [1 − (1 − t)]2 + [2 − (2 − t)]2 + [5 − (5 − 5t)]2 ⇐⇒
(1 − t)2 + (−1 + t)2 + (5 − 5t)2 = 9[t2 + t2 + (5t)2 ] ⇐⇒
1
1
ou t =
2
4
1
1
Portanto, os pontos são: P1 = (1 − (− 2 ), 2 − (− 2 ), 5 − 5(− 21 )) = ( 32 , 52 , 15
) e
2
1
1
1
3 7 15
P2 = (1 − 4 , 2 − 4 , 5 − 5 · 4 ) = ( 4 , 4 , 4 ).
8t2 + 2t − 1 = 0 ⇐⇒ t = −
(c) Determine uma equação geral do plano π que contém os pontos A, B acima e o
ponto C = (9, −1, 0).
Solução:
~ = (−1, −1, −5) e AC
~ = (8, −3, −5) são vetores diretores do plano
Os vetores AB
π. Um vetor normal a π é:
~i
~k ~j
~ × AC
~ = −1 −1 −5 = −10~i − 45~j + 11~k ⇒ N = (−10, −45, 11)
N = AB
8 −3 −5 Então, uma equação geral do plano π é: −10x − 45y + 11z = d. Agora:
B ∈ π ⇒ −10 · 0 − 45 · 1 + 11 · 0 = d ⇒ d = −45.
Portanto, a equação fica: π : −10x − 45y + 11z = −45
4. Considere os planos π1 e π2 de equações: π1 : x + 2y − z = 4 e π2 : 2x − 3y + z = 6.
(a) Encontre equações paramétricas para a reta r de interseção dos planos π1 e π2 .
Solução:
Dois vetores normais aos planos são, respectivamente: N1 = (1, 2, −1) e N2 =
(2, −3, 1). A direção comum a π1 e π2 é ortogonal a N1 e N2 . Logo, um vetor
diretor da reta r é:
~i
~k ~j
V = N1 × N2 = 1
2 −1 = −~i − 3~j − 7~k ⇒ N = (−1, −3, −7)
2 −3
1 Para encontrarmos um ponto da reta r, P ∈ π1 ∩ π2 , façamos:
2y − z = 4
x=0⇒
⇒ y = 10 ⇒ z = −24
−3y + z = 6
Logo, P = (0, −10, −24) ∈ r. Equações para a reta que passa por P com vetor
diretor V são:

 x = −t
y = −10 − 3t
r:
t∈R

z = −24 − 7t
(b) Determine equações paramétricas e a equação geral do plano π que passa pelo
ponto A = (3, −1, 4) e é perpendicular à reta r.
Solução:
Se π ⊥ r então N1 e N2 são vetores diretores de π. Equação vetorial do plano:
X = A + αN1 + βN2 ,
Equações paramétricas do plano:

 x = 3 + α + 2β
y = −1 + 2α − 3β
π:

z =4−α+β
α, β ∈ R
α, β ∈ R
O vetor diretor da reta r, V = (−1, −3, −7) é um vetor normal ao plano. Logo, a
equação geral de π é −x − 3y − 7z = d. Temos que:
A ∈ π ⇒ −3 − 3 · (−1) − 7 · 4 = d ⇒ d = −28.
Portanto, a equação fica: π : x + 3y + 7z = 28.
5. (a) Mostre que as retas r : (x, y, z) = (1 − t, 2, 3t) e s : (x, y, z) = (2t, 2, 1 − 6t), t ∈ R,
são paralelas.
Solução:
A reta r passa pelo ponto P = (1, 2, 0) com vetor diretor V = (−1, 0, 3) e a reta s
passa pelo ponto Q = (0, 2, 1) com vetor diretor W = (2, 0, −6). Como W = −2V
então W k V . Além disso, é fácil ver que P ∈
/ s. Logo r é paralela a s.
(b) Encontre uma equação geral do plano π que contém as retas r e s.
Solução:
Dois vetores paralelos ao plano π são V e P~Q = (−1, 0, 1). Logo, um vetor normal
a π é:
~i ~j ~k N = V × P~Q = −1 0 3 = −2~j ⇒ N = (0, −2, 0)
−1 0 1 Logo, a equação geral de π é −2y = d. Temos que:
P ∈ π ⇒ −2 · 2 = d ⇒ d = −4.
Portanto, a equação fica: π : y = 2.