O modelo harmônico de Drude-Lorentz
O modelo de Drude-Lorentz para a matéria é uma simplicação. Supomos um núcleo xo e um elétron preso
harmonicamente ao núcleo. O modelo de Drude trata de um gás de elétrons na banda de condução, enquanto
que o de Lorentz trata o caso de elétrons harmonicamente ligados aos seus respectivos átomos. Como a presente
formulação pode descrever ambos os casos, é chamada de modelo de Drude-Lorentz. Além disso, também
supomos que o elétron sofra uma força de fricção proporcional à sua velocidade. De acordo com a Segunda Lei
de Newton, na presença de um campo eletromagnético a derivada temporal do momentum linear do elétron
é igual à força de Lorentz, somada à força harmônica que prende o elétron ao núcleo e à força dissipativa
proporcional à velocidade do elétron. Assim, a equação de movimento do elétron, considerando um movimento
não relativístico, é dada por
m
d2 r
dt2
−eE −
=
e dr
dr
× B − mγ
− mω02 r,
c dt
dt
onde a carga eletrônica é dada por −e < 0, γ é uma constante positiva e ω0 é a frequência natural de oscilação
do elétron em torno do núcleo, de acordo com o presente modelo. Como essa equação de movimento é linear
em r, podemos considerar sua versão complexa, escrevendo
m
d2 R
dt2
= −eϵ − mγ
dR
− mω02 R,
dt
onde
r = Re (R)
e
E = Re (ϵ) .
Aqui, desprezamos a força magnética por considerarmos o valor absoluto da velocidade do elétron muito menor
do que o módulo da velocidade da luz. Em outras palavras, se compararmos as magnitudes das forças magnética
e elétrica, teremos
e dr
c dt × B
|eE|
∼
1 dr |B|
c dt |E|
e, como para uma onda plana, por exemplo,
ϵ
1
= − √ k̂ × β,
µε
segue que, no vácuo,
ϵ
= −k̂ × β,
pois
∇·β
e, portanto,
= ik · β
= 0
|ϵ| = k̂ × β = k̂ |β|
= |β| .
Com isso,
|B|
|E|
∼ 1
1
e concluímos que
e dr
c dt × B
|eE|
∼
1 dr ≪1
c dt para um elétron não relativístico.
Agora suponhamos que uma onda plana monocromática incida sobre o átomo. A onda pode ser representada
por seu campo elétrico complexo como
ϵ
= E0 exp (ik · r − iωt) .
Para frequências ópticas, da ordem de 1015 Hz, e para r ≈ 1Å,
kr
=
ω
1015
r ∼ 2π
× 10−10 ≪ 1.
c
3 × 108
Logo,
≈ E0 exp (−iωt)
ϵ
é uma boa aproximação para frequências ópticas. Com essa aproximação e ignorando qualquer efeito transiente,
um ansatz para a equação
m
d2 R
dt2
= −eϵ − mγ
dR
− mω02 R
dt
pode ser escrito como
R
= R0 exp (−iωt)
e, substituindo, dá
−mω 2 R0
= −eE0 + imγωR0 − mω02 R0 ,
ou seja,
R0
=
eE0
.
m (ω 2 − ω02 + iγω)
R
=
−eE0 exp (−iωt)
.
m (ω02 − ω 2 − iγω)
Com isso, a solução ca
O momento dipolar elétrico do elétron é dado por
p
= −er
= −eRe (R) .
Com a solução obtida acima, temos
(
p
−eE0 exp (−iωt)
= −eRe
m (ω02 − ω 2 − iγω)
)
( 2
e E0 exp (−iωt)
.
= Re
m (ω02 − ω 2 − iγω)
)
Se, ao invés de um átomo com um só elétron, o material for feito de moléculas com mais do que um elétron,
então, se houver nk elétrons do tipo k por molécula, o momento dipolar elétrico induzido na molécula cará
p
)
(
∑ nk e2 E0 exp (−iωt)
.
= Re
m (ωk2 − ω 2 − iγk ω)
k
2
Os elétrons, claramente, são todos iguais individualmente. Referimo-nos acima a elétrons do tipo k para indicar
que esses elétrons têm, na molécula, a mesma frequência ωk e o mesmo coeciente de dissipação γk . Supondo
que haja N moléculas por unidade de volume, a polarização do meio pode ser escrita como
P
= Re
(
)
∑ N nk e2 E0 exp (−iωt)
m (ωk2 − ω 2 − iγk ω)
k
.
Notemos que essa polarização não é proporcional ao campo elétrico, diferentemente do caso eletrostático. Há
uma defasagem na polarização com relação ao campo elétrico aplicado, implicando a existência de um atraso
para a indução de polarização no meio material. Podemos escrever
(
Re
exp (−iωt)
ωk2 − ω 2 − iγk ω
(
)}
[cos (ωt) − isen (ωt)] ωk2 − ω 2 + iγk ω
Re
(ωk2 − ω 2 − iγk ω) (ωk2 − ω 2 + iγk ω)
)
( 2
ωk − ω 2 cos (ωt) + γk ωsen (ωt)
{
)
=
=
=
2
2
(ωk2 − ω 2 ) + (γk ω)
cos φk cos (ωt) + senφk sen (ωt)
√
,
2
2
(ωk2 − ω 2 ) + (γk ω)
onde denimos
cos φk
=
ωk2 − ω 2
√
2
2
(ωk2 − ω 2 ) + (γk ω)
senφk
=
γk ω
√
.
2
2
(ωk2 − ω 2 ) + (γk ω)
e
Assim,
P =
∑ N nk e2 E0 cos (ωt − φk )
√
,
2 − ω 2 )2 + (γ ω)2
k m (ωk
k
supondo que E0 ∈ R3 .
3