Instituto de Física da UFBA
Departamento de Física do Estado Sólido
Disciplina: Física Geral e Experimental II (FIS 122)
Professor: Ossamu Nakamura
Oscilações Amortecidas
[
]
x(t ) = (a + i b)(cos ωt + i sen ωt) + (c + i d)(cos ωt − i sen ωt) e − αt
I. A equação de movimento
x(t ) = {[(a + c) cos ωt + (d − b) sen ωt ] + i[(b + d) cos ωt + (a − c) sen ωt ]}e − αt
Suponha que um oscilador harmônico, como o estudado
anteriormente, esteja submetido a uma força dissipativa proporcional
à velocidade. Esse tipo de força é comum em fluidos devido à
viscosidade do meio. Todos já experimentaram a sensação de que a
Como x(t) é real, devemos ter necessariamente Im[x(t)] = 0, o
que nos leva a:
(b + d) = 0 e (a – c) = 0
Assim A = B* e a solução será:
força do vento, quando estamos em um carro em movimento,
x( t) = [C1 cos ωo t + C 2 sen ωo t ] e − αt
aumenta na medida em que a velocidade cresce. Naturalmente esta
onde C1 e C2 são duas constantes a serem determinadas a partir das
força também depende da nossa “aerodinâmica” e pode aumentar ou
condições iniciais.
(4)
diminuir dependendo como nos posicionamos e da forma que
tomamos em relação ao vento. Uma maior área perpendicular à
a. Caso b = 0. MHS
Para este caso equação diferencial (1) fica
velocidade provoca uma maior resistência ao nosso movimento e
vice-versa. Podemos escrever esta força como Fres = −b v , onde
v=
dx
é a velocidade e b é aquela constante de proporcionalidade
dt
que depende da geometria do corpo. O sinal negativo é indicativo de
m
d2 x
+k x=0
dt 2
e a solução será:
x( t) = C1 cos ωo t + C 2 sen ωo t
oposição ao movimento, ou seja indica que o vetor força aponta
sempre na direção contrária ao vetor velocidade. A força total que
atua sobre o oscilador será portanto FT = F + Fres . Como a força
de restauração vale F = -k x
e, de acordo com a lei de Newton, a
força total é a massa vezes a aceleração , podemos escrever então a
equação:
m
d2 x
dt
+b
2
dx
+k x = 0
dt
(1)
a coeficientes constantes, cuja solução já estudamos e vale:
)
x( t) = A e iωt + B e iωt e − αt
(2)
k
b2
−
m 4m 2
e
k
e
m
α=0
Denominamos ωo como freqüência (angular) natural
do
sistema. A solução acima pode ser reescrita como:
x ( t ) = A cos( ωo t + ϕ)
(7)
(
x(t) = A cos ωo t cos ϕ − sen ωo t sen ϕ
α=
A cos ϕ =C1
)
(8)
b
2m
(3)
e A sen ϕ =C 2
o que nos conduz a:
A = C12 + C 22
onde A e B são constantes complexas e
ω=
ω = ωo =
(6)
comparando com (6), obtemos
Esta é uma equação diferencial de 2a ordem, linear, homogênea e
(
(5)
e
tan ϕ =
C2
C2
(9)
Assim tanto (6) quanto (7) representam a mesma solução para o
oscilador simples, onde as constantes C1, C2, A e ϕ estão
Observe que a solução para x(t) deve ser uma solução real e irá,
portanto, depender das relações que as constantes m, k e b terão entre
relacionadas por (9). Estas constantes devem ser encontradas a partir
das condições iniciais do problema.
si. Vamos assim estudar 3 casos.
b. Caso b ≠ 0. Amortecimento sub-crítico
2
1.
k
b
>
m 4m 2
A solução é dada por (4) ou, como vimos no parágrafo anterior,
podemos reescrevê-la como:
Neste caso ω é real ( α é sempre real). Para que x(t) seja real é
necessário que A e B sejam complexos, ou seja,
A=a+ib e
x(t) = A e − αt cos(ωt + ϕ)
Usando as definições (3) e (6), teremos
B = c + i d.
Lembrando que e ± iω = cos ωt ± i. sen ωt , a equação (2) fica:
t
(10)
ω = ωo2 − α 2
e α=
b
2m
(11)
1
Para determinarmos as constantes iniciais A e ϕ devemos
E=
determinar antes a velocidade. Assim,
[
]
v(t) = − A α cos(ωt + ϕ) + ω sen(ωt + ϕ) e − αt
(12)
Suponha que no instante inicial x(0) = xo e v(0) = vo. Usando
(10) e (12), teremos:




E=
m − 2 αt 2 2
k
e
A ω o sen 2 (ω o t + ϕ) + e − 2αt A 2 cos 2 (ω o t + ϕ)
2
2
2
1

E =  m ωo A2  e−2αt = Eo e−2αt
2


o que nos leva a:
2
Tomando as expressões (15) teremos:
Contudo, sabemos que k = m ωo2 , o que nos conduz a:
x o = A cos ϕ e v 0 = − A (α cos ϕ + ω sen ϕ) ,
α
 vo + α xo 
vo
 + x o2 e tgϕ = − +
A = 


ω


 ω ω xo
1
1
m v2 + k x2
2
2
(13)
Esta expressão nos mostra claramente que, para amortecimento
fraco, a energia do oscilador decai exponencialmente com o tempo.
Uma situação particular de interesse é quando temos um caso de
amortecimento fraco, ou seja, uma situação onde coeficiente da força
2. Caso
de amortecimento é muito pequeno (b<<1), o que nos leva a
Voltemos à expressão (3) da freqüência ω. Observe que ela pode
α
≈ 0 . Assim, de acordo com (13) devemos ter
ω
2
v 
A =  o  + x 2o e
 ω 
 v
tgϕ = − o
 ω xo

ser reescrita como:




Mais ainda: de (11) podemos aproximar
(14)
ω ≈ ωo ,
de forma
que as expressões (10) e (12) ficam:
v( t ) = − A ωo e
(15)
sen(ωo t + ϕ)
A figura abaixo mostra a evolução temporal da posição x(t).
Note que a função co-seno é modulada pela função exponencial, ou
seja pela função amortecimento. Para a construção desta figura,
usamos as expressões (10)
 b2
k
ω = ( −1)
−  = i
2
m
 4m
ω = i β onde
e (14) tomando
α
= 0.01 . Se
ω
usássemos a expressão (15), a figura seria praticamente a mesma.
α 2 − ω o2
β = α 2 − ωo2 ∈ R
A solução (2) ficará:
x( t ) = A e − αt cos(ωo t + ϕ)
− αt
k
b2
. Amortecimento supercrítico
<
m 4m 2
(
)
x(t) = A e βt + B e −βt e − αt
(
(16)
)
(
]
)
v(t) = − α A e βt + B e −βt e − αt + βA e βt − βB e −βt e − αt
[
βt
v(t) = A(β − α) e − B(β + α) e
− βt
(17)
Sejam as condições iniciais x(0) = xo e v(0) = vo. Assim,
de (16)
⇒ x(0) = x o = A + B
de (17) ⇒ v(0) = v o = A(β − α) − B(β + α)
Resolvendo este sistema, encontramos:
x(t)
-α t
A=
e
x o (β + α) v o
+
2β
2β
e
B=
x o (β − α) v o
−
2β
2β
Para o caso especial onde xo = xm e vo = 0, teremos:
A=
0
t
xm
(β + α) e
2β
3. Caso
A energia mecânica total do sistema não deve se conservar, uma
vez que há dissipação de energia, em forma de calor, devido à força
de atrito. A energia mecânica deve, naturalmente, diminuir com o
xm
(β − α) ,
2β
o que nos leva à solução:
x( t ) =
c. Considerações sobre a energia. Amortecimento fraco
B=
[
]
xm
(β + α) eβt + (β − α) e −βt e −αt
2β
(18)
k
b2
. Amortecimento crítico
=
m 4m 2
Neste caso, β = 0 , o que nos leva a um decaimento exponencial
−α
simples, x(t) = x m e
. Contudo, é interessante observar o que
t
tempo. Analisemos esta situação para o caso de amortecimento fraco
sucede quando temos um amortecimento super crítico ( β > 0 ), mas
apenas. A energia total será a soma das energias cinética e potencial,
tendendo para um amortecimento crítico (isto é, β << 1 ).
isto é:
Na expressão (16), tomamos o termo em primeira ordem em β
na exponencial, isto é, fazemos:
2
e ±βt ≈ 1 ± βt . Assim
x( t ) =
x(t) = [A(1 + βt) + B(1 − βt)].e − αt
x( t) = (C1 + C 2 t ).e − αt
(19)
xm
[β(1 + βt + 1 − βt ) + α(1 + βt − 1 + βt )] e −αt
2β
x( t) = x m (1 + αt ) e − αt
(20)
Na figura abaixo comparamos o comportamento temporal dos
onde C1 = A + B e C 2 = ( A − B).β são duas constantes a serem
amortecimentos crítico, sub crítico e supercrítico para a condição xo =
determinadas a partir das condições iniciais.
xm e vo = 0 . Note que o amortecimento crítico é o que mais
A figura abaixo mostra evolução temporal da posição do corpo na
rapidamente decai com o tempo, ou seja é o que mais rapidamente
chega ao equilíbrio.
condição de amortecimento crítico.
x(t)
x(t)
Super crítico
Sub crítico
Crítico
t
0
t
Para a condição xo = xm e vo = 0, podemos usar a equação (18) e
a aproximação da exponenical acima
3