Geometria Analítica Módulo 3 Vetores - Tratamento Algébrico: Vetores no espaço R². Vetor definido por 2 pontos. Expressão analítica no R². Módulo de vetor. Operações com vetores. 1. Vetores no R² Os eixos cartesianos em duas dimensões ( eixo x e eixo y) é também chamado de R². No R² uma vetor pode ser escrito em função de suas componentes em cada eixo. Para isto usamos os chamados vetores unitários (de módulo igual a 1) ou versores assim denominados i ou x : versor do eixo x | i | = 1 j ou y : versor do eixo y | j | = 1 Escrever um vetor em função de seus versores é que se chama de expressão analítica do vetor Todo vetor fica definido por dois pontos extremidade e origem. Um vetor PQ Q P possui origem em P e extremidade em Q. A subtração de Q – P deve ser feita observando a seqüência x e y Exemplo: Na figura temos os pontos P(3; 2) e Q(8; 9). O vetor PQ Q P = (8 – 3) i + (9 – 2) j logo A expressão analítica de PQ 5 i + 7 j Observe que o vetor OA também possui a mesma expressão analítica só que sua componentes coincidem com as componente do ponto A pois o vetor OA possui origem na origem dos eixos PQ 5 i + 7 j = (5; 7) OA 5 i + 7 j = (5; 7) logo PQ OA O ponto A é indicado A(5, 7) O cálculo do modulo do Vetor OA ou PQ é feita pelo teorema de Pitágoras | OA |² = 5² + 7² | OA | = 74 = 8,6 Do exemplo concluímos que é sempre possível ter um vetor equivalente com origem na própria origem do sistema de eixos e neste caso a extremidade deste vetor igual as componente do próprio vetor. Por exemplo v Xi Yj ( X ; Y ) como Origem (0 ;0) seu extremidade (X; Y) O modulo de um vetor v Xi Yj ( X ; Y ) é | v | ² X ² Y ² ou | v | X ² Y ² 2. Operações com vetores usando a expressão analítica As operações de soma vetorial e multiplicação por escalar são feitas componente a componente. Exercício Resolvido - 1 Solução: Um vetor é definido por v AB sendo A(1;3) e B(2;6). Determine a expressão analítica deste vetor. Solução: v AB B A (2 1)i (6 3) j 1i 3 j A expressão analítica é: v 1i 3 j ou v (1; 3) Exercício Resolvido – 2 Solução: Um vetor é definido por v AB sendo A(1;3) e B(2;6). Determine o módulo deste vetor Solução: Pela solução do exercício anterior a expressão analítica do vetor v 1i O módulo de um vetor v Xi Yj é | v | X ² Y ² | v | 1² 3² 10 3j Exercícios propostos 1. Um vetor é definido por v AB sendo A(1;4) e B(5;7). Determine a expressão analítica deste vetor e também o seu módulo. 2. Sendo conhecidos vetores no R² p 2i 4 j e q 6i 3 j . a) p + q b) 2 p + q c) p - q d) 3 p -2 q 3. Sendo conhecidos vetores no R² p = (6, -8) e q = (12, 5), determine: a) o modulo de cada vetor b) p + q c) o modulo do vetor v = p + q d) u = 3 p -2 q 4. Considere a figura A expressão analítica do vetor b da figura é: a) 6i + 4j b) - 6i + 4j c) 6i - 4j d) -6i - 4j e) 6i + 5j Obs: Pode-se dispensar a flechinha indicativa de vetor deste que seja indicado no texto que se trata de um vetor Referência bibliográfica: Bibliografia básica e complementar da disciplina