ESTUDO DA ELIPSE – COMPLEMENTO PARA AULA DE C.D.I. III
3.2 Estudo da Elipse
3.2.1 Definição
Consideremos no plano dois pontos F1 e F2, tais que d(F1, F2) = 2c. Seja a  , a > c.
Chama-se elipse ao conjunto de pontos P, do plano, tais que:
d(P,F1) + d(P,F2) = 2a
 P



F1
O
F2
3.2.2 Elementos da elipse
a
B1
b
A1
a
c
F1
A2
O
F2
B2
c

Centro da elipse: O

Focos da elipse: F1 e F2

Distância focal: F1F2 = 2c

Vértices da elipse: A1 e A2

Semi – eixo maior: OA1 = OA2 = a

Extremos da elipse: B1 e B2

Semi – eixo menor: OB1 = OB2 = b
b
c
1
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3.2.3 Observações
a) A medida do semi – eixo maior da elipse
Como A2 é um ponto da elipse temos: A2F1 + A2F2 = 2a  A2F2 + F1F2 + A2F2 = 2a 
2A2F2 + 2c = 2a  A2F2 = a – c  OA2 = OF2 + A2F2 = c + (a – c) = a  OA1 = OA2 = a.
b) A relação entre a, b e c.
Como B1 é um ponto da elipse temos: B1F1 + B1F2 = 2a, mas B1F1 = B1F2 (triângulos
congruentes), logo B1F1 = a. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
a2 = b2 + c2
c) Excentricidade da elipse
A excentricidade de uma elipse é um número que será denotado por “e” e que indica o
quanto a elipse é “achatada” nos extremos. Por definição temos:
e
c
, e como c < a segue que 0 < e < 1
a
Observe que se e = 0 teremos c = 0 e assim pela observação anterior segue a = b, ou
seja, temos uma circunferência. Quanto mais próximo de 1 for a excentricidade, mais achatada
será a elipse.
3.2.4 Aplicações e curiosidades
a) A órbita da Terra ao redor do Sol é uma elipse de excentricidade e = 0,017 e que possui o Sol
em um dos focos.
Terra
Sol
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b) Propriedade óptica da elipse
Todo raio de luz, laser ou som que é emitido de um focos, incide na elipse e é refletido na
direção do outro foco.



F1
F2
c) Uma aplicação da propriedade óptica da elipse é, em Medicina, no estilhaçamento de cálculos
renais (litrotripsia), tornando possível a eliminação desses estilhaços pelas vias urinárias. Uma
fonte emissora de ondas ultra – sonoras é colocada em um dos focos de uma superfície elíptica;
essa superfície é direcionada de modo que o cálculo renal seja posicionado no outro foco. A
energia dos raios refletidos martela o cálculo, até fragmentá-lo.
 cálculo renal
mesa giratória
colchão com água

Foco
d) O balcão oval (elíptico) da catedral de Saint – Paul, em Londres, é chamado galeria do
murmúrio. Em cada um deles, uma pessoa, situada num dos focos, pode cochichar alguma coisa
e uma outra pessoa, situada no outro foco, consegue ouvir nitidamente.
3
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e) A praça de São Pedro no Vaticano, em Roma, possui a forma de uma grande elipse e é
cercada por grandes colunas. Veja a foto abaixo:
f) Para traçarmos uma elipse, podemos utilizar o método do jardineiro:

Fixam –se dois pregos sobre uma prancheta plana, representado os focos F1 e F2.

Prendem-se, nos pontos F1 e F2, as extremidades de um fio, de comprimento 2a, maior
que a distância entre os focos.

Com o auxílio de um lápis, no ponto P, estende-se o fio e, mantendo – o estendido,
descreve – se a elipse por um movimento contínuo do ponto P. Em cada posição,
teremos: PF1 + PF2 = 2a.


4
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3.2.5 Equação da elipse com centro na origem
Vamos agora estabelecer uma equação que relaciona as coordenadas de um ponto
genérico da elipse com as coordenadas do seu centro e as medidas do eixo maior e do eixo
menor. Considere no plano Oxy uma elipse de centro (0,0), distância focal 2c, eixo menor
medindo 2b e eixo maior medindo 2a.
Teremos que considerar dois casos:
1° caso: O eixo maior está sobre o eixo x.
y
 P
O


F1
F2
x
Sendo P(x,y) um ponto genérico da elipse de focos F1(-c,0) e F2(c,0) temos PF1 + PF2 = 2a.
Assim:
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a 
( x  c ) 2  y 2  2a  ( x  c ) 2  y 2
( x  c ) 2  y 2  4a 2  4a ( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2
Elevando ao quadrado ambos os membros:
Desenvolvendo e simplificando segue que: a ( x  c ) 2  y 2  a 2  xc
Elevando ao quadrado ambos os membros: a2[(x – c)2 + y2] = a4 – 2a2xc + x2c2
Desenvolvendo: a2x2 – 2a2xc + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2xc + x2c2
Agrupando os termos semelhantes: (a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)
Lembrando que a2 = b2 + c2  a2 – c2 = b2 então substituindo na equação anterior temos:
b2x2 + a2y2 = a2b2
Finalmente, dividindo ambos os membros por a2b2, resulta:
x2
a2

y2
b2
1
equação reduzida da elipse
5
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2° caso: eixo maior está sobre o eixo y.
Nesse caso considerando P(x,y) como ponto genérico e os focos F1(0,c) e F2(0, -c), de
forma análoga ao caso anterior é possível mostrar que a equação reduzida da elipse com eixo
maior sobre o eixo y é dada por:
x2
b2

y2
a2
1
y
a
x
b
3.2.6 Exercícios
1. Para cada uma das elipses abaixo, pede-se:
a) a medida dos semi – eixos
b) o esboço do gráfico
c) as coordenadas dos focos
d) as coordenadas dos vértices e extremos
e) a excentricidade
i)
x2 y2

1
9
4
ii) 9x2 + 25y2 = 225
iii) 4x2 + y2 = 16
2. Escreva a equação da elipse de centro na origem, um foco F(3,0) e o eixo maior medindo 8.
3. Escreva a equação da elipse de centro na origem, excentricidade e = 0,5, eixo maior sobre o
eixo y e eixo menor medindo 6.
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3.2.7 Complemento: Equação da elipse com centro (xo, yo)
y’
P
y’
y
x’
yo
x’
xo
x
Fazendo uma translação dos eixos coordenados obtemos uma elipse de centro na origem
e portanto de equação
( x' ) 2
a2

( y' ) 2
b2
 1 . Agora, observando que x – xo = x’ e que y – yo = y’
teremos a equação reduzida da elipse de centro (xo, yo) e eixo maior paralelo ao eixo x.
(x  x o )2
a2

(y  y o )2
b2
1
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