Módulo 4
As leis de Kepler
e as
rotações
M.Antonieta T. Almeida
Marta F. Barroso
José A.M. Simões
vídeo - Barsa
Leis de Kepler
Johannes Kepler (1571-1630)
dados observacionais: Tycho Brahe (1546-1601)
1a lei - lei das órbitas
As órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são
elipses com o Sol em um dos focos
2a lei - lei das áreas
O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas
iguais em tempos iguais
3a lei - lei dos períodos
Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas
quaisquer estão entre si como os cubos de suas distâncias
médias ao Sol
Leis de Kepler
1a lei - lei das órbitas
órbitas planas
elipses (quase círculos)
2a lei - lei das áreas
S
 const
t
3a lei - lei2 dos períodos
T
 const
3
R
A segunda lei de Newton
 RES

F  ma
O que muda o estado de movimento de uma
partícula, em um referencial inercial?
O que descreve a inércia de uma partícula
à mudança de seu estado de movimento?
 RES

F  F
i
i
Segunda lei de Newton
 RES
F
momento linear

dp

dt


p  mv
grandeza cinemática na translação  momento linear
grandeza dinâmica na translação
 força
a segunda lei de Newton quando a massa não é
constante
 RES
F



dp dmv 
dv dm 


m

v
dt
dt
dt dt
a segunda lei de Newton
 RES

F  ma
grandeza cinemática na translação  momento linear
grandeza dinâmica na translação
 força
a segunda lei de Newton apropriada para o
estudo das rotações
qual é a grandeza cinemática na rotação?
qual é a grandeza dinâmica na rotação?
kit rotações
a segunda lei de Newton
 RES

F  ma
O que muda o estado de movimento de uma
partícula, em um referencial inercial?
O que descreve a inércia de uma partícula
à mudança de seu estado de movimento?
a segunda lei de Newton apropriada para o
estudo das rotações
O que muda o estado de rotação de uma
partícula, em um referencial inercial?
O que descreve a inércia da rotação de
uma partícula (em torno de um eixo fixo)?
Do que depende essa inércia?
PRODUTO VETORIAL

c

b

  
c  ab
c  a b sen

b

a


d
  
d  ba
d  a b sen

a
PRODUTO VETORIAL

c

b

  
c  ab
c  a b sen

b

a

h

a
S é a área do paralelogramo
cujos lados são definidos
pelos dois vetores
S  a b sen  a h
O produto vetorial de dois vetores é um vetor
• de módulo igual à área do paralelogramo definido pelos
dois vetores,
• de direção perpendicular ao plano do paralelogramo, e
• de sentido é dado pela “regra da mão direita”
PRODUTO VETORIAL

c
  
c  ab

b

h

a
c  a b sen
O produto vetorial de dois vetores é um vetor
• de módulo igual à área do paralelogramo definido pelos
dois vetores,
• de direção perpendicular ao plano do paralelogramo, e
• de sentido dado pela “regra da mão direita”
PRODUTO VETORIAL

c
  
c  ab

b
 h
vetores paralelos
vetores antiparalelos
PROPRIEDADES:

a
c  a b sen

b

a

b

a
 
a // b

 
 
ab   b a

  
 
a  b  a  b   a  b
      
a b  c  ab  ac
      
a b c  ac bc




  

 
ab  0
torque de uma força
(em relação a um ponto)

F

r
O

F

F



 

  r  F

F



r

r
  r F sen  r F


equação da “dinâmica da rotação de uma partícula” a “lei de Newton para a rotação”

F

 RES dp


 dp
RES
F 
 r F  r 
dt
dt
N 
N
 RES
  RES  N 
 
F   Fi  r  F  r   Fi   r  Fi

r
i
O
i
i
N
  RES  TOTAL

r F  
  i
i


  dp
    RES
d  
dr
 r  p    mv  r   m v  v   r  F
dt
dt
dt

 dp d  
 r  p
r

dt dt
torque
 

  r  F
momento angular

 
L  r  p
equação da “dinâmica da rotação de uma partícula” a “lei de Newton para a rotação”

F

r
O

 RES dp


 dp
RES
F 
 r F  r 
dt
dt
N
  RES  TOTAL

r F  
 

 dp d  
 r  p
r

dt dt
torque
 

  r  F
 TOTAL

i
i



 dp d  
RES
r  p 
 r F  r 

dt dt
momento angular

 
L  r  p
 TOTAL


O

dL O
dt
equação da “dinâmica da rotação de uma partícula” a “lei de Newton para a rotação”

F

r
O
torque
 RES dp
F 
dt
 

  r  F
 TOTAL



dL O
O
dt
GRANDEZA DINÂMICA

 
 
L  r  p  m r  v
momento angular
GRANDEZA CINEMÁTICA
a segunda lei de Newton
 RES
F

 dp
 ma 
dt
grandeza cinemática na translação  momento linear
grandeza dinâmica na translação
 força
a segunda lei de Newton apropriada para o 
RES
estudo das rotações


dL

dt
grandeza cinemática na rotação  momento angular
grandeza dinâmica na rotação  torque
inércia rotacional: ?
EXEMPLO


T
O
T  m a c  m 2 R
 

O  r  T  0


p  mv
v  R
não é constante
  
 
L  r  p  mr  v  mRRkˆ

v
kˆ 

r
O

L  m R 2  kˆ

L  I  kˆ
é constante
I  md
2
a segunda lei de Newton
 RES

F  ma
O que muda o estado de movimento de uma
partícula, em um referencial inercial?
O que descreve a inércia de uma partícula
à mudança de seu estado de movimento?
a segunda lei de Newton apropriada para o
estudo das rotações
O que muda o estado de rotação de uma
partícula, em um referencial inercial?
 TOTAL

O que descreve a inércia da rotação de
uma partícula (em torno de um eixo fixo)?
Do que depende essa inércia?
I  md
2
as leis de Kepler

r

F
G
O

dL  
 r  FG  0
dt


dL
 0  L  CONST .
dt

L

v

r
O

v

r
O

F
G
lei das áreas
 
r v
 área

F
G