106-Mecânica
Aplicada
curso de Pilotagem ENIDH
Elementos de Estática
Texto de apoio
ou seja “momento = força  braço” e tratar o momento
como uma grandeza escalar.
6 Momento de uma força
Em Estática consideram-se forças e momentos. No que
se segue define-se momento de uma força em relação a
um ponto, momento de uma força em relação a um eixo
e momento de um binário.
A fórmula (6.3) também define a equação dimensional de
um momento
a) Momento em relação a um ponto
É habitual definir os sentidos da rotação dos momentos
com a seguinte convenção  figura 6.2
O momento de uma força em relação a um ponto é uma
grandeza vectorial que "mede" o efeito giratório da força
em torno do ponto.
A figura 6.1 mostra um plano  no qual existem uma

força F , a sua linha de acção e um ponto P. Ao vector

OP chama-se vector ligação.
sentido positivo  sentido dos ponteiros do relógio
sentido negativo  sentido contrário
+
-
rotação
positiva
rotação
negativa
Figura 6.2
j
j
[M] = [F][L] = [FL] .
mP(F)
Demonstra-se que (teorema de Varignon) que o
momento da resultante de um sistema de forças complanares, em relação a um ponto, é igual à soma dos
momentos das forças componentes em relação a esse
ponto.
j
P
b 90º
F

O

Figura 6.1

O momento da força F em relação ao ponto P define-se


com o produto externo de F pelo vector de ligação OP .

m
P
  
( F )  F  OP
(6.1)
O vector momento está representado na figura 6.1 com
duas sectas. Sendo um produto externo apresenta as
seguintes características:
direcção:
sentido:
perpendicular ao plano 
definido com a regra do saca-rolhas
intensidade:
|| m ||  || F ||  || OP ||  sen(  )



(6.2)

Na fórmula (6.2) o produto
|| OP ||  sen(  ) representa

a distância do ponto P à linha de acção da força F e
está representado na figura pelo comprimento b. O
segmento de comprimento b chama-se braço da força
relativamente ao ponto O.
A expressão (6.2) é usual escrever-se
M = Fb
Estatica-Texto-06-07.doc
(6.3)
PAG. 12
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Texto de apoio
Exemplo 6.1
Exemplo 6.3
A sequência mostrada na figura E-6.1 mostra como
calcular o momento da força 12 N relativamente ao ponto
P (alínea a)).
A sequência mostrada na figura E-6.3 mostra como
calcular o momento da força 160 N relativamente ao
ponto P (alínea a)).
Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o
braço na perpendicular de P para a linha de acção da
força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por
exemplo, 0,8 m o momento calculado com (6.3) vale
Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o
braço na perpendicular de P para a linha de acção da
força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por
exemplo, 30 cm o momento calculado com (6.3) vale
M = 12 N  0,8 m = 9,6 N.m .
M = 160 N  30 cm = 4800 N.cm .
Para determinar o sentido da rotação (alínea d)),
desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para
a extremidade do braço e define-se a rotação do par
força-braço. Neste exemplo o sentido da rotação do
momento é o sentido da rotação dos ponteiros do
relógio.
12
º b=
90
P
N
P
12
a)
8
0,
P
N
Para determinar o sentido da rotação (alínea d)),
desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para
a extremidade do braço e define-se a rotação do par
força-braço. Neste exemplo o sentido é o sentido da
rotação dos ponteiros do relógio.
m
16
P
P
P
P
a)
c)
b)
90
0N
16
º
0N
b=
30
cm
b)
c)
P
d)
d)
Figura E-6.3
Figura E-6.1
Exemplo 6.4
Exemplo 6.2
A sequência mostrada na figura E-6.2 mostra como
calcular o momento da força 15 N relativamente ao ponto
P (alínea a)).
Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o
braço na perpendicular de P para a linha de acção da
força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por
exemplo, 1,25 m o momento calculado com (6.3) vale
M = 15 N  1,25 m = 18,75 N.m .
Para determinar o sentido da rotação (alínea d)),
desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para
a extremidade do braço e define-se a rotação do par
força-braço. Neste exemplo o sentido é contrário ao
sentido da rotação dos ponteiros do relógio.
A sequência mostrada na figura E-6.4 mostra como
calcular o momento da força 0,18 kN relativamente ao
ponto P (alínea a)).
Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o
braço na perpendicular de P para a linha de acção da
força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por
exemplo, 5 m o momento calculado com (6.3) vale
M = 0,18 kN  5 m = 9 kN.m .
Para determinar o sentido da rotação (alínea d)),
desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para
a extremidade do braço e define-se a rotação do par
força-braço. Neste exemplo o sentido é contrário ao
sentido da rotação dos ponteiros do relógio.
P
P
P
P
b=5m
90º
0,18 kN
0,18 kN
15
P
a)
90
N
P
P
º
b=
b)
15
1,2
c)
N
P
5m
d)
a)
b)
c)
d)
Figura E-6.4
Figura E-6.2
Estatica-Texto-06-07.doc
PAG. 13
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Exemplo 6.5
b) Momento em relação a um eixo
A sequência mostrada na figura E-6.5 mostra como
calcular o momento da força 160 N relativamente ao
ponto P (alínea a)).
A figura 6.3 mostra uma força F e um eixo z.

j
Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o
braço na perpendicular de P para a linha de acção da
força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por
exemplo, 10 mm o momento calculado com (6.3) vale
F
z
j
j
j
F
j
Fz
mz(F)
M = 4 N  10 mm = 40 N.mm .
Para determinar o sentido da rotação (alínea d)),
desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para
a extremidade do braço e define-se a rotação do par
força-braço. Neste exemplo o sentido é contrário ao
sentido da rotação dos ponteiros do relógio.

b 90º
P
j
F
Figura 6.3
b = 10 mm

4N
P
P
a)
P
b)
Para definir o momento da força F em relação ao eixo z
considera-se um plano  qualquer, perpendicular ao eixo
4N

P
90º
c)
d)
e com intersecção no ponto P. A força F decompõe-se

na componente F paralela ao eixo
z

Figura E-6.5
z e na componente

F paralela ao plano . A componente F não "roda" em
z

torno do eixo pelo que não produz momento. A compo-
Exemplo 6.6

Pretende-se calcular o momento da força 12 N relativamente ao ponto P (alínea a)).
Considerar a linha de acção da força. Neste caso o braço
tem comprimento zero porque o ponto P pertence à linha
de acção da força. O momento vale zero.
P
P
12
N
a)
b)
nente F produz momento com braço b.

Assim, calcular o momento em relação a um eixo equivale ao cálculo em relação a um ponto com intensidade



|| m z ( F ) ||  || F ||  b

(6.4)
O momento de uma força em relação a um eixo é zero
se a força for paralela ao eixo ou se a sua linha de acção
for concorrente com o eixo.
Figura E-6.6
Estatica-Texto-06-07.doc
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c) Momento de um binário
Exemplo 6.7
Um binário é um sistema de duas forças estritamente
paralelas com igual intensidade e sentidos contrários.
A
1m
4m

As duas forças F na figura 6.4, com distância d entre
elas, constituem um binário.
100 N
1m
30º
j
F
Figura E-6.7.a
Calcular o momento da força 100 N relativamente ao
ponto A (figura E-6.7.a). A figura geométrica é um
rectângulo.
d
90º
j
F
d
1
Resolução
P
Figura 6.4
Para determinar o momento M produzido por um binário
considere-se um ponto qualquer P nas condições da
figura e calcule-se os momentos produzidos pelas duas
forças relativamenta a P ou seja
M = F(d + d1)  Fd1 = Fd .
O momento produzido por um binário é independente do
ponto P e é dado pelo produto de uma das forças pela
distância entre elas, ou seja
As distâncias conhecidas referem-se a segmentos que
podem ser considerados horizontais e verticais sendo a
direcção da força inclinada. Nestas condições pode ser
vantajoso decompor a força numa componente horizontal, 100cos(30º) = 87 N e numa componente vertical
100sen(30º) = 50 N, como é mostrado na figura E-6.7.b.
Também estão representados os braços relativamente
ao ponto A.
4m
A
braço para 50 N
1m
90º
50 N
87 N
Mbinário = Fd
braço para 87 N
(6.5)
Figura E-6.7.b
O momento calcula-se com
M = + 50 N  4 m  87 N  1 m = + 113 N.m
respeitando os sinais convencionados.
Resposta: A força de 100 N produz um momento, em
relação ao ponto A, de 113 N.m no sentido dos ponteiros
do relógio.
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PAG. 15
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Resposta à alínea a) O momento resultante, em relação ao ponto A, tem intensidade 158 N.m e roda no
sentido dos ponteiros do relógio.
1m
30º
2,2 m
A
300 N.m
1,5 m
1,8 m
100 N
200 N
1m
Exemplo 6.8
Resolução da alínea b)
Representando a intensidade da resultante por R, as
componentes em x e y são
150 N
160 N
Figura E-6.8.a
A placa rectângular da figura E-6.8.a é suposta homogénea e pesa 20 N por cada metro quadrado. Tem
aplicadas as forças 100 N, 150 N e 200 N e o momento
300 N.m .
a) Calcular o momento resultante, em relação ao ponto
A.
b) Calcular a força resultante e situá-la relativamente ao
ponto A.
Rx = + 87 N  150 N =  63 N
Ry = + 50 N + 200 N  160 = + 90 N
R  ( 63 N) 2  ( 90 N) 2  110 N
cos( ) 
63 N
110 N
cos( ) 
90 N
110 N


  125º
  35º
A resultante está representada na figura E-6.8.c .
O peso total da placa obtém-se multiplicando a área por
2
2
20 N/m , ou seja, 2 m  4 m  20 N/m = 160 N. Esta
força aplica-se no centro de gravidade do rectângulo e
tem um braço de 2 m em relação ao ponto A. Produz um
momento negativo 160 N  2 m  figura E6.8.b.
Para situar R, relativamente ao ponto A, calcula-se o
braço necessário para que a resultante 110 N produza o
momento 158 N.m ou seja
110 N  b = 158 N.m

158 N.m
160 N
2,2 m
A
300 N.m
1,5 m
1m
1m
50 N
87 N
200 N
110 N
1,8 m
b = 1,44 m
35º
Resolução da alínea a)
A
125º 90º
y
x
b = 1,44 m
150 N
Figura E-6.8.c
Figura E-6.8.b
A força de 100 N já foi decomposta no exemplo 6.7.
Resposta à alínea b) A força resultante tem intensidade
110 N. A linha da acção faz com os eixos x e y ângulos
de 125º e 35º respectivamente. Dista 1,44 m do ponto A .
A força 200 N tem um braço de 2,2 m relativamente ao
ponto A e produz um momento 200 N  2,2 m rodando
no sentido positivo.
A força 150 N tem um braço de 1,5 m resultando o
momento 150 N  1,5 m no sentido positivo.
O momento 300 N.m tem rotação negativa.
Representando por MA o momento total em relação ao
ponto A, calcula-se
MA =  871 + 504 + 2002,2  1602 + 1501,5 
 300 = + 158 N.m
mostrando-se uma representação na figura E-6.8.c .
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7 Condições de equilíbrio
Forças não complanares e linhas de acção concorrentes num mesmo ponto
7.4
z
Um corpo sólido está em equilíbrio, se o conjunto de
forças e de momentos aplicados tiverem resultante nula,

 F  0
 x
 Fy  0
y  F  0
 z

ou seja, representando por R e M as respectivas resultantes


corpo sólido em equílibrio  R  0



M 0.
x
Figura 7.4
Estas duas equações vectoriais desdobram-se, no caso
geral, em seis equações escalares. A soma das forças
em x, em y e em z deverá ser nula. O mesmo para os
momentos em torno de x, de y e de z.
Forças complanares e linhas de acção não concorrentes
7.5
y
7.1 Caso geral
z
 F  0
 x
 Fy  0
 M  0

 Fx  0
 Fy  0

 Fz  0
 M  0
x
y 
M

 y 0
 M z  0
x
Figura 7.1
x
Figura 7.5
7.6 Forças complanares e estritamente paralelas
As seis equações de equilíbrio gerais reduzem-se de
acordo com cada caso particular.
x
7.2 Forças com a mesma linha de acção
x
 Fx  0
Figura 7.2
 Fx  0

 M  0
Figura 7.6
7.7 Forças não complanares e paralelas
z
 Fy  0

 M x  0
y 
 M z  0
Forças complanares e concorrentes num mesmo ponto
7.3
y
x
Figura 7.7
 Fx  0
 F  0
 y
x
Figura 7.3
Estatica-Texto-06-07.doc
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Texto de apoio
Exemplo 7.1
A placa rectângular homogénea, representada na figura
E-7.1.a, tem dimensões 80 cm 10 cm, pesa 30,0 N e
tem aplicadas as forças 20,0 N, F1, F2 e F3 e o momento
60,0 N.cm. Calcular as forças F1, F2 e F3 para que a
placa esteja em equilíbrio.
Resposta:
A placa está em equilíbrio se F 1 = 4,8 N,
F2 = 15,3 N e F3 = 12,3 N . A figura E-7.1.c mostra a
placa em equilíbrio e a força F2 com sentido correcto.
20,0 N
60,0 N.cm 40º
10 cm
5 cm
20sen(40º)
30 N
60 N.cm
80 cm
F3
F1
15,3 N
5 cm
F2
Resolvendo o sistema obtém-se F1 = 4,8 N, F2 = 15,3
N e F3 = 12,3 N. O sinal negativo de F2 significa que o
seu sentido tem que ser contrário ao mostrado na figura
E-7.1.b .
Figura E-7.1.a
12,3 N
Resolução
20cos(40º)
30 N
4,8 N
Figura E-7.1.c
A força 20,0 N é decomposta nas direcções x, 20cos(40º)
e y 20sen(40º)  figura E-7.1.b . O peso 30,0 N é aplicado no centro da placa.
5 cm
20sen(40º)
F2
F3
y
60 N.cm A
20cos(40º)
30 N
+
x
F1
Figura E-7.1.b
Trata-se de forças complanares e linhas de acção não
concorrentes  condição de equilíbrio 7.5. É necessário
escrever três equações de equilíbrio
 Fx  0,  Fy  0 e  M  0 .
Para escrever a equação de momentos da maneira mais
simples possível, há que escolher convenientemente
qual o ponto em relação ao qual são calculados. Convém
ser um ponto no qual passem o maior número possível
de linhas de acção pois as respectivas forças produzem
momentos nulos. Pode ser escolhido o ponto A.
Relativamente a este ponto as forças F1, 20,0cos(40º) e
20,0sen(40º) têm momento nulo. A força F2 tem braço 10
cm e rotação negativa, a força F3 tem braço 80 cm e
rotação positiva e o peso 30,0 N tem braço 40 cm e rotação negativa. Da escrita das três equações resulta
 F  F  20,0 cos( 40º )  0
2
 x
F

F
 30  F  20,0sen ( 40º )  0
.

 y
3
1
 M  F  80  30,0  40  F  10  60,0  0
3
2
 A
Estatica-Texto-06-07.doc
PAG. 18
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Texto de apoio
Diagramas de corpo livre e ligações ao
exterior
Caso 8.2
Acção de um cabo ideal sobre um corpo
B
Relativamente a um dado corpo, chama-se diagrama de
corpo livre (d.c.l.) a um esquema que represente todas
as forças e momentos que actuam nesse corpo.
A figura E-7.1.b representa um diagrama de corpo livre
referente à placa rectângular do exemplo 7.1.
cabo
ideal
2
1
A
A
Figura 8.2.b
Figura 8.2.a
Um diagrama de corpo livre inclui as forças e momentos
que actuam directamente no corpo (peso incluído) e as
forças e momentos que resultam do rompimento das
ligações do corpo ao exterior.
Seguem-se alguns exemplos de ligações de um corpo ao
exterior, com a indicação das forças que surgem se
essas ligações são rompidas.
Caso 8.1
Acção da Terra sobre um corpo  peso
A força 1 representa a acção que o cabo exerce sobre o corpo A. A força 2 representa a acção que o
corpo A exerce sobre o cabo. A força 4 representa a
acção que o cabo exerce sobre o corpo B. A força 3
representa a acção que o corpo B exerce sobre o
cabo.
Num d.c.l. referente ao corpo A entra a força 1. Num
d.c.l. referente ao corpo B entra a força 4. Num d.c.l.
referente ao cabo entram as forças 2 e 3.
O par de forças 1 e 2 satisfaz o princípio da acção
reacção. O par 3 e 4 também. O par 2 e 3 não.
corpo
corpo
Caso 8.3
terra
terra
Figura 8.1.a
1
2
Figura 8.1.b
Contacto entre superfícies lisas (sem
atrito)
1
p1
90º
p1
p1
2
3
A
As forças verticais 1 e 2 apenas diferem no sentido.
A força 1, o peso do corpo, representa a acção da
terra sobre o corpo. A força 2 representa a acção do
corpo sobre a terra.
Num d.c.l. referente ao corpo entra a força 1.
O par de forças 1 e 2 satisfaz o princípio da acção
reacção.
Estatica-Texto-06-07.doc
3
B
4
B
p2 90º
Figura 8.3.a
B
p2
A
p2
4
Figura 8.3.b
A força 1 representa a acção do corpo A sobre o
corpo B no ponto de contacto p1.
A força 2 representa a acção do corpo B sobre o
corpo A no ponto de contacto p1.
A força 3 representa a acção do corpo A sobre o
corpo B no ponto de contacto p2.
A força 4 representa a acção do corpo B sobre o
corpo A no ponto de contacto p2.
Num d.c.l. referente ao corpo A entram as forças 2 e
4. Num referente ao corpo B entram as forças 1 e 3.
O par de forças 1 e 2 satisfaz o princípio da acção
reacção. O par 3 e 4 também.
PAG. 19
106-Mecânica
Caso 8.4
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Texto de apoio
Acção de um rolete (sem atrito)
A
A
rolete
Caso 8.7
2
1
90º
2
º
90
1
Figura 8.7.a
Figura 8.7.b
3
B
4
Figura 8.4.a
A acção de um apoio fixo sobre uma barra traduz-se
em duas forças 1 e 2, perpendiculares entre si e
independentes.
Figura 8.4.b
B
A força 1 representa a acção do rolete em A.
A força 2 representa a acção de A sobre o rolete.
A força 3 representa a acção de B sobre o rolete.
A força 4 representa a acção do rolete em B.
Num d.c.l. referente ao corpo A entra a força 1.
Num d.c.l. referente ao corpo B entra a força 4.
Num d.c.l. para o rolete entram as forças 2 e 3.
Os pares de forças 1, 2 e 3, 4 satisfazem o princípio
da acção reacção. O par 2, 3 não.
Caso 8.5
Barra  apoio fixo
1
1
90º
Figura 8.8.a
Figura 8.8.b
Caso 8.9
90º
Barra  apoio móvel
A acção de um apoio móvel sobre uma barra traduzse numa força 1, perpendicular à barra.
Acção de um pino  articulação
pino
Caso 8.8
Barra  encastramento bidimensional
2
A
2
A
Figura 8.5.a
Figura 8.5.b
A acção do pino sobre o corpo A traduz-se em duas
forças 1 e 2, perpendiculares entre si e independentes.
1
Figura 8.9.b
Figura 8.9.a
Caso 8.6
M
90º
A acção de um encastramento bidimensional sobre
uma barra traduz-se em duas forças 1 e 2,
perpendiculares entre si e independentes e num
momento de encastramento M.
Articulação esférica (rótula)
Caso 8.10 Barra  encastramento tridimensional
3
90º 90º
90º
A
1
2
z
A
y
Figura 8.6.a
Figura 8.6.b
Figura 8.10.a
x
Figura 8.10.b
A acção da parede sobre a articulação esférica,
ligada ao corpo A traduz-se em três forças 1, 2 e 3,
perpendiculares entre si e independentes.
Estatica-Texto-06-07.doc
A acção de um encastramento tridimensional sobre
uma barra traduz-se, no caso geral, em três forças
(em x, em y e em z) e em três momentos (em torno
de x, de y e de z).
PAG. 20
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Texto de apoio
Exemplo 8.1
Resolução
A barra A, de peso P, encosta sem atrito nos pontos 1, 2
e 3  figura E-8.1.a. Desenhar o diagrama de corpo livre
para a barra A.
A figura E-8.2.b mostra os diagramas de corpo livre
pedidos.
A
F3
3
P
F1
1
Figura E-8.1.a
Resolução
A figura E-8.1.b mostra o diagrama de corpo livre pedido.
No centro de gravidade da barra aplica-se o peso representado pela força P.
A barra contacta com o exterior nos pontos 1,2 e 3. Nos
pontos 1 e 2, a acção das superfícies de encosto sobre a
barra traduz-se nas forças F1 e F2, respectivamente. São
forças com linhas de acção perpendiculares às
superfícies (caso 8.3). No ponto 3 a acção do encosto na
barra tem também a direcção perpendicular, neste caso
à barra.
F4
F5
F6
90º
F2
2
F4
F3
F5
Figura E-8.2.b
No centro de gravidade da placa aplica-se o peso representado pela força P.
A placa liga-se ao exterior pelos pinos 1 e 2 e pelo cabo.
Estas ligações são rompidas e substituídas por forças.
As ligações por pinos são substituídas por duas forças
perpendiculares (caso 8.5). No pino 1 as forças F 1 e F2 e
no pino 2 as forças F3 e F4. A força F5 representa a
acção do cabo sobre a placa (caso 8.2).
A barra tem contactos com o exterior no pino 2, no cabo
e na superfície inclinada. No pino 2 o par F3 e F4 constitui
a reacção ao par aplicado na placa. O mesmo para F 5. A
força F6 representa a acção da superfície sobre a barra
(caso 8.3). Não foi considerado o peso da barra.
P
90º
F3
90º
F1
F2
90º
Figura E-8.1.b
Exemplo 8.2
A figura E-8.2.a mostra uma placa suportada por um pino
1 e ligada a uma barra por um pino 2. Esta barra
encosta, sem atrito, a uma superfície. Um cabo liga a
barra à placa. Desenhar os diagramas de corpo livre
para placa e para a barra.
pino 2
placa
pino 1
barra
cabo
Figura E-8.2.a
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106-Mecânica
Aplicada
curso de Pilotagem ENIDH
Elementos de Estática
Texto de apoio
Exemplo 8.3
Exemplo 8.4
cabo
F
barra
B
B
1
A
A
4
3
cabo
2
Figura E-8.4.a
Figura E-8.3.a
A figura mostra duas esferas A e B com pesos P A e PB,
respectivamente. As esferas são suportadas por uma
barra articulada ao chão e presa à parede por um cabo
ideal.
Desenhar os diagramas de corpo livre para cada uma
das esferas e para a barra ( ignorar o seu peso). Admitir
contactos sem atrito.
A figura mostra duas barras A e B. A barra A está
encastrada no chão e encosta à barra B. A barra B tem
aplicada a força F e assenta no chão. As duas barras
estão ligadas por um cabo ideal.
Desenhar os diagramas de corpo livre para cada uma
das barras ( ignorar o seu peso). Admitir contactos sem
atrito.
Resolução
Resolução
A figura E-8.3.b mostra os três d.c.l. pedidos.
A figura E-8.4.b mostra os dois diagramas pedidos.
PB
PA
F3
F1
F3
B
F
F7
90º
F4
F4
F4
90º
A
F6
F2
F4
90º
A
F2
F5
B
F3
F3
90º
F1
F5
90º
M
Figura E-8.3.b
Figura E-8.4.b
No centro de cada esfera aplica-se a força relativa ao
peso.
A esfera A contacta com o exterior nos pontos 1, 2 e 3.
Estes contactos traduzem-se em forças perpendiculares
à superfície de contacto (caso 8.3).
A esfera B contacta com o exterior nos pontos 3 e 4.
Estes contactos traduzem-se em forças perpendiculares
à superfície (caso 8.3). As duas forças F3 diferem
apenas no sentido e satisfazem o princípio da acçãoreacção.
O encastramento da barra A é substituído por duas
forças perpendiculares F1 e F2 e por um momento de
encastramento M (caso 8.9). O contacto na outra extremidade é substituído pelas forças F4, uma na barra A e
outra na barra B (caso 8.3). A acção do cabo traduz-se
pelas forças F3 (caso 8.2). O par de forças F4 respeita o
princípio da acção-reacção. O par F3 não traduz o referido princípio porque neste caso as barras não contactam
directamente. O contacto da barra B com o chão é
substituído pela força F5 (caso 8.3).
A barra contacta a esfera B, o chão, com a articulação,
e o cabo. O contacto com a esfera B traduz-se na força
F4, reacção à força aplicada na esfera. A acção da
articulação traduz-se nas forças F5 e F6, perpendiculares
entre si (caso 8.5). A força F7 representa a acção do
cabo sobre a barra (caso 8.1).
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Aplicada
curso de Pilotagem ENIDH
Elementos de Estática
Texto de apoio
Trata-se de três forças complanares e linhas de acção
concorrentes  condição de equilíbrio 7.3. É necessário
escrever duas equações de equilíbrio
9 Problemas resolvidos
Problema 9.1
 Fx  0 e  Fy  0 .
Numa operação de descarga de navio, um automovel de
peso 17,5 kN, é suportado por três cabos ligados na
argola A  figura P9.1a.
Calcular a intensidade das forças de tracção nos cabo
AB e AC. Considerar os cabos ideais.
Da escrita das duas equações resulta o sistema

 Fx  TB cos( 88º )  TC cos( 30º )  0
 F  T sen(88º )  T sen(30º )  17,5  0

B
C
 y
.
TB  17,9
T  0,7 .
 C
que depois de resolvido origina
Resposta: As forças de tracção nos cabos AB e AC têm
intensidade 17,9 kN e 0,7 kN, respectivamente.
Este problema envolve três forças em equilíbrio. Neste
caso, construir um triângulo de forças é uma alternativa à
resolução geral atrás apresentada.
Figura P9.1.a
Resolução
A figura P9.1.c mostra, em esquema, o triângulo das
três forças em equilíbrio e as amplitudes dos ângulos. A
lei dos senos permite calcular as intensidades pedidas.
Dos diferentes corpos mostrados na figura há que
escolher um para desenhar um diagrama de corpo livre,
escrevendo-se de seguida as equações de equilibrio
convenientes. Como os cabos AB e AC concorrem na
argola A, escolhe-se a argolafigura PP.9.1.b, alínea a).
TB
17,5 kN

sen(58º ) sen(120º )
 TB  17,9 kN
TC
17,5 kN

sen(58º ) sen(2º )
 TC  0,7 kN
y
TB
A
A
88º
90º
TC
x
A
30º
58º
120º
TC
17,5 kN
a)
17,5 kN
b)
17,5 kN
TB
17,5 kN
c)
2º
Figura P-9.1.b
Figura P-9.1.c
O diagrama de corpo livre para a argola está destacado
na alínea b) da figura PP.9.1.b. O peso do automóvel é
uma força vertical. Das forças nos cabos (caso 8.2) só
interessam aquelas que actuam na argola. Estão
representadas por TB e TC na alínea c) da figura.
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