1
Processos
Evolutivos
Genética de
Populações
http://dreyfus.ib.usp.br/bio212/
2
Genética de populações
A genética de populações e suas relações com a Evolução
Durante os últimos anos temos assistido a uma explosão na quantidade de
informações tanto sobre a variabilidade genética das populações como sobre a
quantidade de diferenciação genética existente entre as espécies atuais. Os dados
obtidos por técnicas de Biologia Molecular têm se avolumado de tal maneira que
existe um consenso entre os especialistas sobre a necessidade de métodos de análise
mais poderosos ou até mesmo de suporte teórico novo para se poder lidar com tamanha
massa de dados.
Por outro lado, a preocupação crescente com a diminuição da biodiversidade tem
levantado questões sobre tópicos como a fragilidade genética de populações
pequenas, estratégias genéticas para a conservação de espécies ameaçadas e
problemas correlatos, que naturalmente demandam informações sobre a estrutura
genética de populações naturais.
Estes problemas atuais necessariamente se baseiam numa área específica e
recente da Ciência como um todo, mas antiga se considerarmos o desenvolvimento da
genética: a genética de populações. A seguir traçaremos um pequeno histórico do seu
desenvolvimento.
O trabalho mais importante de Charles Robert Darwin (1809-1882), "A origem das
espécies", e o trabalho de Alfred Russell Wallace forneceram uma base
fenomenológica para o processo de evolução orgânica. "A origem", publicada em 1859,
quando o autor contava com 50 anos de idade, provocou, sem dúvida, um grande
impacto. A primeira edição da obra, com 1.250 exemplares, esgotou no primeiro dia
de publicação, 22 de novembro, e até 1876, somente na Inglaterra, já haviam sido
vendidos 16.000 exemplares. Isso não significa que Darwin só tenha recebido
aplausos; muito pelo contrário, esta obra encontrou violenta oposição, não
exatamente de natureza científica, mas de caráter emocional por parte da Igreja
Anglicana (liderada inicialmente pelo bispo Wilberforce) e por parte da sociedade
leiga, por não se admitir a idéia da origem do homem a partir de primatas. Essa
resistência persiste até hoje em alguns grupos de religiosos fundamentalistas,
principalmente os criacionistas, que defendem a interpretação bíblica "ipsis
litteris" da criação do mundo e dos seres vivos. A Igreja Católica admitiu, após
quase 100 anos de resistência, através da Encíclica Papal "Humanis Genesis" (1951),
a ascendência biológica do homem. Em 1997, através de comunicado do papa João Paulo
II, a Igreja Católica deixou de considerar a evolução biológica como uma teoria
científica e passou a considerá-la como um fato.
Na comunidade científica a teoria de Darwin foi aos poucos encontrando abrigo
e se tornando cada vez mais uma fonte de inspiração para o desenvolvimento de novas
pesquisas. Além disso, a teoria da evolução, com a devida complementação que mais
tarde a genética lhe emprestou, permitiu uma visão unificada de toda a Biologia. Os
primeiros grandes defensores e divulgadores da teoria da evolução foram Thomas H.
Huxley (avô do biólogo Julian Huxley e do escritor Aldous Huxley), na Inglaterra, e
Ernst H. Haeckel na Alemanha, onde o darwinismo foi ensinado pela primeira vez em
1860.
É importante salientar que o mecanismo da hereditariedade é fundamental para a
compreensão da teoria da evolução. Os trabalhos de Mendel (realizados praticamente
ao mesmo tempo em que Darwin formulava sua teoria) tornaram-se amplamente
conhecidos somente a partir de 1900. Apenas a partir daquele momento foi possível o
estabelecimento de ligações adequadas entre a teoria da evolução e a mecânica da
hereditariedade.
Antes disso, as idéias predominantes sobre a herança biológica eram oriundas
do pensamento de Francis Galton, um primo de Darwin que se dedicava ao estudo de
caracteres quantitativos através da aplicação de métodos estatísticos para
desvendar os princípios da hereditariedade. Em 1897 Galton propôs a lei da
ancestralidade que viria a provocar, no futuro, grande resistência à aceitação do
3
mendelismo; independentemente disso Galton foi um cientista muito importante por
ter criado uma escola de biometria, com cientistas do porte de Karl Pearson, que
desenvolveu métodos estatísticos usados até hoje.
A discrepância entre a teoria de Galton e a genética mendeliana só foi
resolvida mais tarde, graças principalmente aos trabalhos do dinamarquês Johanssen
sobre a herança de caracteres quantitativos (1909) e a um trabalho publicado em
1918 por Ronald Alymer Fisher.
Assim, no começo deste século, a teoria da evolução de Darwin sofreu o forte
impacto das novas descobertas da genética, iniciadas com a divulgação do trabalho
de Mendel. Tornou-se claro que a matéria-prima da evolução são os genes e as suas
leis de transmissão de uma geração a outra, ao nível populacional. A união das
idéias de Darwin com as noções exatas da mecânica da transmissão do material
hereditário originou a teoria moderna da evolução, também conhecida pelo nome de
neodarwinismo.
As grandes sínteses empíricas desta visão renovada da teoria de evolução foram
feitas nas décadas de 30 e de 40 por três importantes nomes da Ciência: Theodosius
Dobzhansky, na sua obra clássica "Genetics and the Origin of Species", cuja
primeira edição apareceu em 1937, seguida de várias reimpressões e edições revistas
e ampliadas; Julian Huxley em "Evolution, the Modern Synthesis", publicada em 1942,
e Ernst Mayr em "Systematics and the Origin of Species", de 1942.
A ausência de um bom conhecimento da genética no tempo de Darwin não o impediu
de elaborar a sua teoria sobre a origem das espécies, mas deixou um vazio que já
foi preenchido nas três primeiras décadas do século 20, com os conhecimentos que
viriam a se constituir naquilo que é chamado hoje de "genética de populações".
A genética de populações estuda as manifestações da herança no nível
populacional. Ela trabalha com modelos, ou seja, representações simplificadas da
realidade, usando para isso os elementos que participam do fenômeno (genes,
genótipos, fenótipos, gametas, etc.), representados simbolicamente e regras
operacionais capazes de traduzir os fenômenos que estão sendo estudados. Estas
regras operacionais, em geral, estão sujeitas a princípios matemáticos e
estatísticos, de modo que os modelos são chamados de modelos matemáticos. A grande
importância desses modelos é que partem de informações obtidas por biólogos através
de observação e experimentação. Os modelos fornecem meios de estimar parâmetros
corretamente e permitem fazer previsões que podem ser testadas experimentalmente.
Se os testes experimentais não estiverem de acordo com os modelos, estes serão
rejeitados ou modificados e outros modelos mais adequados serão formulados. A cada
nova informação, novos modelos podem ser estabelecidos.
Os modelos permitem, portanto, um tratamento quantitativo dos fenômenos, o
estabelecimento de previsões e uma maneira de testar hipóteses.
O conjunto de modelos acumulados desde os primeiros trabalhos feitos nesse
campo e sua maneira integrada de tratar os processos evolutivos permitem afirmar
que a genética de populações é hoje uma ciência à parte.
A primeira publicação relativa à genética de populações foi uma simples nota
publicada na revista Science, em 10 de julho de 1908, por Godfrey Harold Hardy, o
mais importante matemático inglês deste século. Esse trabalho se deve às questões
levantadas por um famoso estatístico, Yule, numa conferência pronunciada pelo
geneticista Punnett, na Royal Society of Medicine. Yule declarava que se um alelo
dominante fosse introduzido numa população, sua freqüência deveria aumentar até
atingir o valor 0,5, fazendo com que a relação entre os fenótipos dominantes e
recessivos fosse de 3:1. Punnett, não concordando com aquela afirmação, levou o
problema para Hardy, que analisou a questão e demonstrou que na ausência de
qualquer fator perturbador as freqüências gênicas devem permanecer constantes e a
distribuição das freqüências dos genótipos AA, Aa e aa dependerá das freqüências
gênicas de A e a, assumindo valores conforme a distribuição binomial. Esta
distribuição de freqüências de uma população em equilíbrio se tornou o ponto
fundamental de todo o desenvolvimento da genética de populações. Mais tarde,
verificou-se que o mesmo resultado já havia sido publicado em 13 de janeiro de 1908
por um médico alemão, Wilhelm Weinberg, num estudo sobre a herança da gemelaridade.
4
Assim, esse equilíbrio é hoje conhecido na literatura como "equilíbrio de HardyWeinberg".
Um outro aspecto que preocupou os geneticistas da época, em termos
populacionais, foi o efeito do endocruzamento na distribuição das freqüências
genotípicas. Este aspecto foi tratado independentemente por H. S. Jennings e por R.
Pearl em uma série de trabalhos publicados entre 1912 e 1916. Algumas dúvidas sobre
a veracidade das proposições de Pearl levaram também o então jovem geneticista
americano Sewall Wright (1889-1988) a se envolver no problema de endocruzamento e
sistemas de cruzamento de um modo geral, o que culminou, em 1921, com a publicação
de uma série de trabalhos com o título "Systems of mating". Wright tornou-se um dos
mais importantes teóricos da genética de populações, juntamente com Ronald Alymer
Fisher (1890-1962) e John Burdon Sanderson Haldane (1892-1965). Fisher, além de ter
sido um pioneiro da genética de populações, também fez inúmeras contribuições
extremamente importantes à Estatística. Haldane, que era professor de Bioquímica em
Cambridge, desde cedo manteve interesse por problemas de genética e a partir de
1924 iniciou uma série de publicações sobre genética de populações, centradas no
estudo da seleção natural.
O estudo da genética vinha apresentando grandes progressos e cada vez mais os
problemas evolutivos eram analisados sob o ponto de vista genético, ficando claro
que a sede das mudanças evolutivas era o próprio material genético. Cada caráter
usado para definir uma população, raça ou espécie é, portanto, um caráter
hereditário; estudar as mudanças evolutivas a que estes caracteres estão sujeitos é
estudar as mudanças que ocorrem no próprio material genético. Trabalhando com genes
é possível estabelecer modelos matemáticos para estimar as freqüências dos mesmos e
prever as mudanças que podem ocorrer quando submetidos à ação dos agentes
evolutivos. Assim, a essência do processo evolutivo é retratada pela genética de
populações que, por volta da década de 30, já tinha suas bases completamente
estabelecidas. Em 1930, Fisher havia publicado seu livro "The genetical theory of
natural selection"; Wright, em 1931, publicava um longo artigo na revista Genetics,
intitulado "Evolution in Mendelian populations" e Haldane, em 1932, publicava o
livro "The causes of evolution". Outro grande impacto teórico experimentado pela
genética de populações foi sofrido no fim dos anos 60 e começo dos anos 70, devido
aos avanços da genética bioquímica. O problema apareceu com a descoberta de uma
quantidade inesperadamente alta de polimorfismos proteicos e a resposta, proposta
principalmente pelo biólogo japonês Motoo Kimura, foi a teoria neutralista da
evolução molecular, segundo a qual estes polimorfismos seriam uma espécie de ruído
de fundo do processo evolutivo. Esta questão teórica ainda aguarda solução. A
disponibilidade recente de informações sobre filogenias gênicas tem aberto novos
horizontes, especialmente com o desenvolvimento da teoria da coalescência. Em todos
estes avanços teóricos a linguagem usada, principalmente nas demonstrações
matemáticas e nas aplicações de estatística, não era acessível para quem não
tivesse algum tipo de preparo nestas áreas. O problema foi facilitado pelo
aparecimento de livros-texto, como os que citamos a seguir.
O primeiro livro-texto didático de genética de populações foi publicado por
Hogben, em 1946 e levava o título “An introduction to mathematical genetics”. Em
1948, seguiu-se “Population Genetics”, de autoria de Ching Chung Li, cuja segunda
edição, bastante ampliada, foi publicada em 1976 sob o título "First course in
population genetics". Li foi um grande divulgador da genética de populações, além
de contribuir também com vários trabalhos originais. Além dos livros de C. C. Li,
são conhecidas obras dos seguintes autores: Oscar Kempthorne publicou em 1957 "An
introduction to genetics statistics", um livro relativamente complexo, exigindo
conhecimentos de estatística; D. S. Falconer, em 1960, publicou "Introduction to
quantitative genetics", que é um clássico da genética quantitativa; P. A. P. Moran,
publicou, em 1962, "The statistical processes of evolutionary theory"; James F.
Crow e Motoo Kimura, publicaram "An introduction to population genetics theory" em
1970 e Regina C. Elandt-Johnson, "Probability models and statistical methods in
genetics", em 1971. Desta data para cá apareceram inúmeros outros trabalhos, muitos
dos quais apresentam o assunto com o mínimo de formalismo matemático. Entre os
5
livros que também abordam o impacto recente dos resultados de Biologia molecular
temos o de Masatoshi Nei, "Molecular evolutionary genetics", de 1987, de Daniel
Hartl e Andy G. Clark, "Principles of population genetics" (1989) e o de John
Maynard Smith, "Evolutionary genetics" (1989).
Embora essas obras abordem o assunto de modo mais profundo que o necessário
para um curso básico como o nosso, o registro das mesmas fica pela apresentação dos
autores e para aqueles que porventura se interessem pelo assunto.
EQUILÍBRIO DE HARDY-WEINBERG
Um dos aspectos importantes do estudo da Evolução é a análise da variabilidade
genética das populações e do seu comportamento ao longo das gerações. Esses
aspectos constituem a preocupação fundamental da Genética de populações, que
procura descrever a composição genética das populações bem como sua resposta frente
à atuação de fatores tais como o tipo de cruzamento, o tamanho da população, a
mutação, a migração e os vários tipos de seleção. A Genética de populações, por
quantificar os fenômenos evolutivos, fornece parâmetros para a análise da
variabilidade genética das populações, sua origem e manutenção.
Vamos, portanto, mostrar como essa variabilidade é caracterizada para fins do
estudo da Genética de populações.
Freqüências gênicas
A fim de conceituar freqüência gênica, vamos considerar inicialmente o que
ocorre com um par de genes autossômicos em organismos diplóides. Supondo que não
haja dominância, poderemos distinguir os três genótipos possíveis, representados
por AA, Aa e aa. Esses três genótipos corresponderão a três classes fenotípicas
diferentes. Assim, em uma população constituída de N indivíduos poderemos contar D
indivíduos AA, H indivíduos Aa e R indivíduos aa.
Os valores D, H e R são chamados de freqüências absolutas (note as letras
maiúsculas) enquanto que esses valores, divididos pelo total de indivíduos da
população (N) nos dão as freqüências relativas (representadas pelas mesmas letras,
só que minúsculas).
AA
d =
Aa
D
N
h=
H
N
aa
r=
R
N
A soma das freqüências relativas é sempre 1.
D H R D+ H + R N
+ + =
=
=1
N N N
N
N
As freqüências relativas podem ser interpretadas, no caso de amostragens muito
grandes, como probabilidades, ou seja, d é a probabilidade de se tomar "ao acaso"
um indivíduo AA desta população.
Podemos agora procurar saber quais as freqüências gênicas nessa população.
Neste caso, o método direto para estimar as freqüências gênicas é o da contagem
simples.
Dada a população:
6
 AA Aa aa 

N
 D H R 
contamos o número de alelos A e a e estimamos as freqüências gênicas. Por se tratar
de uma população diplóide vamos atribuir a cada indivíduo dois genes. A população
toda terá, pois, 2N genes. Os indivíduos AA terão 2D genes A e os indivíduos Aa
terão H genes A, perfazendo um total de 2D + H genes A em uma população com um
total de 2N genes; logo, a freqüência do alelo A será:
f (A) =
2D + H 2D H
h
=
+
=d+ = p
2N
2N 2N
2
Com o mesmo raciocínio veremos que a freqüência do alelo a será:
f (a) =
2R + H 2R H
h
=
+
= r+ = q
2N
2N 2N
2
pode-se verificar que:
p+q = d+
h h
+ +r = 1
2 2
Uma vez calculada a freqüência de um alelo, a freqüência do outro pode ser
obtida pela diferença em relação à unidade, uma vez que
p+q =1
p =1−q
e
q =1− p
Exercícios:
1. Determine nos casos que se seguem
fenotípicas e as freqüências gênicas:
as
freqüências
relativas
das
classes
7
a)
AA
Aa
aa
25
60
15
N =
AA
Aa
aa
320
0
80
d=
h=
r=
N =
d=
h=
f(A) = p =
c)
b)
r=
f(a) = q =
AA
Aa
aa
0
120
80
N =
f(A) = p =
d)
f(a) = q =
AA
Aa
aa
10
180
810
d=
h=
r=
N =
d=
h=
f(A) = p =
r=
f(a) = q =
f(A) = p =
f(a) = q =
2. Determine, nos casos que se seguem, as freqüências absolutas das classes
genotípicas e as freqüências gênicas (para uma população de 1000 indivíduos):
a)
c)
AA
D=
0,30
p=
Aa
H=
0,60
AA
D=
0,20
p=
Aa
H=
0,80
aa
R=
0,10
b)
q=
aa
R=
0,00
q=
d)
AA
D=
0,36
p=
Aa
H=
0,48
AA
D=
0,58
p=
Aa
H=
0,04
aa
R=
0,16
q=
aa
R=
0,38
q=
O que você pode concluir a partir dos resultados do exercício 2?
8
EQUILÍBRIO (OU LEI) DE HARDY-WEINBERG
O que fizemos até o momento foi representar um par de genes autossômicos, sem
dominância, em uma população diplóide e estimar as freqüências dos alelos. Agora
verificaremos o que acontecerá com uma população desse tipo na geração seguinte.
Por isso consideramos uma população com reprodução sexuada, que se reproduza
por fecundação cruzada.
Vamos considerar, para simplificar o problema, um modelo com "gerações
discretas", ou seja, uma população na qual não haja cruzamentos entre indivíduos
pertencentes a duas ou mais gerações diferentes. Assim, temos uma população de N
indivíduos adultos:
 AA Aa aa 

N
 D H R 
Vamos supor que os cruzamentos nesta população ocorram ao acaso. Tal fenômeno
é conhecido como pan-mixia e diz-se que a população que se reproduz assim é panmítica.
Pan-mixia significa que a probabilidade de um indivíduo de qualquer genótipo
cruzar com outro pertencente a qualquer genótipo depende apenas das freqüências
genotípicas. Isso é o mesmo que dizer que não há preferências, seja ela por
genótipos iguais ou diferentes, na escolha de parceiros.
Considerando as freqüências relativas dos genótipos como probabilidades,
podemos dizer que a probabilidade dos indivíduos AA, com freqüência relativa d,
2
cruzar com outro indivíduo de mesmo genótipo é simplesmente dXd = d .
Assim, podemos construir um quadro com as probabilidades, ou freqüências, dos
cruzamentos "ao acaso".
QUADRO 1 - Freqüências de cruzamentos "ao acaso".
machos
AA
Aa
aa
d
h
r
AA
freqüências
genotípicas
d
d
2
dh
dr
Aa
h
hd
h
2
hr
aa
r
rd
rh
r
fêmeas
2
Lembre-se que a soma dessas probabilidades ou freqüências de cruzamentos será
sempre igual a 1, pois
(d + h + r ) × (d + h + r) = 1× 1 = 1
Agora vamos verificar qual a descendência deixada por cada um desses
cruzamentos. Novamente teremos de fazer algumas considerações a respeito de como
calcular o número de descendentes. O número de descendentes por casal é variável,
mas podemos admitir que este número não dependa dos genótipos dos indivíduos que
formam o casal, sendo, em média, o mesmo.
9
Assim, podemos apresentar a freqüência de descendentes de cada classe de casal
pela própria freqüência dos cruzamentos. Podemos assim determinar os genótipos dos
descendentes de cada casal e suas respectivas freqüências.
Exercício: Complete o quadro abaixo, determinando os genótipos dos descendentes de
cada tipo de cruzamento e suas respectivas freqüências.
machos
AA
Aa
aa
d
h
r
2
d AA
dh/2 AA
dh/2 Aa
fêmeas
AA
d
Aa
h
aa
r
Para determinar as freqüências dos diferentes genótipos na nova geração basta
somar as freqüências das 3 classes genotípicas dos descendentes.
tipo de
cruzamento
freqüência
de
cruzamento
Descendentes
AA
AA X AA
d2
d2
AA X Aa
2dh
dh
AA X aa
2dr
Aa X Aa
h2
Aa X aa
2hr
aa X aa
r2
Total
1
Aa
aa
dh
2dr
h 2 /4
h 2 /2
h 2 /4
hr
hr
r2
(d+h/2)2
2(d+h/2)(r+h/2)
(r+h/2)2
Lembrando que (d + h/2) = p e (h/2 + r) = q verificamos imediatamente que a
distribuição das freqüências genotípicas poderá ser expressa assim:
AA
p
p
2
2
(1-q)
2
Aa
aa
2pq
q
2p(1-p)
(1-p)
2q(1-q)
q
2
2
ou
2
ou
10
As duas últimas representações têm a vantagem de ter apenas uma variável de
freqüência gênica.
As freqüências gênicas não mudam, pois:
p1 = d1 +
h1
= p 2 + pq = p 2 + p − p2 = p
2
Note que uma série de condições foi imposta na elaboração do modelo, o que
levou a população ao equilíbrio. Estas condições são:
-
população de tamanho infinito;
reprodução sexuada, por fecundação cruzada;
pan-mixia;
ausência de mutação;
ausência de migração diferencial;
ausência de seleção.
Nestas condições, uma população não sofre
gênicas, ao longo das gerações, nas proporções:
p2
alterações
em
suas
freqüências
q2
2pq
Estas proporções serão atingidas em uma única geração.
Alelos Múltiplos
O princípio visto acima pode ser estendido para qualquer número de alelos.
Sejam os alelos:
A1
p1
A2
p2
A3
p3
... AN, com as freqüências gênicas:
... pN
No equilíbrio, as freqüências dos genótipos homozigotos
f ( A1 A1 ) = p
2
1 ;
f (A2 A2 ) = p
2
2
;
f (A3 A3 ) = p
2
3
...
serão:
f (AN AN ) = p2N
e as freqüências dos genótipos heterozigotos serão:
f (A1 A2 ) = 2p1 p2 ; f (A1 A3 ) = 2 p1 p3 ; f (A2 A3 ) = 2 p2 p3 ... f (AN−1 AN ) = 2 pN −1 pN
Caso de um par de genes autossômicos com dominância
Estimativa de freqüências gênicas
Muitos caracteres hereditários são determinados por genes alélicos que exibem
uma relação de dominância, ou seja, não é possível distinguir fenotipicamente os
homozigotos (AA) dos heterozigotos (Aa). Assim, a população seria representada por:
A _
 D
aa 
R 
Como já visto anteriormente no caso de herança sem dominância, se a população
2
estiver em equilíbrio, os valores d e r corresponderão, respectivamente, a (p +
11
2
2pq) e q . Dada a impossibilidade de distinguir os indivíduos AA de Aa, não podemos
estimar as freqüências gênicas por contagem direta dos genes nos homozigotos e
heterozigotos. Entretanto, no caso de a população estar em equilíbrio, pode-se
estimar a freqüência do alelo a com base na relação
f (aa ) =
R
= r = q2
N
logo,
R
= r = q = 1 − p.
N
Exercício:
Estimar as freqüências gênicas para as seguintes populações:
a)
p =
A_
150
aa
50
N =
q =
b)
p =
A _ aa
220 80
N =
q =
Algumas considerações sobre o equilíbrio de H.W.
O equilíbrio de H.W. pressupõe uma série de condições que raramente são
observadas na prática. Dificilmente será encontrada uma população natural em que
todas as condições estejam vigorando simultaneamente. A mutação, por exemplo, é um
fenômeno espontâneo, de ocorrência constante. Porém, como as taxas de mutação são,
-4
-5
em geral, muito baixas, da ordem de um para dez mil ou cem mil (10
ou 10 ), seu
efeito sobre o equilíbrio, no instante em que a amostra for colhida, será
desprezível. Quando se observa um polimorfismo, os diversos fenótipos poderão ter
valores adaptativos diferentes, significando que a seleção natural está ocorrendo.
Além disso, em muitas populações podem estar ocorrendo migrações e muitas
populações nem sempre terão um tamanho que permita considerá-las infinitamente
grandes. Ainda, nem sempre as populações são pan-míticas.
Apesar dessas observações, o equilíbrio de H.W. é extremamente importante e
extremamente útil em genética de populações. Ele se constitui de um modelo básico
muito simples, porque elimina todos os fatores que redundam em complicações. As
condições que são impostas são exatamente aquelas que poderiam promover mudanças
nas freqüências gênicas ou genotípicas e que implicariam em evolução. Por isso
podemos dizer que o equilíbrio de H.W. é conservador, pois ele descreve uma
situação de uma população que não está se modificando.
Para estudar as mudanças evolutivas, procura-se analisar o efeito que os
fatores isolada ou conjuntamente apresentam sobre o equilíbrio de H.W., chegandose, assim, a retratar as mudanças evolutivas.
Teste para verificar se a população está ou não em equilíbrio de H.W.
Dada uma amostra populacional com a identificação completa dos genótipos
feita, surge o problema: Esta pode ser uma amostra representativa de uma população
que está em equilíbrio de Hardy-Weinberg? Vamos estudar primeiramente o caso da
ausência de dominância, em um loco com dois alelos:
12
 AA Aa aa 

 N
 D H R 
onde a freqüência do alelo A é
p=
2D + H
2N
e a do a é
2R + H
2N
q=
Note que esta estimativa não requer que a população esteja em equilíbrio.
Conhecidos os valores de p e q, podemos então estimar as freqüências das três
classes genotípicas, como se a população estivesse em equilíbrio. Essas freqüências
absolutas, como já vimos, são:
AA
Aa
aa
p 2 .N
2 pq.N
q 2 .N ,
N = D+ H+ R
e
onde
p = 1 − q.
Exercício:
Calcule as freqüências gênicas e as freqüências
(relativas e absolutas) para as seguintes amostras:
1.
AA Aa aa
204 494 302
3.
N =
esperadas
Aa aa
220 240
N =
p =
2
p =
2
p .N=
2.
A
40
genotípicas
AA
20
q =
2
q =
2pq=
2pq.N=
Aa
50
2
q .N=
aa
30
4.
N =
p =
2
p =
2
p .N=
p =
2
p =
2
p .N=
AA
80
q =
2
q =
2pq=
2
q .N=
2pq.N=
Aa aa
100 120
N =
q =
2pq=
2
q =
2pq.N=
2
q .N=
p =
2
p =
2
p .N=
q =
2
q =
2pq=
2
q .N=
2pq.N=
Como temos os valores obtidos e os esperados, podemos ter uma idéia se a
população da qual a amostra foi retirada estava em equilíbrio ou não. Como foi
visto no exercício acima, aparece uma dificuldade: se os valores forem exatamente
iguais (o que, na prática, é pouco provável) concluimos que a população encontra-se
em equilíbrio, mas se isto não acontece, temos que lançar mão de um outro método
para tomar a decisão de forma objetiva. A estatística nos fornece a ferramenta
2
apropriada para a comparação de proporções: o teste do X (que se lê qui-quadrado).
Este teste só pode ser aplicado com os valores absolutos.
AA
Valores observados (O)
Valores esperados (E)
D
2
p .N
Aa
H
2pq.N
aa
R
2
q .N
Total
N
N
13
2
O valor do X é dado por:
(observadoi − esperado i )2
esperado i
i=1
k
Χ2 = ∑
( D − p .N )
=
2
ou seja:
Χ
2
p 2 .N
2
+
( H − 2pq.N )2
2pq.N
( R − q .N )
+
2
2
q2 .N
2
O valor obtido através dessa soma corresponde ao X . Para saber se a população
está ou não em equilíbrio, ou seja, se a amostra foi ou não retirada de uma
população em equilíbrio, basta comparar este valor com os valores dados na tabela
2
2
do X . O estabelecimento de um determinado valor de X dependerá, inicialmente, da
escolha do "nível de significância", que consiste no risco que se corre, em termos
de probabilidade, de rejeitar uma hipótese verdadeira. Esse nível deve ser fixado
previamente e, em geral, para os experimentos biológicos usa-se o nível de
significância (alfa) de 0,05 (ou 5%).
2
Temos, entretanto, vários valores de X para 5%, cada um correspondendo a um
determinado número de graus de liberdade (primeira coluna da tabela). É através
2
desse valor que vamos procurar o X na tabela.
O número de graus de liberdade é dado pela quantidade de classes independentes
envolvidas na análise. No caso de três genótipos, temos apenas 1 classe
independente para o mesmo N e o mesmo p. Por exemplo, se existem 34 indivíduos AA
em um total de 100 e a freqüência do alelo A é 0,6, então as outras duas classes
estarão já determinadas: 52 Aa e 14 aa. Quaisquer outros valores de H e R alterarão
as freqüências gênicas ou o total, o que não é permitido. Então existe uma única
classe independente e, portanto, um único grau de liberdade.
Na prática, o número de graus de liberdade pode ser calculado assim:
g.l.= Número de classes-(número de parâmetros da amostra utilizados no teste para
calcular os esperados das classes)
No nosso caso, temos 3 classes e usamos dois parâmetros: a freqüência de um
alelo e o total. g.l. = 3 - 1 - 1 = 1.
Assim, vamos procurar na tabela simplificada, anexa, na linha correspondente
2
ao número de graus de liberdade 1, o valor do X para 5%, que é 3,841. Se o valor
obtido for maior que 3,841, rejeitamos a hipótese de equilíbrio; se for menor
aceitamos a hipótese.
Exercício:
2
Aplique o teste do X para as populações do último exercício, e verifique
quais estão em equilíbrio.
Caso de dois alelos com dominância
2
Não é possível aplicar o teste do X para saber se a população está ou não em
equilíbrio no caso de características monogênicas com dominância. A justificativa é
muito simples: o cálculo da freqüência do alelo a, através da expressão
q= r
, é
baseado na condição de que a população esteja em equilíbrio, portanto, não há o que
testar.
14
Um outro argumento é que não sobra grau de liberdade para o teste. No caso de
dominância temos duas classes (A- e aa). Com esses dados estimamos o parâmetro q =
R/N. Logo o número de graus de liberdade será:
2(número de classes) - 1(total) - 1(freqüência) = 0 g.l., o que invalida o teste.
TABELA SIMPLIFICADA DE VALORES CRÍTICOS DO QUI-QUADRADO
Graus de liberdade
1
2
3
4
5
Alfa = 0,05
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
Alfa = 0,01
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
EQUILÍBRIO PARA GENES LIGADOS AO SEXO
O processo de reprodução sexuada geralmente envolve a existência de dois sexos
que são determinados por um par de cromossomos. Um dos sexos é homogamético (dois
cromossomos sexuais iguais) e o outro é heterogamético (dois cromossomos sexuais
diferentes). Vamos utilizar arbitrariamente o sistema de determinação sexual XX XY,
onde indivíduos XX são fêmeas e XY são machos e que é o sistema mais comum entre os
animais. As conclusões permanecem válidas para sistemas ZZ ZW, bastando apenas
inverter os sexos. A genética dos cromossomos sexuais pode então ser de três tipos:
No caso de genes que estão situados na região de homologia entre os cromossomos X e
Y, continuam valendo as condições de herança autossômica. No caso de genes situados
na região não homóloga do cromossomo Y, ficam valendo os princípios da herança em
organismos haplóides, para os machos. O caso dos genes exclusivos do cromossomo X
merece um tratamento especial devido à haplo-diploidia, como veremos a seguir.
Tomemos uma população de fêmeas e machos, respectivamente, na geração 0:
 AA Aa aa 
 D0 H0 R0  N f
e
 AY aY 
 S0 T0  Nm
onde D, H e R são as freqüências absolutas de cada um dos genótipos das fêmeas e S
e T as freqüências absolutas de cada um dos genótipos dos machos , Nf e Nm o número
de fêmeas e machos, respectivamente.
As freqüências alélicas entre as fêmeas são:
f ( A) = p f =
2D0 + H0
h
= d0 + 0
2N f
2
Entre os machos teremos:
e
f (A) = pm =
f (a) = q f =
S0
= s0
Nm
e
2R0 + H0
h
= r0 + 0
2N f
2
f (a) = qm =
T0
= t0
Nm
Para verificar o que acontece na geração seguinte, g , deixemos os indivíduos da
1
geração 0 reproduzirem-se através de cruzamentos pan-míticos:
Cruzamento
tipo
freq.
d 0s0
AA-AY
Machos
AY
d 0s0
aY
-
AA
d 0s0
Fêmeas
Aa
aa
15
h0 s0
2
Aa-AY
h 0s0
aa-AY
r0s0
AA-aY
d 0t0
d 0t0
Aa-aY
h 0t0
h0 t0
2
aa-aY
r0t0
Total
1
h0 s0
2
h0 s0
2
h0 s0
2
r0s0
r0s0
d 0t0
h0 t0
2
h0 t0
2
h0 t0
2
r0t0
(d0+h 0/2)
r0t0
(r0+h 0/2)
s0(d0+h 0/2)
s0(r0+h 0/2)+t 0(d0+h 0/2)
As freqüências pm1 e qm1 dos alelos A e a, entre os machos,
na
t0(r0+h 0/2)
geração
seguinte, serão:
pm1 = f ( A) = d0 +
h0
= pf0
2
Isso quer dizer que as freqüências
geração g , são idênticas às freqüências
1
geração anterior g . Isto é esperado,
0
exclusivamente das fêmeas.
As freqüências pf1 e qf1 dos alelos
obtido no quadro 1, serão:
e
qm1 = f (a) = r0 +
h0
= qf 0
2
dos alelos A e a, entre os machos, na
destes mesmos alelos entre as fêmeas, na
pois
os
machos
recebem
o cromossomo
A e a entre as fêmeas, de acordo com o
h
1 
h
h 


p f 1 = f (A) = s0  d0 + 0  +  s0  r0 + 0  + t 0  d0 + 0  
2
2
2
2 
e
h
1 
h
h 


q f 1 = f (a) = t0  r0 + 0  + s0  r0 + 0  + t0  d0 + 0  
2
2
2
2 
Substituindo s0 e t0 por pm0 e qm0 , e (d0+h0/2) e (h0/2+r0) por pf0 e qf0 teremos:
1
( p .q + qmo.p f 0) =
2 m0 f 0
+ pm0 .q f 0 + qm 0 .p f 0
=
2
p f 1 = pm 0 .p f 0 +
=
=
=
2 pm0 .p f 0
pm0 .( pf 0 + q f 0 ) + p f 0 .( pm 0 + qm0 )
2
pm0 + p f 0
2
pois pf0 + qf0 = 1 e pm0 + qm0 = 1.
Com o mesmo raciocínio demonstra-se que
X
qf1 =
qm 0 + q f 0
2
=
16
Isso quer dizer que pf1 é a média aritmética das freqüências do alelo A entre
os machos (pm0 ) e as fêmeas (pf0 ) da geração anterior g0, o que é intuitivo, pois
cada um dos dois cromossomos sexuais vem de um progenitor com sexo diferente.
EXERCÍCIO:
1. Determine a composição genética de uma população na geração g1, considerando que
a população g0 apresenta as seguintes composições:
a)
b)
| AA
|
Aa
|810
180
| AA
|
|0,50
Aa
0,40
aa |
| Nf=1000
10 |
| AY
|
|900
aa |
|
0,10 |
| AY
|
|0,50
aY |
| Nm=1000
100 |
aY
|
|
0,50|
2. Determine quais as freqüências gênicas das populações parentais femininas e
masculinas que deram origem às seguintes populações:
a)
b)
| AA
|
|0,35
| AA
|
|0,06
Aa
0,50
Aa
0,58
aa |
|
0,15|
| AY
|
|0,70
aY |
|
0,30|
aa |
|
0,36|
| AY
|
|0,60
aY |
|
0,40|
Condições de equilíbrio
As condições de equilíbrio no caso da herança ligada ao sexo são duas:
primeira, que as freqüências gênicas sejam as mesmas, entre fêmeas e machos;
segunda, que entre as fêmeas a distribuição das freqüências genotípicas obedeça às
2
2
proporções p :2pq:q .
Vamos verificar a seguir como as freqüências alélicas de um gene ligado ao
sexo entram em equilíbrio. Para isto, utilizaremos a quantidade d, que mede a
diferença entre as freqüências alélicas entre os machos e as fêmeas.
d = qf - qm
como
d1 =
qf1 =
q f 0 + qm0
q f 0 + qm 0
2
d1 é portanto
2
e
− qf 0 =
−
d0
,
2
qm1 = q f 0
,
q f 0 + qm 0 − 2q f 0
2
=
qm 0 − q f 0
2
;
que é o mesmo que dizer que a diferença entre as freqüências
dos dois sexos cai pela metade em cada geração, em termos absolutos, e que essa
diferença muda de sinal, também a cada geração.
A diferença tende a 0 e, em equilíbrio, a freqüência gênica será
qˆ = qˆ f = qˆm ,
sendo que em cada geração:
17
qn =
q mn + 2q fn
3
, que é a média ponderada pelo número de cromossomos X de cada sexo
e representa a freqüência do alelo na população total (machos e fêmeas).
EXERCÍCIO:
3. Verifique como a população tende ao ponto de equilíbrio calculando, a partir da
constituição inicial dada abaixo, as freqüências gênicas e genotípicas e o valor de
d em pelo menos 4 gerações consecutivas. Represente graficamente os valores destas
freqüências. Calcule também o valor médio das freqüências gênicas em cada uma das
gerações:
| AA
|
|0,10
Aa
0,40
aa |
|
0,50|
| A
|
|0,70
a
|
|
0,30|
Estimativa das freqüências gênicas
Para estimarmos as freqüências gênicas de um gene ligado ao sexo com a
finalidade de verificarmos se a população está ou não em equilíbrio, fazemos uma
única estimativa, a da freqüência de um dos alelos na população total:
 AA Aa aa 
 D H R  N f
p = f (A) =
 AY aY 
N
 S
T  m
2D + H + S
2R + H + T
; q = f (a) =
2N f + Nm
2N f + Nm
Para o teste de X2, teremos 5 classes, dois totais independentes (um total
para machos e outro para fêmeas) e uma freqüência estimada a partir da amostra
total; portanto teremos 5 - 2 - 1= 2 graus de liberdade.
Genes ligados ao sexo com dominância
No caso de haver dominância, podemos estimar as freqüências gênicas através de
uma equação que será fornecida sem comentários, pois sua dedução exige
conhecimentos mais avançados de matemática:
A _
 D
q=
aa 
N
R  f
 AY aY 
N
 S
T  m
− S + S2 + 4(2N f + Nm ).(2R + T ).
4N f + 2 Nm
(quando há dominância em herança ligada ao
sexo)
O valor de q estimado pela equação acima somente corresponderá ao valor
verdadeiro se a população estiver em equilíbrio. Podemos mesmo assim verificar a
condição de equilíbrio pelo emprego do teste de X2, pois teremos 4 classes - 2
totais - 1 freqüência gênica, o que resulta em um grau de liberdade.
EXERCÍCIO:
18
O resultado da análise de uma dada geração de uma caixa de populações de
drosófila com olhos vermelhos (w+_) e brancos (ww) foi:
+ +
| w w
|
|280
w
+
170
ww |
| Nf
50 | 500
+
| w y
|
| 400
wy |
| Nm
100| 500
Calcule a freqüência do alelo para olhos brancos (w) entre as fêmeas, entre os
machos e na população total.
Suponha, agora, que nesta mesma amostra não se saiba quantas fêmeas de olhos
vermelhos são homozigotas. Usando o estimador apropriado, estime a freqüência do
2
alelo w para essa população e compare com a estimativa anterior. Faça o teste do X
para verificar se esses dados estão de acordo com o esperado em equilíbrio. Suponha
que você tenha apenas 300 machos, mas que as freqüências gênicas sejam as mesmas
+
(w y = 240; wy = 60). Estime de novo a freqüência do alelo w, usando esse dado, em
lugar de 400 e 100, e verifique que alterações isso acarreta na estimativa.
DESVIOS DA PAN-MIXIA: CRUZAMENTOS PREFERENCIAIS E
ENDOCRUZAMENTO
Entre as várias condições que são impostas para que o equilíbrio de HardyWeinberg (H.W.) se verifique, uma delas é que a população seja completamente panmítica, isto é, os cruzamentos devem ocorrer totalmente ao acaso.
Acontece, porém, que podem haver inúmeras maneiras diferentes dos indivíduos
se associarem em acasalamento. Essas diferentes maneiras dependem da própria
biologia do organismo, devido a determinadas características morfológicas,
fisiológicas ou comportamentais. Podemos lembrar, por exemplo, que existem
organismos monóicos, como o caso da ervilha, em que a autofecundação é praticamente
obrigatória. Por outro lado, alguns organismos, embora sendo monóicos ou
hermafroditas, dispõem de mecanismos que evitam a realização da autofecundação. Em
determinadas plantas, como a Nicotiana tabacum, existe um sistema regulado por um
loco com vários alelos (S1, S2, S3, ...) que determinam a auto-esterilidade. O
pólen S1 é incapaz de produzir o desenvolvimento do tubo polínico no estigma de uma
planta cujo genótipo tenha o alelo S1. O mesmo acontece para qualquer outro alelo,
de tal forma que a autofecundação nunca deixa descendência e também nunca se formam
homozigotos para quaisquer dos alelos do loco.
Os sistemas de cruzamentos podem também ser alterados artificialmente pelo
homem, que interfere seletivamente na escolha dos cruzamentos de plantas e animais
domésticos.
Em ambos os casos, teremos alterações na distribuição das freqüências
genotípicas das populações. Conseqüentemente, devemos procurar analisar os vários
modelos que produzem desvios da pan-mixia e determinar quais as conseqüências que
acarretam na estrutura genética da população.
Basicamente distinguimos duas categorias de alterações da pan-mixia, uma delas
devida a um maior índice de cruzamentos consangüíneos, fenômeno esse chamado de
endogamia ou de endocruzamento, e a outra categoria corresponde aos cruzamentos
preferenciais, positivos e negativos, com relação a um dado caráter genético.
Cruzamento preferencial totalmente negativo
Cruzamento preferencial totalmente negativo é aquele em que os cruzamentos só
ocorrem entre indivíduos de fenótipos (ou genótipos) diferentes. Considerando
fenótipos determinados por mecanismo monogênico, as alterações que esse tipo de
cruzamento determina na constituição genética da população serão apenas em relação
a esse par de genes.
19
Vamos supor um par de alelos A,a, com dominância, que determina um caráter
para o qual só ocorra cruzamento preferencial totalmente negativo, ou seja,
indivíduos com o fenótipo dominante só cruzam com os de fenótipo recessivo. Assim,
a população:
AA
Aa
e
aa
passaria logo a:
Aa
aa
já que os indivíduos AA ou Aa só se cruzariam com aa.
Este tipo de cruzamento preferencial negativo é o que ocorre, por exemplo, na
reprodução sexuada com relação aos cromossomos X e Y.
Cruzamento preferencial totalmente positivo
Diz-se que há cruzamento preferencial totalmente positivo, em relação a um
dado caráter, quando há cruzamentos apenas entre os indivíduos fenotipicamente
iguais.
Seja, pois, um par de genes A,a, com dominância, responsáveis por um caráter
em relação ao qual somente ocorram cruzamentos preferenciais totalmente positivos.
Assim, em relação a esse par de genes, temos a população:
genótipos:
freqüências:
AA
d
Aa
h
aa
r
Total
1
Lembrando que
f(A) = (d + h/2) e f(a) = (r + h/2)
Como os indivíduos com o fenótipo dominante só se cruzam entre si, as
freqüências de cruzamentos serão expressas em relação ao total de indivíduos desta
classe, que é
d + h = 1 - r
A Tabela abaixo fornece a descendência dos cruzamentos possíveis. (Observar
que d, h e r são freqüências genotípicas quaisquer, independente de equilíbrio de
H.W.)
Tipo de
cruzamento
AA X AA
AA X Aa
Aa X Aa
aa X aa
Freqüência de
cruzamento
2
AA
2
Descendência
Aa
aa
d
1−r
2dh
1−r
h2
1−r
d
1−r
dh
1−r
h2
4
1−r
__
__
dh
1−r
h2
2
1−r
__
r2
r
__
__
h2
4
1−r
r2
r
20
Totais
[ ( )]
[ d + (h 2)]
2
1
h d + h2
1−r
1− r
(h 2)
1−r
Nesta tabela, as duas "sub-populações" de fenótipos idênticos estão destacadas por
linhas duplas. Note que a transferência entre as subpopulações resulta do
cruzamento entre heterozigotos.
A freqüência do alelo A, nesta nova geração, será:
[ ( )]
d + h2
f (A) =
1−r
2
(
) (
)
h . d+h
h
2 = d + 2 .(d + h )
+ 2
1−r
1− r
Como d + h = 1 - r, temos:
f(A) = [d + (h/2)],
que é igual à freqüência deste alelo na geração anterior.
EXERCÍCIO:
1) Analise o que acontece com as freqüências gênicas, genotípicas e fenotípicas
Pop. 1
Pop. 2
AA
Aa
aa
0,45
0,10
0,35
0,30
0,20
0,60
em duas gerações consecutivas, no caso de cruzamentos preferenciais totalmente
positivos.
Endocruzamento ou endogamia
Considera-se endocruzamento ou cruzamento endogâmico quando os indivíduos que
se cruzam apresentam ancestrais comuns próximos. Se admitirmos que a população é
pan-mítica, pode-se esperar uma determinada freqüência de cruzamentos endogâmicos.
Quando a freqüência de cruzamentos endogâmicos observada for maior do que a
freqüência esperada (pela pan-mixia), então se diz que está ocorrendo endogamia. A
população será, então, endogâmica.
Endogamia é, portanto, o desvio da pan-mixia devido ao excesso de
endocruzamentos (ou cruzamentos endogâmicos) na população.
O endocruzamento ou endogamia corresponde ao termo inglês "inbreeding"; o
produto de um "inbreeding" é chamado "inbred".
A conseqüência da ocorrência de endocruzamento numa população será o aumento
da freqüência dos indivíduos homozigotos e a redução da freqüência dos
heterozigotos na população.
Para entender melhor o que acontece quando há cruzamento endogâmico, vamos
comparar duas situações diferentes, uma com endocruzamento e outra sem:
1)
2
+r
21
Aa
AA
AA
Aa
Aa
AA
Aa
Aa
aa
2)
Aa
AA
AA
Aa
Aa
Aa
aa
No caso 1 podemos verificar que o homozigoto aa é constituído por dois genes
a, sendo que ambos são cópias do mesmo gene original existente num dos bisavós. No
caso 2, também temos um homozigoto aa, formado, porém, por cópias de dois genes a
presentes nos avós, de origens independentes. No primeiro caso, diz-se que os dois
alelos são iguais por descendência (i.p.d.) e, no segundo, iguais pela origem
(i.p.o.). Cotterman chamou os homozigotos com i.p.d. de autozigotos e os
homozigotos com genes i.p.o de alozigotos.
O importante será determinar quantitativamente o efeito dos cruzamentos
endogâmicos sobre a estrutura da população. É claro que o grau de endogamia pode
variar e, conseqüentemente, o efeito que acarreta para a estrutura da população
também variará.
Para se ter uma idéia mais objetiva da conseqüência do endocruzamento na
população vamos inicialmente analisar o que ocorre em uma população que se reproduz
por autofecundação. A autofecundação corresponde ao grau máximo de endogamia.
Consideremos um par de genes autossômicos. Assim, na geração inicial g a
0
população é :
 AA Aa aa 

 N
 D H R 
0
0
0
g0
f (A) =
em que
D0 + H0 2
N
=p
f ( a) =
e
R0 +
H0
N
2 =q
Admitindo, como foi feito anteriormente, que o número médio de descendentes
por entidade reprodutora seja o mesmo e representando esse número pelo próprio
número de cruzamentos ocorridos, podemos ver que, nas gerações seguintes, a
população terá as seguintes constituições:
geração
0
1
AA
Aa
aa
d0
h0
h0
2
r0
d0 +
h0
4
r0 +
h0
4
22
h0 h0
+
4 8
h0
4
...
...
...
1 
1 1
d0 + h0 . + + ...+
4 8
2.2n 
h0
n
2
1 
1 1
r0 + h0 . + + ...+
4 8
2.2n 
2
d0 +
...
n
r0 +
h0 h0
+
4 8
No equilíbrio, teremos:
h
dˆ = d0 + 0
2
;
hˆ = 0
e
rˆ = r0 +
h0
2
, pois
1
=1
i
i→ ∞
i =1 2
lim ∑
Portanto, na enésima geração, a população estará em
constituída apenas pelas duas classes homozigotas.
Em equilíbrio, a composição genética da população será:
AA
Aa
aa
p
0
q
equilíbrio
e
será
Como se pode ver, não ocorreram mudanças nas freqüências gênicas, mas apenas
nas freqüências genotípicas, sendo que o valor da classe heterozigota foi
diminuindo e os valores das classes homozigotas, aumentando. A endogamia não produz
modificação em freqüências gênicas, mas pode ser
importante, por exemplo, na
eliminação mais rápida de genes letais ou detrimentais da população, quando
associada à seleção natural.
Podemos definir um índice de heterozigose da população, h /h , chamado por
n 0
Wright de índice de pan-mixia, P:
P=
hn
h0
No exemplo que acabamos de examinar, o índice de heterozigose P, é zero,
porque h é zero; isso significa que, nessa população, não há qualquer parcela que
n
seja pan-mítica, isto é, ela é totalmente formada por indivíduos que se cruzam por
autofecundação.
O complemento de P, isto é, (1-P), é o coeficiente de endocruzamento F:
F =1−P =1−
hn h0 − hn
=
h0
h0
O coeficiente de endocruzamento F pode variar entre 1 (quando hn for igual a
zero) e zero (quando hn for igual a h0):
h0 − 0
=1
h0
h0 − h0
=0
h0
Podemos interpretar o coeficiente F como sendo um fator de proporcionalidade
que divide a população em duas partes, uma fração F, na qual haveria endocruzamento
total, e uma fração 1-F, completamente pan-mítica.
Assim, poderíamos dizer que uma população
AA
Aa
aa
23
em que existisse um coeficiente de endocruzamento F, constante ao
gerações, seria constituída por uma fração F de indivíduos autozigotos
AA
Aa
aa
p
0
q
longo
das
e uma fração 1-F constituída por indivíduos alozigotos
AA
2
p
Aa
aa
2
q
2pq
Ou então:
(1 − F).(p2 + 2 pq + q2 ) + F(p + 0 + q)
Se desdobrarmos esses termos e efetuarmos a soma, teremos:
p 2 + 2 pq + q 2 − Fp 2 − 2Fpq − Fq 2 + Fp + Fq
que, reescrito, dará
p 2 − Fp2 + Fp + 2pq − 2Fpq + q 2 − Fq2 + Fq
que será igual a:
p 2 + Fp(1 − p) + 2pq − 2Fpq + q2 + Fq(1 − q) =
= p2 + Fpq + 2 pq − 2Fpq + q 2 + Fpq
= p2 + Fpq + 2 pq(1 − F) + q2 + Fpq
ou seja:
AA
Aa
aa
2
p +Fpq
2pq(1-F)
2
q +Fpq
Essa é a distribuição de freqüências de uma população com coeficiente de
endocruzamento F. Essa população está num equilíbrio conhecido pelo nome de
equilíbrio de Wright, uma vez que esse tipo de equilíbrio foi demonstrado, pela
primeira vez, por esse autor.
EXERCÍCIOS:
1)Dadas as populações pan-míticas, com a constituição abaixo,
AA
Aa
aa
Pop. 1
356
713
356
Pop. 2
523
698
232
Pop. 3
544
467
100
Pop. 4
40
316
632
quais seriam as suas composições genotípicas se passassem
endocruzamento com um coeficiente F = 0,10? e com F=0,25?
a
2) Calcule os coeficientes F de endogamia das seguintes populações:
um
regime
de
24
Pop.
Pop.
Pop.
Pop.
1
2
3
4
AA
672
43
243
258
Aa
256
125
298
661
aa
72
182
113
258
Mutações
Toda variabilidade genética existente origina-se por mutações, que podem ser
induzidas ou espontâneas. Em ambos os casos, podemos considerar que as mutações são
recorrentes, ou seja, não são eventos únicos. Seja para sítio de nucleotídeo,
aminoácido ou para genes inteiros, a probabilidade de ocorrência de mutação é a
chamada taxa. No caso de processos evolutivos, as mutações importantes são aquelas
que envolvem a linhagem germinativa, na produção de gametas. No entanto, os modelos
vistos a seguir podem ser facilmente modificados para mutações somáticas, tais como
aquelas que envolvem a origem de tumores, ou no caso de propagação vegetativa. As
taxas de mutação são expressas em termos de proporção de gametas mutantes que
aparecem por geração por gene (ou por sítio). O modelo a seguir considera um loco
com dois alelos, A e a.
Sendo µ a taxa de mutação de A para a, e p0 e q0 as respectivas freqüências
gênicas na geração inicial, então podemos escrever:
p1 = p0 (1 − µ)
p2 = p1 (1 − µ) = p0 (1 − µ)(1− µ) = p0 (1− µ) 2
da mesma forma:
p3 = p2 (1− µ) = p0 (1− µ) 2 (1− µ) = p0 (1 − µ)3
pn = p0 (1 − µ)n
logo:
pn (1 − qn )
=
= (1 − µ )n
p0 (1 − q0 )
multiplicando µ por n/n
e substituindo p por 1-q temos:
(1 − q n )
nµ n
= (1 −
)
(1 − q 0 )
n
A função exponencial (ex ) é definida por
ex =
lim 
x n
1
+
n → ∞
n
e se considerarmos um número grande de gerações,
(1 − q n )
≅ e − nµ
(1 − q 0 )
tomando os logaritmos naturais (na base e) de ambos os lados da equação:
−nµ ≅ ln(1 − qn ) − ln(1− q0 )
Portanto podemos calcular aproximadamente quantas gerações são necessárias para que
um determinado gene mude de freqüência com um determinado ∆q, sabendo-se sua
freqüência inicial e sua taxa de mutação:
25
n≅
ln(1 − q 0 ) − ln(1 − q n )
µ
Mutação reversa
É possível que o alelo A mute para a com taxa µ e que o alelo a mute para A
com taxa v:
µ
A 
→a
A ←
ν a
Assim, em cada geração teremos uma variação nas freqüências dos alelos, que
pode ser expressa por:
∆q = µ. p − ν . q
Haveria equilíbrio quando ∆q = 0. Neste caso:
µp = vq sendo p = 1-q, segue
µ(1-q) = νq
µ - µq = νq
µ = (µ + ν)q
Logo, q (em equilíbrio) =
q$ =
µ
µ +ν
Note que para este equilíbrio ser alcançado,
o número de gerações é muito grande, pois as taxas são muito pequenas.
Efeitos das migrações e suas aplicações
Abordaremos este assunto primeiramente examinando o modelo proposto por Glass
e Li (1953). Sejam:
q0 - freqüência original de determinado alelo na população que recebe os migrantes.
Q - freqüência do mesmo alelo na população migrante;
qn - freqüência do mesmo alelo na população resultante na geração n;
m
- fração do “pool” gênico que é substituída a cada geração por genes de
migrantes, através do inter-cruzamento.
Temos, portanto:
q1 = (1 − m)q 0 + mQ
q 2 = (1 − m) q1 + mQ = (1 − m) 2 q0 + mQ[1 + (1 − m)]
q3 = (1 − m)q2 + mQ = (1 − m)3 q0 + mQ[1 + (1 − m) + (1 − m)2 ]
...
qn = (1− m) n q0 + mQ[1 + (1− m) + (1 − m)2 ...+ (1− m)n−1 ]
Entre colchetes temos uma soma de termos de uma progressão geométrica, onde o
n-1
primeiro termo (a1)=1; o último termo (an)=(1-m)
e a razão (q)=(1-m)
A fórmula geral para a soma dos termos dessa progressão é:
26
n
∑aq
i =1
1
i
=
an × q − a1
q −1
portanto:
 (1− m) n−1 × (1 − m) − 1
qn = (1− m) n q0 + mQ 
 =
(1 − m) − 1

 (1− m) n − 1
= (1− m) n q0 + mQ 
= (1− m) n q0 + Q[1 − (1− m)n ] =

−
m


= (1− m) n q0 + Q − Q(1 − m) n = (1− m)n (q0 − Q) + Q
q n − Q = (1 − m) n (q 0 − Q)
q n = (1 − m) n (q0 − Q) + Q
(1 − m) n =
(q n − Q)
(q 0 − Q)
 (q − Q) 
ln(1− m)n = ln  n
 (q0 − Q) 
 (q − Q) 
n ln(1 − m) = ln  n
 (q0 − Q) 
ln
e
n=
 (qn − Q) 
 (q0 − Q) 
ln(1− m)
=
ln(qn − Q) − ln(q0 − Q)
ln(1− m)
Exercícios:
1. Uma população tem um alelo em um loco autossômico com freqüência 0,2. Passa a
receber uma proporção fixa de 10% de migrantes de outra população cuja freqüência
deste mesmo alelo é 0,8. Após 5 gerações, qual será a freqüência deste alelo na
população que recebeu os migrantes? Após quantas gerações este alelo terá a
freqüência 0,65? E após quantas gerações este valor será 0,78?
DERIVA GENÉTICA
Seja uma população
gerações; sejam ainda p
e q
0
0
de tamanho finito N, constante ao longo das
as freqüências dos alelos A e a de um loco
autossômico na geração 0; como o tamanho da população é constante, a geração 1 é
formada da união de 2N gametas ao acaso dentre os indivíduos da geração 0:
(p0+q0)2N;
q1 pode tomar, portanto, qualquer um dos (2N+1) valores seguintes:
0
1
2
2 N − 2 2N −1 2N
;
;
; ...;
;
;
2N 2N 2 N
2N
2N
2N
27
A probabilidade de que q tome o valor particular qj = j/2N é
 2N  2 N − j j  2N 
.p
.q =
.(1 − q)2 N − j .q j
 j 
 j 
Onde
 2N 
(2N)!
=
 j  j!(2N − j)!
(combinação de 2N elementos j a j)
Seja o seguinte exemplo: N = 2, 2N = 4 genes; p0 = q0 = 1/2
f(A) = p = 1
f(a) = q = 0
estado j = 0
3/4
1/4
1
1/2
1/2
2
1/4
3/4
3
0
1
4
As probabilidades de que a população 1 esteja nos estados j = 0, 1, 2,
3 ou 4 são, respectivamente,
0:
1:
2:
3:
4:
(1/2)4 = 1/16
4(1/2)3(1/2) = 1/4
6(1/2)2(1/2)2 = 3/8
4(1/2)(1/2)3 = 1/4
(1/2)4 = 1/16
o que define o vetor da linha
Q(1) = (1/16 1/4 3/8 1/4 1/16).
Se a população 1 estiver no estado j = 0 (p1 = 1, q1 = 0), o que ocorre
com uma probabilidade de 1/16, as probabilidades de que a população 2 esteja nos
estados j = 0, 1, 2, 3, 4 são, respectivamente,
0:
1:
2:
3:
4:
1
0
0
0
0.
Se a população 1 estiver no estado j=1 (p1 = 3/4, q1 = 1/4), o que
ocorre com uma probabilidade de 1/4, as probabilidades de que a população 2 esteja
nos estados j = 0, 1, 2, 3, 4 são, respectivamente,
0:
1:
2:
3:
4:
(3/4)4 = 81/256
4(3/4)3(1/4) = 27/64
6(3/4)2(1/4)2 = 27/128
4(3/4)(1/4)3 = 3/64
(1/4)4 = 1/256.
Se a população 1 estiver no estado j=2 (p1 = q1 = 1/2), o que ocorre
com uma probabilidade de 3/8, as probabilidades de que a população 2 esteja nos
estados j=0, 1, 2, 3, 4 são respectivamente,
0:
1:
2:
3:
4:
(1/2)4 = 1/16
4(1/2)3(1/2) = 1/4
6(1/2)2(1/2)2 = 3/8
4(1/2)(1/2)3 = 1/4
(1/2)4 = 1/16.
Se a população 1 estiver no estado j=3 (p1 = 1/4, q1 = 3/4), o que
ocorre com uma probabilidade de 1/4, as probabilidades de que a população 2 esteja
nos estados j = 0, 1, 2, 3, 4 são, respectivamente,
28
0:
1:
2:
3:
4;
(1/4)4 = 1/256
4(1/4)3(3/4) = 3/64
6(1/4)2(3/4)2 = 27/128
4(1/4)(3/4)3 = 27/64
(3/4)4 = 81/256.
Se a população 1 estiver no estado j=4 (p1 = 0, q1 = 1), o que ocorre
com uma probabilidade de 1/16, as probabilidades de que a população 2 esteja nos
estados j=0, 1, 2, 3, 4 são, respectivamente,
0:
1:
2:
3:
4:
0
0
0
0
1.
29
Logo, as probabilidades de que a população 2 esteja nos estados j = 0,
1, 2, 3, 4 são, respectivamente,
0: 1/16 x 1 + 1/4 x 81/256 + 3/8 x 1/16 + 1/4 x 1/256 + 1/16
x 0 = 85/512 = 0,166016
1: 1/16 x 0 + 1/4 x 27/64 + 3/8 x 1/4 + 1/4 x 3/64 + 1/16
x 0 = 27/128 = 0,210938
2: 1/16 x 0 + 1/4 x 27/128 + 3/8 x 3/8 + 1/4 x 27/128 + 1/16
x 0 = 63/256 = 0,246094
3: 1/16 x 0 + 1/4 x 3/64 + 3/8 x 1/4 + 1/4 x 27/64 + 1/16
x 0 = 27/128 = 0,210938
4: 1/16 x 0 + 1/4 x 1/256 + 3/8 x 1/16 + 1/4 x 81/256 + 1/16
x 1 = 85/512 = 0,166016
o que define o vetor de linha
Q(2) = (85/512
27/128
63/256
27/128
85/512).
Sob forma matricial, as operações podem ser reescritas como
1
16
1
4
3
8
1
4
0
0
0
0 
 1
81
27
27
3
1

64
128
64
256 
1   1256
1
3
1
1

×
4
8
4
16
16   1 16

3
27
27
81
256
64
128
64
256


0
0
0
1 
 0
[
= 85 512 27 128 63 256 27128 85 512
]
ou, abreviadamente, Q(1).T = Q(2), em que T é uma matriz transicional de
probabilidades condicionais (matrizes desse tipo caracterizam-se por suas linhas
somarem 1).
Generalizando, Q(n).T = Q(n+1).
O que foi visto foi a análise de um processo em que, dadas as condições
de uma determinada população (tamanho e freqüência), podemos determinar as
probabilidades da população estar na mesma condição (freqüências gênicas iguais) ou
em condições diferentes. Como a deriva genética é um processo de amostragem casual,
não podemos prever o que pode acontecer com a freqüência gênica de uma determinada
população pequena.
O que pode ser feito, no entanto, é estudar o comportamento de um
número muito grande de populações com mesmo tamanho, em que podemos esperar que
algumas aumentem as freqüências gênicas, outras diminuam e outras permaneçam com
freqüências gênica iguais.
A teoria da Estatística nos fornece meios de prever a dispersão das
freqüências gênicas em muitas populações. Para isso, usamos a medida da variância,
na enésima geração, em um grupo de populações que na geração 0 têm as mesmas
freqüências gênicas. A previsão da variância no decorrer das gerações exige
conhecimentos avançados de Estatística, mas está representada abaixo apenas para
ilustração:
Na geração 0, não há variação, todas as freqüências são idênticas, portanto:
σ 02 = 0
Na primeira geração (da distribuição binomial):
σ 12 =
q0 (1 − q0 )
2N
A média das freqüências é igual a esperança:
30
E(q1 ) = q0 = q
e a variância:
σ 12 = E(q12 ) − q2 = E(q12 ) − q02
q (1 − q0 )
∴ E(q12 ) = σ 12 + q02 = q02 + 0
2N
A proporção de heterozigotos esperada na geração 1 é:
h1 = E(2 p1q1 ) = 2E(q1 ) − 2E(q1 2 ) = 2q0 − 2q02 −
2q0 (1 − q0 ) −
2q0 (1 − q0 )
=
2N
2q0 (1− q0 )
1 

= 2q0 (1 − q0 ) 1 −
=
2N
2N 
1 
h0  1 −
∴

2N 
como a proporção de heterozigotos de uma geração é a multiplicação da quantidade de
heterozigotos da geração seguinte por uma constante, na n-ésima geração:
1 n

hn = h0  1 −
2N 
A variância na n-ésima geração:
σ n2 = E(qn2 ) − q02
Colocando o termo
E(q2n )
em termos de hn(que já conhecemos) e q0:
hn = E(2 pn qn ) = E [2qn (1 − qn )] = 2E(qn ) − 2E(qn2 ) = 2q0 − 2E(qn2 )
E(q2n ) =
2q0 − hn
2
hn
1 n

2
2
σ = q0 − − q0 = q0 − q0 − q0 (1 − q0 ) 1−
=
 2N 
2
2
n
1 n

= q0 (1 − q0 ) − q0 (1 − q0 ) 1−  =
2n
 
1 n
= q0 (1 − q0 ) 1 − 1−
  2N  
 
1 n
σ = p0 q0 1−  1 −
2N  

2
n
O limite de
σ 2n
quando n tende a infinito é q (1-q ).
0
0
A Tabela abaixo mostra, para um número infinito de populações
compostas, cada uma, por N = 2 indivíduos com p = q = 1/2 na geração inicial, os
0
0
31
valores das probabilidades dos estados j = 0, 1, 2, 3, 4 e da variância
calculados segundo os métodos mostrados anteriormente.
j
geração
0
1
2
3
4
5
10
15
20
25
∞
0
1
2
3
4
σ 2n
0,000000
0,062500
0,166016
0,248962
0,311670
0,358748
0,466480
0,492046
0,498112
0,499552
0,500000
0,000000
0,250000
0,210938
0,160400
0,120506
0,090399
0,021453
0,005091
0,001208
0,000287
0,000000
1,000000
0,375000
0,246094
0,181274
0,135647
0,101706
0,024124
0,005727
0,001359
0,000323
0,000000
0,000000
0,250000
0,210938
0,160400
0,120506
0,090399
0,021453
0,005091
0,001208
0,000287
0,000000
0,000000
0,062500
0,166016
0,248962
0,311670
0,358748
0,466480
0,492046
0,498112
0,499552
0,500000
0,000000
0,062500
0,109375
0,144531
0,170898
0,190674
0,235922
0,246659
0,249207
0,249812
0,250000
σ 2n ,
Seleção Natural
"I have called this principle, by which each slight
variation, if useful, is preserved, by the term
Natural Selection, in order to mark its relation to
man's power of selection."
(Denominei este princípio, pelo qual cada variação
diminuta, se útil, é preservada, com o termo Seleção
Natural, com a finalidade de salientar sua relação com
o poder humano de seleção.)
Darwin, The origin of Species, cap III.
Quando Darwin estabeleceu o conceito de seleção natural comparou-a com a
prática da seleção genética de animais e plantas (domesticação), que vinha sendo
realizada com sucesso desde há muito tempo. A seleção artificial era sempre
direcionada para o desenvolvimento de características desejáveis pelos seres
humanos, chegando a satisfazer até mesmo caprichos bizarros. Em princípio, o que se
fazia era escolher os organismos que apresentassem caracteres interessantes para
serem os reprodutores. Darwin raciocinou acertadamente que, na natureza, aqueles
indivíduos que apresentassem atributos que aumentassem a chance de deixar mais
descendentes deixavam mais descendentes. Se estes atributos fossem hereditários e
variáveis, os descendentes dos indivíduos "mais aptos" apresentariam, com maior
probabilidade, as características de sucesso. Este raciocínio é correto uma vez que
as chances de sucesso dependem de fatores extrínsecos aos organismos, os chamados
fatores ambientais, que podem ser, inclusive, outros organismos, tais como
predadores, parasitas, competidores, etc. A dependência com relação ao ambiente
confere significado ao que se conhece como "valor adaptativo". A variação não
genética (ou variação ambiental) por não ser herdada, não influencia o valor
adaptativo. A potencialidade genética para responder ao ambiente, por ser herdável,
também é passível de seleção.
O valor adaptativo, além de ser dependente dos fatores ambientais, é de
natureza estatística. Um indivíduo com um genótipo que apresenta características
vantajosas para uma determinada situação ambiental pode ter insucesso reprodutivo,
enquanto outros não geneticamente favorecidos podem deixar proles enormes. Neste
caso, diferenças entre valores adaptativos são diferenças entre médias apresentadas
pelos diversos indivíduos de cada genótipo.
O valor adaptativo, por ser um parâmetro que depende de genótipo, é sempre
relativo aos outros genótipos.
32
Cálculo do valor adaptativo.
O valor adaptativo é calculado geralmente a partir da divisão dos indivíduos
em classes genotípicas com relação a apenas uma fração da variação genética
existente, considerando que a variação restante tem efeito igual sobre os genótipos
a ser analisados. Exemplificando: se quisermos verificar o efeito sobre o sucesso
reprodutivo que a variação em um loco com dois alelos exerce, dividimos os
indivíduos em três classes: AA, Aa e aa. Dentro de cada uma destas classes haverá
variantes em outros locos (BB, Bb e bb; CC, Cc e cc, etc.), mas como a divisão não
considera estes locos, pode-se admitir que eles atuam de forma semelhante sobre
o(s) loco(s) cujas classes genotípicas serviram de base para a divisão.
Aqui cada classe genotípica pode ser analisada quanto a qualquer componente do
valor adaptativo, por exemplo, número de ovos, sementes, taxa de fertilidade, etc.,
mas a avaliação global do valor adaptativo são as próprias relações entre
freqüências de duas gerações consecutivas.
Sejam as freqüências genotípicas na geração inicial:
AA
d0
Aa
h0
aa
r0
Aa
h1
aa
r1
e na geração seguinte:
AA
d1
os valores adaptativos serão:
w1(genót. AA)=
d1
d0
w2(genót. AA)=
h1
h0
.
w1(genót. aa)=
r1
r0
como são valores relativos, os valores adaptativos podem
dividindo-se cada um deles pelo maior, que passará a valer 1.
ser
normalizados
Exemplo: Tomou-se uma população de 1000 indivíduos que foi observada por duas
gerações obtendo-se os resultados:
AA
250
360
Aa
500
480
aa
250
160
Os valores adaptativos para cada um dos genótipos são, portanto:
w1 = 360 =1,44
250
normalizando:
w1= 1,44
1,44
= 1,00
w2= 480
500
w2= 0,96
1,44
=0,96
w3= 160
250
= 0,67
= 0,64
w3 = 0,64
1,44
= 0,44
Assim, os indivíduos de
genótipo Aa deixam, em média 67% de descendentes com
relação aos de genótipo AA e os de genótipo aa deixam apenas 44%, com relação ao
mais adaptado (AA).
O modelo geral de seleção.
33
O conceito de valor adaptativo nos permite fazer previsões com relação à
composição genética de populações naturais, desde que aplicadas a modelos
matemáticos adequados. Supondo um sistema de cruzamento ao acaso (pode-se modelar
com outros sistemas, sendo que a seqüência de procedimentos é a mesma). Supõe-se
também um loco com dois alelos e com valores adaptativos constantes ao longo do
tempo. Temos:
Genótipos
AA
Aa
aa
valores
W1
W2
W3
p2
2 pq
q
p 2 .w1
2 pq.w2
q 2 .w3
Total
adaptativos
freqüências antes
da seleção
2
1
contribuição
proporcional
freqüências após
seleção
p 2 .w1
w
2 pq.w2
w
q 2 .w3
w
w
1
O valor adaptativo médio - w - (Atenção, w NÃO é uma média aritmética
simples, é a média ponderada dos valores adaptativos dos genótipos pelas
freqüências genotípicas) nos mostra o quanto a população como um todo está
adaptada. Por ser uma média ponderada pelas freqüências genotípicas, com valores
adaptativos iguais, o valor adaptativo médio pode assumir diversos valores.
A quantidade de seleção sofrida por cada um dos genótipos também pode ser
expressa através do valor complementar ao do valor adaptativo, o coeficiente de
seleção:
s1 = 1 - w1
s2 = 1 - w2
s3 = 1 - w3
Casos especiais
I. Seleção contra homozigotos recessivos
( w1 = w2 > w3)
obs: como só existe um coeficiente de seleção, ele será, neste caso, designado
apenas por s.
Genótipos
AA
Aa
aa
Total
valores
1
1
(1 − s)
p2
2 pq
q2
1
p2
2 pq
q 2 (1− s)
w = 1 − sq2
adaptativos
freqüências antes
da seleção
contribuição
proporcional
34
p2
1 − sq2
freqüências após
seleção
2 pq
1 − sq2
q 2 (1− s)
1 − sq2
1
a freqüência do alelo a na próxima geração será (r+h/2):
q1 =
q 2 − sq 2 + pq q 2 − sq2 + q(1 − q) q2 − sq2 + q − q 2 q − sq 2
=
=
=
1− sq 2
1− sq2
1− sq2
1 − sq2
A variação da freqüência gênica de a,
∆q
será:
q − sq2
q − sq 2 − q(1 − sq 2 )
sq2 + sq3
∆q = q1 − q0 =
−q=
=−
1 − sq2
1 − sq 2
1 − sq2
sq2 (1 − q)
∆q = −
1 − sq2
(seleção contra homozigotos recessivos)
Como s e q são quantidades positivas e menores que 1, q será sempre negativo, ou
seja, haverá seleção até a extinção do alelo a.
Se a seleção for total (s=1), poderemos prever a freqüência do gene a (q) para a nésima geração:
q(1 − q )
q − q2
q
q1 =
=
=
2
1−q
(1 + q)(1 − q) 1+ q
q2 =
q1
,
1+ q1
reaplicando
q0
1 + 3q0
e
q
q
1+q
1+ q
q
=
q = 1 + q + q = 1 + 2q
1+
1+q
1+ q
assim
q3 =
qn =
q0
1+ nq0
(quando há seleção total contra homozigotos
recessivos)
Se n fica muito grande, q tende a zero, ou seja, a população tende a ficar sem o
gene recessivo.
35
II. Seleção favorecendo heterozigotos.
(w1<w2>w3)
Genótipos
AA
Aa
aa
(1 − s1 )
1
(1 − s3 )
p2
2 pq
q2
1
p 2 (1− s1 )
2 pq
q 2 (1− s3 )
w = 1 − s1 p 2 − s3q 2
2 pq
w
q 2 (1− s3 )
w
valores
Total
adaptativos
freqüências antes
da seleção
contribuição
proporcional
freqüências após
seleção
p 2 (1− s1 )
w
1
a freqüência do alelo a na próxima geração será (r+h/2):
q 2 − s3 q2 + pq q2 − s3 q2 + q − q2
q − s3q 2
q1 =
=
=
1− s1 p 2 − s3 q 2
1 − s1 p 2 − s3q 2
1− s1 p2 − s3 q 2
a diferença entre duas gerações consecutivas (∆q) será:
q − s3 q2 − q(1 − s1 p2 − s3q 2 ) q − s3 q2 − q + s1 p2 q + s3 q3
∆q = q1 − q =
=
=
1 − s1 p2 − s3 q2
1− s1 p2 − s3 q 2
2
s1 p 2 q + s3 q3 − s3 q2 q(s1 p2 + s3 q2 − s3 q) q[ s1 p − qs3 (1 − q)]
=
=
=
=
1− s1 p 2 − s3 q 2
1 − s1 p 2 − s3q 2
1 − s1 p2 − s3 q2
=
q(s1 p2 − qs3 p)
1− s1 p2 − s3 q 2
∆q =
=
pq(s1 p − s3 q)
1− s1 p2 − s3 q 2
(para seleção a favor de heterozigotos)
Este valor (∆q) assumirá um valor negativo ou positivo dependendo das freqüências
gênicas. Isto significa que existe um valor de
equilíbrio
onde
as
freqüência
gênicas não mudarão. No equilíbrio, portanto as relações serão constantes:
p1 q1
=
p
q
; substituindo:
p − s1 p2 q − s3q 2
=
wp
wq
então:
p(1− s1 p) q(1 − s3 q)
=
wp
wq
1 − s1 p = 1 − s3 q ;
portanto
s1 p = s3 q ; s1 (1− q) = s3 q
36
qˆ =
s1
s1 + s3
(somente em equilíbrio, com superioridade do heterozigoto)
este é o valor da freqüência genica q, em equilíbrio, significando que esta depende
apenas das intensidades dos coeficientes de seleção contra os homozigotos.
Equilíbrio entre mutação e seleção
Mutações dominantes deletérias são imediatamente eliminadas assim que surgem
na
formação
de
heterozigotos.
Mas
as
mutações
recessivas
se
mantêm
nos
heterozigotos. Para estudarmos o equilíbrio entre mutação recorrente para um gene
recessivo deletério, podemos combinar os modelos de seleção contra homozigotos
recessivos com o modelo de mutação.
A proporção de genes recessivos novos que entra em cada geração por mutação é:
µ.(1 − q)
A proporção de alelos que é eliminada por seleção contra homozigotos é:
sq2 (1 − q)
∆q = −
1 − sq2
Se o coeficiente de seleção for alto, ou seja, se o alelo em homozigose for
deletério, este ocorrerá em freqüência baixa, de tal forma que 1-q será um valor
próximo de 1. Neste caso, 1-sq
2
será praticamente 1. Podemos escrever então:
µ(1 − q) = sq2 (1 − q)
µ
)
µ = sq 2 ∴ qˆ2 =
s
No equilíbrio:
Podemos estimar, então, no equilíbrio entre mutação e seleção:
qˆ =
µ
s
e no caso de s=1 (gene letal):
qˆ =
µ
Estas equações têm sido utilizadas na estimativa indireta de taxas de mutação em
organismos diplóides.
37
Exercícios de Genética de Populações
1. Em uma população, as freqüências genotípicas absolutas são as seguintes:
AA
100
Aa
300
aa
380
Responda:
a)quais são as freqüências gênicas e genotípicas relativas?
b)esta população está em equilíbrio de Hardy-Weinberg com relação a este par de
alelos?
c)qual é a freqüência esperada de cruzamentos AA x aa ?
d)dentre os indivíduos aa da próxima geração, que proporção será oriunda apenas de
cruzamentos aa x aa?
2. Dada a distribuição de freqüências genotípicas:
AA
Aa
aa
d
h
r
para uma população pan-mítica, qual é a freqüência esperada de cruzamentos:
a) machos aa x fêmeas AA
b) machos aa x fêmeas Aa
c) entre indivíduos AA e Aa
indique, em cada caso, a freqüência de descendentes machos de genótipo Aa (lembrese que há descendentes machos e fêmeas).
3. Dada a população:
AA
Aa
aa
200
300
500
qual será a distribuição de freqüências genotípicas na geração seguinte, admitindose que os cruzamentos ocorrerão totalmente ao acaso?
4. Em uma população em equilíbrio de Hardy-Weinberg, existem 2 vezes mais
homozigotos de um dos tipos que heterozigotos, para um loco autossômico com dois
alelos. Quais são as freqüências dos alelos?
5. Temos, em um laboratório, duas populações de uma mesma espécie, com as seguintes
composições de um caráter codominante:
população I
população II
AA
36
40
Aa
48
120
aa
16
97
Juntando-se estas duas populações, que deverão se comportar como uma única
população pan-mítica, pergunta-se:
a)quais são as freqüências gênicas e genotípicas das duas populações quando
separadas e quando juntas?
b)quais serão as freqüências genotípicas da geração seguinte na população juntada.
6. Das populações abaixo, qual delas não se encontra evidentemente em equilíbrio de
Hardy-Weinberg? Por quê?
pop. 1
pop. 2
AA
143
340
Aa
632
483
aa
225
177
N
1000
1000
7. De uma população de uma espécie de inseto, foram analisados 1000 indivíduos
quanto à pigmentação do tórax. Destes, 40 eram granulados, 640 estriados e 320
uniformes. Considerando equilíbrio de H.W., aponte o genótipo heterozigoto, supondo
herança codominante e um par de alelos.
8. Construa 4 populações com 1000 indivíduos com genótipos formados pelos alelos
'A' (freqüência=0,6) e 'a' (freqüência=0,4), que NÃO estejam em equilíbrio de H.W.
Demonstre isto com o emprego do teste de qui-quadrado.
9. Demonstre, gráfica ou algebricamente, que uma população com dois alelos não
poderá ter freqüência de heterozigotos superior a 0,5, se em equilíbrio de H.W.
38
10. Um sistema genético é constituido por 4 alelos autossômicos codominantes,
designados pelas letras A,B,C e D. Se uma população é pan-mítica e as freqüências
dos alelos são respectivamente 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4 quais são as freqüências
genotípicas esperadas?
11. Em uma população de Prochilodus scrofa (curimbatá), Galhardo (1989), estudando
um polimorfismo de transferrinas do plasma sanguíneo, encontrou 5 alelos (TfA, TfB,
TfC, TfD e TfE), assim distribuídos nos genótipos:
genótipo Tf
N. indivíduos
AA AB AC
22 19 17
AD AE BB
13 12 29
BC BD BE
25 29 12
CC CD CE
34 22 25
DD DE EE
29 23 28
Calcule:
a)as freqüências genotípicas relativas de cada genótipo
b)as freqüências absolutas esperadas
c)o número de graus de liberdade para um teste de qui-quadrado
12. Com n alelos em um loco autossômico, quantos genótipos homozigotos são
possíveis? E heterozigotos?
13. Que proporção de crianças MN tem mães MN?
14. Que proporção de pessoas MM tem ambos os progenitores MM?
15. Numa população em equilíbrio de H.W. existem 10 vezes mais genótipos MN que NN.
Qual é a freqüência do alelo N?
16. Um indivíduo é falsamente acusado de haver cometido um roubo. O verdadeiro
ladrão, ao arrombar o cofre, machucou a mão. Isso permitiu determinar que o ladrão
pertencia aos grupos sanguíneos M do sistema MN e O (genótipo ii) do sistema ABO.
Qual é a chance de que, uma vez determinados os grupos sanguíneos MN e ABO do
indivíduo falsamente acusado, ele seja excluído dessa acusação? Sabe-se que a
freqüência do gene M é 0,55 e a freqüência do gene i é 0,65.
17. Qual a probabilidade de uma mãe Rh- ter um filho Rh+?
18. Em algumas variedades de carneiros, a presença de chifres é determinada por um
alelo que é dominante nos machos e recessivo nas fêmeas. Se 96% dos machos têm
chifres, qual é a proporção de fêmeas que os apresentam?
19. Usando o programa SUPERPOP (exercícios 19-23), na opção de genes ligados ao
sexo, inicie algumas populações com freqüências gênicas iguais e diferentes para os
dois sexos - pf igual a pm ,e pf diferente de pm , onde pf é a freqüência do gene A
nas fêmeas e pm é a freqüência do mesmo alelo nos machos. Simule pelo menos 2
situações para freqüências iguais e 3 para diferentes. Tente obter também uma
situação na qual as freqüências iniciem com valores diferentes para machos e para
fêmeas e que se obtenha no final pf =pm =0,4. Tente novamente, só que com freqüência
final pf =pm =0,8. Em seguida, procure responder as seguintes questões:
20. Considerando a geração genérica t (em relação à geração t-1), qual é a
freqüência pf (das fêmeas)?
21. Qual é a freqüência pm (dos machos)?
22. Este modelo é válido se a razão sexual for diferente de 1:1? Por quê?
23. Para as freqüências gênicas iniciais pf0 =0,80 e pm0 =0,20, calcule as freqüências
para machos e fêmeas durante 6 gerações de cruzamentos ao acaso.
39
24. Na Drosophila melanogaster, a característica Bar (olho com um número reduzido
de omatídeos) é condicionada por um gene b (na verdade uma duplicação gênica),
situado no cromossomo X. As fêmeas heterozigotas Bb apresentam o fenótipo
“reniforme”. Uma população é constituída por:
320 fêmeas com olho normal
236 fêmeas com olho reniforme
44 fêmeas com olho Bar
174 machos com olho normal
126 machos com olho Bar
Calcule, admitindo pan-mixia, nesta geração e na geração seguinte as freqüências
gênicas:
a) entre machos e fêmeas separadamente
b) na população total
Verifique se a população encontra-se em equilíbrio para genes ligados ao sexo.
25. Numa amostragem de 150 homens e 300 mulheres, Tönz e Rossi (1964) verificaram a
seguinte distribuição de genótipos quanto à deficiência de G6PD (enzima codificada
por um gene ligado ao cromossomo X):
Genótipo
N
A
X Y
137
a
X Y
13
A A
X X
247
A a
X X
50
a a
X X
3
a
Estime a freqüência do alelo X na população masculina, na população feminina e na
população total. Verifique se a distribuição dos genótipos está em equilíbrio para
genes ligados ao sexo.
26. Usando o programa SUPERPOP, verifique os casos 1,2 e 3 de cruzamentos
preferenciais, usando valores diferentes de freqüências genotípicas iniciais
(cruzamento preferencial totalmente positivo, com dominância - caso 1 - cruzamento
preferencial totalmente positivo sem dominância - caso 2 - e cruzamento
preferencial totalmente negativo sem dominância - caso 3). Para cada um deles,
responda:
a. Existe mudança nas freqüências gênicas?
b. Quais são os valores de equilíbrio (para freqüências genotípicas)
c. Em que os valores de freqüências genotípicas iniciais influem nas
freqüências genotípicas de equilíbrio?
27. Baseado nos resultados obtidos no exercício anterior, com relação aos
resultados do caso 3, responda:
É estável um sistema de três sexos, cada um determinado por um dos genótipos
possíveis de um loco com dois alelos, onde cada sexo só pode se cruzar com qualquer
dos outros dois?
28. Verifique o que acontece com as freqüências genotípicas na população seguinte
durante 4 gerações de autofertilização:
AA
Aa
aa
0,1225
0,455
0,4255
29. Qual seria o coeficiente F de endogamia se ele fosse estimado após a segunda
geração de autofertilização da população acima?
30. Uma população tem dois alelos segregando em um loco, A e a. A freqüência do
alelo A é 0,46. O coeficiente de endocruzamento é 0,3. Calcule, para 1200
indivíduos, as freqüências genotípicas absolutas esperadas, no equilíbrio de
Wright. Faça o teste de equilíbrio de Hardy-Weinberg.
31. Quantas gerações são necessárias para que a freqüência de um genótipo recessivo
passe de 1/10.000 para 1/1.000 se a taxa de mutação para a formação deste gene
recessivo é de 10-6 ? (não considerar mutação reversa)
40
32. Um biólogo analisa três populações de uma espécie de peixe ao longo de um rio,
separadas por barragens. A população A está rio acima e não recebe migrantes. A
população B é intermediária e recebe migrantes da população C que está rio abaixo
mas não da população A. A população C apenas fornece migrantes para a população B.
A freqüência de um alelo é 0,32 na população A, 0,65 na população B e 0,80 na
população C. As populações A e B formavam uma única população antes da construção
das barragens e a população C passou a fornecer migrantes para a população B depois
da construção das barragens, em 1960. Este peixe tem uma única geração por ano.
Imaginando que a única fonte de alteração de freqüência deste gene se deve à
migração, responda:
a) Qual é a taxa de migração anual que a população B recebe?
b) Sabendo-se que os tamanhos das populações são constantes e que a população B
recebe 14 migrantes por ano, qual é o tamanho da população B?
c) Se a taxa de migração que a população B recebe fosse de 4% ao ano, qual seria a
freqüência gênica atual?
33. Uma população é composta por dois indivíduos heterozigotos (Aa). A cada
geração, a população é substituída por uma progênie também de dois indivíduos, um
macho e uma fêmea. Pergunta-se:
a) Qual é a freqüência gênica do alelo A na população inicial?
b) Quais são as probabilidades de, na geração seguinte, a população possuir
freqüências do alelo A igual a 1, 3/4, 1/2, 1/4 e 0?
c) Qual é a chance da população na geração 1 ter freqüência gênica exatamente igual
à da geração 0?
d) Qual é a chance da população, na geração 1 alterar a freqüência gênica em
relação à existente na geração 0?
e) Se a população na geração 0 fosse composta por 8 indivíduos heterozigotos Aa e o
tamanho da população fosse constante ao longo das gerações, qual é a chance de
ocorrer alteração na freqüência gênica na geração 1?
34. Spiess e colaboradores estudaram genótipos de Drosophila persimilis e
verificaram a sobrevivência relativa de cada um deles, obtendo os seguintes
resultados:
Genótipo
Sobrevivência
Em baixa densidade
Em alta densidade
37,3%
41,0%
48,3%
47,8%
50,0%
38,4%
WT/WT
WT/KL
KL/KL
Baseado nisto, responda:
a) quais são os valores adaptativos e os coeficientes de seleção nas duas condições
ambientais?
b) Quais serão as freqüências dos alelos na condição de equilíbrio nas duas
condições ambientais?
35. Uma população, na geração 0, ao nascimento, tem a seguinte composição
genotípica:
AA
0,16
Aa
0,48
aa
0,36
Para cada uma das combinações de valores adaptativos abaixo, calcule as freqüências
genotípicas ao nascimento (ou seja, após a população sofrer seleção e se
reproduzir, com cruzamentos ao acaso), na geração seguinte e após um número muito
grande de gerações (tendendo ao infinito).
caso 1
caso 2
caso 3
AA
1
1
0,3
Aa
1
0,8
1
aa
0,5
0,5
0,8
36. Uma população possui um alelo recessivo que é letal em homozigose. A freqüência
ao nascimento dos genótipos homozigotos recessivos é 1/160.000. Supondo-se
equilíbrio entre mutação e seleção, qual é a taxa de mutação para o alelo
recessivo? Consegue-se uma droga que cura parcialmente a doença provocada pelo
genótipo homozigoto. Com esta droga, a letalidade passa a ser de 50%. No
equilíbrio, quais serão as novas freqüências gênicas e genotípicas?
41
Projeto 1. Simulação de deriva genética.
Utilizando o programa SUPERPOP, seu grupo deverá simular o processo de deriva
genética. Como se trata de um fenômeno em que processos meramente casuais atuam em
populações biológicas, não é possível fazer previsões a respeito do resultado em
termos de direção (por exemplo, não é possível saber se uma freqüência gênica
aumentará ou diminuirá). Entretanto, a magnitude da variação pode ser prevista a
partir da variância teórica esperada:
σe2
t
 
 
1
 
= p0 q0 1 −  1 −
2N

 
p

2
onde δ e é a variância esperada, p0 e q0 são as freqüências gênicas iniciais, Np é
o tamanho da população e t é o número de gerações.
2
Temos também a equação de estimativa da variância (δ o , variância observada ou
experimental) a partir de dados observados que é:
N
∑( p − p )
2
i
σ o2 =
i =1
Na
esta fórmula é algebricamente equivalente a:
σ o2
 Na 
pi
Na
∑

2
i=1
pi −
∑
Na
= i =1
Na
2
, que é mais fácil de usar com uma calculadora,
onde pi é a i-ésima freqüência após t gerações, p é a média das freqüências
observadas após t gerações e Na é o número de freqüências abservadas após t
gerações.
O objetivo deste projeto é comparar as variâncias observadas e as variâncias
teóricas após 15 gerações em populações com tamanhos diferentes: 20, 50, 100, 200 e
500 indivíduos. O programa ilustra graficamente a variação da freqüência de um dos
alelos durante todas as gerações, mas os dados a serem utilizados serão apenas os
da geração 15. Utilize sempre a mesma freqüência p inicial para todas as simulações
(entre 0,33 e 0,66).
A comparação entre as variâncias experimentais e as variâncias teóricas pode
ser feita com o teste da razão, onde se estima o parâmetro F que é comparado com o
valor crítico:
F=
σo
σ 2e
2
O F crítico é obtido de uma tabela de valores F críticos, com nível de
significância (alfa) de 0,5; bicaudal, com 10 graus de liberdade no numerador e
infinitos graus de liberdade no denominador:
Fcritico0,05( 2)10,× = 2,05
42
Tamanho
N=20
F=
N=50
F=
N=100
F=
N=200
F=
N=500
F=
freqüências obtidas
p inical=
p=
p1=
p6=
p2=
p7=
p3=
p8=
σ 2e =
p4=
p9=
F =
p5=
p10 =
σ 2o =
p1=
p6=
p=
p2=
p7=
p3=
p8=
σ 2e =
p4=
p9=
F =
p5=
p10 =
σ 2o =
p1=
p6=
p=
p2=
p7=
p3=
p8=
σ 2e =
p4=
p9=
F =
p5=
p10 =
σ 2o =
p1=
p6=
p=
p2=
p7=
p3=
p8=
σ 2e =
p4=
p9=
F =
p5=
p10 =
σ 2o =
p1=
p6=
p=
p2=
p7=
p3=
p8=
σ 2e =
p4=
p9=
F =
p5=
p10 =
σ 2o =
Com os dados obtidos com o emprego do programa SUPERPOP, preencha a tabela acima e
responda:
1. A evolução observada através do processo de deriva genética é também chamada de
evolução não darwiniana. Por quê?
2. A variabilidade genética é uma medida que reflete a quantidade de variação
genética em um determinado grupo de organismos. Se neste grupo existem muitos
alelos com freqüência alta, há muita variabilidade genética. Numa população grande
que se fragmenta em muitas sub-populações pequenas, o que ocorre, depois de muito
tempo na variabilidade genética:
a) em cada uma das subpopulações.
b) na população como um todo
c) justifique.
43
44
Projeto 2. Simulação de seleção natural.
A seleção natural é considerada como o único processo modulador da evolução.
Ela atua sempre no sentido de levar as populações a um estado de maior
adaptabilidade. Dentro dos processos conhecidos que atuam na evolução dos
organismos, a seleção natural pode ter tanto a sua intensidade como sua direção
estabelecidas. A seleção natural é um processo estatístico, ou seja, ela atua
quando existem diferenças de probabilidades de que determinados genótipos ou
fenótipos deixem descendência viável. É importante salientar que a intensidade da
atuação da seleção natural é relativa, ou seja, um determinado genótipo pode ser
bem adaptado com relação a outros genótipos, mas pode não sê-lo se comparado a um
genótipo até então não existente.
Um modelo de seleção que pode ser utilizado para uma introdução ao assunto
é o elaborado por Sewall Wright e que analisa os efeitos de valores adaptativos (ou
coeficientes de seleção) para cada um dos três genótipos de um loco autossômico com
dois alelos. O programa SUPERPOP para micros simulará a mudança nas freqüências
gênicas em vários casos deste modelo.
PROCEDIMENTOS:
O programa precisa dos seguintes dados:
a)
a freqüência inicial do alelo A. Comece sempre com um valor alto (ex. 0.9).
Isto simularia uma situação na qual este alelo estaria quase monomórfico e o alelo
a surgisse por migração. Use também, para cada caso, valores iniciais diferentes.
b)
o coeficiente de seleção para cada um dos três genótipos. obs: como se trata
de um valor relativo, um dos genótipos deverá apresentar o coeficiente de seleção
igual a zero.
c)
o número de gerações.
situação
As seguintes situações deverão ser simuladas:
valores adaptativos
coeficientes de
classificação
seleção
(complete)
1
wAA = WAa > Waa
sAA = sAa < saa
wAA = WAa < Waa
sAA = sAa > saa
wAA < WAa = Waa
sAA > sAa = saa
wAA > WAa = Waa
sAA < sAa = saa
seleção contra
homozigotos
recessivos
2
3
4
5
wAA > WAa > Waa
sAA < sAa < saa
wAA < WAa < Waa
sAA > sAa > saa
seleção contra
homozigotos e
heterozigotos
6
7
wAA < WAa > Waa
sAA > sAa < saa
wAA > WAa < Waa
sAA < sAa > saa
8
seleção
favorecendo
heterozigotos
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As situações de número 7 e 8 deverão ser repetidas várias vezes com os mesmos
valores, modificando-se apenas a freqüência gênica inicial.
Questões:
1. Qual é o comportamento
analisadas? Por quê?
do
valor
adaptativo
médio
em
todas
as
situações
2. Compare todas as situações salientando as diferenças e semelhanças em:
a) Há tendência de extinção de um alelo? Qual?
b) O processo é mais rápido ou mais lento? Atenção: para poder responder esta
questão, é importante que se utilize coeficientes de seleção de mesma
ordem de magnitude.
c) Há apenas equilíbrio trivial (quando há extinção de um alelo) ou há algum
tipo de equilíbrio não trivial (quando os dois alelo se mantêm em
certas freqüências)?
3. Utilize o programa SUPERPOP para responder as questões 34 e 35 da lista de
exercícios.