PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
MODULAÇÃO EM FREQUÊNCIA E FASE
1. Introdução
Existem várias maneiras de se modular um sinal senoidal. De uma forma geral esse sinal
senoidal a ser modulado é chamado de portadora, e pode ser expresso por :
eP ( t ) = E P cosθP (t )
equação 1
onde :
EP = amplitude da portadora
θP (t ) = ω P (t ) + φ → é um ângulo variável em função do tempo
ω P = 2 π f → freqüência angular da portadora
φ → fase em relação a uma referência arbitrária
Se examinarmos a equação (1) podemos observar que as características da portadora
podem ser variadas através da variação da amplitude EP ou do ângulo θP
como função
de outro sinal, chamado de sinal modulante.
Este é o processo da modulação em amplitude, e o sinal resultante, obtido a partir da
variação de um desses parâmetros da portadora, chama-se sinal modulado.
Desta forma, percebe-se, que o processo de modulação em amplitude ocorre quando se faz
a amplitude EP variar em função do nível do sinal modulante.
Quando a variação é imposta ao ângulo θ P (t ) ,obtemos a chamada modulação angular.
Como esse ângulo pode ser alterado seja pela variação de frequência f P ou da fase φ , a
modulação angular pode ser dividida em :
ν MODULAÇÃO EM FREQUÊNCIA ( Fm )
ν MODULAÇÃO EM FASE ( Pm )
1
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
2. Modulação Angular
Conceito de Modulação em Frequência e Fase
Considerando-se uma portadora expressa por : eP (t ) = EP cosω P (t ) + φ a modulação em fase
consiste em se fazer variar a fase φ da portadora de modo proporcional ao nível do sinal
modulante x (t ) . Desta forma :
φ (t ) = kφ . x (t ) ⇒ esta expressão define a modulação em Fase, onde kφ é uma constante de
proporcionalidade, função do modulador.
Na modulação em frequência, a frequência da portadora é feita variar em torno do seu valor
original f P de forma proporcional ao sinal modulante x (t ) . Assim :
f (t ) = f P + k f . x (t ) → define a modulação em frequência.
2.1 Modulação em Frequência
Considere um sinal modulante do tipo x (t ) = Em cosω m(t ) , no processo Fm teremos :
f (t ) = f P + k f . Em cosω mt , que corresponde a uma frequência angular de :
ω (t ) = 2π ( f P + k f . Em cosω mt )
Chamamos f (t ) de frequência instantânea.
Em f (t ) quando cosω mt = 1 , temos o valor máximo do afastamento da frequência
instantânea da frequência da portadora. Esse valor será expresso por :
∆ f = k f . Em
que é chamado de desvio de frequência.
Como a frequência angular é variável no tempo devido ao termo ω mt , a relação entre o
ângulo θ (t ) e ω t será expressa por :
∫
∫
θ (t ) = ω (t ) dt = 2π ( f P + k f Em cosω mt ) dt
Como k f ; f P e Em são constantes pode-se mostrar que o valor da integral anterior é
: θ (t ) = 2π f P +
2π k f Em
ω
m
sen ω mt = ω P t +
2π k f Em
2π f m
sen ω mt = ω P t +
k f Em
fm
sen ω mt
2
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
Determinado θ (t ) , a expressão do sinal modulado em frequência e(t ) pode ser expressa :
e(t ) = E P cos θ (t ) = E P cos(ω P t +
• valor
k f Em
fm
k f Em
f m sen ω m t )
corresponde agora ao máximo valor da defasagem, sendo neste caso
chamado de índice de modulação β .
• Ou seja : β =
k f Em
fm
=
∆f
fm
Desta forma, a expressão do sinal modulado em frequência pode ser escrita como :
e(t ) = E P cos (ω P t + β sen ω m t )
2.2 MODULAÇÃO EM FASE
Tomando-se o sinal modulante x(t), senoidal do tipo x (t ) = E m cos ω m t , no processo PM
(modulação em Fase ) teremos ;
φ (t ) = k φ E m cos ω m t
e portanto:
θ (t ) = ω P t + φ (t ) = ω P t + k φ E m cos ω m t , resultando a expressão final:
PM = e( t ) = E P cos θ (t ) = E P cos (ω P t + k φ E m cos ω m t )
onde ⇒ ∆ φ = k φ E m
OBSERVAÇÃO :
• valor máximo de φ (t ) ocorre quando o cos ω m t = 1 e é expresso pela expressão ∆φ , que é
chamada de desvio de fase.
3
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
Podemos obter a frequência instantânea do sinal modulado em fase, usando
ω (t ) =
dθ (t ) d (ω P t + ∆φ cosωmt )
=
= ω P − ∆φ ωm sen ωmt
dt
dt
logo a frequência instantânea será :
f (t ) =
1
ω
ω
ω (t ) = P − ∆φ m sen ωmt
2π
2π
2π
ou
f (t ) = f P − ∆φ f m sen ω mt
TABELA COMPARATIVA ENTRE OS PROCESSOS DE MODULAÇÃO
EM FREQUÊNCIA E FASE
ITEM
1. Portadora
2. Sinal Modulante
3. Definição do Processo
4. Fase instantânea
5. Freqüência instantânea
6. Desvio de fase
7. Desvio de freqüência
8. Sinal Modulado
MODULAÇÂO EM FASE
(PM)
MODULAÇÂO EM FREQUÊNCIA (FM)
EP cos( w p + φ )
E P cos( w p + φ )
x ( t ) = Em cosω mt
x ( t ) = Em cosω mt
φ (t ) = kφ E m cosω m t
f (t ) =
x(t )
w( t )
= fp + kf
2π
φ ( t ) = kφ Em cosω mt
φ (t ) =
f ( t ) = f p − kφ Em f m sen ω mt
∆φ = kφ Em
∆φf m
em (t ) = E p cos(ω p + ∆φ cosω m t )
k f Em
fm
E m cosω m t
x(t )
sen ω mt
f (t ) = f p + k f Em f m sen ω mt
β=
k f Em
fm
(indice de mod ulaç ao FM )
∆f = k f Em
em (t ) = E p cos(ω p + β sen ω mt )
4
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
ESPECTRO DO SINAL FM
Considerando a expressão do sinal modulado em frequência, conforme já visto
anteriormente , onde :
e(t ) = E P cos ( ω P t + β sen ω m t )
onde
β=
k f Em
fm
é o índice de modulação.
Vamos desenvolver esta expressão, a fim de escreve-la como uma soma de várias
componentes senoidais, da mesma forma que no processo de AM escrevemos o sinal
modulado como soma das componentes :
E P cos ω P t , m
EP
EP
cos ( ω P − ω m )t e m
cos( ω P + ω m )t
2
2
representativas respectivamente da portadora, e das raias laterais.
Para a modulação FM o desenvolvimento é mais complexo, e a expressão desenvolvida de
e(t ) tem o seguinte aspecto :
e(t ) = J 0 E P cosω P t +
+ J 1 E P cos(ω P + ω m )t + J 2 E P cos(ω P + 2ω m ) + J 3 E P cos(ω P + 3ω m )t + ..........
+ J 1 E P cos(ω P − ω m )t + J 2 E P cos(ω P − 2ω m )t + J 3 E P cos(ω P − 3ω m )t + ..........
A figura a seguir mostra o espectro do sinal de FM, e o de AM para efeito de comparação.
e(t)
Jo(β)Eo
J2(β)Eo
J1(β)Eo
J2(β)Eo
J3(β)Eo
f (Hz)
J3(β)Eo
J1(β)Eo
e(t)
mE p
Ep
2
0
fi
mE p
2
fc
fs
f (Hz)
5
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
Cabe observar que no espectro FM, ao invés de apenas duas raias laterais , teremos
infinitas raias laterais distanciadas entre si de uma frequência f m , a partir da portadora,
sendo que as componentes equidistantes de f P têm o mesmo valor absoluto.
Entretanto, na faixa de frequência inferior à portadora as componentes de ordem ímpar têm
o sinal inverso em relação as componentes de ordem ímpar correspondentes na faixa de
frequência superior.
Este fato pode ser constatado pela análise da expressão desenvolvida de e ( t ) e pode ser
interpretado como uma inversão de fase.
Por outro lado no processo de AM a amplitude da componente na frequência da portadora
é constante e as amplitudes das raias laterais variam em função do índice de modulação m.
Para o cálculo dos coeficientes J0 , J1 , J2 ,......., Jn que definem as amplitudes das
componentes do sinal modulado em frequência é utilizada uma função que define o índice
de modulação β , definida pela chamada função de BESSEL.
A figura abaixo mostra uma idéia da função para alguns coeficientes da mesma:
Gráfico dos coeficientes de funções
de Bessel
1
0,9
β)
Jo (β
0,8
0,7
β)
J1 (β
0,6
β)
J2 (β
0,5
β)
J3 (β
β)
J4 (β
0,4
β)
J5 (β
β)
J6 (β
β)
J7 (β
β)
J8 (β
β)
J9 (β
β)
J10 (β
10
11
12
0,3
Jn
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
13
14
β (rd)
6
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
Com base na figura , podemos analisar como variam as diferentes raias do espectro de FM,
vemos que a medida que β aumenta, seja por aumento da amplitude Em do sinal
modulante ou por diminuição de sua frequência f m :
Exemplos :
- a amplitude da raia na frequência da portadora
β = 2 ,4 .
J0 ( β ) EP diminui até se anular em
- em β = 2 ,4 a 5,5 a amplitude dessa raia está 180º defasada de sua situação original,
sendo que nesse intervalo o valor máximo que J0 atinge em módulo é inferior ao seu valor
inicial ( β = 0 ) .
Quando β começa a aumentar, a partir de β = 0 , paralelamente ao decréscimo de
amplitude da raia na frequência da portadora, as demais raias laterais,
J1 ( β ) E P , J 2 ( β ) E P , J 3 ( β ) E P , começam a aumentar, sucessivamente.
Isto significa que a potência do sinal que estava concentrada somente na portadora , β = 0 ,
se distribui em parte pelas raias laterais, sendo que em β = 2 ,4 , não há potência localizada
na frequência da portadora, somente nas raias laterais.
Considere os valores dos coeficientes Jn para determinados índices de modulação β
conforme tabela a seguir :
Tabela
β
(rd)
J0
J1
J2
J3
J4
J5
J6
J7
J8
J9
J10
0
0,2
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
1
0,9900
0,9384
0,7651
0,5118
0,2238
-0,048
-0,260
-0,380
-0,387
-0,320
-0,177
-0,007
0
0,1000
0,2422
0,4400
0,5579
0,5767
0,4970
0,3390
0,1373
-0,066
-0,231
-0,327
-0,341
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,0306
0,1149
0,2320
0,3528
0,4460
0,4860
0,4586
0,3541
0,2178
0,0465
-0,117
0,002
0,0195
0,0609
0,1289
0,2166
0,3090
0,3867
0,4301
0,4247
0,3648
0,2561
0,0001
0,002
0,0117
0,0339
0,0737
0,1320
0,2044
0,2811
0,3484
0,3912
0,3967
0,0002
0,001
0,007
0,0195
0,0430
0,0804
0,1320
0,1947
0,2611
0,3209
0,002
0,001
0,004
0,0113
0,0254
0,0490
0,0842
0,1310
0,1867
0,0001
0,0007
0,002
0,006
0,0151
0,0300
0,0533
0,0866
Jn (β)
0,0001
0,0004
0,001 0,0003
0,004 0,0009 0,0001
0,009 0,002 0,0005
0,0184 0,005 0,001
0,0336 0,0113 0,003
7
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
14
0,1506
0,2600
0,3000
0,2663
0,1766
0,0419
-0,09
-0,193
-0,245
-0,236
-0,171
-0,067
0,0477
0,1469
0,2074
0,2169
0,1789
-0,276
-0,153
-0,005
0,1352
0,2346
0,2731
0,2453
0,1612
0,0434
-0,078
-0,176
-0,228
-0,223
-0,165
-0,071
0,0325
0,1123
-0,242
-0,307
-0,301
-0,230
-0,112
0,0223
0,1448
0,2278
0,2546
0,2216
0,1390
0,0279
-0,084
-0,173
-0,218
-0,211
-0,159
0,1147
-0,035
-0,167
-0,258
-0,291
-0,262
-0,180
-0,065
0,0583
0,1632
0,2273
0,2381
0,1952
0,1103
0,004
-0,095
-0,157
0,3576
0,2748
0,1577
0,0238
-0,105
-0,207
-0,265
-0,269
-0,219
-0,128
-0,015
0,0962
0,1825
0,2262
0,2196
0,1664
0,0826
0,3620
0,3735
0,3478
0,2834
0,1857
0,0671
-0,055
-0,161
-0,234
-0,261
-0,238
-0,171
-0,073
0,0345
0,1306
0,1937
0,205
0,2458
0,2999
0,3391
0,3541
0,3375
0,2866
0,2043
0,0993
-0,014
-0,120
-0,201
-0,245
-0,243
-0,198
-0,118
-0,019
0,0762
0,1295
0,1801
0,2335
0,2831
0,3205
0,3375
0,3274
0,2867
0,2167
0,1235
0,0183
-0,084
-0,170
-0,225
-0,239
-0,211
-0,139
0,0565
0,0880
0,1279
0,1744
0,2234
0,2693
0,3050
0,3232
0,3178
0,285
0,2249
0,1420
0,0451
-0,053
-0,14
-0,202
-0,228
0,0211
0,0365
0,0589
0,0889
0,1263
0,1694
0,2148
0,2577
0,2918
0,3108
0,3088
0,2822
0,2303
0,1561
0,0665
-0,029
-0,121
0,006
0,0132
0,0235
0,0389
0,0607
0,0894
0,1246
0,1650
0,2074
0,2477
0,2804
0,2997
0,3004
0,2788
0,2336
0,1667
0,0828
Os espaços em branco na tabela representam valores suficientemente pequenos que
podem ser desprezados.
Assim sendo para β = 0,2 , as componentes a partir de J2 apresentam apenas uma
pequena contribuição para o sinal modulado.
Com β = 1 , pode-se desprezar as componentes a partir de J4 .
Para β = 10 , necessitamos de um número bem maior de componentes para definir o sinal
modulado.
A figura a seguir mostra os espectros de FM para os valores de β = 0,2 ,1 , 5 e 10
considerando apenas o módulo dos coeficientes J. ( não estão representadas as inversões
de fase ).
Na figura ( a ) β cresceu de 0,2 a 10 através do aumento do nível do sinal modulante Em
sendo fm constante.
Em ( b ) a variação de β foi obtida pelo decréscimo da frequência do sinal modulante fm.
No primeiro caso temos o espaçamento entre as raias constante, e desde que β cresce
aumenta o número de raias significativas, o que resulta num aumento da faixa ocupada pelo
espectro.
Quando fm diminui, as raias ficam cada vez mais concentradas a medida que β cresce,
conforme pode ser visto na figura a seguir.
8
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
Existem ainda certos valores do índice de modulação β
para os quais a raia
correspondente à frequência da portadora no espectro do sinal modulado tem amplitude
zero .
O valor mais baixo para que isto ocorra está em β = 2 ,4 .
Neste caso o espectro apresentado em modulo tem a seguinte característica :
• significado para este fato , é que neste ponto não há mais nenhuma energia associada à
frequência f P da portadora, não modulada, isto é , toda a energia inicial da portadora
não modulada está distribuída nas bandas laterais.
9
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
Uma forma prática de se observar este efeito é colocando-se um filtro seletivo bem agudo
na frequência f P , e não obteremos sinal algum na saida deste filtro.
Neste primeiro valor de β que anula a raia correspondente à portadora teremos :
Kf
Em
= 2 ,4
fm
ou Em =
2 ,4 fm
Kf
K f é a constante do modulador.
LARGURA DE FAIXA DO SINAL MODULADO EM FREQUÊNCIA
O sinal modulado em frequência tem um espectro. Desta forma a geração e transmissão
de sinais FM ideais exigiriam uma largura de faixa infinita.
Entretanto existem sistemas FM com largura de faixa finita com bom desempenho. Isto se
justifica pelo fato que as componentes espectrais suficientemente afastadas da portadora
tem amplitude “pequena” e portanto podem ser desprezadas.
Na verdade, este fato implica em distorção do sinal, mas que pode ser minimizada, se
considerarmos todas as componentes significativas do espectro.
Desta forma a determinação da largura de faixa para transmissão de um sinal em FM reside
em estabelecer que parte do espectro do sinal modulado é suficiente.
Cabe ressaltar que isto será função da parcela de distorção que pode ser tolerada em cada
aplicação específica.
Podemos contudo estabelecer alguns critérios que irão nos ajudar na definição das raias
espectrais significativas para um sinal modulado senoidal.
Com base na tabela abaixo vamos analisar estes critérios.
TABELA
n Jn (0,1)
0
1,00
1
0,05
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Jn (0,2)
0,99
0,10
Jn (0,5) Jn (1,0) Jn (2,0) Jn (5,0) Jn (10,0)
0,94
0,77
0,22
-0,18
-0,25
0,24
0,44
0,58
-0,33
0,04
0,03
0,11
0,35
0,05
0,25
0,02
0,13
0,36
0,06
0,03
0,39
-0,22
0,26
-0,23
0,13
-0,01
0,05
0,22
0,02
0,32
0,29
0,21
0,12
0,06
0,03
0,01
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
Vemos que para cada valor de β , os valores de
Jn decrescem para
n > β , sendo
acentuado para β >>> 1 .
Exemplo :
β = 5 → J5 = 0,26
J6 = 0,13
J7 = 0,07
β = 10 →
J10 = 0,21
J11 = 0,12
J12 = 0,06
Desta forma se considerarmos um valor do índice de modulação β muito grande ( β >> 1)
pode - se afirmar que os únicos coeficientes Jn significativos são aqueles para os quais
n ≤ n0 = β e portanto todas as raias significativas estão na banda de frequência definida
por :
f P ± n0 fm = f P ± β fm
como
temos :
β=
K f Em
fm
⇒ fP ±
K f Em
fm
. fm ⇒ temos f P ± K f Em = f P ± ∆ f
pois K f Em = ∆ f
portanto para β >> 1 → ( β = 10 )
teremos :
B = 2∆ f
A figura abaixo ilustra o caso de β = 10
11
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
Supomos agora β <<< 1 .
Para
β = 0,1 e β = 0,2 , todas as componentes laterais são pequenas quando
comparadas com a portadora. Nesta situação devemos considerar pelo menos as duas
primeiras componentes laterais, caso contrário não há modulação ( teríamos apenas a
portadora ).
Desta forma para β << 1 as únicas componentes significativas vem a ser f P ± fm conforme
figura abaixo.
Resumindo :
β >>> 1 ⇒ B = 2 β fm = 2 ∆ f
Para
β <<< 1 ⇒ B = 2 fm
12
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
• O primeiro caso é chamado normalmente de FM faixa larga, sendo que a banda
necessária se mostra independente da frequência do sinal modulante fm .
• quando β <<< 1 tem-se o processo conhecido como FM faixa estreita, onde a banda
necessária é o dobro da frequência do sinal modulante.
Consideremos agora o caso em que
β <<< 1 e β >>> 1 .
β
assume um valor intermediário entre
Podemos adotar o seguinte critério para se determinar a banda necessária para o sinal
modulado:
• Suponha que desejamos desprezar todas as componentes nas quais o coeficiente J é
menor que um certo valor ε , sendo ε função da aplicaç~]ao do sistema.
• Desta forma devemos considerar todas as raias laterais até a de número n0 para a qual
Jn 0 > ε sendo que a raia seguinte Jn0 + 1 já deve ser menor que ε .
Neste caso existirão n0 raias laterais e a banda ocupada será definida por :
B = 2 n0 fm
para n0 > 1
Logicamente n0 será função de β .
A figura a seguir mostra o numero de raias a serem consideradas como função de β .
A curva superior considera ε = 0,01 e a inferior ε = 0,1
13
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
A curva tracejada representa um meio termo entre os valores de ε = 0,01 e ε = 0,1 ,
sendo já considerada como uma condição bastante exigente para a determinação do
número de raias necessárias.
Utilizando esta curva podemos chegar a :
β = 4 → n0 ≅ 6 = β + 2
β = 5 → n0 ≅ 7 = β + 2
β = 10 → n0 ≅ 12 = β + 2
Isto significa que, para determinarmos o número de raias laterais necessárias, e portanto a
banda B, com boa aproximação podemos fazer n0 = β + 2 , que resultará em :
B = 2 n0 fm = 2 ( β + 2 ) fm = 2 ( ∆ f + 2 fm )
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