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Dois espelhos planos são dispostos de maneira a formar entre si um ângulo . Sobre
um deles faz-se incidir um raio de luz. Determinar o ângulo formado por este raio incidente com
o raio refletido do segundo espelho.
Construção do caminho do raio de luminoso
No ponto de incidência do raio de luz sobre o espelho 1 desenhamos a normal N 1
(forma um ângulo de 90º com o espelho), o raio de luz forma com a normal o ângulo de
incidência iˆ (figura 1)
1
figura 1
figura 2
Usando a propriedade dos espelhos planos que diz que o raio refletido forma com a
normal o mesmo ângulo que o raio incidente, traçamos o raio refletido formando com a normal
o ângulo rˆ1 , sendo iˆ1  rˆ1 . O raio refletido forma com o espelho 1 um ângulo ̂ , assim
podemos escrever (figura 2)
rˆ1  ˆ  90 
ˆ  90   rˆ1
(I)
O raio refletido pelo espelho 1 incide sobre o espelho 2, no ponto de incidência do raio
de luz desenhamos a normal N 2, o raio de luz forma com a normal o ângulo de incidência iˆ2
(figura 3)
figura 3
figura 4
Como o raio refletido forma com a normal o mesmo ângulo que o raio incidente,
traçamos o raio refletido formando com a normal o ângulo rˆ2 , sendo iˆ2  rˆ2 . O raio refletido
forma com o espelho 2 um ângulo ̂ , assim podemos escrever (figura 4)
iˆ2  ˆ  90
ˆ  90  iˆ2
(II)
Prolongando-se o raio que incide sobre o espelho 1 e o raio que reflete no espelho 2
para trás dos espelhos encontra-se o ângulo ( x̂ ) pedido no problema (figura 5)
1
f
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figura 5
Esquema do problema
Como no espelho 1 o raio incidente forma um ângulo iˆ1 com a normal N 1, este
também é o ângulo entre os prolongamentos do raio de luz incidente e da normal para trás do
espelho (figura 6, em azul à esquerda). Como o raio incidente e o raio refletido formam o
mesmo ângulo com a normal ( iˆ1  rˆ1 ), o ângulo do prolongamento do raio de luz também vale
rˆ1 , e pela expressão (I) acima, o ângulo entre este prolongamento e a parte de trás do espelho
vale ̂ . Assim o ângulo entre o raio refletido e o prolongamento do raio incidente vale
ˆ  ˆ  2 ˆ .
figura 6
No espelho 2 o raio refletido forma um ângulo rˆ2 com a normal N 2, este também é o
ângulo entre os prolongamentos do raio de luz refletido e da normal para trás do espelho
(figura 6, em azul à direita). Como o raio incidente e o raio refletido formam o mesmo ângulo
com a normal ( iˆ  rˆ ), o ângulo do prolongamento do raio de luz também vale iˆ , e pela
2
2
2
expressão (II) acima, o ângulo entre este prolongamento e a parte de trás do espelho vale ̂ .
Assim o ângulo entre o raio incidente e o prolongamento do raio refletido vale ˆ  ˆ  2 ˆ .
Solução
2
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Considerando o triângulo formado pelo raio de luz refletido pelo
espelho 1 e pelos dois espelhos (figura 7), temos que a soma dos
ângulo internos de um triângulo vale 180º, assim podemos escrever
ˆ  ˆ  ˆ  180 
ˆ  ˆ  180   ˆ
(III)
figura 7
Considerando agora o triângulo formado pelo raio de luz refletido
pelo espelho 1 e pelos 2 prolongamentos dos raios de luz (figura 8),
aplicamos novamente a condição da soma dos ângulos internos do
triângulo e obtemos
2 ˆ  2 ˆ  xˆ  180 
figura 8
colocando o fator 2 em evidência, temos


2 ˆ  ˆ  xˆ  180 
substituindo a expressão (III) em (IV)
2  180   ˆ   xˆ  180 
360   2 ˆ  xˆ  180 
xˆ  180   360   2 ˆ
x̂  2 ˆ  180 
3
(IV)