UM APLICATIVO ACADÊMICO PARA ANÁLISE DE
ESTRUTURAS RETICULARES ESPACIAIS
Newton C. P. Ferro1, Lauro H. M. Chueiri1 e Alessandra A. V. França1
UNESP, Faculdade de Engenharia / Campus de Bauru1
Av. Luis Edmundo C. Coube, s/n –17033-360 – Bauru - SP
[email protected]
Resumo. Com a evolução da informática e o surgimento de diversos aplicativos nas áreas de
projetos de Engenharia torna-se cada vez mais necessário a integração e o uso desses aplicativos
no ensino de graduação. Com essa preocupação, um grupo de docentes vem incentivando os alunos
a desenvolverem seus próprios programas computacionais integrados às disciplinas de graduação,
tornando o aprendizado mais eficiente, com maior interação docentes-alunos e despertando-os
para as atividades de pesquisa. Nesse sentido, apresenta-se neste trabalho, um aplicativo com
finalidade acadêmica, para análise de estruturas reticulares espaciais, desenvolvido em linguagem
Delphi, executado em ambiente Windows. O programa computacional desenvolvido está composto
de um pré-processador, com características de interface gráfica, encarregado da aquisição e
verificação dos dados da estrutura em análise. Existe também, um núcleo central responsável pelo
processamento numérico desses dados, isto é, montagem das matrizes envolvidas no problema,
resolução do sistema de equações e a determinação dos deslocamentos nodais da estrutura. Ao
contrário dos softwares comerciais disponíveis, esse programa permite ao usuário o acesso às
diversas etapas intermediárias de cálculo, possibilitando ao aluno o acompanhamento de todos os
procedimentos executados para a solução do problema. Com os recursos gráficos incorporados é
possível a visualização da estrutura espacial facilitando o aprendizado e aplicação de diversos
conceitos matemáticos envolvidos na formulação. Portanto, trata-se de um instrumento de grande
alcance para auxiliar estudantes de graduação em diversas disciplinas dos cursos de Engenharia,
bem como, para engenheiros civis que desenvolvam atividades na área de projetos estruturais.
Palavras-chave: Métodos numéricos, Análise matricial, Pórticos espaciais, Estruturas reticulares
1.
INTRODUÇÃO
Atualmente, é fundamental para os estudantes dos cursos de Engenharia o conhecimento e a utilização da
informática. A solução de muitos problemas específicos exigem, geralmente, conceitos acessíveis somente aos alunos
em final de curso ou profissionais. Além disso, nem sempre esses conceitos apresentados nas disciplinas de graduação
são facilmente visualizados e aplicados aos problemas usuais.
Nesse sentido, alguns programas com objetivos educacionais vêm sendo desenvolvidos na Faculdade de
Engenharia de Bauru da Unesp, para a solução de problemas de interesse e que venham a contribuir no aprendizado dos
alunos. Embora, existam programas computacionais comerciais disponíveis para a solução de diversos problemas de
engenharia, em geral, esses aplicativos são de grande porte e de difícil acesso aos estudantes. Há de se ressaltar ainda
que o usuário não dispõe das etapas intermediárias de cálculo e muitas vezes até do método utilizado, tendo em vista
que são pacotes fechados sem muita documentação.
Um problema de grande interesse na área de engenharia de estruturas é a análise de esforços e deslocamentos
em estruturas reticulares. No caso de estruturas tridimensionais, em função das variáveis envolvidas, essa análise só é
possível com a utilização de recursos computacionais.
Assim, desenvolveu-se um programa computacional para a análise de pórticos espaciais em linguagem Delphi
Cantú [1], compatível com o ambiente Windows. Desta forma o aplicativo tem a finalidade educacional, permitindo ao
estudante a visualização dos dados da estrutura através de janelas, o acesso às etapas intermediárias de cálculo e outras
facilidades do ambiente.
2.
OBJETIVO
O objetivo principal do trabalho é a apresentação de um aplicativo com características acadêmicas para a
análise de pórticos espaciais, através de uma linguagem de programação orientada a eventos.
O aplicativo, denominado PORT 3D, é constituído de um pré-processador, com características de interface
gráfica, responsável pela aquisição, avaliação e verificação dos dados da estrutura em análise, bem como pelo
armazenamento dessas informações em arquivos específicos.
O PORT 3D é altamente didático, pois em todas as etapas estão disponíveis ao usuário informações e
mensagens através de legendas e figuras. Ao longo do processamento o usuário pode ter acesso a várias etapas de
cálculo, como por exemplo, as matrizes de rigidez, os vetores das ações nodais equivalentes dentre outros. Desta forma
o usuário pode verificar passo a passo o que está acontecendo internamente ao software e detectar falhas na entrada de
dados mais facilmente.
A seguir são apresentados os principais conceitos de análise matricial envolvidos na solução de pórticos
tridimensionais, bem como, alguns aspectos do programa desenvolvido.
3.
CONCEITOS DE ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
A análise matricial de estruturas propõe-se a determinar os deslocamentos, reações e esforços solicitantes em
estruturas compostas de barras que formam o esquema estrutural de edificações usuais. No caso de uma estrutura usual
de edifício as vigas e pilares compõem um esquema tridimensional, denominado pórtico espacial como mostrado na
Fig. 2. Essa estrutura é modelada como um arranjo de elementos simples (barras), unidos através de suas extremidades
ou nós, os quais podem ainda ter deslocamentos restritos por vínculos. As variáveis primárias são os deslocamentos
nodais, cujo conhecimento permite a determinação das reações e dos esforços nas extremidades das barras decorrentes
de carregamentos externos ou deslocamentos aplicados aos nós (Mazzilli et al. [2], Gere & Weaver [3], Sussekind [4]).
A solução do problema, com a utilização do método dos deslocamentos é obtida a partir do sistema de
equações dado por:
[K] .{U} = {F}
(1)
A matriz dos coeficientes [K] é conhecida como matriz de rigidez da estrutura. As incógnitas do problema são
os deslocamentos nodais e estão contidos no vetor {U}. O vetor {F} contém as ações nodais equivalentes da estrutura e
são conhecidos.
No caso de pórtico espacial o sistema de equações tem dimensão igual a seis vezes o número de nós da
estrutura, tendo em vista que existem seis deslocamentos possíveis em cada nó (três translações e três rotações). A partir
da solução da Eq. (1) são obtidos também os esforços solicitantes nas barras.
As variáveis do problema estão referenciadas em relação a um sistema de coordenadas, adotado pelo usuário,
formando um triedro direto (X, Y e Z), denominado de sistema global de referência. Nesse sistema também são
fornecidos alguns dados, tais como: as coordenadas dos nós e as ações nodais.
Porém, as propriedades geométricas e as ações em cada barra são fornecidas em relação a um sistema de
coordenadas adotado em cada elemento, tendo em vista que os elementos podem estar dispostos em uma posição
qualquer do espaço tridimensional. Esse sistema, também formado por um triedro direto é conhecido como sistema
local de referência, tendo o eixo 1 sempre coincidente com o eixo axial do elemento e os eixos 2 e 3 contidos no plano
da seção transversal. Na Fig. 1 estão indicados os sistemas de referência.
Figura 1. Sistemas de coordenadas global e local para um elemento linear
As transformações envolvidas nas mudanças de coordenadas e o fornecimento de alguns dados em relação ao
sistema local sempre trazem dificuldades ao usuário. Daí a importância de se ter um programa com características
gráficas que permite a visualização da geometria e verificação dos dados fornecidos.
Além disso, a mudança no sistema de coordenadas envolve uma matriz de rotação (Chueiri [5]) que não é tão
simples de se determinar no caso de estruturas tridimensionais. Nesse caso optou-se pela montagem dessa matriz
utilizando-se conceitos de produto vetorial, ao invés dos procedimentos usuais adotados em programas dessa natureza.
Essa abordagem além de reforçar os conceitos de cálculo vetorial aos estudantes, facilita o uso do programa.
4.
PROGRAMA PARA ANÁLISE DE PÓRTICOS TRIDIMENSIONAIS
O aplicativo foi desenvolvido tendo como fundamento dois aspectos considerados importantes: a) O uso
intensivo dos recursos gráficos permitindo ao usuário acesso fácil e lógico as várias etapas de aquisição de dados, além
de facilitar a visualização desses dados e, quando necessário efetuar as correções devidas; b) Etapas intermediárias estão
disponíveis para que o usuário possa analisar os procedimentos que estão sendo realizados pelo programa ao longo de
sua execução.
Optou-se em integrar ao aplicativo um pré-processador, com características gráficas, encarregado de gerenciar
a aquisição dos dados.
Um núcleo central responsável pelo processamento numérico desses dados, isto é, montagem das matrizes de
rigidez tanto dos elementos quanto da estrutura em exame, resolução do sistema de equações e conseqüentemente a
determinação dos deslocamentos nodais e esforços de extremidades dos elementos. Esses resultados são armazenados
em arquivos apropriados ou impressos em relatórios criados com tal finalidade.
Enfatiza-se que são disponibilizadas ao usuário etapas intermediárias envolvidas na solução da estrutura em
análise. Assim, o usuário pode ter acesso aos coeficientes numéricos que constituem as matrizes de rigidez de cada um
dos elementos da estrutura nos sistemas local e global, a matriz de rotação de cada elemento, a matriz de rigidez da
estrutura, ao vetor independente das ações nodais equivalentes, a solução do sistema de equações, culminando com a
obtenção dos resultados.
A seguir é apresentado o uso do aplicativo PORT 3D na solução de um exemplo de uma estrutura,
esquematizada na Fig.2. Dessa forma, estão indicadas as principais janelas do programa com os dados do exemplo.
Trata-se do pórtico espacial composto por nove barras, interligadas por oito pontos nodais, sendo que quatro
nós são admitidos como apoios da estrutura. No esquema da estrutura pode ainda ser observado a numeração de nós e
elementos, vãos dos elementos, carregamentos, etc.
Figura 2. Esquema estático do pórtico espacial em análise
Na tela principal, primeiramente o usuário identifica a estrutura e o nome do projetista.
Os dados são fornecidos ao programa em blocos relativos a pontos nodais, características dos materiais, dos
carregamentos atuantes nos elementos e topologia da estrutura. Em cada etapa é permitido ao usuário visualizar os
dados fornecidos, bem como, caso necessário retornar as etapas anteriores possibilitando a correção de dados. Na última
etapa o usuário pode verificar a consistência de dados, salvar o arquivo ou calcular os deslocamentos nodais.
No bloco relativo aos pontos nodais o usuário deve fornecer ao aplicativo o número de nós da estrutura, suas
coordenadas, ações nodais, restrições nodais. e todos os dados relativos aos nós, clicando nos botões coordenadas,
cargas nodais e vinculações. Na Fig. 3 está mostrada a primeira janela do bloco de pontos nodais.
Figura 3. Entrada dos dados relativos aos nós.
Na Fig. 4 estão mostrados os dados correspondentes as coordenadas do nó 3. Todos os dados fornecidos podem
ser verificados através do botão “visualizar”, localizado na janela de entrada de coordenadas nodais, conforme
apresentado na Fig. 5.
Figura 4. Entrada das coordenadas nodais.
Figura 5. Visualização das coordenadas dos nós.
Na Fig. 6 estão indicadas as ações nodais aplicadas no nó 5, de acordo com o sistema global de coordenadas.
Figura 6. Cargas aplicadas ao nó 5 da estrutura
Este primeiro bloco de dados é concluído com as informações sobre as restrições nodais, as quais são
fornecidas em janela semelhante às descritas anteriormente.
Na seqüência são fornecidos os dados relativos às barras. Nessa etapa definem-se as características dos
materiais, os carregamentos nos elementos e a topologia da estrutura.
A entrada de dados para um dos materiais que compõe a estrutura está indicada na Fig. 7.
Na janela de características dos materiais o botão “convenções” dá acesso a uma tela com as convenções para o
sistema de eixos local de um elemento e aos significados das abreviaturas constantes desta etapa. Essa janela está
apresentada na Fig. 8.
Figura 7. Dados das características do material dois
Figura 8. Tela com as convenções do sistema local de eixos.
Nas Fig. 9 e Fig. 10 são apresentados os exemplos da entrada do carregamento dos elementos e as respectivas
convenções utilizadas.
Figura 9. Entrada do carregamento nas barras
Figura 10. Convenções para carregamentos distribuídos nos elementos
A última fase da entrada de dados é a definição da topologia da estrutura onde são fornecidas a conetividade, o
tipo do material e do carregamento de cada elemento, bem como um código que relaciona os sistemas de referências,
conforme Fig. 11.
Figura 11. Topologia do elemento 3.
Deve-se ressaltar que algumas entradas de dados permitem a geração automática, tais como: coordenadas,
carregamentos nodais e dados dos elementos semelhantes. Após a verificação da consistência dos dados disponível no
menu, pode-se efetuar o cálculo dos resultados finais. Na Fig. 12 estão indicados os deslocamentos nodais da estrutura
do exemplo.
Figura 12. Deslocamentos finais dos nós da estrutura em análise.
Finalmente, deve-se lembrar que o programa permite o acesso às etapas intermediárias de cálculo,
possibilitando ao usuário a visualização das matrizes e vetores envolvidos no problema.
5.
CONCLUSÕES
Apresentou-se nesse trabalho um aplicativo com finalidades acadêmicas, para a análise de estruturas reticulares
espaciais usualmente utilizadas na concepção de modelos de edifícios e, portanto, bastante útil para engenheiros que
atuam na área de projetos. Porém a grande vantagem desse aplicativo é a facilidade de seu uso por parte de alunos do
curso de graduação.
Além das vantagens permitidas com o ambiente gráfico o programa possibilita o acesso a diversas etapas
intermediárias de cálculo tornando-o uma ferramenta importante para o ensino das disciplinas da área. Uma outra
vantagem é despertar o interesse dos graduandos no desenvolvimento de trabalhos técnicos e científicos, assim como,
incentiva-los a desenvolver seus próprios programas.
O programa PORT 3D foi desenvolvido com bolsa de iniciação científica da FAPESP, através do trabalho de
um grupo de pesquisa da Faculdade de Engenharia de Bauru da UNESP que vem atuando nessa área.
Esse aplicativo já está disponível para os alunos do Curso de Engenharia Civil, sendo utilizado nas disciplinas
de Análise de Estruturas, Análise Matricial de Estruturas, bem como, nos projetos desenvolvidos pelos alunos nas
disciplinas de concreto armado. Estão sendo implementados novos recursos gráficos que devem facilitar a utilização do
programa melhorando a sua interação com o usuário.
Agradecimentos
Os autores agradecem à FAPESP pela concessão da bolsa de Iniciação Científica, que permitiu o
desenvolvimento do aplicativo que está exposto neste trabalho.
6.
REFERÊNCIAS
[1]
[2]
[3]
CANTÚ, M. Dominando o Delphi 3 – a bíblia. São Paulo: MAKRON Books do Brasil, 1997. 1090 p.
MAZZILLI, C.E.N. et al. Análise matricial de estruturas. São Paulo, 1990. Apostila, EPUSP.
GERE, J.M.; WEAVER Jr., W. Análisis de estructuras reticulares. México: Companhia Editorial
Continental, 1970.
SUSSEKIND, J.C. Curso de análise estrutural. Porto Alegre: Ed. Globo, 1980. v.3, 295p.
CHUEIRI, L. H. M. Análise Matricial de Estruturas. Faculdade de Engenharia, UNESP – Campus de Bauru.
Notas de aulas, 2000.
[4]
[5]