UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC)
MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 – ME262
Prof. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO
(Capítulo 3)
Recife - PE
Capítulo 3 - Estática dos Fluidos
1 – Expansão de função e série de Taylor.
2 – Lei de Pascal. Equação fundamental vetorial da Estática dos Fluidos. Plano isobárico.
Superfícies de nível. Significado físico/mecânico.
3 – Formas diferenciais da equação da Estática dos Fluidos. Lei de Stewin.
4 – Propriedade dos líquidos: coesão, adesão e tensão superficial. Massa específica dos líquidos
comuns.
5 – Diagrama de pressões em reservatório estratificado. Estratificação térmica.
6 – Exemplo da lei de Pascal. Sistema de vasos comunicantes e conservação da energia mecânica.
Paradoxo hidrostático.
7 – Técnicas de conversão de unidades. Níveis de referências das pressões. Pressões absolutas e
manométricas.
8 – Manometria. Piezômetro, tubo em U e manômetros diferenciais. Manômetros e vacuômetros
metálicos.
9 – Sistemas hidráulicos: elevador, prensas, trem de aterrisagem e freios. Golpe de aríete.
Cavitação.
10 – Forças hidrostáticas sobre superfícies planas:módulo, sentido, direção e ponto de aplicação.
Propriedades (CG e I ) de áreas e volumes.
11 – Força hidrostática em superfície curva submersa. Exemplos.
12 – Pressões em tubos e reservatórios. Dimensionamento de parede e material.
13 – Empuxos em corpos. Principio de Arquimedes. Estabilidade de flutuantes. Metacentro.
Altura metacêntrica.
14 – Fluidos em movimento relativo. Efeitos de acelerações linear (horizontal e vertical) e
angular. Aplicações em engenharia.
Expansão de função e série de Taylor
Aproximação de Φ (derivada)
Φ=Φ(x)
ΦD
Valores reais de Φ
α
ΦP
Δx
E
P
P
D
P
P
P
P
(< 0 !)
Equação Fundamental da Estática dos Fluidos
α
(90°- α)
α
*
*
α
P
*
*
Equilíbrio de forças de pressão em um elemento fluido
*
dy*
*
dx*
“Lei de Pascal”
3ª ordem
Obs: Esta Lei também se aplica aos escoamentos não-viscosos !!!
(Isotropia de
pressões no
ponto!)
z
p
dz
p
P
(x,y,z)
y
dx
x
Expansão em série
de Taylor da pressão
(p) em P
dy
p
Direção x:
Plano isobárico
p = p(x) =cte
Direção y:
p = p(y) =cte
Superfície de nível
Direção z:
Forma vetorial geral da equação da
Estática dos Fluidos
Significado físico/mecânico da equação vetorial geral da Estática dos Fluidos
FS /Vol
FM /Vol
“ Em um fluido em repouso a soma das forças de superfície (FS) e de massa (FM) por unidade de
volume de fluido é zero.”
Formas da Equação da Estática dos Fluidos
z
(vetorial)
o
y
x
p = p(x) = cte
Formas diferenciais
p = p(y) = cte
Planos perpendiculares à g
são isobáricos!
z
1
h
z1
Δh
Δz
z2
2
Δh = h
Lei de Stewin
“A cada altura em um fluido em repouso,
corresponde um valor de pressão.”
Propriedades dos líquidos
Peso específico de alguns líquidos
Diagrama de pressões (reservatório estratificado)
α
tan α = γ1
h1
β
tan β= γ2
h2
θ
tan θ = γ3
h3
tan θ = γ3h3 / h3
Lei de Pascal
Vasos comunicantes
F
Energia de velocidade
(cinética)
Paradoxo Hidrostático (o empuxo E no fundo independe do peso do líquido)
E = pA
P1 = γV1
E = pA
E = pA
P2 = γV2
P3 = γV3
Como V2 > V1 > V3  P2 > P1 > P3
Técnica de conversão de unidades
Velocidade:
Pressão:
Níveis de referência das pressões
de um fluido em uma máquina,
sistema ou processo.
pman
pabs = patm + │pman│
pabs
patm padrão
absoluto
A : pman > 0
B : pman < 0 (vácuo
relativo)
A
B
absoluto
Barômetro
Barômetro de Hg
1 atm = 760 mmHg = 101,3 kPa = 1,0 bar = 14,7 psi = 10,33 mca (no NMar)
Referências de medidas de Pressão (p)
A patm = 101,3 kPa (padrão EUA ao nível do mar) se patm local = 90 kPa
- se o local for ao nível do mar  Tempestade!
Indica:
- altitude ≈ 1000m condições atmosféricas normais!
- Vácuo (o absoluto) – Gases
Há dois referenciais de pressões :
- patm local – Líquidos e Gases
pabs (kPa)
120
pman = 30 kPa
patm local
90
pvac = 30 kPa ou pman = -30kPa
60
0
pvac = 90 kPa ou pman = -90kPa
vácuo absoluto
Dados da atmosfera – Padrão EUA (nível do mar)
288K
1,225 kg/m³
Manometria
Piezômetros
Limitações de uso:
• serve para baixas pressões
• não serve para gases (escapam)
• não serve para pman < 0, haveria entrada de ar
Tubos em U
Manômetros diferenciais
Exemplo de cálculo
A Fig. 2-3 mostra um manômetro simples de tubo em U para medida da diferença de pressão. A
diferença nas pressões pA e pB pode ser determinada da forma abaixo. A pressão ao ponto a é
dada por:
pa = h1 γH O + (h3 - h1) γar + pA
2
ou
pa = h2 γH O + (h3 – h2) γar + pB
2
Subtraindo,
pA – pB = (h2 – h1) (γH2O – γar)
Observação:
O peso específico do ar é pequeno, comparado à água, significando que a diferença de pressão é
aproximadamente igual à diferença nas alturas de coluna vezes o peso específico da água:
pA – pB = (h2 – h1) γH2O
Os manômetros podem ter formas, orientações e usar fluidos diferentes, dependendo da
aplicação. Por exemplo, a fim de obter melhoria na precisão, em relação ao manômetro vertical,
pode-se usar um manômetro inclinado, como o da figura 2-4, ou um manômetro de dois fluidos,
como o da figura 2-5, poderia ser usado para chegar à precisão desejada.
Figura 2-4
Figura 2-5
O método de relacionamento de diferenças de pressão a deflexões de coluna do fluido para
esses dois exemplos é basicamente o mesmo que o descrito para o manômetro de tubo em U.
Manômetros industriais
O Elemento Elástico ao receber a pressão a ser medida, faz com que este se desloque, acionando
um mecanismo com um ponteiro para indicação da pressão a ser medida.
O Tipo Helicoidal é mais usado para para medição de pressões maiores. O Tipo Espiral, para
pressões menores.
Vacuômetros
Vacuômetro digital com escala de 0 a 760
mmHg. Utilizado para monitoramento do
vácuo gerado durante o funcionamento de
sistemas .
Permite efetuar ensaios para verificar o estado de
funcionamento de válvulas, carburador e ignição.
Sistemas Hidráulicos
Elevador hidráulico
F1 → Força aplicada
F2 → Força obtida
Relação de multiplicação de forças
Prensas
Trem de aterragem aberto para pouso.
Freios
A função do pedal (p) é a de abrir o distribuidor D que alimenta (1) e (2).
Golpe de Aríete
Tubulações
Industriais com
Prof. Laurênio
Ciclos de carga: fadiga é um
fenômeno que afeta os MATERIAIS
que ficam submetidos a vários ciclos
de carga (fratura).
Cavitação
Quando a pressão local cai abaixo
da pressão de vapor do líquido
(pressão parcial das moléculas
gasosas
expelidas
naquela
temperatura),
ocorre
sua
vaporização,
causando
o
aparecimento de bolhas de gás ou
cavidades.
A cavitação é acompanhada de:
erosão,
corrosão,
perdas
de
eficiência e vibração.
Força Hidrostática sobre uma superfície plana submersa (exemplos)
Comporta de parede
Comportas de fundo
Superfície Livre (SL)
Força Hidrostática (Empuxo) sobre uma superfície plana submersa
O
h
H
= ∫ dF (h)
p (h)
FR
p (H)
p (H) dA = dF (H)
y
A
θ
y'
Dedução da força de pressão (empuxo) em áreas planas
patm Superfície Livre (SL)
O
h θ
H
p (h)
FR
y'
C
p (H)
p (H) dA = dF (H)
y
Primeiro momento de A em relação ao eixo x (
A
).
yc = coordenadas do centróide de A.
pc = neste caso, pressão absoluta no líquido no centróide da área A.
pabs = patm + │pman│
Casos :
A) Quando patm atua na SL e no lado externo de A, seus efeitos se cancelam
(p0 = patm = 0)  pc = pc man
B) Se p0 ≠ patm, então p0 deve ser medida como pman para descontar a patm 
pC = p0 man + pC man
Conclusão: p0, que é a pressão atuante na SL, deve ser uma pressão manométrica em qualquer
caso. Logo, pC deverá ser sempre uma (A) ou, uma soma (B) de pressões manométricas!
( pC = pman em C )
MÓDULO: pressão no líquido no centróide da área x área. A pressão na SL do líquido deverá
ser tomada como pman.
Portanto, tem-se de resolver o problema do cálculo do centróide da área plana.
SENTIDO: contrário ao do vetor área.
DIREÇÃO: paralela à do vetor área.
Ponto de aplicação do empuxo em área plana (coordenadas do centro de pressão)
• Reconhecer que no caso geral as coordenadas do CP (x’ , y’ ) estão abaixo do CG (C) !
• O ponto de aplicação da FR (CP= r’ ) deve ser tal que o seu momento em relação a qualquer
eixo seja igual ao momento da força distribuída em relação ao mesmo eixo.
;
;
;
Para o eixo x: fazendo p0 = 0, FR = ρg sinθ yc A, p = ρgh e h = y sinθ :
mas,
Assim,
Momento de inércia de A em
relação ao eixo x.
O ponto de aplicação da FR (CP) está sempre abaixo do
centróide da área.
Momento de inércia da área em relação ao eixo
que passa pelo centróide.
Produto de inércia de A em relação ao par de eixos
passam pelo seu centróide.
que
Detalhes sobre o ponto de aplicação do empuxo (CP)
y
o
z
NA
x
θ
z
A
hc
ER
yc
y'
CG
CG
CP
y
. Mas,
Logo:
Observe que o carregamento das “p” é variável com y!
Porém é invariável segundo o eixo OX ou paralelos, pois, as
“p” são as mesmas! (nesse eixo!)
Para áreas simétricas em relação à
e x’ = xc, logo o CP fica abaixo do CG e sobre o
eixo .
Síntese de empuxo hidrostático e ponto de aplicação em superfície plana submersa
1)
patm
NA
z
o
θ
C
x
yc
y'
y
xc
A
x'
2)
y
Momento de inércia da área em
relação ao eixo x que passa pelo seu
C.G. (xc,yc)
Exemplo em Enga. Naval
3)
Produto de inércia da área em
relação ao par de eixos xy que passa
pelo C.G. (C)
(V-shaped Hull)
Propriedades (CG e I ) de áreas e volumes
Áreas
Volumes
Empuxo hidrostático em superfície curva submersa
Para se somar uma série de vetores
atuantes em várias direções se SOMA
COMPONENTES dos VETORES em
relação à um sistema de coordenadas
conveniente.
Mesmo processo de cálculo do
empuxo em SUPERFÍCIES PLANAS!
Peso na projeção horizontal
da área.
• O empuxo é calculado em termos de seus componentes 
• Na maior parte dos casos práticos, são os componentes paralelos e perpendiculares à SL que interessam 
• Quando ocorrem os 3 componentes, a resultante não poderá ser expressa como uma única força 
Componente vertical do empuxo em superfícies curvas
z
NA
h
h
p
│dAz│
Peso
-Virtual
- Real
A componente vertical do empuxo para superfície curva é igual ao peso real (água em cima) ou
imaginário (água embaixo) do líquido ocupando o volume entre a superfície curva e a superfície
livre da água.
EXEMPLO 1: Calcular o vetor empuxo (E) sobre a comporta de 4m de largura e raio
2m.
A
R = 2m
2
EH
4
EV
(módulo)
(Ponto de aplicação / sentido / direção)
R/2
EH
EV
E
EXEMPLO 2: Cálculo de áreas por integração
y
2
y² = 2x
dy
Ay
Ax
dx
x
2
Pressões em tubos e reservatórios (vasos de pressão)
Hipótese de cálculo: a altura de pressão é grande em relação ao diâmetro (D).
D
p
Portanto, pode-se considerar uma “isotropia de pressões” atuantes na estrutura.
Dimensionamento de parede e material
L
E
ds
r
e
Equilíbrio entre forças solicitantes e resistentes
β = coeficiente de sobrepressão = 1,2
α = coeficiente de eficiência de solda ≈ 0,8
Empuxo sobre corpos imersos
Empuxo e estabilidade sobre corpos flutuantes
Navio francês zarpa durante a tempestade: helicóptero resgatou 26 tripulantes.
Metacentro
Se M estiver acima de G, estável.
Se M estiver abaixo de G, instável.
Altura metacêntrica (MG)
A estabilidade cresce com o aumento de MG.
Movimentos de um sólido em um fluido (jargão naval)
Popa
Proa
• F1 Surge (u) – to move forward with force
• F2 Sway (v) – to move from side to side
• F3 Heave (w) – to rise and fall again several times
• M4 Roll – balanço
• M5 Pitch – caturro
• M6 Yaw – cabeceio
Equilíbrio relativo
Fluido contido em recipiente que se move com translação acelerada
Em relação a:
O’XYZ (fixo Terra)  fluido em movimento
Oxyz (sistema relativo, fixo no recipiente)  após transiente, fluido em configuração estável, se:
.
Como o fluido só estará em repouso em relação ao (Oxyz) que se move em relação à (O’XYZ)  Equilíbrio
relativo. Principio de D`Alambert  pode-se substituir o efeito da aceleração pelo efeito de uma força
fictícia de inércia ( Fi = - m a ).
As partículas fluidas não têm movimento em relação ao recipiente, não há τ  Estática dos Fluidos.
Líquido em movimento de corpo rígido com aceleração linear
patm
Líquido em movimento de corpo rígido com velocidade angular constante
patm
z
r
Fluidos em movimento relativo (corpo rígido)
z
ω = cte
y
2
1
2
y
g
v = cte
ou
parado
ax ≠ 0
1
ax
g
ω=0
x
R
x
Aceleração linear
Estática dos fluidos:
Velocidade angular
Nesses casos:
0
0
-g
0
-g
0
p = p (x,y)
Δx
Δy
p = p (r,z)
Expressões
gerais
Na SL (1 e 2) onde atua patm
Casos particulares
1- (0;z1) e 2- (R2;z2)
dp = 0 (p2 = p1)
Translação uniformemente acelerada na vertical
Elevador
Y
O
X
y
o x
Fluido
ZERO G em queda livre
ay = - g (desce em queda livre)
ZERO G
“Se o elevador desce em queda livre, as pressões no fluido serão constantes em todas as direções, ou seja,
elimina-se o efeito da gravidade.”
p = p (x, y, z) = cte
Envasamento de recipientes em esteiras
Sucção em bombas centrífugas
Observe que o ar acelera no estreitamento (maior pressão dinâmica), provocando uma sucção no
canudo (redução da pressão estática), que consequentemente pulveriza a água no interior do tubo.
Exemplo: Verificar que a condição mecânica de formação de vácuo (pman < 0) no eixo
de cilindro rotativo com líquido é de que ocorra alta velocidade angular ω.
z
ω
1
R
A
r
0
H
O
2
p = p (r, z)
p
0 (vácuo)
Como R, g e H são constantes, a condição é que a rotação (ω) seja alta!
Equações básicas para serem integradas em função do problema
e
Aceleração linear
Velocidade angular
FIM