O COMPONENTE ESPACIAL DA HABILIDADE MATEMÁTICA DE ALUNOS DO
ENSINO MÉDIO1
Odaléa Aparecida Viana
Faculdade Bandeirantes de Educação Superior, SP
[email protected]
Márcia Regina Ferreira de Brito
Universidade Estadual de Campinas, SP
[email protected]
RESUMO
Este trabalho teve como objetivo analisar o componente espacial da habilidade
matemática e verificar a existência de relação entre este componente e o
rendimento escolar em geometria. Foi elaborada uma prova tipo lápis e papel
com tarefas de geometria espacial, tendo sido sujeitos 177 alunos de ensino
médio de uma escola particular. A análise fatorial das operações do
componente espacial da habilidade matemática indicou a existência de um
único fator, o que comprova que a prova avaliou a habilidade geral dos sujeitos
em lidar com conceitos geométricos espaciais trabalhados no ensino médio,
com base nas tarefas propostas. Foi encontrada correlação moderada entre o
desempenho na prova e o rendimento escolar em geometria.
Palavras-chave: Psicologia da educação matemática; ensino de geometria;
habilidade matemática.
Introdução
O entendimento dos processos relativos à formação e à manipulação de
imagens mentais e das diferenças individuais quanto à capacidade de raciocinar
com elementos espaciais há muito tem fascinado os psicólogos e, mais
recentemente, vários pesquisadores da área de educação matemática.
1
Este trabalho tem por base parte da tese de doutorado defendida na Faculdade de Educação da
Universidade Estadual de Campinas, sob orientação da Profª.drª. Márcia Regina , com apoio CNPq.
VIANA, O., BRITO, M. O Componente Espacial Da Habilidade Matemática De Alunos Do Ensino Médio. In Anais
do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em Educação-Centro de Educação – Universidade Federal de
Pernambuco, 2006, 9p.
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A geometria escolar, que tem como objetivo o estudo das formas dos
objetos e de suas relações, parece, por exigência da sua própria natureza
representativa, requerer a habilidade de formar e manipular imagens mentais.
Essa habilidade também é chamada de habilidade visual, de habilidade espacial
ou de raciocínio espacial.
Krutetskii (1976), quando investigou a estrutura da habilidade matemática
de alunos, conseguiu isolar um fator que influenciava na solução de problemas
que requeriam a formação de imagens mentais visuais. Esse fator, chamado de
componente espacial, foi definido como sendo uma habilidade para lidar com
conceitos espaciais. Dessa forma, considerou-se que esse componente poderia
influenciar no desempenho nas provas cujas questões requisitassem essas
operações mentais.
Neste estudo, foi chamado de componente espacial da habilidade
matemática o conjunto de habilidades envolvendo a percepção, a formação e a
manipulação de imagens mentais relativas às figuras espaciais que são estudadas
no ensino médio. Pretendeu-se obter um melhor entendimento das operações
mentais referentes a este componente. Pretendeu-se também investigar a
influência deste componente no rendimento escolar em geometria no ensino
médio.
Fundamentação teórica
Entre os vários fatores que influenciam no desempenho escolar em
matemática, podem ser destacadas certas características individuais que foram
estudadas pelo psicólogo russo Vadim Andreevich Krutetskii em um amplo
programa de pesquisa realizado de 1955 a 1966 tendo como sujeitos crianças
escolarizadas. Segundo Krutetskii (1976), o sucesso em determinadas tarefas
pode ser influenciado pelas habilidades do sujeito. Embora não suficiente, a
habilidade matemática influenciaria o sucesso escolar e implicaria em aspectos
como rapidez, facilidade e meticulosidade no domínio dos conhecimentos,
destrezas e hábitos, próprios da matemática. Krutetskii (1976) identificou quatro
componentes básicos da habilidade matemática correspondentes aos processos
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cognitivos do sujeito durante a solução dos problemas matemáticos propostos:
obtenção da informação matemática do problema, processamento da informação
matemática, retenção da informação matemática e componente geral sintético.
Estes componentes estão intimamente relacionados, influenciam-se mutuamente
e formam em conjunto um único sistema que caracteriza a habilidade matemática
escolar.
Entre as características da estrutura da habilidade matemática, Krutetskii
(1976) destacou o componente espacial, marcado pelo desenvolvimento dos
conceitos geométricos espaciais dos alunos e pela habilidade para visualizar a
posição de um sólido no espaço e as posições de suas partes e a capacidade de
inter-relacionar sólidos, figuras, planos e linhas.
Dessa forma, com base nos problemas propostos por Krutetskii (1976), foi
possível elaborar uma prova para estudar o componente espacial da habilidade
matemática. Acrescenta-se que outros aspectos da habilidade matemática têm
sido estudados no grupo de pesquisa PSIEM da Universidade Estadual de
Campinas (Brito, 2001; Rezi, 2001, entre outros).
Objetivos
1)Analisar o componente espacial da habilidade matemática relativo às
operações mentais de contagem de cubos, formação e identificação de polígonos
no espaço, secções, planificação, projeção e formação de sólidos de revolução.
2) Verificar a existência de relação entre este componente e o rendimento
escolar em geometria no ensino médio.
Sujeitos
Foram sujeitos do estudo 177 estudantes do ensino médio, de uma escola
particular da cidade de Mogi das Cruzes, SP.
Foram escolhidas as séries do ensino médio, pois nestas é trabalhado, de
modo mais especifico, o conteúdo de geometria espacial. Tratou-se de uma
amostra de conveniência.
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Instrumento
Foi elaborada Prova CEHM - Prova do Componente Espacial da Habilidade
Matemática. A Prova CEHM foi formada por questões inspiradas na série XXV de
problemas
elaborados
por
Krutetskii
(1976).
Para
este
trabalho,
foram
selecionados apenas os problemas que se referiam à geometria espacial. Em
seguida, foi feita uma análise das operações envolvidas em cada questão. Optouse, então, por escolher as figuras geométricas mais estudadas no ensino médio:
os poliedros (cubos, prismas, pirâmides, troncos de pirâmides) e os corpos
redondos (cilindros, cones, troncos de cones e esferas).
Dessa forma, foi possível elaborar as seguintes questões:
Contagem de cubos em arranjos
Foram apresentados cinco desenhos de arranjos formados por cubinhos,
em perspectivas e em várias posições. O aluno era solicitado a contar os cubinhos
utilizados em cada sólido.
Formação de polígonos no interior de um cubo.
Foi apresentado o desenho em perspectiva de um cubo com os oito vértices
nomeados de A a H. A seguir, eram apresentadas seqüências de três ou quatro
vértices para que o aluno identificasse o polígono resultante da união desses
pontos. O objetivo desta questão era verificar se o sujeito identificaria as
propriedades fundamentais de triângulos e quadriláteros, como congruência de
lados e de ângulos, paralelismo e perpendicularismo etc, numa representação em
perspectiva.
Secção em sólidos geométricos
Foram apresentados, em perspectiva, os desenhos de figuras que
geralmente são estudadas no ensino médio e o aluno era solicitado a desenhar
três secções possíveis para cada sólido, resultantes das intersecções destes com
planos imaginados, em qualquer posição.
Planificação de figuras espaciais.
O aluno era solicitado a desenhar uma planificação para cada figura
apresentada. Optou-se por apresentar figuras estudadas no ensino médio,
acrescentadas por algumas composições de figuras.
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Projeções ortogonais de figuras espaciais
Foram apresentados sólidos formados por cubinhos (inspirado nos
desenhos de Shepard, 1978) dentro de um cubo e o aluno foi solicitado a
desenhar projeções do mesmo sólido sobre as faces indicadas do cubo.
Rotação de figuras planas em torno de um eixo (sólidos de revolução)
Uma figura geométrica plana foi desenhada ao lado de um segmento
vertical que representava um eixo de rotação. O aluno era solicitado a girar
mentalmente a figura em torno deste eixo e formar a imagem de um sólido.
A Figura 1 mostra algumas questões constantes da Prova CEHM, sendo
que mais detalhes podem ser encontrados em Viana (2005).
A
A
B
B
C
Quantos cubinhos formam
o sólido?
Que tipo de triângulo se
obtém ao ligar os vértices
A,B e C?
A
B
C
D
Desenhe a secção obtida
pelo plano indicado em B.
Faça o desenho da
planificação da figura dada.
C
D
Desenhe a projeção do
sólido na face ABCD do
cubo.
Faça o desenho daa f
plana que, girada em
de um eixo, formar
sólido dado.
Figura 1. Exemplos de questões apresentadas na prova CEHM.
Procedimentos
A prova foi aplicada pela pesquisadora durante as aulas normais, com
autorização dos respectivos professores e da direção da escola. As notas
escolares em geometria (que é uma disciplina na escola pesquisa) foram
fornecidas pela secretaria com autorização da coordenação da escola.
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A análise estatística dos dados utilizou o teste t-Student para comparar as
médias por gênero, o teste F para comparar as médias por série, a análise fatorial
para estudar o componente espacial da habilidade matemática e a análise de
correlação para estudar as variáveis quantitativas. Utilizou-se o pacote estatístico
SPSS (Statistical Package for Social Science) com nível de significância de 5%.
Resultados
Foram sujeitos da pesquisa 177 alunos das primeiras, segundas e terceiras
séries do ensino médio de uma escola particular de Mogi das Cruzes, SP, sendo
52% do sexo feminino e 48% do masculino. As idades variavam entre 14 e 18
anos, com média 15,8 e desvio padrão 0,95.
A Prova do Componente Espacial da Habilidade Matemática (CEHM) era
formada por 75 itens que compunham cinco partes: contagem de cubos (Cubos),
formação de polígonos em cubos (Polígonos), secção de sólidos (Secção),
planificação de figuras espaciais (Planificação), projeção de faces (Projeção) e
formação de sólidos de revolução (Revolução), cada uma referindo-se a um
suposto fator da habilidade espacial para geometria.
A cada item da prova foi atribuído o valor de 1,0 ponto, sendo que o
desempenho dos sujeitos em cada parte foi avaliado considerando o número de
pontos obtido. A soma total dos pontos indicou o desempenho de cada sujeito na
prova. A Tabela 1 mostra as estatísticas para cada uma das partes.
Foi feita a análise fatorial com o objetivo de resumir as variáveis originais,
isto é, as seis partes da prova, em um número menor de fatores. O coeficiente
para o teste de esfericidade de Bartlett foi de 210,137, com p=0,000, o que permite
concluir que a matriz de correlação das variáveis é adequada para o uso da
análise fatorial. A adequação da amostra total e a adequação da amostra para
cada fator foram avaliadas pelo teste KMO (Kaiser-Meyer-Olkin), cujo coeficiente
foi de 0,827, o que, segundo Pereira (1999) citado por Cazorla (2001) pode ser
considerado uma boa adequação dos dados para a análise fatorial.
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A análise dos autovalores da matriz de correlação mostrou a existência de
apenas um fator com valor maior que 1 (2,851) e que foi responsável por
47,524% da variância total, conforme mostra a Tabela 2.
Tabela 1. Estatísticas da Prova do Componente Espacial da Habilidade Matemática (CEHM)
Partes
N Nº total de Média Desvio Mínimo Máximo
pontos
Padrão
1ª:Cubos
155
5,00
4,11
1,26
0,00
5,00
2ª:Polígonos
155
7,00
3,32
1,59
0,00
7,00
3ª:Secção
154
24,00
10,04
4,83
0,00
23,00
4ª:Planificação
165
13,00
5,75
2,54
0,00
12,50
5ª:Projeção
163
10,00
3,82
2,37
0,00
10,00
6ª:Revolução
162
16,00
9,07
4,70
0,00
16,00
Prova
148
75,00
36,08
12,62
2,50
73,50
Tabela 2. Autovalores da matriz de correlação da Prova CEHM
Fator
Autovalor
Variância explicada
%Simples
%Acumulada
47,524
47,524
1
2,851
2
0,859
14,324
61,847
3
0,739
12,318
74,166
4
0,609
10,153
84,319
5
0,561
9,349
93,668
6
0,380
6,332
100,000
Apenas um componente foi extraído, conforme mostra a Tabela 3. Isto
indica que a Prova do Componente Espacial da Habilidade Matemática avaliou
apenas um componente. Acrescenta-se que a distribuição do desempenho na
Prova do Componente Espacial da Habilidade Matemática (CEHM) apresentou
normalidade (K-S(148) = 0,046, p=0,200).
O desempenho na Prova CEHM diferiu por gênero, isto é, os meninos
tiveram um desempenho melhor do que as meninas t(146)= 2,871, p=0,005) e
também por série, sendo que a ANOVA seguida do Teste de Tukey mostraram
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que os sujeitos da 3ª série tiveram um desempenho melhor do que os sujeitos da
1ª série (F(2,145) = 5,416 p=0,005).
Tabela 3. Carga fatorial das partes da Prova CEHM
Partes
Carga Fatorial
Planificação
0,818
Secção
0,753
Projeção
0,731
Revolução
0,695
Formação e Identificação de Polígonos
0,608
Contagem de Cubos
0,477
Foi encontrada uma correlação moderada entre o desempenho na Prova
CEHM e as notas escolares de geometria, sendo a correlação mais forte para os
alunos da terceira série, conforme mostra a Tabela 4.
Tabela 4. Correlações entre o desempenho na prova do Componente Espacial da Habilidade
Matemática (CEHM) e as notas de Geometria por série
Notas Geometria
CEHM
1ª série
2ª série
3ª série
Geral
N = 62
N =43
N =39
N =144
0,432**
0,482**
0,574*
0,454**
p =0,000
p =0,001
p =0,000
p =0,000
(*) a correlação é significante ao nível de 0,05. (**) a correlação é significante ao nível de 0,01.
Conclusão
O objetivo desse estudo era obter uma melhor compreensão do
componente espacial da habilidade matemática através da identificação de
habilidades específicas para as operações que foram solicitadas nas tarefas
propostas aos sujeitos.
Os dados relativos à análise fatorial feita com as operações constantes na
prova do Componente Espacial da Habilidade Matemática (contagem de cubos,
formação e identificação de polígonos no espaço, secção, planificação, projeção e
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revolução) indicaram a existência de um único fator responsável por 47,524% da
variância total. Isto significa que a prova avaliou a habilidade geral dos sujeitos em
lidar com conceitos geométricos espaciais, com base nas tarefas propostas.
Portanto, foram identificados os sub-componentes dessa habilidade:
a) habilidade para contagem de cubos em um arranjo
b) habilidade para identificar polígonos resultantes da união de pontos no
espaço, identificando congruência dos lados, ângulos retos, paralelismo e
perpendicularismo entre segmentos, estabelecendo duas ou mais relações
simultaneamente.
c) habilidade para imaginar planos horizontais e verticais com diferentes
afastamentos do centro do sólido e representar as secções no plano do papel
como se estas fossem vistas de frente.
d) habilidade para planificar figuras tridimensionais, seja rebatendo os
planos das faces de poliedros, seja desenvolvendo as superfícies laterais de
corpos redondos.
e) habilidade para projetar ortogonalmente sólidos formados por cubinhos
em qualquer face de um cubo referencial, desprezando cubos sobrepostos,
respeitando a posição da face pedida, fazendo o desenho conforme o ponto de
vista solicitado, representando apenas sua projeção.
f) habilidade para identificar figuras planas geradoras de sólidos de
revolução e para desenhar figuras planas geradoras de sólidos de revolução.
O presente trabalho constatou que, para os sujeitos analisados, o
desempenho escolar em geometria era influenciado pelo componente espacial da
habilidade matemática, sendo que a relação mais forte estava na terceira série.
Convém esclarecer que na primeira e na segunda série os alunos estudavam
mais geometria plana que espacial e que, na terceira série, o assunto era
especificamente geometria de posição e métrica. Sendo assim, a relação
encontrada na terceira série pode mostrar que o entendimento de conceitos e
procedimentos nas aulas de geometria e o desempenho na solução de problemas
solicitados
nas
provas
mensais
escolares
habilidades identificadas neste trabalho.
pareciam
influenciados
pelas
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A teoria de Krutetskii (1976) afirma que o bom desempenho dos alunos em
tarefas matemáticas escolares pode ser influenciado por certas características
individuais relativas às habilidades matemáticas.
A prova que foi elaborada para essa pesquisa pode ser um instrumento
para avaliar o componente espacial e permitir a identificação de fatores que
podem influenciar o rendimento dos alunos em geometria, especialmente no
ensino médio. Considera-se que o presente trabalho pode contribuir para um
melhor entendimento desse aspecto da habilidade matemática que geralmente se
pode notar nas questões constantes nas provas e testes de concursos em geral.
Bibliografia
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In: BRITO, M. R. F. (org). Psicologia da educação Matemática. Teoria e Pesquisa.
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CAZORLA, I. M. A relação entre a habilidade viso-pictórica e o domínio de
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Estadual de Campinas. SP, 2002.
KRUTETSKY, V. A. The Psychology of Mathematical Abilities in Schoolchildren.
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REZI, V. Um estudo exploratório sobre os componentes das habilidades
matemáticas presentes no pensamento em geometria. Dissertação de Mestrado.
Universidade Estadual de Campinas, 2001.
SHEPARD, R. N. The mental image. American Psychologyst, 125-137, 1978.
VIANA,O.A.O componente espacial da habilidade matemática de alunos do ensino
médio e as relações com o desempenho escolar e as atitudes em relação à
matemática e à geometria. Tese de doutorado. Universidade Estadual de
Campinas, 2005.