Capítulo 1
COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
1.1 Introdução
O MAPLE é um tipo de software, pertecente a uma classe chamada de computação simbólica
ou algébrica, dirigido para a resolução de diversos problemas em Matemática e outras Ciências
afins.
Uma das principais características do MAPLE é permitir manipulações numéricas e simbólicas,
além de gerar gráficos em dimensão 2 e 3. As manipulações simbólicas são operações do tipo
- expressar uma variável em função de outra, substituição, simplificação, fatoração, reagrupamentos dos termos de uma expressão, etc. A capacidade simbólica do software, permite obter
soluções exatas em diversos tipos de problemas.
O MAPLE consiste de três partes principais, a saber: o núcleo (kernel), que é a parte central do
software, escrita em linguagem C, onde são realizadas as operações; as livrarias (packages), que
são um conjunto de funções pré-definidas e que são acionadas por uma sintaxe própria, quando
necessário; e finalmente, a interface do usuário, chamada folha de trabalho (worksheet), onde
se realizam as operações de entrada e saída. O MAPLE tem, essencialmente, dois tipos de
comandos: os que utilizam o núcleo e os comando da interface do usuário.
O MAPLE é uma ferramenta poderosa que serve não somente para testar os conhecimentos
de Cálculo I, como também abrange muitas áreas da Matemática. Nestas notas nos concentraremos, essencialmente, na parte básica do software, direcionado exclusivamente ao Cálculo de
funções de uma variável real. As sintaxes apresentadas nestas notas correspondem às versões
do MAPLE 5 em diante.
Recomendamos que, ao ler os capítulos, já esteja instalado o MAPLE para reproduzir os exemplos e os exercícios.
Finalmente, observamos que é recomendável a utilização de recursos computacionais, no
apoio ao ensino do Cálculo, é recomendável, mas isso não exclui, de forma alguma, a abordagem do aprendizado teórico em sala de aula, o qual sempre se mostrou indispensável.
A utilização do MAPLE no Cálculo é um ótimo laboratório para testar e esclarecer muitos
conceitos estudados em sala de aula. Veja o último parágrafo deste capítulo.
11
12
CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
1.2 Início
Após o início do software, a digitação das expressões serão feita ao lado do prompt :
>
Isto é, quando aparecer o prompt, implica em que o MAPLE está pronto para receber os comandos.
A sintaxe de todo comando do MAPLE deve terminar em ponto e vírgula:
>expressão;
Ou dois pontos:
>expressão:
Utilizamos ";” (ponto e vírgula) quando desejamos que o resultado seja mostrado imediatamente na tela. Utilizamos ":” (dois pontos) quando desejamos que o MAPLE execute o comando e o resultado seja guardado na memória, sem mostrá-lo na tela. A execução da sintaxe
do comando após ";” ou ":” é finalizada pressionando a tecla enter.
Em geral, é conveniente, ao início de cada exercício, utilizar o comando:
>restart;
Este comando apaga da memória os comandos utilizados anteriormente, porém, não apaga o
que já foi digitado no worksheet.
É possível guardar os dados digitados, enviando-os para um arquivo de extensão *.mws, o
qual poderá ser lido pelo MAPLE em outra ocasião.
1.3 Operações e Números Pré-Definidos
Alguns dos comandos básicos para diversas operações pré-definidas do MAPLE são:
Adição: +
Subtração: Multiplicação: *
Divisão: /
Potenciação: ˆ
Fatorial de um número natural: !
Maior e menor que: > e <
Maior ou igual e menor ou igual que: >= e <=
Diferente de: <>
1.3. OPERAÇÕES E NÚMEROS PRÉ-DEFINIDOS
13
Máximo divisor comum: igcd(a,b,c,...)
Mínimo múltiplo comum: ilcm(a,b,c,...)
Menor inteiro maior ou igual a x: ceil(x)
Parte inteira de x: trunc(x)
Parte fracionária de x: frac(x)
O MAPLE tem os seguintes números pré-definidos:
O número π é definido por: Pi
O número e é definido por: exp(1)
A unidade imaginária é definida por: I
Notamos que o Maple utiliza para os decimais ".” ponto. Por exemplo:
decimal 0.428571.
3
é denotado na forma
7
Exemplo 1.1.
1. Para calcular 3 × 71/9 + 113 − 1. Devemos digitar:
> 3*7 ˆ(1/9) +11 ˆ 3 -1;
3
2. Para calcular
√
9
7 + 1330
5π − 1
. Devemos digitar:
3
> (5*Pi-1)/3;
5π − 1
3
Devemos ter cuidado nos parênteses utilizados na construção de uma expressão. No exemplo anterior, o resultado será diferente se digitarmos:
> 5*Pi-1/3;
5π −
1
3
Logo, o resultado será diferente.
3. Determine o máximo divisor comum de 6 e 26 e mínimo múltiplo comum de 5 e 24.
Escrevemos:
CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
14
> igcd(6,26);
2
Analogamente, escrevemos:
> ilcm(5,24);
120
4. Determine o menor inteiro maior ou igual a 5.3 e a parte inteira de 223.34.
Escrevemos:
> ceil(5.3);
6
Analogamente, escrevemos:
> trunc(223.34);
223
1.4 Funções Pré-Definidas
O MAPLE tem algumas funções elementares e transcendentes pré-definidas, por exemplo:
Valor absoluto de x, ( |x|): abs(x)
Sinal de x, ( sgn(x)): csgn(x)
O maior inteiro que é menor ou igual a x, ( [[x]]): floor(x)
√
Raiz quadrada de x, ( x): sqrt(x)
√
Raiz n-ésima de x, ( n x): root(x,n )
Exponencial de x, ( ex ): exp(x)
Logaritmo natural de x, (ln(x)): ln(x)
Logaritmo na base 10 de x, (log(x)): log(x)
Logaritmo na base b de x, (logb (x)): log[b](x)
Funções Trigonométricas:
sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)
1.4. FUNÇÕES PRÉ-DEFINIDAS
15
.
Onde x, é em radianos.
Funções Trigonométricas Inversas:
arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x), arcsec(x), arcsc(x)
Funções Trigonométricas Hiperbólicas:
sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x), sech(x), csch(x)
Funções Trigonométricas Hiperbólicas Inversas:
arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x), arccoth(x), arcsech(x), arcsch(x)
Exemplo 1.2.
1. Determine o valor de tg(
4π
). Devemos digitar:
3
> tan(4*Pi/3);
√
3
π
π
2. Determine o valor de 4 sen( ) − sec2 ( ). Devemos digitar:
3
4
> 4*sin(Pi/3)-sec(Pi/4) ˆ 2;
√
2 3−2
3. Determine o valor de arcsen(1) − arctan(1) + sech(4). Devemos digitar:
> arcsin(1)-arctan(1)+sech(4);
π
+ sech(2)
2
1
4. Determine o valor de log5 (3) + ln(5) + log( ). Devemos digitar:
2
> log[5](3)+ln(5)+log(1/2);
ln(3)
+ ln(5) − ln(2)
ln(5)
Pode explicar este resultado?
5. Determine o valor de [[π +
√
12929 + e5 ]]. Devemos digitar:
70
> floor(Pi+root(12929, 70)+exp(5));
152
CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
16
1.5 Cálculos Aproximados
Para efetuar cálculos aproximados no MAPLE, utilizaremos o comando:
> evalf(expressão, digitos );
Ou, alternativamente:
> evalf[digitos ] (expressão);
O comando evalf expressa o valor aproximado na forma de número decimal com um total de
10 digítos, se não é indicado o números de digitos. Podemos alterar o número de digítos da
resposta, como mostram os exemplos a seguir:
Exemplo 1.3.
1. Determine o valor aproximado de π. Devemos digitar:
> evalf(Pi);
3.141592654
Se desejamos mais digítos na aproximação, por exemplo 100, escrevemos:
> evalf[100](Pi);
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286
208998628034825342117068
2. Determine o valor aproximado de 43
√
5+
√
17
+ e 5 456 − [[ln(453)]]. Devemos digitar:
3
> evalf(4 ˆ 3*sqrt(5)+17/3 +exp(1)*root(456, 5)-floor(ln(453)));
152.0238611
Para obter o resultado com 30 digítos:
>evalf(4ˆ3*sqrt(5)+17/3 +exp(1)*root(456, 5)-floor(ln(453)),30);
152.023861144905348681717678473
π
π
3. Determine o valor aproximado de 4 sen( ) − sec2 ( ). Devemos digitar:
3
4
> evalf(4*sin(Pi/3)-sec(Pi/4) ˆ 2) ;
1.464101616
1.6. MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS
17
1
4. Determine o valor aproximado de log5 (3) + ln(5) + log( ). Devemos digitar:
2
> evalf(log[5](3)+ln(5)+log(1/2));
1.598896926
1.6 Manipulações Algébricas
Como foi comentado no início do capítulo, o MAPLE aceita também expressões algébricas.
Os seguintes comandos são utilizados para manipulações de expressões numéricas e/ou algébricas:
Desenvolver uma expressão: expand( )
Fatore uma expressão: factor( )
Simplifique uma expressão: simplify( )
Decompor um número em fatores primos: ifactor( )
Estes comandos possuem algumas opções adicionais. Por exemplo:
> expand(expressão, opção);
Os argumentos desta sintaxe são: trig, exp, ln , power ou radical. Outras opções podem ser
consultadas, utilizando >?sintaxe.
Exemplo 1.4.
1. Desenvolver (x2 + 4)4 . Devemos escrever:
> expand((x ˆ 2 +4)ˆ4);
x8 + 16 x6 + 96 x4 + 256 x2 + 256
2. Desenvolver sen(2 x). Devemos escrever:
> expand(sin(2*x));
sen(2 x)
Agora, se digitamos:
> expand(sin(2*x),trig);
2 sin(x) cos(x)
3. Desenvolver cosh(x + y). Devemos escrever:
> expand(cosh(x+y),exp);
CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
18
cosh(x) cosh (y) + sinh(x) sinh(y)
Procure outras formas de utilizar este comando, digitando >?sintaxe.
4. Desenvolver sen(ω (x − x0 ) + α). Se escrevemos:
>expand(sin(omega*(x-x0)+alpha));
sin(ω x) cos(ω x0 ) cos(α) + sin(ω x) sin(ω x0 ) sin(α) − cos(ω x) sin(ω x0 ) cos(α)+
cos(ω x) cos(ω x0 ) sin(α)
Agora, se escrevemos:
>expand(sin(omega*(x-x0 )+alpha),x-x0 );
sin(ω (x − x0 )) cos(α) + cos(ω (x − x0 )) sin(α)
5. Fatore x6 − 4096. Devemos escrever:
> factor(x ˆ 6 -4096);
(x − 4) (x + 4) (x2 + 4 x + 16) (x2 − 4 x + 16)
6. Simplifique
x6 − 4096
. Devemos escrever:
x4 − 16
> simplify((x ˆ 6 -4096))/(xˆ4 -16);
x4 + 16 x2 + 256
7. Simplifique cosh2 (x) − senh(x)2 . Devemos escrever:
> simplify(cosh(x) ˆ 2 -sinh(x) ˆ 2);
1
Explique este resultado.
8. Desenvolver sen(x + y). Devemos escrever:
> expand(sin(x+y));
sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
9. Decompor em fatores primos 3628800. Devemos escrever:
> ifactor(3628800);
1.6. MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS
19
((2))8 ((3))4 ((5))2 (7)
Em geral, o MAPLE não assume, a priori, o domínio das variáveis, numa expressão. Vejamos
o exemplo a seguir.
Exemplo 1.5.
1. Digite a seguinte expressão:
> sin(4*Pi*n);
sin(4 π n)
O MAPLE não lançou o resultado igual a zero. Isto é devido ao fato de que o MAPLE supõe
que n é uma variável independente e não necessariamente um número inteiro.
Utilizamos a seguinte sintaxe, para definir o domínio de uma variável:
> assume(variável, opção);
O tipo pode ser inteiro (integer), real (real) ou por exemplo:
> assume(variável>0);
No exemplo anterior:
> assume(n,integer);
> sin(4*Pi*n);
0
> cos(Pi*n);
(−1)n
2. Simplifique
p
x2 y 2 , se x e y são números positivos.
> simplify(sqrt(x ˆ 2 y ˆ 2), assume=nonneg);
xy
Também podemos utilizar:
> assume(variável1 >0, variável2 >0,....):
Quando se tratar de funções que envolvem logarítmos. Por exemplo:
3. Desenvolver ln
y
. Devemos digitar:
x
CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
20
>assume(x>0,y>0):
> expand(ln(x/y);
ln(x) − ln(y)
4. Simplifique ln(ex ). Digitamos:
>assume(x, real):
> simplify(ln(exp(x)));
x
Outro comando de manipulação algébrica é o combine que produz o efeito inverso do comando expand, o qual combina diversas expressões para conseguir uma mais reduzida. Ao
utilizar este comando, é nescesário indicar, como argumento, que tipo de elementos se deseja
combinar. A sintaxe é:
> combine(expressão, opção);
Ou, equivalentemente:
> combine[opção] (expressão);
As opções desta sintaxe são: trig, exp, ln , power ou radical.
Exemplo 1.6.
1. Digite:
> combine(2*sin(x)*cos(x),trig);
sin(2 x)
2. Digite:
> combine(exp(x)*exp(y),exp);
exy
3. Digite:
> combine(x ˆ y /x ˆ 2 ,power);
xy−2
4. Digite:
>combine[radical](sqrt(27)*sqrt(10)*sqrt(31)+sqrt(10)*sqrt(x ˆ 2 +1);
p
√
3 930 + 10 x2 + 10
1.7. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
21
1.7 Equações, Inequações e Sistemas de Equações
Para resolver equações, inequações, sistemas lineares, utilizamos o comando solve.
Para equações em uma variável:
> solve(equação, variável);
Para equações ou sistemas de equações de mais de uma variável, a sintaxe do comando deve
incluir as variáveis que desejamos determinar. Quando desejamos resolver um sistema a sintaxe é:
> solve({equação1,equação2,.....}, {variável1,variável2,......});
Este comando também é utilizado quando, numa equação com mais de uma variável, desejamos expressar uma delas em função das outras.
Para determinar as soluções inteiras de uma equação, utilizamos a seguinte sintaxe:
>isolve(equação);
Quando se deseja obter o resultado aproximado de uma equação ou sistema utilizamos a sintaxe:
> fsolve(equação,variável, opções);
ou
> fsolve({equação1 ,equação2,....},{variável1, variável2, ....}, opções);
A opção mais utilizada, nesta sintaxe, é o intervalo onde se deseja achar a soluação aproximada.
Exemplo 1.7.
1. Determine a solução de x3 − 7 x2 + 4 x + 12 = 0. Devemos escrever:
>solve((x ˆ 3 -7*x ˆ 2 +4*x +12,{x});
{x = −1},
{x = 2},
{x = 6}
2. Determine a solução de x2 − 3 x y + 2 y 2 = 0 em função de y. Devemos escrever:
>solve((x ˆ 2 -3*x*y+2*y ˆ 2 =0,{y});
{y = x},
3. Determine a solução do sistema:
{y =
x
}
2
CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
22
(
Digite:
5x − 3y = 1
−2 x + 8 y = 9.
>solve(({5*x-3*y=1,-2*x+8*y=9},{x,y});
{x =
35
},
34
{y =
47
}
34
Podemos aproximar as soluções:
>solve(({5*x-3*y=1,-2*x+8*y=9},{x,y}):
>evalf(%)
{x = 1.029411765},
{y = 1.382352941}
Utilizamos o comando % para chamar a expressão imediatamente anterior sem repetir a
digitação. Este comando é muito útil quando se manipula expressões muito complicadas
e/ou extensas. Analogamente, o comando % % representa o penúltimo resultado.
4. Determine a solução de |x + |x + 2|2 − 1| > 9. Devemos digitar:
>solve(abs(x+abs(x+2)ˆ 2 -1)>9,x);
RealRange (Open (1) , ∞) , RealRange (−∞, Open (−6))
Isto é, (−∞, −6) ∪ (1, +∞).
5. Determine a solução de x x3 − 3 x2 − 9 x + 27 < 0. Devemos digitar:
>solve(x *abs(xˆ3 -3*x ˆ2+9*x+27) <0,x);
RealRange(Open(0), Open(3)), RealRange(Open(3), infinity), RealRange(Open(-3), Open(0)),
RealRange(-infinity, Open(-3))
Isto é, (−∞, −3) ∪ (−3, 0) ∪ (0, 3) ∪ (3, +∞).
6. Determine a solução de x2 − 36 x + 100 = 0, no intervalo [−20, 20]. Devemos digitar:
>fsolve(x ˆ 2 -36*x+100=0,{x},x=-20..20);
{3.0033370453}
7. Determine as soluções inteiras de: x4 +
5 x3 7 x2 x 1
−
+ + = 0. Devemos digitar:
6
3
6 3
>isolve(xˆ 4+(5/6)*xˆ3-(7/3)*xˆ2+(1/6)*x+1/3);
1.7. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
23
{x = −2}, {x = 1}
Note que:
>solve(xˆ 4+(5/6)*x ˆ 3-(7/3)*xˆ2+(1/6)*x+1/3,{x});
1
1
{x = −2}, {x = 1}, {x = }, {x = − }
2
3
8. Determine a solução do sistema:
(
se (x, y) ∈ [−2, 2] × [−2, 2].
sen(x + y) − ex y = 0
x − y = 1;
Digitemos:
>fsolve({sin(x+y)-exp(x) * y=0,x-y=1},{x,y},{x=-2..2,y=-2..2});
{x = 1.278443473,
y = −0.2784434726}
O Maple ocasionalmente, lança soluções em função da expressão RootOf. Vejamos o seguinte
exemplo:
Exemplo 1.8.
Digitemos:
> solve(x ˆ 5 - 2*x + 3 = 0,x);
{x = RootOf (_Z 5 − 2_Z + 3; index = 1)},
{x = RootOf (_Z 5 − 2_Z + 3; index = 2)},
{x = RootOf (_Z 5 − 2_Z + 3; index = 3)},
{x = RootOf (_Z 5 − 2_Z + 3; index = 4)},
{x = RootOf (_Z 5 − 2_Z + 3; index = 5)}
RootOf(expressão) é a forma genérica das raízes do polinômio. Isto indica que x é uma raiz
do polinômio z 5 − 2 z + 3, onde index é o número e a ordem da solução Para obter soluções
explícitas, complexas, utilizamos a sintaxe:
> evalf(%);
{x = .9585321812+.4984277790*I}, {x = -.2467292569+1.320816347*I}, {x = -1.423605849},
{x = -.2467292569-1.320816347*I}, {x = .9585321812-.4984277790*I}
Estas são as 5 raizes da equação. As soluções da equação, onde aparece o símbolo I, são as
soluções que não são reais.
CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
24
Para obter todas as soluções de uma equação equação, especialmente, as trigonometricas, utilizamos a seguinte sintaxe:
>solve(equação,variável,AllSolutions);
Exemplo 1.9.
1. Determine a solução de sen(x) = 0.
>solve(sin(x)=0,x);
0
Digitamos:
>solve(sin(x)=0,{x},AllSolutions);
{x = π _Z5 ˜}
Isto equivale a:
x = k π,
k∈Z
√
3
2. Determine a solução de cos(x) +
= 0.
2
>solve(cos(x)+sqrt(3)/2=0,x);
5
π
6
Digitamos:
>solve(cos(x)+sqrt(3)/2=0,{x},AllSolutions);
{x =
5
5
π − π__B2 ˜ + 2 π_Z2 ˜}
6
3
Isto equivale a:
x=
5π
+ 2 k π,
6
x=−
5π
+ 2 k π,
3
m, k ∈ Z
3. Determine a solução de cos(4 x) + sen(2 x) = 0.
>solve(cos(4*x)+sin(2*x)=0,x,AllSolutions);
1
π + π _Z1 ˜,
4
Interprete o resultado.
−
1
π + π _Z2 ˜,
12
−
5
π + π _Z3 ˜
12
1.8. NOMEAÇÃO DE OBJETOS E SUBSTITUIÇÕES
25
1.8 Nomeação de Objetos e Substituições
Quando necessitamos utilizar seguidamente uma expressão e/ou valor numérico, podemos
nomeá-los, evitando assim digitá-los repetidamente.
A sintaxe para isto é:
:= (dois pontos e igual)
Para substituir os valores numa expressão já definida, utilizamos a seguinte sintaxe:
> subs(objeto a substituir, expressão);
Exemplo 1.10.
1. Se digitamos:
> eq1:=x+y-3=0;
eq1 := x + y − 3 = 0
Podemos chamar a expressão anterior, fazendo:
> eq1;
Ou, resolvê-la:
x+y−3=0
> solve(eq1,{x});
{x = −y + 3}
2. Num sistema de equações, podemos nomeá-las como:
> eq1:=3 *x-5*y+z=1 :
> eq2:=x+3*y-z=5:
> eq3:=-x-y+z=1:
Escrevemos:
> solve({eq1,eq2,eq3 },{x,y,z});}
{x = 3, y = 3, z = 7}
3. Escreva a seguinte sequência de comandos:
CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
26
> eq1:=a*x ˆ 2 +b * x+c;
a x2 + b x + c
> sol:=solve(eq1=0,x);
1 −b +
{x =
2
√
1 −b −
b2 − 4 a c
} {x =
a
2
√
b2 − 4 a c
}
a
> sol[1];
1 −b +
{x =
2
√
b2 − 4 a c
}
a
Interprete a sequência de comando e faça > sol[2];.
4. Substitua no exemplo anterior os valores a = 1, b = 5 e c = 3. Devemos digitar:
> subs(a=1,b=5,c=3,eq1);
x2 + 5 x + 3
5. Determine a solução de:
x5 − x4 e −
23 x4 23 e x3
179 x3
179 e x2
85 x2 85 e x
+
−
+
+
−
+ 3 x − 3 e = 0;
8
8
8
8
4
4
Devemos digitar:
>eq:=x ˆ 5-x ˆ 4*exp(1)-(23/8)*x ˆ 4+(23/8)*x ˆ 3*exp(1)-(179/8)*x ˆ 3+
+(179/8)*x ˆ 2*exp(1)+(85/4)*x ˆ 2-(85/4)*x*exp(1)+3*x-3*exp(1) = 0):
>sol:=solve(eq,{x});
1
{x = 1}, {x = − }, {x = 6}, {x = −4}, {x = e}
8
>sol[1],sol[4]
{x = 1}, {x = −4}
6. Determine a solução do sistema:
Devemos digitar:
>eq1:=x ˆ 2 +y ˆ 2 +z ˆ 2 =1:
>eq2:=x-y+2 *z=-1:





x2 + y 2 + z 2 = 1
x − y + 2 z = −1 .
xy + yz +xz = 0
1.8. NOMEAÇÃO DE OBJETOS E SUBSTITUIÇÕES
27
>eq3:=x*y+y*z+z*x=-1:
>solve({eq1,eq2,eq3},{x,y,z});
3
1
1
3
{x = − ∗ RootOf(7 * _Z ˆ 2-3) + , y = ∗ RootOf(7 * _Z ˆ 2 -3) + , z = RootOf(7* _ Z ˆ 2- 3)},
2
2
2
2
3 3
1 1
{x = − − ∗ RootOf(7* _ Z ˆ 2 +8 * _ Z-3), y = − + ∗ RootOf(7* _Z ˆ 2+8*_Z-3),
2 2
2 2
z = RootOf(7*_ Z ˆ 2+8*_Z-3)}
evalf(%);
{x = −.4819805066, y = 1.827326836, z = .6546536711},
{x = −1.946306256, y = −.3512312478, z = .2975375043}
Para verificar que os resultados obtidos pelo MAPLE são, realmente, soluções de uma equação
e/ou um sistema de equações, utilizamos a seguinte sintaxe:
>eq:=equação:
>sol:=solve(eq,variável);
>subs(variável=sol[i],eq);
Exemplo 1.11.
1. Determine as soluções de x4 + x3 − 7 x2 − x + 6 = 0. Devemos digitar:
>xˆ 4+xˆ 3-7*xˆ 2-x+6 = 0:
>sol:=solve(eq,x);
sol := 2, −1, 1, −3
subs(x=sol[1],eq);
0=0
subs(x=sol[3],eq);
0=0
28
CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
1.9 Livrarias
Uma das características do MAPLE são suas livrarias (packages). As livrarias são pacotes de comados especiais, utilizados para resolver tipos especificos de problemas. Por exemplo, o MAPLE possui livrarias especificas, para Gráficos, Geometria, Álgebra Linear, Álgebra Vetorial,
etc. O MAPLE possui em torno de 2000 comandos; somente os mais importantes são carregados automaticamente na memória. No ato de executar o programa os outros comandos ficam
nas livrarias. As livrarias são agrupadas por temas e podem ser carregadas, individualmente,
ou uma função só. Para usuários avançados é possível criar suas próprias livrarias.
A sintaxe para ativar uma livraria na memória, é:
> with(livraria):
A sintaxe para ver o conteúdo das livrarias é:
> with(livraria);
No decorrer do texto, apresentaremos as livrarias mais utilizadas em Cálculo em uma Variável.
1.9.1 Livraria - RealDomain
Em geral, o MAPLE trabalha com os números complexos. A livraria RealDomain faz com que
o MAPLE trabalhe somente com os números reais.
Primeiramente, vejamos o conteúdo da livraria:
>with(RealDomain);
[Im,Re, ˆ,arccos,arccosh,arccot,arccoth,arccsc,arccsch,arcsec,arcsech,arcsin,arcsinh,arctan,
arctanh,cos,cosh,cot, coth,csc,csch,eval,exp,expand,limit,ln ,log,sec,sech,signum,simplify,
sin,sinh, solve,sqrt,surd,tan,tanh]
Isto nos indica que quando digitamos a sintaxe:
>with(RealDomain):
Todos os comandos da livraria, de acima, assumirão que os cálculos serão efetuado em R.
Exemplo 1.12.
Nos exemplos abaixo os comandos são dados, primeiramente, sem usar a livraria RealDomain.
Veremos que obtemos respostas não reais (complexas).
√
1. Simplifique x4 :
>simplify(sqrt(x ˆ 4));
csgn(x2 )x2
1.9. LIVRARIAS
29
onde, csgn (x) é o sinal de x.
2. Simplifique (−4913)1/3 :
>simplify(root(-4913,3));
17 17 √
+
I 3
2
2
3. Resolva x3 − y = 1 para x.
>solve(x ˆ 3 -y=1,x);
1
1
1 √
1 √
(y + 1)1/3 , − (y + 1)1/3 + I 3 (y + 1)1/3 , − (y + 1)1/3 − I 3 (y + 1)1/3
2
2
2
2
Se utilizamos a livraria:
>with(RealDomain):
>simplify(sqrt(x ˆ 4));
x2
>simplify(root(-4913,3));
−17
>solve(x ˆ 3 -y=1,x);
(y + 1)1/3
Pode explicar estes resultados?
3. Se, digitamos:
>solve(xˆ5 -3*x+25=0,{x});
{x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 1)}, {x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 2)},
{x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 3)}, {x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 4)},
{x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 5)}
Se, digitamos:
>with(RealDomaine):
>solve(xˆ5 -3*x+25=0,{x});
evalf(%);
{x = RootOf (_Z 5 − 3 _Z + 25, −1.986834074)t}
{x = −1.986834073}
CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
30
1.10 Conjuntos e Sequências
Para definir conjuntos se utiliza a seguinte sintaxe:
> {a, b, c,....};
{a, b, c, . . .}
A sintaxe das operações de conjuntos são as seguintes:
União: union
Interseção: intersect
Diferença: minus
Subconjunto: subset
A sintaxe para gerar sequências de objetos é:
>seq(r(i),i=a..b);
O comando gera uma sequência, aplicando a cada i a fórmula r(i). Se i ∈ X, onde X é um
conjunto, utlizamos a sintaxe:
>seq(r(i),i in X);
Como veremos nas próximas seções, esta sintaxe será associada a outras situções um pouco
diferentes de aquelas que geraram seqûencias numéricas.
Exemplo 1.13.
1. Sejam A = {a, b c, d} e B = {a, c, e, f, g}. Determine A ∪ B, A ∩ B e A − B.
Escrevemos:
> A:={a, b, c, d};
> B:={a, c, e, f, g};
Então:
A := {a, b c, d}
B := {a, c, e, f, g}
>X:= A union B;
>Y:= A intersect B;
X := {a, b, c, d, e, f, g}
1.10. CONJUNTOS E SEQUÊNCIAS
31
Y := {a, c}
>Z:= A minus B;
Z := {b, d}
Observe que:
>X subset Y;
f alse
e
>Y subset X;
true
Interprete estes últimos resultados.
2. Gere os 10 primeiros termos da sequência r(i) =
1
, i ∈ N.
i2
>seq(1/iˆ 2,i=1..20);
1,
1 1 1 1 1 1 1 1 1
, ,
,
4 9 16 25 36 49 64 81 100
3. Gere os termos da sequência:
r(i) =
i2
2i
,
+1
se i ∈ X, onde X = {−20, −10, −1, 0, 20, 300}.
>X:= {-20,-10,-1,0,20,300}:
>seq(2*1/(iˆ 2 +1),i in X);
−
20
40
600
40
,−
, −1, 0,
,
401
101
401 90001
CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
32
1.11 Exercícios
1. Determine os valores de x tais que:
(a)
√
x2 = x
p
(b)
(x − 1)2 = x − 1
√
(c) x2 − 2 x + 1 = 1 − x
√
(d) x4 = x2
(e) |x + 1| = |x − 1|
(f) |x − 1|2 = |2 x − 1|
(g) |x| = |x + 7|
(h) |x − 1|2 = |2 x + 1|
2. Verifique se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de a resposta ser falso:
(a) Para todo x, y e z: |x + y + z| = |x| + |y| + |z| e
(b) Para todo x e y: |x − y| ≤ |x| − |y|.
3. Determine as constantes A, B e C tais que:
(a)
2x + 1
A
B
=
+
.
2
1−x
1+x 1−x
(b)
A
B
1
=
+
.
(x + 2)(2x + 1)
x + 2 2x + 1
(c)
1
A
B
C
=
+
+
.
2
(x + 2)(x − 1)
x + 2 x + 1 x − 11
4. Determine o quociente e o resto das divisões:
(a) 3 x4 − 5 x2 + 6 x + 1 ÷ x2 − 3 x + 4.
(b) 5 x5 − 4 x3 − 2 x + 1 ÷ x + 1.
(c) x11 − 1 ÷ x + 1.
(d) x5 + 12 x4 + 3 x2 − 16 ÷ x2 + 3 x − 4.
(e) x3 − 3 x2 + 2 x + 1 ÷ x2 − x + 1.
5. Determine as constantes a e b de modo que o polinômio P (x) seja divisível por Q(x),
onde:
(a) P (x) = x4 − 3 x3 + a x + b, Q(x) = x2 − 2 x + 4.
(b) P (x) = 6 x4 − 7 x3 + a x2 + 3 x + 2, Q(x) = x2 − x + b.
(c) P (x) = 8 x3 − 10 x2 + a x + b, Q(x) = 2 x3 − 3 x + 2.
(d) P (x) = 3 x3 + a x2 − 7 x + b, Q(x) = x2 − 5 x + 1.
6. Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto
solução:
1.11. EXERCÍCIOS
33
(a) x4 − x2 < 0
(b) x2 − 2 ≥ x
(c)
x2
+x>2
(d) (x −
5)4 (x
(e) |x + 2| < 1
+ 10) ≤ 0
(k) 2 x2 − 2 ≤ x2 − x
(l) |x − 1| + |x − 2| > |10 x − 1|
(m) x2 − 7 x + 8 > (x − 6)2
(n) |x2 − x − 1| < 2
|x2 − 5 x + 4|
<1
|x2 − 4|
(f) |x − 5| < |x + 1|
(o)
(h) |x − 1|2 < |2 x + 1|
3x − 5
(i)
>1
2x + 4
(j) |x2 − 1||x + 1| > 0
(p) |x − 1| + |x + 2| ≥
(g) 4 x2 + 10 x − 6 < 0
|x − 2|
2
(q) |x + 1| + |x + 2| > |10 x − 1|
(r) |x2 − 1| < |x − 1|
7. Determine o conjunto-solução de:
(
3x − 2 < x
(a)
6x − 4 > 3 − x
(
x+3≤5
(b)
x + 3 ≤ 2x

5 x + 1 ≤ 3x + 5
(c)
2
2 (x + 3) ≥ x
(
5x − 3 < 6 + 2x
(d)
3 − 2x > 4
(
3 x − 15 < x − 5
(e)
2−x≥6
(
x+3>0
(f)
x2 + x − 2 < 0
8. Esboce as regiões determinadas por:
(a) x − 2y − 3 > 0
(b) 2x + y > 5
(c) 2x − 3y ≤ −1
9. Esboce as regiões da solução de:
(
2x − y < 3
(a)
x+y <3
(
x+y <2
(b)
2y − 2x > 4
(d) 3x − 2y ≤ 13
x+y
(e)
<0
x − 2y + 3
(f) x2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 ≥ 0


x + y < 120



3 y − x ≤ 0
(c)

x ≤ 100



y ≤ 100


x + y > 2
(d) −2 x + y ≤ 1


−x + 2 y ≥ −3
CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
34
10. Obter o valor simplificado de:
π
2
3π
(b) cos θ +
2
(c) sec(θ + 6 π)
(d) sen(θ + 360 π)
(a) sen θ +
(e) cos(θ + 480 π)
π
3π
cos θ +
(f) sen θ −
2
2
11. Resolva as inequações:
√
2
(a) sen(x) + cos(x) ≥
2
√
(b) |tg(x)| ≥ 3
(c) sen2 (x) ≥ 1
(d) sen2 (x) ≥
1
se x ∈ [0, π]
2