77.
. ANÁLISE
ANÁLISEVIBRATÓRIA
VIBRATÓRIApelo
peloMÉTODO
MÉTODOde
deRAYLEIGH
RAYLEIGH
A frequência de um sistema de 1 grau de liberdade caracteriza o seu
comportamento dinâmico.
Um dos processo mais simples para determinar w = k m
é o método de
Rayleigh. Pode ser aplicado a um sistema qualquer desde que se admita
que a sua deformada é de determinado tipo - ψ (x) .
O método de Rayleigh assenta no princípio da conservação da energia:
“a energia num corpo em vibração livre mantém-se constante se não houver
forças de amortecimento”.
Seja então:
u = u0 sen wt
u& = u0 w cos wt
A Energia Potencial (Energia de deformação da mola), vem
wp =
1 2 1 2
k u = k u0 sen 2 wt
2
2
e a Energia Cinética da massa será
wc =
1
1
m u& 2 = m u02 w 2 cos 2 w t
2
2
Os respectivos valores máximos ocorrem para
π
T
=
4 2w
T π
t= =
2 2
t=
⇒
w pmax =
⇒
wp = 0
1 2
k u0
2
⇒
wc = 0
⇒
wcmax =
1
m u02 w 2
2
Portanto, se a energia total se mantém constante, obtém-se
w pmax = wcmax
FEUP - 2000
⇒
w2 =
k
m
⇔
w=
Raimundo Delgado & António Arêde
k
m
48
7.1 APLICAÇÃO A SISTEMAS CONTÍNUOS
A vantagem deste método aparece mais evidente em sistemas com muitos
graus de liberdade.
Seja por exemplo o caso de uma viga em que se admite:
u ( x, t ) = ψ( x ) u (t )
u (t ) = u0 sen wt
com
Isto quer dizer que: a forma da deformada da viga não varia com o tempo,
só se alterando a sua amplitude e, no caso de ser uma vibração livre, varia
harmónicamente.
Esta hipótese reduz a viga a um sistema de 1 grau de liberdade (o
deslocamento da extremidade)
Neste caso, a máxima Energia de Deformação (potencial) é
2
2
∂ 2ψ 
1 L  ∂ 2u 
1 L 
W p = ∫ EI  2  dx = ∫ EI  u0 sen w t 2  dx
∂x 
2 0
2 0
 ∂x 

2
W pmax
1 2 L  ∂ 2ψ 
= u0 ∫ EI  2  dx
0
2
 ∂x 
e a máxima Energia Cinética da massa vem
2
Wc =
1 L  ∂u 
1 L
2
m   dx = ∫ m ψ 2 (u0 w cos wt ) dx
∫
0
0
2
2
 ∂t 
Wcmax =
1 L
m u02 w 2 ψ 2 dx
∫
0
2
Portanto:
w =
2
∫
L
0
2
 ∂ 2ψ 
EI  2  dx ← rigidez generalizada
 ∂x 
∫
L
0
FEUP - 2000
m ψ 2 dx
← massa generalizada
Raimundo Delgado & António Arêde
49
7.2 ESCOLHA DA FUNÇÃO DE FORMA DA DEFORMADA
A aproximação do Método de Rayleigh depende da função de forma
adoptada.
ψ(x)
Se ψ(x) não for a forma exacta da deformada em vibração livre, é
necessário adicionar forças para manter esta vibração, o que significa
maior rigidez do sistema e, consequentemente, maior frequência.
A deformação que se obtém na vibração livre decorre da aplicação de
forças de inércia que são proporcionais à distribuição de massa e à
amplitude da deformada.
~ m(x). ψ e(x)
ψe (x)
Assim, a Deformada Exacta ψe(x)
é a que resulta duma carga
proporcional a m(x) ψe(x)
m(x) ψ (x)
Então, se se admitir ψ (x)
e
solicitar o sistema por m( x) ψ ( x) ,
ψ (x)
a deformada ψ(x) que se obtém
será uma boa aproximação.
De um modo geral basta adoptar uma carga proporcional à massa
p ( x ) = m( x ) g
⇒
ψ p (x )
que conduz à deformada ψp(x) devida às cargas permanentes.
FEUP - 2000
Raimundo Delgado & António Arêde
50
7.3 MÉTODO DE RAYLEIGH APLICADO A UMA ESTRUTURA
PORTICADA
Planta
Alçado
3.00
0.3x0.3
0.3x0.3
Piso 2
0.2x0.5
Lajes:
0.15m esp.
3.00
0.3x0.3
0.3x0.3
Piso 1
0.2x0.5
5.00
E = 2x107 kN/m2
Laje do piso 1 – 6,75kN/m2 (inclui peso próprio, revestimentos, divisórias e
sobrecargas)
Laje do piso 2 – 4.0 kN/m2
Peso do piso 1
Laje -
6.75×15.×5. __________________ 506.25 kN
Vigas -
0.2×0.35×5.0×25×10 ____________ 87.5 kN
Pilares - 0.3×0.3×3.0×25×8 ______________ 54.0 kN
647.75 kN
Peso do piso 2
Laje - 4.0×15×5.0 _____________________
300.0 kN
Vigas - ________________________________ 87.5 kN
Pilares - _______________________________ 54.0 kN
441.5 kN
Massa:
m1,Tot = 647.75 / 9.8 = 66.1 ton ; m2,Tot = 45.1 ton
Massa/ Pórtico:
m1 = m1,Tot / 4 = 16.5 ton; m2 = 11.3 ton
FEUP - 2000
Raimundo Delgado & António Arêde
51
7.3.1 Método de Rayleigh Directo
Admitindo uma deformada com deslocamentos unitários nos dois andares:
1.0
1.0
1
u = cos w t  
~
1
Máxima Energia Potencial
W pmax =
1
ki ∆ui2
∑
2
em que ki, a rigidez dos pilares entre dois pisos, é
ki =
12 EI
×2 =
l3
12 ×
0 .3 4
× 2 × 10 7
12
= 12000 kN/m
33
e os deslocamentos relativos entre pisos:
∆ u1 = 1.0
;
∆ u2 = 0.0
W pmax = 6000 kJ
Obtém-se assim
Máxima Energia Cinética
1
u& = − w sen w t  
~
1
Wcmax =
Fazendo
1
w2
2
&
(16.5 ×1.0 + 11.3 ×1.0) = 13.9 w2 kJ
m
u
=
∑
i i
2
2
W pmax = Wcmax
6000 = 13.9 w 2
w 2 = 431.65 ; w = 20.8 rad/s ;
FEUP - 2000
f = 3.3 Hz
Raimundo Delgado & António Arêde
52
7.3.2 Método de Rayleigh Melhorado
Considera-se como deformada a que se obtém aplicando à estrutura as
forças de inércia que se desenvolvem com a deformada assumida no ponto
anterior e, que para o piso i, são dadas por
f i = −mi u&&i = mi w2 cos wt ui0
Quando a aceleração é máxima, vem
16.5 2
f =
w (kN)
11.3
Por sua vez os correspondentes deslocamentos podem ser obtidos por
ki ∆ui = Ti
em que ∆ui
é o deslocamento relativo das extremidades dos pilares e
Ti é o esforço transverso nos pilares.
Assim:
12000 ∆u1 = (16.5 + 11.3) w 2 ; ∆u1 = 0.0023 w 2 ⇒ u1 = 0.0023 w 2
12000 ∆u 2 = 11.3 w 2
; ∆u 2 = 0.0009 w 2 ⇒ u 2 = u1 + ∆u 2 = 0.0032 w 2
Máxima Energia Potencial
W pmax =
1
1
f i ui = (16.5 × 0.0023 + 11.3 × 0.0032 ) w 4 = 0.037 w 4
∑
2
2
Máxima Energia Cinética
0.0023 w2 
0.0023 
= − w3 
u& = − w sen w t 
 sen w t
2
~
0.0032 
0.0032 w 
Wcmax =
(
)
1
w6
2
&
m
u
=
16.5 × 0.0023 2 + 11.3 × 0.0032 2 = 1.015 × 10 − 4 w6
∑
i i
2
2
0.037 w 4 = 1.015 × 10 −4 w6 ⇒ w 2 = 364.5 ; w = 19.09 rad/s ; f = 3.04 Hz
FEUP - 2000
Raimundo Delgado & António Arêde
53
7.3.3 Deformada Devida às Cargas Gravíticas Aplicadas Horizontalmente
Sejam as seguintes forças gravíticas por pórtico para cada piso:
F1 = m1 g = 647.75 / 4 = 161.9 kN
F2 = m2 g = 441.5 / 4 = 110.4 kN
Os correspondentes deslocamentos vêm
d1 =
110.4 + 161.9
= 0.0227 m
12000
d 2 = 0.0227 +
110.4
= 0.0319 m
12000
Máxima Energia Potencial
W p max =
1
∑ Fi d i = 3.6
2
Máxima Energia Cinética
Wcmax =
1
1
F
mi u&i2max = ∑ i w2 d i2
∑
2
2
g
=
(
)
w2
161.9 × 0.0227 2 + 110.4 × 0.0319 2 = w2 × 0.01
2 × 9.8
De novo, igualando os dois valores máximos da energia, resulta:
Fi
∑Fd = ∑ g w
i
i
2
d i2
⇒
w=
g ∑ Fi d i
∑F d
i
2
i
Expressão do RSA
donde
w = 18.98 rad/s ; f = 3.02 Hz
FEUP - 2000
Raimundo Delgado & António Arêde
54
88.
. RESPOSTA
RESPOSTAààACÇÃO
ACÇÃOSÍSMICA
SÍSMICAde
deUM
UMSISTEMA
SISTEMA
COM
COMUM
UMGRAU
GRAUDE
DELIBERDADE
LIBERDADE
Conhecendo-se a lei de movimento do solo, pretende-se a resposta da
estrutura.
Neste caso a equação do movimento
da estrutura vem
eixo de referência
m
k/2
ug
k/2
m u&&t + c u& + k u = 0
u g (t ) - deslocamento do solo
u
ut
u (t ) - deslocamento relativo
u t (t ) - deslocamento total
O movimento sísmico origina uma resposta dinâmica porque as forças de
inércia dependem do deslocamento total u t e as forças elásticas e de
amortecimento dependem do movimento relativo.
ut = u + ug
m u&& + c u& + k u = −m u&&g
u&& + 2 ξw u& + w 2 u = −u&&g
A força sísmica é então
Fef = −m u&&g
Tudo se passa como se a massa m fosse solicitada por uma força
proporcional à aceleração do solo, mantendo-se os apoios fixos.
FEUP - 2000
Raimundo Delgado & António Arêde
55
u&&g (t ) - são os acelerogramas registados à superfície do solo
Acelerograma
150
100
a (cm/s2)
50
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-50
-100
-150
t (s)
A expressão do movimento relativo pode ser obtida, por exemplo, através do
integral de Duhamel
u (t ) =
1 t
m u&&g (τ ) e −ξ w (t − τ ) sen w (t − τ ) dτ
∫
0
mw
O valor máximo deste deslocamento pode ser tomado como uma medida da
intensidade do sismo que originou o acelerograma u&&g (τ)
Seja então
S d (w, ξ) = umax (t )
Fazendo variar w e ξ, e traçando o resultado num diagrama (Sd , w), obtém-se
Sd
ξ = 0.02
ξ = 0.1
5
10
15
20
25
w
ESPECTRO DE RESPOSTA DE DESLOCAMENTOS
Resposta de todos os possíveis osciladores de 1 G.L., com um
dado amortecimento, a uma dada acção.
FEUP - 2000
Raimundo Delgado & António Arêde
56
Num sistema sem amortecimento, a aceleração absoluta é sempre
proporcional ao deslocamento, o que se verifica também no instante dos
valores máximos.
t
t
m u&&t + k u = 0 ⇒ m u&&max
+ k u max = 0 ⇒ u&&max
= − w 2u max
Ou seja
(8.1)
S a (w ) = − w 2 S d (w )
O mesmo se pode obter no caso de sistemas com amortecimento, atendendo
a que, quando o deslocamento relativo é máximo, a velocidade relativa é nula
(ou próxima de zero), pelo que
S a (w, ξ ) ≅ − w 2 S d (w, ξ )
A expressão (8.1), que por mera coincidência é idêntica à que se obtém numa
resposta harmónica, sugere a definição duma velocidade fictícia associada
com um movimento harmónico aparente.
Trata-se da designada pseudo-velocidade, cujo valor máximo Sv é definido
como velocidade espectral e dado por
S v (w, ξ ) = w S d (w, ξ ) =
S a (w, ξ )
w
(8.2)
onde, por conveniência e por serem irrelevantes, se omitiram os sinais.
Outra forma habitual desta expressão é:
S a (w, ξ ) = w S v (w, ξ ) = w 2 S d (w, ξ )
Considerando a envolvente de espectros devidos a vários acelerogramas
que caracterizam a acção sísmica, obtêm-se os Espectros de Resposta
Regulamentares.
FEUP - 2000
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57
Exemplo: Para o pórtico que tem vindo a ser apresentado, determinar o
máximo deslocamento e o máximo corte basal.
m = 10000 kg
; k = 5.2 ×106 N / m
; w = 22.8 rad / s
;
f = 3.63 Hz
Admitindo ξ = 5%, retira-se do espectro regulamentar
S a = 420 cm / s 2
; Sd =
Sa
4 .2
=
= 0.00807 m = 8.07 mm
2
w
22.82
donde a força elástica:
f e = k S d = 5.2 ×106 × 8.07 × 10 −3 = 41964 N
Ou, sabendo que num sistema em vibração livre se tem
fi + fe = 0 ⇒
t
f e = − f i = −m u&&max
f e = m S a = 10000 × 4.2 = 42000 N
ESPECTRO TRILOGARÍTMICO
É possível num mesmo gráfico registar os valores espectrais da aceleração,
velocidade e deslocamento.
De facto, a relação (8.2) entre as três grandezas espectrais, permite escrever:
log S v = log (w S d ) = log (2π f S d )
⇒
log S v = log f + log (2π S d )



⇒
S 
log S v = − log f + log a 
 2π 
 S
S 
log S v = log a  = log a
w
 2π f
Estas expressões representam uma infinidade de rectas a 45º e –45º num
gráfico (log Sv , log f ), conforme se vão dando sucessivos valores a Sd e Sa.
Se se construir uma escala para cada uma dessas duas classes de rectas,
i.e., uma escala para a rectas lugar geométrico dos pares de valores que
correspondem a um deslocamento espectral constante e outra escala para as
rectas de aceleração espectral constante, obtém-se um gráfico tripartido
geralmente designado por ESPECTRO TRILOGARÍTMICO.
FEUP - 2000
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58
Exemplo: Espectros Trilogarítmicos do sismo de El Centro (1940) – 0.32g,
para vários coeficientes de amortecimento.
Espectro de Resposta de Projecto:
(espectro médio, normalizado para uma aceleração máxima do solo unitária 1.0g)
FEUP - 2000
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59
De igual forma também pode ser traçado em termos do período de vibração,
apenas se invertendo a orientação das rectas a 45º.
FEUP - 2000
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60