GeoAR
Autoria: Fernanda Maria Villela Reis
Orientadora: Tereza G. Kirner
Coordenador do Projeto: Claudio Kirner
Projeto AIPRA (Processo CNPq 559912/2010-2)
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GeoAR
ÍNDICE
Uma palavra inicial ......................................................................... 2
Instruções iniciais .......................................................................... 3
Retângulo ........................................................................................ 5
Quadrado ......................................................................................... 6
Triângulo .......................................................................................... 7
Classificação dos triângulos quanto aos lados ......................... 8
Classificação dos triângulos quanto aos ângulos .................... 9
Trapézio .......................................................................................... 10
Pentágono ...................................................................................... 11
Círculo ............................................................................................ 12
Questionário ................................................................................... 13
Uma palavra final ........................................................................... 14
Marcadores ..................................................................................... 15
GeoAR – Livro por Fernanda Mª V. Reis
Orientação de Tereza G. Kirner e Claudio Kirner
Projeto AIPRA (Processo CNPq 559912/2010-2)
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GeoAR
UMA PALAVRA INICIAL
Este livro versa sobre geometria plana e espacial, de uma maneira
geral, explorando fórmulas para o cálculo de perímetro, área e volume das
figuras geométricas. Trata também sobre as figuras tridimensionais e
casos especiais das diferentes figuras geométricas. O livro aborda seis
figuras, sendo elas: retângulo, quadrado, triângulo, trapézio, pentágono e
círculo.
Geometria é o estudo do espaço e das figuras que estão neste
espaço, de forma a explorar o modo como elas se dispõem no mesmo. Na
sua forma mais simples, a geometria trata de problemas métricos, como o
cálculo da área e do diâmetro de figuras planas e da superfície e volume de
corpos sólidos, abordagem que será enfocada neste livro.
O livro trata particularmente dos casos especiais do triângulo, que
são o equilátero, o isósceles, o escaleno, o retângulo, o acutângulo e o
obtusângulo. Todas as figuras geométricas tem um resumo de seu estudo
escrito no livro, além de diretrizes para utilização da ferramenta de
Realidade Aumentada.
Uma aplicação de Realidade Aumentada permite que, a partir de uma
imagem capturada pela webcam, a ela sejam adicionadas figuras,
animações e sons. A cena resultante é exibida na tela do computador e
assim é possível observar o que acontece com cada objeto e interagir com
eles. Para ativar os efeitos de Realidade Aumentada é necessário trabalhar
com um objeto que funciona como referência, o marcador (Figura 1).
Posicionando o marcador em frente à webcam, o computador o reconhece
e cria os objetos virtuais na cena de acordo com ele.
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INSTRUÇÕES INICIAIS
Figura 1: Marcador.
Para iniciar os estudos de geometria, siga os seguintes passos:
1. Destaque o marcador GeoAR do final do livro (Página 16) e cole-o
em um material mais resistente. Construa a forma de ponteiro do
marcador utilizando dois palitos. Os palitos devem ser colados no
marcador de acordo com a Figura 2. O marcador GeoAR avançará
para as próximas animações de uma mesma figura geométrica.
2. Inicie a aplicação de Realidade Aumentada.
3. Tecle ‘A’ para que as animações sejam ativadas.
4. Em cada página relacionada a uma figura geométrica haverá um
marcador específico. Posicione esse marcador de forma que a
webcam consiga capturá-lo e exiba o ponto referente à ativação da
animação representado por uma esfera azul.
Figura 2: Marcador GeoAR
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INSTRUÇÕES INICIAIS
Figura 3 – Marcador com ponteiro
5. Para avançar para as animações de cada figura geométrica, utilize o
ponteiro do marcador GeoAR. Observe na Figura 3 que sobre o
marcador GeoAR é projetada a imagem de uma mão e na
extremidade do ponteiro há uma esfera azul. Esta esfera azul deve
colidir com cada esfera referente aos marcadores específicos do
livro. Isso pode ser feito tocando o círculo branco desenhado ao
lado de cada marcador neste livro, utilizando a extremidade do
ponteiro.
Realize os passos 4 e 5 para cada marcador de figura geométrica
mostrado no livro.
6. Finalize seus estudos respondendo ao questionário de avaliação de
aprendizagem.
Bons estudos!
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RETÂNGULO
O Retângulo é um quadrilátero,
ou seja, um polígono de quatro
lados. Os lados opostos entre si
possuem a mesma medida.
No retângulo, todos os ângulos
internos são retos, ou seja,
possuem medida igual a 90º.
Assim, a soma dos seus ângulos
internos é igual a 360º, como em
qualquer quadrilátero.
Fórmulas
P=2 *(B+H)
S=B*H
V=B*H*L
O cálculo do perímetro do retângulo é feito
somando-se as medidas de cada um dos
lados. Como lados opostos possuem a
mesma medida, pode-se somar duas vezes a
base e duas vezes a altura, ou mesmo somar
a base e a altura e, então, multiplicar por
dois.
Onde:
- L é a largura;
- B é a base;
- H é a altura;
- P é o perímetro;
- S é a área;
- V é o volume.
O cálculo da área é feito multiplicando-se a
medida da base do retângulo pela medida da
sua altura.
B
O paralelepípedo é um sólido em que todas
as faces são retangulares. Assim, o
paralelepípedo possui a medida de volume.
Para o cálculo do volume do paralelepípedo,
faz-se base vezes altura vezes largura.
H
L
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QUADRADO
O quadrado, assim como o
retângulo, é um polígono de
quadro lados. A diferença é que
no quadrado, os quatro lados e
os quatro ângulos internos são
iguais.
O quadrado é considerado um
caso especial de retângulo.
Assim, seu perímetro, sua área e
seu volume são medidos da
mesma maneira, no entanto, as
fórmulas
podem
ser
simplificadas.
Fórmulas
P=4*L
S=L*L =L2
V=L*L*L =L3
O cálculo do perímetro do quadrado é feito
somando-se as medidas de cada um dos
lados. Como todos os lados possuem a
mesma medida, pode-se multiplicar o lado
por quatro.
Onde:
- L é a medida do
lado do quadrado;
- P é o perímetro;
- S é a área;
- V é o volume.
O cálculo da área é feito multiplicando-se a
medida da base do quadrado pela medida da
altura. Como base e altura têm a mesma
medida, então se pode fazer lado ao
quadrado.
O cubo é um sólido em que todas as suas
faces são quadradas. Para o cálculo do
volume do cubo, faz-se a medida da área da
base vezes a largura vezes a altura do
quadrado. Como todos os lados são iguais,
calcula-se lado ao cubo.
L
L
L
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TRIÂNGULO
O triângulo pode ser imaginado
como a metade de um retângulo.
Ele é formado por três lados que
se juntam e formam três vértices.
A soma dos seus ângulos
internos é igual a 180º.
Fórmulas
P= L1+L2+L3
S= (B*h)/2
V=(Bp*hp)/3
Onde:
- L1, L2 e L3 indicam
os lados do triângulo;
- B é a base;
- h é a altura;
- hp é altura da
pirâmide;
- Bp é a área da base
da pirâmide;
- P é o perímetro;
- S é a área;
- V é o volume.
h
B
hp
O cálculo do perímetro é feito somando-se as
medidas de cada um dos lados.
O cálculo da área é feito multiplicando-se a medida
da base do triângulo pela medida da altura, e
dividindo-se o resultado por dois.
Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face
inferior e um vértice que une todas as faces laterais.
As faces laterais de uma pirâmide são regiões
triangulares, e o vértice que une todas as faces
laterais é chamado de vértice da pirâmide. O número
de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao
número de lados do polígono da base. Se o polígono
da base for um quadrado, a pirâmide é quadrada, se
for um triângulo, a pirâmide é triangular (ou
tetraedro), e assim por diante.
Para o cálculo do volume da pirâmide, faz-se a
medida da área do polígono da base vezes altura da
pirâmide, dividido por três.
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Classificação dos triângulos
quanto aos lados
O triângulo pode ser classificado
de acordo com as medidas dos
seus lados (Figura 4):
 Triângulo equilátero:
possui os três lados com
medidas iguais.

Triângulo isósceles:
possui dois lados com
medidas iguais.
 Triângulo escaleno: possui
os três lados com medidas
diferentes.
Figura 4 – Classificação dos triângulos quanto aos lados
Observação: O cálculo do perímetro e da área é o mesmo para qualquer tipo de
triângulo, como foi mostrado na página 7.
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Classificação dos triângulos
quanto aos ângulos
O triângulo também pode ser
classificado de acordo com as
medidas dos seus ângulos
(Figura 5):

Triângulo
retângulo:
possui um ângulo com
medida igual a 90º.

Triângulo
acutângulo:
possui todos os ângulos
com medidas menores
que 90º.

Triângulo obtusângulo:
possui
um
ângulo
obtuso, ou seja, maior
que 90º.
Figura 5 – Classificação dos triângulos quanto aos ângulos
Observação: O cálculo do perímetro e da área é o mesmo para qualquer tipo de
triângulo, como foi mostrado na página 7.
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TRAPÉZIO
O trapézio é um quadrilátero,
assim a soma das medidas de
seus ângulos internos é 360º.
A principal característica do
trapézio é possuir dois lados
paralelos que correspondem
às suas bases, uma maior e
outra menor.
Fórmulas
P=B+b+L1+L2
S= ((B+b)*h)/2
V=S*Lg, onde:
- L1e L2 indicam os lado;
- B é a base maior;
- b é a base menor;
- h é a altura;
- Lg é largura do
prisma;
- P é o perímetro;
- S é a área;
- V é o volume.
O cálculo do perímetro do trapézio é feito
somando-se as medidas de cada um dos
lados, ou seja: base maior mais base menor
mais os outros dois lados não-paralelos.
O cálculo da área é feito multiplicando-se a
soma das medidas das bases pela altura e,
em seguida, dividindo-se o resultado por
dois.
b
h
B
Lg
Um prisma é todo poliedro formado por uma
face superior e uma face inferior paralelas e
congruentes (também chamadas de bases), e
as laterais, que são paralelogramos. O
prisma recebe um nome de acordo com a
forma das bases. Por exemplo, se a base é
um trapézio, tem-se o prisma de base
trapezoidal. Para o cálculo do volume do
prisma, faz-se a medida da área da base
vezes a largura do prisma.
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PENTÁGONO
O pentágono é uma figura de
cinco lados. A soma dos seus
ângulos internos é 540º.
Quando o pentágono possui
todos os seus cinco lados com
a mesma medida, ele é
chamado de pentágono regular.
Se os lados possuem medidas
diferentes, o pentágono é dito
irregular. Neste tópico será
estudado o pentágono regular.
Fórmulas
P=L+L+L+L+L
S= Área triângulo +
Área trapézio
V=S*Lg
Onde:
- L indica cada lado;
- Lg é a largura;
- P é o perímetro
- S é a área;
- V é o volume.
O cálculo do perímetro do pentágono é feito
somando-se as medidas de cada um dos
lados.
O pentágono pode ser dividido em um
triângulo e um trapézio, como pode ser
observado na figura abaixo. Assim, o cálculo
da área é obtido somando a área do triângulo
e a área do trapézio.
L
Para o cálculo do volume do prisma de base
pentagonal, faz-se a medida da área da base
(que é um pentágono) vezes a largura do
prisma.
Lg
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CÍRCULO
Para entender o que é um
círculo, considere um ponto no
espaço que será chamado de
‘centro’. O círculo é o conjunto
de todos os pontos do espaço
que estão distantes do centro a
uma distância menor ou igual a
r. Essa distância r é chamada
raio do círculo. A circunferência
é o contorno do círculo, ou seja,
apenas os pontos que estão
exatamente a uma distância r do
centro.
Fórmulas
P = 2*π*r
S = π*r²
V = (4/3)* π*r³
Onde:
- π vale 3,14;
- r é o raio do círculo;
- P é o comprimento da
circunferência;
- S é a área do círculo;
- V é o volume da
esfera.
O cálculo do comprimento da circunferência,
também chamado de perímetro, é feito
multiplicando o fator pelo raio e por 2.
O cálculo da área é obtido fazendo a
multiplicação do fator pelo raio elevado ao
quadrado.
A esfera é o sólido obtido a partir da
revolução de uma semicircunferência (a
metade de uma circunferência) em torno do
diâmetro.
Para o cálculo do volume da esfera, faz-se
quatro terços vezes o fator vezes o raio ao
cubo.
r
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QUESTIONÁRIO
Este questionário visa avaliar os conhecimentos adquiridos após o estudo do
livro sofre formas geométricas. Para responder as perguntas sobre geometria,
coloque o artefato de Perguntas e Respostas sob a webcam. O artefato possui 6
pontos: um para mostrar a pergunta (P), um para verificar a resposta correta (R), três
pontos para as alternativas da resposta (1, 2, 3), e um ponto para visualizar a
animação em 3D (X). (Figura 6)
P
X
1
2
R
3
Figura 6 – Artefato do Questionário GeoAR
Além deles, na parte inferior do artefato estarão posicionados 10 pontos de
ativação, referentes ao gabarito do questionário, que servirão para marcar cada
pergunta que o usuário acertar.
Para acionar cada um desses pontos, deve-se utilizar o marcador GeoAR com o
ponteiro. Posicionando-se a extremidade desse ponteiro exatamente dentro dos
círculos, cada ponto é acionado. Assim, para responder as perguntas, siga os
seguintes passos:
1. Tecle ‘a’ para ativar todos os pontos;
2. Clique em P para ver a pergunta;
3. Clique em X para visualizar a animação;
4. Clique em uma das alternativas para responder (1, 2 ou 3);
5. Clique em R para ver a resposta. Aparecerá uma esfera azul embaixo da
alternativa correta;
6. Caso tenha acertado a pergunta, clique na esfera correspondente do gabarito
para marcar o acerto;
7. Clique novamente em X e em R para desativá-los.
8. Repita todos os passos para as próximas perguntas.
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UMA PALAVRA FINAL
Este livro de geometria busca oferecer uma alternativa interativa aos livros
tradicionais utilizando os conceitos de Realidade Aumentada. Porém, seu propósito
é apenas complementar o ensino de geometria com a utilização de recursos
multimídia, e não substituir os livros de matemática atuais.
Com as animações tridimensionais oferecidas a partir da Realidade
Aumentada, é possível prender a atenção dos alunos e permitir que eles manipulem
cada objeto referente às formas geométricas. Assim, o ensino se torna interativo e a
experiência do aprendizado se faz mais prazerosa.
Referências Bibliográficas
 Apostila de Matemática do Curso Positivo – 4ª e 5ª séries
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MARCADORES
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