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RELATCftK) DE PESQUISA
EAV- 009/80
07Jul 80
ANALISE DA ESTABILIDADE LINEAR E NÃO LINEAR, ASSOCIADA A
REATORES RÁPIDOS EXPERIMENTAIS
(FARTE II)
Erler S. Amorim
C. Moura Neto
Maurício Antoniazzi Pinheiro Rosa
Divisoo de Estudos Avançados
Instituto dô Atividades Espaciais
Centro Técnico Aeroespacial
2 2 0 0 - S ã o José dos Compos-SP
Brasil
r
RELATÓRIO DE PESQUISA
EAV-009/80
07 Jul 80
— •
Ki
ANALISE DA ESTABILIDADE LINEAR E NÃO LINEAR, ASSOCIADA A
REATORES RÁPIDOS EXPERIMENTAIS
(PARTE II)
Erler S. Amorim
C. Moura Neto
Maurício Antoniazzi Pinheiro Rosa
RESUMO
Fenômenos associados ã física de neutrons rápidos foram tratados através
da cinética linear e não linear, e na presença de retroalimentaçao.As furções
de transferência foram estabelecidas e analisadas. As condições de estabilida
de foram tratadas analiticamente e a.raves de programas envolvendo variáveis
discretas c/ou simulação analógica^
C o s critérios de Lyapunov e as funções de Lurie-Letov, para sistemas não
lineares, foram estabelecidos e simulados. Pequenas oscilações foram abordadas através de uma análise de Fourier visando maior conhecimento dos mecanismos de retroalimentaçao e do desempenho das funções de carga em reatores rápi
dos ã potência zero e/ou no regime de potência normal.^)
'—Os resultados obtidos mostraram-se compatíveis com os resultados experimentais existentes na literatura.
ABSTRACT
Associated phenomena to^the physics of fast neutrons were analysed
by
linear and non-linear kinetics with arbitrary feedback. The transfer functions
were stablished and analysed. The stability conditions were analitir.ally proposed and investigated by digital and analogic programs.
<^The Lyapunov criteria and the Lurie-Letov functions, for non-linear systems, were stablished and simulated. Small oscillations were studied
by
a
Fourier analysis to clarity particular aspects of feedback and load functions
in fast reactor at zero power, or/and in normal power level.-^ The results wcrv in agreement with the experimental data existing in the
literature.
CAPÍTULO H I
EFEITOS NÃO LINEARES NA CINÉTICA DE REATORES RÁPIDOS
III.1 -EQUAÇÕES INCREMENTAIS DA CINgTICA E AMPLITUDE DOS HARMÔNICOS,
ASSO-
CIADOS AO FLUXO PE NEUTRONS INCREMENTAL
Considerando-se a introdução de reatividade e o fluxo incrementai, expandido era séries de Fourier, pode-se estabelecer as equações da cinética,
que permitem a investigação dos efeitos não lineares.
A primeira aproximação torna-se realística, visto que o movimento de um
oscilador e, por natureza, senoidal. Entretanto, os efeitos causados por es
te movimento podem, dentro de um sistema, não serem puramente senoidais. De
ve-se lembrar que o valor da reatividade introduzida por um cilindro oscila
dor de U-235 em um reator nuclear, é uma função complicada da posição, fato
este atenuado em reatores rápidos, devido a pequena absorção envolvida. Por
outro lado, ei reatores térmicos, as barras de controle, contendo boro serão tratada* < ^licitamente, como se segue.
Condir •' /ndo-se k ex << 1 e 3 << 1, e expandindo-se em Fourier, conforme visto a<ir-a as equações (14) e (15) podem ser reestruturadas como:
+ £ X.c:
3 dt
1
1 1
de'.
-,i = a.n - A.C!
1
dt
onde
Cl - C
i
(92)
(93)
li
|i 3
Admitindo-se um incremento na densidade de neutrons, na concentração de
precursores de neutrons retardados, e sendo a reatividade aproximada
(K
/;-.) ÍK, nbtem-se:
'.•X
por
no
onde
ôc!í
6n
i no
_d_ ^ i
dt no
(94)
no
(95)
i no
6k - VK • FB
sendo VK
a inserção de reatividade em dólar.
FB a alteração introduzida na reatividade devido a efeitos de temperatura nas dimensões e nas seções de choque.
Se um reator rápido é submetido a uma oscilação provocada pelo movimento
de uma barra combustível, descrito por k sen wt, obtem-se um deslocamento do
nível de potência (ou população de neutrons), que pode ser obtido através do
teorema do valor final da transformada de Laplace, ou seja:
6n(S)
n0
-»)
_ ôn(t
n0
Sk
ex
i
1 -SE
S
i T A#
w
S 2 + w2
e
S(
»-K)
i
+ i
s-*o
ex
ex
(96)
Í
onde
i
Z « Z T- •
A
i i
Assim, a equação (96) reproduz a expressão (31).
Se as oscilações anteriores forem introduzidas nas proximidades da freqüência de ressonância, as oscilações produzidas na densidade de neutrons au-
mentariam. A descrição do fluxo de neutrons existente não conteria apenas uma
freqüência, mas incorporaria harmônicos mais elevados. A Figura 13 esclarece
a discussão em curso e indica que, a cada período, é alcançado um novo nível
de potência. Em estudos experimentais de estabilidade, é vantajoso aplicar-se
um fator V ã reatividade introduzida, procurando-se manter o nível de potência médio constante.
Admitindo-se as seguintes relações:
Kwt
X'
(97)
.
3imt
-£e
(98)
2
pela Figura 13, ou mesmo explicitando-se o valor da expressão
(98),
para
m = 0, pode-se escrever:
£2
no
no
+
*
no
z
31
n^
m eJ"—
^
2
in»-^ 2
.
m
^
0
ff
(99)
r.
Se X$ • X o
n(t)
(101)
2(1-y)
nO(l
Esta ultima relação permite escrever
n(t) • n* • 6n
(102)
Consequentemente:
X'eJI"'t
;
(103)
in * 0
"*
X
Supondo-se X
"
m
r- , obtém-se, através da equação (103):
i . 0
.
•»
X
(104)
Com as aproximações
X' e
(98), levadas em (94) e (95) obtem-se:
J
X1
J
JE
2LP(jmw)
m"-»
X»
I
(97) e
E
2
e jmwt
(105)
onde PK(jmv) * PK •
Equacionando-se os coeficientes imaginários da expressão (105), para o
termo de ordem m dependente do tempo, e retirando-se do somatório era Z o ter
mo l «0, tem-se:
í
-f v ir
ao
*
L
ex
X*
; 1*0
K T
(106)
onde os termos retirados do somatório envolvendo Xo, foram aproximados levan
do-se em conta a dedução da expressão (105).
X
o
Uma equação para X poderá ser obtida dividindo-se X por (1 •-=-)
e,
m
m
e.
substituindo-se os termos correspondentes ãs definições de n*, dado pela equa
çao (101) e com a hipótese estabelecida durante a geração da expressão (104).
Portanto, pode-se escrever:
1
m
•k
a
m
k
a
. +PKffn*X
ex m-t
.
l o mrí
(107)
PK 0 (n*-n
0
0 )X
m
As expressões (106) e (107) definem as amplitudes do harmônico de ordem
m das expansões
e—
"°
, como indicado pelas expressões (98) e (104).
n*o
111.2 - DEFINIÇÃO DO TERMO V
Equacíonando-se os coeficientes dos termos reais da equação (105) e con
3Íderando-se m a 0 , tem-se:
7X'
X'
«- X!
\t*
~2~
4 0
(108)
Esta equação fornece:
•»
7 - - -$• PK0n0-2Re i
a
onde
-m
a* - -rr~
m
A
o
I
X'*
m
X'
PK
»
(109)
X
2(1 • -£)
Xf
-m
Com o auxílio das definições de X e de n*, a formulação
das equações
(102) e (109) pode ser estabelecida como:
n* - n
o o
+00
k
m-i
+00 X a
a* • PK n*X* ]
ex m
m o m
|—
(110)
J
T
. • PK-n*X
„ — ^ ' k a • VX • .E -* k a
l 5 7 1m
LP(jmw)
ex m
m
•t*™ 2 1 ex m-l
I 0 m-l\
- PK0(n*-n0)X
o
;l +0
(111)
m
Considerando-se a introdução "correta" do fator 7 no início das oscilações, o nível médio de potência não se deslocara apôs a passagem dos transito
rios introduzidos. Neste caso, ôn' * ôn e, consequentemente, n* - no.
o
Porém, experimentalmente existe um deslocamento do nível de potência media e que é o objetivo da presente analise.
r
Pela Figura 13, percebe-se que, após o registro das oscilações do fluxo,
é necessário estabelecer-se o novo nível médio ní. Este nível ê
determinado
empregando-se o princípio da equivalência ou determinando-se o ponto onde
as
áreas I e II se tornas iguais.
Analiticaraente, a deteminação de n* requer o conhecimento do fluxo
de
neutrons, en estado transitório. 0 tratamento analítico torna-se complexo quan
do em presença de retroalimentaçao. Entretanto, à potência zero torna-se um me
todo de trabalho altamente conveniente, para a obtenção de várias informações
de interesse.
Considerando-se uma relação linear entre o fluxo de neutrons e o excesso
de reatividade, pode-se escrever:
>--z
LP(S)n* ra=-<»
-1, 6N(S)
+»
3
Y
X e
(112)
2LP(jmw)
2 I-*
Esta relação, numa primeira aproximação, permite que se obtenha:
(113)
X - LP(jmw)k
a
m
ex ra
A expressão (113), introduzida na expressão (109), permite conhecer o va
lor de 7 dado por:
2
m-i
onde
014)
a | . Re LP • n K LP
m
ra 0 m
ra
V *-
LP(jmw) - \A>
Uma segunda aproximação para X
(113) em (111):
X
k2
t-~LPm - kexam + -~
2
rir
será obtida através das equações (110) c
-i
7 U>la.a
, + n°
,U»lam-l
.a.PK.
+
nLPm-£
J-.
l m-{.
í I-\
1
•£.* 1u
k2
(115)
A expressio (115) sera escrita coapactamnte segundo a expressão (116),
cujos termos sao facilmente identificáveis, em comparação com a equação anterior:
X
(116)
Fn
onde
8 • y *T
Uma aproximação mais precisa serã obtida admitindo-se as expressões para
7, — —
obtidas como aproximações iniciais. Assim sendo, chega-se ã seLP
m
guinte expressão para LPm_
m
k2
Jl ; aa kk + B (-f£) +
LP
m ex m 2
m
kJ
k1»
(-P) + 0 8!
onde
p " A + B *C - D , sendo que o primeiro termo conserva o
m
m m
m m
prescrito pela equação (116).
ro-l
m
Z
£•1
(117)
significado
(118)
LP
m-1
Y.
(119)
f
oo
c » r
•
j L P J.P.n 0 PK
-l(Y-*T.)a
# *•#(>
#*
T
#)'
(123)
D
m
As variáveis auxiliares v e T sao dadas por:
mm
(125
>
(126)
III.3 - EXPANSÃO DO FLUXO DE WfiüTRONS EM COMPONENTES DE FOURIER PARA UM REATOR RÃPIDO A POTÊNCIA ZERO
Considerando-se uma introdução de reatividade "puramente senoidal", a
expressão (97) dará uma imposição a "0 (ressalvando-se m ^ l ) e, sendo uni
reator a potência zero [PK(S) »0~| .
Cora o exposto acima aplicado ã equação (113) e, considerando-se X
função de LP(S), fornecida pela equação (117), tem-se:
m
uma
Desde que o sistema a ser estudado ê o de um reator rápido â Potência Ze
ro, a função de transferência de carga LP(S) redur-se ã função de transferência à Potência Zero ZP(S), pois PK(S) « 0 .
Antes da aplicação do exposto anteriormente, para a determinação dos bar
irônicos da expansão do fluxo incrementai de neutrons, una observação deve ser
feita em relação a ZP(S).
Sendo o excesso de reatividade expresso em dólar, como comumente é utili
zado, então, a função de transferência Zr(S), obtida no capítulo I deve levar
em conta este fato. Assim, para o excesso de reatividade em valor
absoluto,
têm-se:
n0
Quando o excesso de reatividade é expresso em dólar, têm-se:
60 -S v j-jí-)
Para os cálculos a seguir, será utilizada a expressão de ZP'(S).
A seguir, serão obtidos
a componente fundamental e o segundo
da expansão do fluxo incrementai de neutrons e a resposta linear do
harmônico
sistema,
para os seguintes dados:
K £ x - 0.3 $
í
- 4 xIO"* s
v
« 0,1 rad/s
Os dados referentes aos neutrons retardados são aqueles fornecidos
por
Hughes, onde 3 • 0,00755.
A componente fundamental da expansão do fluxo incremental de neutrons
«
obtida a partir da expressão (127), impondo-se m « l .
Impondo au condições de que P . K(jmw) « 0 e a "0 para m ^ l e a i * l e o f a
m
to quo LP(S) «ZP'(S), t?m-»e:
Ai «ZP| . ZP{
Bi «O
(da expressão 113)
(da expressão 119)
(da expressão 123)
2ZPJ . Re{ZP|}
(da expressão 124)
Portanto:
Pi «Ai +Bi
Pi -Ai -
p,«ZP|
onda
|"ZP' -2Re{ZPj}~
ZP' * ZP'(jmw).
m
0i -Yi • Ti =0
(das expressões 125 e 126)
Pela expressão (127) e as condicionantes anteriores» pode-se escrever:
< .ZP!
ex
*
ex
ex
' 4
Sendo ZP'(jmw) - 8 . ZP(jmw), pode-se escrever:
Xi
.ZP,
ex
Para w - 0 , 1 , têm-se:
ZPi -ZP(jlw) -ZP(jO,l) -308,9e" j 3 9 ' 5 7 -238,1 -j 196,8
ZP2 =ZP(j2w) «=ZP(jO,2) =231,4c~ j 3 2 f 5 z -195,1 -j 124,4
onde a fase é dada em graus. Portanto:
f•
•.
.
12
Ai-
B 2 .ZPj . ZP2 » 4 ,
D! - 6 2 .ZP, .R
Resolvendo-se a equação (127) para a componente fundamental e com os valores acima, encontra-se:
X, -0tblSe~*37tH7
-{0,618; -37,479}
Portanto, a componente fundamental pode ser escrita como:
6n,(t)
j — - 0,618 seníwt -37,47°)
Também, a partir da expressão (127), pode-se determinar a amplitude e a
fase da segunda hnrmônica da expansão incremental do fluxo de neutrons, fazendo-se m = 2.
X2
*_m
ZP 2
V
+S
ex
2
K
e x
, +
2
0
KJ
ex
4
Tem-se:
a 2 - 0 ; pois a - 0 para m
6Z -Y2 + T 2 "ZPj
p2 - A 2 +B Z +C 2 - D 2
A 2 -ZP| . ZPJ
B 2 -0 ; pois
(da expressão 121)
T - 0 para V • (da expressão 122)
m
m
C 2 -0 ; pois PK(jmw) - 0
D 2 «0 ; pois a 2 - 0
Então: p 2 *A 2 -ZPJ . ZP{
(da expressão 123)
f
13
ex
Desta forma: ZP'
X2
.ZP
ex
ex
2
.ZP
ZP 2 . ex
4
Substituindo os valores de 6; ZP]; ZP 2 e K , encontra-se:
X,-0,236 e " J82 * 06 -{0,236; -82,06°}
Portanto, a 2- harmonica pode ser escrita como:
6n 2 (t)
•0,236 sen(2wt -82,06 )
A resposta linear do sistema será" dada por:
x
;
ex
x;-ai.Kex.zp{
XJ -0,699
-{0,699; -39,57°}
Portanto:
6n>(t)
no
-0,699 sen(wt -39,57°)
Das expressões anteriores para Xj e Xj, pode-se escrever:
X,
1 +p, . ex
.K
ex
x, -x;
ex
' 4
Pela figura 14, pode-se observar a diferença entre a resposta vetorial
ào .sistema linear c a resposta do sistema não linear, onde esta vitima
é
apenas representada pela componente fundamental da expansão do fluxo íncreF
K L -i
menlaJ de neutrons. Desta forma, pode-se interpretar o termo 1 +p, • ~r— |
14
como sendo um fator de mudança no vetor linear devido aos efeitos nao lineares inerentes ao
sistema.
As figuras 15, 16 e 17 foram obtidas no computador analógico PACER 70P
0 circuito de simulação do reator encontra-se em anexo.
A figura 15 mostra o fluxo incrementai ã Potência Zero não linear obtido no computador analógico devido a inserção de reatividade do tipo senoidal
devidamente polarizada, bem como as curvas referentes ã componente fundamental e segunda harmônica da expansão desenvolvida neste capitulo. Ainda nesta figura encontra-se a curva referente a resposta linear do sistema.
0 nível n* foi determinado impondo-se a igualdade de áreas como mencionado anteriormente, verificando-se que n*/n
é* aproximadamente 1,35.
Nota-se pelas curvas referentes ao fluxo incrementai e a componente fun
damental que estas apresentam pequena diferença de fase entre si e as amplitudes não são muito diferentes. Por outro lado, as formas de onda são nitida
mente diferentes. 0 fluxo incrementai apresenta um pico em sua parte positiva e um arredondamento em sua parte negativa.
0 fato da fase e amplitude não apresentarem grandes diferenças entre
o
fluxo incrementai e a componente fundamental, permite-nos utilizar a lineari
O7)
zaçao predita por Kryroff
extremamente utilizada em mecânica nao linear.
A figura 16 mostra o comportamento da densidade de neutron» normalizada
em no, de um reator a potência zero, devido a inserção de um degrau de reati
vidade positiva de amplitude 0,1; 0,2 e 0,3 dólar.
Desde que Y(S) »0 ê a conhecida equação "inhour", onde Y(S) é* o inverso
da função de transferência a potência zero, então sabe-se que esta terá
I
raízes r.o SPE do plano-S e uma dependente do sinal da reatividade. Se a reatividade for positiva esta raiz localizar-se-ã no SPD do plano-S e vice-versa. Assim sendo, como a reatividade inserida ê positiva o fluxo de neutrons
cresce exponencialmente com o tempo e sua variação c dependente da amplitude
da reatividade inserida.
A figura 17 mostra o comportamento do fluxo incrementai de um reator rã
pido, devido a inserção oe um degrau de reatividade positiva em sua solução
exata nao linear e sua aproximação linear. 0 fluxo incrementai é normalizado
em nu- Pode-se notar que para inserções pequenas de reatividade a aproximação linear apresenta resultados bem satisfatórios, aproximando-se
bastante
da solução exata não linear. A medida que se eleva a amplitude da reativida-
15
de, o modelo linearizado vai deixando de ter validade, pois este tanto em for
ma quanto em amplitude apresenta diferenças bem perceptíveis em relação ao mo
delo nao linear exato. Após o transiente, as formas tornam-se semelhantes mas
a discrepância de amplitu des ainda i observada.
A função de transferência de realimentação ã potência máxima será:
PK(jw) =10
1 + 2.0
Percebe-se que para K
2.0
0.2'
=0.3 $ o decréscimo de Ô'/n0 apresenta um perío-
do T de aproximadamente 14 segundos o qual e aproximadamente o período de ressonância.
A queda de barras experimental ou a resposta devido a transientes utilizada em reatores rápidos são executados com mais freqüência do que a resposta
em freqüência, visto serem mais fáceis de se executar do que esta ultima.
Na resposta em freqüência, obtem-se informações bem mais detalhadas para
cada freqüência, porém são mais laboriosas, envolvendo inúmeros cálculos
poderão acarretar em erros. Estes erros também poderão surgir nos
tos .
que
experimen-
16
CAPÍTULO IV
ANALISE DA ESTABILIDADE EM SISTEMAS NÃO LINEARES
A cinetica linear e os critérios de estabilidade em reatores rápidos fo
ram abordados nos capítulos anteriores. Uma análise dos efeitos não lineares
foi sumarizada no Capítulo III com o auxílio das componentes de Fourier. No
momento, será feita uma aplicação do método de Lyapunov, em conjunto com as
funções de Lurie-Letov
, para investigar a estabilidade assintõtica
em
reatores nucleares, cujo comportamento temporal e descrito através de suas va
riáveis de estado.
IV.1 PARÂMETROS NUCLEARES E SUA VARIAÇÃO DEVIDO A EFEITOS DE CURTA DURAÇÃO
Considere-se a transferência de calor por unidade de área, expresso por:
£ T(r,t) +V(í,t) .VT(í,t)} -V.k'V T(r,t) -
W f jE£(r,u,t)«I>(r,u,t)du - H(r,t)
(128)
onde p é o calor específico ck' é a condutividade térmica. NaB regiões sólidas V • 0 e a transferência de calor é puramente condutiva. Assim, as
cons-
tantes p e k 1 dependem da posição e da temperatura.
A forma incrementai da equação (128), em referência ao estado estaciona
rio (indexado pelo subíndice zero), é escrita segundo:
. VÓT+ÔV . VT 0 } -V" .kJVÔT - - ^
ro
Ho
(129)
onde p(t) - P(t) - P o .
A exemplo de outras aproximações, é usual referir-se a equação (129) a
determinação das zonas de um sistema, ou seja, adraitíndo-se valores
médios
por região. Para tanto, define-se os seguintes parâmetros para utilização pos
terior;
1.
(130)
(131)
6T_. = |
^
f ÔT(í,t)dr3
H . = [ HoU)dr3
(132)
(133)
'V.
J
Admitindo-se Vo e 6v nulos, a equação (129) torna-se
(134)
Integrando-se a equação (134) no volume da região j, e
considerando-se
as definições (130) a (133), chega-se a:
(135)
&J
Admita-se, agora, a seguinte definição:
-f í.»;
N
.1 X..(6T. -6T.) +X. 6T.
i"i Ji
J
i
Jo J
(136)
18
onde X. 6T. refere-se à transferência de calor pela face não computada no soJo J
matório, podendo ser interpretada como o meio ambiente ou o refrigerante.
Com esta definição [[equação (136)J
levada à equação (135) obtem-se:
N
H .
(ÔT.)} + .£ X..(6T. -6T.) +X. 6T. « -£l p(t)
(137)
à cada região j é associado um coeficiente de reatividade, definido
co-
mo:
M
(p)=.£ f
ÔT(r\t)a(r")dr3
(138)
y
j
onde a(r) e derivado segundo a aproximação pela teoria da difusão, através da
(23)
perturbação de operadores (aproximação de primeira ordem) como:
a(i) - £
onde
T o * - £<>(r
Jo
v 3f7 E tr
° - J o + v *° 3T7
u)
• *f
So
• DQV<Í>O
Jo - -DBV*o
.
J
1
tro
t = < N |igj M.(H0)|IID >
f
f0
du
du1
19
M. - I \ f.<u)/4*l fdu1 Í díi1
[BVÍU^VÍU^EJÍÍ.U1
sendo j o isõtopo considerado e i o grupo de energia dos neutrons retardados.
Oefinindo-se a . como:
~'* ' T!j I.
(140)
a equação (13A) assume a forma:
6kT(p) - j £ i a.61.
Observe-se que as equações (137) e (141) estabelecem uma relação funcional entre <Sk (p) e p(t). A equação (134) poderá ser reduzida ã forma
matri-
cial, ou seja:
*o
fi
(142)
N
onde
A
|a..
sendo
a..
V • |6.. y.1
6T - col|6Ti, ..., 5T N |
H - col | H Q I
H 1
oN
- X.. +6.. .1 X..
xj
IJ k»o xk
20
Nestas considerações, A e uma matriz simétrica real e a matriz y i diagonal com elementos positivos, devido a definição estabelecida na equação
(130).
i
Considerando-se uma matriz R, de tal forma que R pR « 1 e R AR-n, e fa
zendo-se 6T • foc, obtem-se
X + n X » p(t)Ê
t
••
I
f
(143)
onde È - ~
.
"o
As quantidades nj, ..., n
n
são as raízes da equação polinomial
y* _ \
|X}J-A|BO
para qualquer escolha de matriz R
[*R é uma matriz de elementos reais
constantes e X é uma matriz coluna substituindo ÔT J.
e
Os elementos ou componentes da equação (143) tornam-se, desta forma:
X. • n ^
- p(t)E.
(144)
N
onda n. •
E R .R .A
j ro,n*i mj nj nm
N
E. - Z R. H
j
ni"i
/Po
Jin oin
A solução da equação diferencial parcial de primeira ordem, estabelecida na equação (144), será escrita como:
r
e
-n,u
J
p(t-u)du
A retroalímentação, definindo a funcional expressa pela equação
será representada segundo:
(145)
(141),
21
N
.E
»
N _
.E ct.R.
(146)
X.
IV.2 -EQUAÇÕES DEFININDO O COMPORTAMENTO DINÂMICO PE UM SISTEMA NUCLEAR
O método de Lyapunov reduz o problema de estabilidade de um sistema dinâmico à construção de uma família de superfícies fechadas no entorno da ori
gera e com uma propriedade tal que a trajetória de um sistema dinâmico intercepta cada uma destas superfícies em direção I zona central. Uma vez que estas superfícies sejam estabelecidas convenientemente, poder-se-á
a região máxima no espaço de fase para uma estabilidade ou uma
determinar
estabilidade
assintõtica do sistema e, em conseqüência, as perturbações máximas permissive is nas variáveis dinâmicas.
As dimensões da região de estabilidade dependem da escolha da função de
Lyapunov a ser considerada. Deve-se definir funções especiais de Lyapunov
e
que sejam utilizadas na dinâmica de reatores, permitindo-se investigar a estabilidade global ou a estabilidade assintõtica de um sistema nuclear.
Isto
será atingido adequadamente através do conjunto de equações previamente esta
belecida,
20
Sejam as equações (92) e (93), isto e-( ) :
0
dP
dt
1 dt
onde
C!
ex - 1 P + .E
1-1
3
1
e
p _ i r»
11
a. -
X.c!
1 1
i « 1 , ..., I
(147)
(148)
i
—
Nestas equações foi suprimida a dependência temporal nas variáveis de es
t.ulo.
A equação (1 47) pode ser escrita como:
dP
dt
P + .1 A.C -P
i«i
ef
1 1
(149)
22
A interpretação de I —jr- I
existente na equação (149) sugere a seguin
L P Jef
te igualdade:
I kex
L
Je f
- ko
- retroaliaentação associada ã variável X - retroalinen
_
„
taçao associada a potência.
(150)
Assim, segundo a interpretação anterior, pode-se escrever:
N
k
[ ex]ef
3
'
N _
onde a. * . £ a,R.. é o coeficiente de reatividade associado ã variável
X.,
e Y é o coeficiente de reatividade associado a potência.
A equação (149), associada a equação (151), torna-se:
N
.1 a.x. - y? P • .1 \.C! - P
1*1
í í
J-i J J
(152)
onde a reatividade e expressa em dólar.
Observe-se que a variável X. satisfaz a equação abaixo:
X. » b.P - /L h-.Xj
,
j - 1, ... N
(153)
Esta equação corresponde ã equação (142) com - aproximações:
h.. - - Jji
N
h
jj " i-
X
(154-b)
23
associada ã uma aproximação semelhante a adotada na equação (136).
Pela equação ()51), percebe-se que a retroalimentação ou a funcional, ries
crevendo a reatividade introduzida no sistema, e* linear e descrita por:
N
ôk(p) - - S O.6X. - YP
A funcional representando a temperatura, obtida a partir
(153), eu da equação (137), é descrita como:
(155)
da
equação
N
ÔX. « b.p - .E h..6Xi
(156)
0 estabelecimento destas equações, face as deduções prévias, envolvem
substituir n(r,u,R,t) " P(t)$(r,u,U,t), onde um fluxo em posição posterior
permite que P(t) e $(r,u,ft,t) sejam únicos. As constantes envolvidas são valores médios tomados sobre a região de interesse
'
Observe-se que P(t) satisfaz
P(t)
onde
r
^~-
7—
(157)
< N0(r,u,t) |<J>(r,u,^,t) > é uma constante indicando uma unicidade a so-
lução desejada ou S uma solução produto de P(t) por $(r,u,W,t).
A aproximação utilizada na equação (129), envolvendo a definição
ll(r,t) - W, / £ (r,uft)<|)(r,uft)du exige, por sua vez, a definição
de
desta
grandeza no estado estationãrío, ou seja;
(r,u)*(r,
M r r)
) - W f [ Efo(r,u)*(r,u)du
(158)
24
As equações envolvidas são previamente integradas em ângulo, permitindose não indexar estas variáveis. Portanto, para transientes de curta
duração,
onde a variação do número de nuclídeos f&sseis í desprezível, pode-se
escre-
ver:
^
(159)
Ho(r)
IV-3 FORMA
CAMOHICA
DO SISTEMA PE EQUAÇÕES
As equações (147), (148) e (153) envolvem N 2 + 2 N + 2 I + 3 parâmetros. Pese
jando-se realizar uma análise de estabilidade, é desejável transformar
este
sistema de equações para a forma canonica, sistema este que apresenta, por sua
vez, poucos parâmetros a considerar. Em geral, a matriz H 2 uma matriz não sin
guiar L«*et |h.. |#0_| . Esta imposição não é uma restrição e nem uma conveniên
cia, ou seja, pela equação (153) tem-se um estado estacionãrío traduzido por:
N
.L h..X.
1-1
lj 10
- b.Po
(160)
J
Esta equação não admitiria outra solução, a não ser se P o • 0, o que não
seria realístico, pois a análise de estabilidade requer um nível de potência
definido.
Se a matriz H tiver raízes características reais, distintas e
vas, esta matriz poderá ser díagonalizada por transformações similares
diagjni, ..,, n j
onde
positi(22)
(1<>1)
U é uma matriz real não singular de ordem N x N .
A partir das equações anteriores, pode-se definir a funcional descreven-
do-se o mecanismo de retroalimentação, isto é, multiplicando-se
-i
(15«>) por ü
, obtem-se:
a
equação
25
6Q • D6Q - Ü"lbp(t)
onde
(162)
ã » col(otp
b - coKbj)
ÓX - col(6x.)
ÓQ « Ü ôX
A equação (162) permite escrever:
5Q.(O -
(ü b). e
J
p(t - u)du
(163)
A transformação das equações (149), (152) e (153), em sua forma canônica, requer as seguintes substituições:
P(t) * P 0 X 0 + Po
(164)
C (t)
(165)
í
'C io X i
Q.(t) - Q o j Y. • Q o j
. j - 1 ... N
(166)
Os valores das variáveis no estado estacionãrio (inicial) são definidos
calculando-se a variação das funções de estados, definida nas equações (148),
(152) e (153).
26
.
Pela equação (148) obtém-se:
a.P
C
< 167 >
io " -TT
Pela equação (158) obtem-se:
N
0 « bjPo - i g i h . ^
(168)
N
ou b.P0 - .1 h..X.
(169)
Devido a simetria da matriz H, a equação (169) permite que se escreva:
i•
Xo - iT'bP,,
(170)
com elementos X. • (H b).P 0 , onde j indica o elemento j de H b.
Jo
J
A equação (152) permite escrever, para o estado estacionario, a seguinte
equação:
o
- .^ o.X,
• y?0 - .Zj a.(H
b).P0 •
Com a definição de ÓX ou 6X * U6Q, e com o auxílio
de-se escrever:
•
(ÍJQO)^
(171)
da equação (166) po-
(172)
27
Com as equações (164), (171) e (172) introduzidas na equação (152)»
tem-se:
N
í X
jEi
$X°
- » cu<H
ob-
N
b ) ^ + YPo " j ^ ttj
N
- Sx
a j (UQo) j - YPUXO -
Xo) + ..E
E aa.(X.
. ( . -X o )
(173)
A equação (173) será simplificada fazendo-se Kj • YPO e cancelando-se os
termos semelhantes devido à subtração indicada. Portanto:
N
Z •
• j J j ajj (UQ
(UQ0 )0j)Yj jj
ê x°
(1 • X o ) +
(174)
Consequentemente:
- Xi)
,
i - 1, . . . I
(175)
j - n.(X 0 - Yj)
,
j - 1, . . . N
(176)
onde
j - \
28
A equação (174) será escrita, em forma matricial, segundo
| Xo - -
:
(K,X0 • AY)(1 • Xo) • .Z a.(X. - X o )
P
1"!
1
(177)
1
Condicionando-se as equações (175) e (176) a um estado de e equilíbrio,
obtem-se os pontos [X. • Y. « O j e £x. • Y. • - 1^| , sendo que o valor
-1 representa um estado onde P(t) * C. (t) » X. « 0, ou um reator com potência zero e sem retroalimentação. Este estado não é realistico, pois represen
ta um sistema exponencial instável a pequenas perturbações.
Observe-se que o sistema de equações (174), (175) e (176)
2(N + I • 1) parâmetros.
contém
IV-3 FUNÇÕES DE LURIE-LETOV
Entre as funções de Lyapunov, considerou-se a função "positiva" definida segundo a equação abaixo:
r
i
rO2
4>(oi)doi + I <f>(o2)da2
u
onde
n
F - .£
(178)
''o
n dkdiXkXi
.1 — — j — — e as constantes d. são reais e arbitrárias.
As
veis X. dependem do problema em estudo.
Considere-se a seguinte transformação:
o. - £n(l + X.) , para X. >-l
o.
onde se define $(0.) "
c
" 1
i.-0, 1, ..., I
(179)
29
A função o. satisfaz as seguintes relações:
0^(0.)>0
, o. 4 0
(180)
(J>(0) - 0
(181)
j S(o)do -'X. - £n(l • X.)
(182)
As equações (175) e (177) definem:
4 Xo - -
|K,X0 • AYj(l • X o ) • Z -rí X.
(183)
Levando-se em conta a definição fornecida pela equação (178) e a equação canõnica (183), pode-se escrever a função de Letov, como se sepue:
V - Y DY +
J
£ <|»(o)do + E
P
í J
~ <)>(o)do
"'
(184)
d d
i '
onde D. , •
•'
conforme a definição de P.
U
n. • n.
Note-se que o termo Y DY e nao negativo e a função de Lurie, aqui consí
derada, é positiva e definida."
A diferenciação da equação (184), em relação ao tempo, permite
ver:
escre-
:
30
'— i a .
Ui
_ V
2
\
o'
2
„ v i- . ' y ^ ^ r " K i X o " i o . i . 2. d . i .
.,
+ 2X0 £ d.Y. I
J
J
K
.
j
k
? (AY).X 0
(185-a)
J
J
onde
B»2X 0 E d.Y.
- -—ZZ( A (AY).X«
Y).X0
d.Y. E — ^ —
j 1 J k «j+ \
j
(185-b)
J
Condicionando-se os elementos reais d. de tal forma que B "O-, para todo
_ •
A
r
F~
j, garante-se que a função V(t)í 0 na região R definida anteriormente." ~
|
As equações estabelecidas e discutidas acima permitem concluir:
a) V(t) íV(0)
b) X . ( t )
í
:
e
,
Y.(t)
1
se
X.(0)UY.€R
apresentam um l i m i t e superior.
J
Ksta ultima condicionante é determinada pela equaçio (178), que permite
escrever as seguintes desigualdades abaixo:
YTDY\<V(0)
(186)
K6
(187)
|
$(o)da<V(0)
(188)
i
As desigualdades anteriores permitem estabelecer que:
a) - l < X . < X i m
,
i € | 0 , ...
o) as derivadas de X . ( t ) e Y . ( t ) apresentam um l i m i t e s u p e r i o r , p e l o item
anterior.
31
c) as derivadas de V(t) apresentam um limite superior, levando-se em conta a equação (184), e as condicionantes acima.
d) a derivada de V(t) 5 uniforme, visto que V(t) apresenta um limite supe
rior conforme as Referências (23) e (24) X -»
e) os seguintes limites são obtidos:
Um
V(t) - V >0
00
,£im
V(t) - 0
t-»oo
As conclusões, a seguir, dependem do valor adotado para y?0 « Ki. Sendo
Ki>0, ou existindo uma retroalimentaçao, devido a variável P(t), V(t) * 0 só
será atingido se X. « Y. • 0, ou
Um
X.(t) - 0
,
i - 0, ... I
(189)
Um
Y (t) - 0
,
j - 1, ... N
(190)
Esta condição define uma estabilidade nssintõtica, como definido pelo se
gundo teorema de Lyapunov, ou seja, V(t)<0 para X., Y. + 0 e V(t) • 0
X. - Y. - 0.
i
para
.1
Por outro lado, se Ki « 0, com a exigência imposta de que Um
V(t)»O,
em conjunto com a equação (190) e sendo B - 0, obtem-se, pela equação (185),
a condicíonante:
32
lim
Fx.ít) -x o (t) | - o , i - i , ...
(191)
Se as funções X. e Y. apresentam limites superior e inferior obtidos pelas desigualdades anteriores, pode-se dizer que £im
1í.(t) »0. Por-ím,
sendo
Y. »n.(X 0 -Y.) obtem-se, imediatamente, Xo(°°) " 0 .
Portanto, apesar da equação (192) não permitir, inicialmente, definir-se
uma estabilidade assintótica, os limites das variáveis dinâmicas
demonstram
nao existir trajetórias em R que, inicializando-se em qualquer ponto, não ten
dem ã origem.
Com a finalidade de ilustrar o comportamento da função de Lyapunov V(X,
Y, t) e de sua derivada em relação ao tempo V(X, Y, t) e que estas realmente
satisfazem as condições anteriormente estabelecidas para que a oii}',e.n
seja
assintoticamente estável
em K,
utilizou-se a resolução numérica (Programa RKFS) do sistema formado pelas equações (174), (175) e (176). Kstas equações sao reescritas abaixo:
[l+X 0 I* l a.(X -X o )
K, . X o + ? a.(UQ0).Y.
j»i
J
JJ
i - 1 , 2, .... I
X. = X . ( X 0 - X . )
1
1
"
1
j -1, 2
. .
C!(t) - C !
P(t) - p .
.
onde: Xr
Y
i_i
m-
c!
-Y .P o
e
a. - —
U «matriz de transformação
Ü
Ü
.H . U»díag jm
»
;
Y.
--L
N
33
oi.: coeficiente de reatividade de temperatura associado a j-ésima região.
Y: coeficiente de potência de reatividade.
B., B, X.: parâmetros que descrevem os neutrons retardados
l: tempo médio de geração dos neutrons prontos
Po, c! , Q .: sao
são os valores de equilíbiro resj
respectivamente da potên1(1
OJ
cia, concentração dos precursores e temperatura.
Será estudado o caso particular do modelo do reator a uma temperatura,
N «1. Neste caso a matriz de transformação U serã uma matriz l x l , e para fa
cilidade de cálculos será escolhida a matriz unitária.
Neste caso, o sistema reduzir-se-i a:
| Xo --
X. - A . U D -X.)
i •!, 2, ..., 6
0 estado estacionário escolhido serã:
Pu -1MW
Qoi »100°C »212°F
outros parâmetros:
t «4 xl(f' s
=0,00291
Y -0,002458
—
MW
Os parâmetros referentes aos neutrons retardados sao os fornecidos
Hughes.
por
34
O parâmetro ni foi obtido inpondo-se a condição de equilíbrio na equação
(153) com bi -1,25 °F/MW.
Desde que U • £ 0 » têm-se:
b
i os vi
i -Po
O sistema pode ser escrito na seguinte forma:
6
l i
(K + l ) X o + j; -J
8
\ ~ J '
a
\
-Qoi - * i
' j 8
j — Xo - | a»
X. = À . • Xn ~ À. X,
1
1
1 1
. Xo -ni . Yi
Obteve-se a resposta no tempo deste sistema, para dois casos de perturbações iniciais em potência. Uma para o caso de perturbação positiva (Xu(O)«
5,0) e outra para perturbação negativa (Xo(0)«-0,5). As demais variáveis de
estado nao sao perturbadas. A partir do comportamento temporal das variáveis
de estado para estas condições iniciais, pode-se determinar o comportamento
de V(X, Y, t) e V(X, Y, t), lançando mão das expressões (184) e (185-a) respectivamente. Antes porém, deve-se determinar o valor de d. para o qual B»0,
expressão (185-b). Então:
B«2Xo j V V j
j-i
J
J
n*ÍTT- ." <A.
K-i
j
K
j-i
Desde que N » l , têm-se:
dj . ná
2X 0 .di .Yj
a, . Q O J -Vi . X o - 0
ni +ni
Xu .Y,(dí -ai .Qoi) - 0
35
d» » ± / O i
.Qo,
d i = i0,785
Portanto:
dl
11
*dl
ri! +ni
(0.785) 2
2 xO.0059
Então:
V ( t ) - Y , . D i i. Y i * |
|x
u
(X.
-£n(l+X0)
+ ?
.
PI
^
|X. -
A.
I
l
- )
A figura (18-a) mostra o comportamento de X 0 (t) para perturbações positi
vas e negativas. Pode-se verificar que para ambos os casos a potência P(t) ten
de para o estado estacionário P o . As figuras 18-b e 18-c, mostram o comportamento temporal de V(t) e V(t) para o caso de una perturbação positiva. Podese verificar que V(t) é sempre decrescente, positiva e tende nonotonicamente
a /.er o quando t-**>. V(t) é sempre negativo e tende a zero quando t-*°°, mostrando
que X.(t) para i « 0 , 1, 2, ..., 6 e Yj(t) tendem a zero para t-"*>, e a origem
é dita ser assintoticamente estável em R.
A figura 19 mostra que, na região R onde a função de Lyapunov e definida, as curvas formadas no plano de fase X o xYi, são curvas fechadas e envolvem a origem quando a função de Lyapunov é constante, isto é, V(X 0 , Y|)~C. Es
tas curvas são fechadas e não se interceptam para diferentes valores de C, mos
trando que para cada C é formada uma superfície fechada no espaço n-dimensional. Estas superfícies varrem toda a região R e são sempre fechadas para qual
quer valor de C, Assim, desde que V(X., Y l f t) <0 para X. ^ 0 e Y t ^ 0 , então,
soj.1 qual for a condição inicial dentro da região R, os estados tendem assinLoticanicntf para a origem, no espaço de estado. Ainda na figura 19 é mostrada
a trajetória no plano de fase X o xY|, quando o sistema e perturbado em potência em t " 0 (X 0 (0) «5,0 e Yj(O) « 0 ) . Pode-se verificar que os estados tendem
36
assintoticamente para a origem. A escala para XQ foi multiplicada por um
tor de 10
fa-
, para melhor visualização de seu comportamento.
Com o intuito de mostrar o comportamento temporal das variáveis
dinâmi-
cas de um sistema reator, inicialmente em equilíbrio, quando se insere um degrau de reatividade, serão utilizadas as equações (148), (152) e (153)
as
quais sao reescritas abaixo:
P(t) - [ K O - J a.T (t) -Y .P(t) Pít) • I A.C!(t)-P(t)
.j
.
J-»
onde
í-i
C!(t) »a.P(t) -A.C!(t)
i - 1 , 2, ...,
T.(t) =b. .P(t) - J
j -1, 2
h.. .T.(t)
N
P(t) * potência
l C.(t) -concentração dos precursores do grupo i
CÍ(t) •T.(t) «temperatura na j-ésima região
K o -reatividade positiva introduzida externamente
A reatividade é expressa em dólar e os demais parâmetros envolvidos já fo
ram definidos no caso anterior.
Para o caso particular do modelo do reator a uma temperatura, N « l e com
f> rçrupos de precursores, I » 6 , pode-se escrever:
.Ti(t)-Y.P(t) P(t) + |
C!(t) = a i .P(t) -A í C*<t)
Ti(t) =b, .P(t) -
A.C!(t)-P(t)
.!
i - 1 , 2, ..., 6
37
Supondo que o reator inicialmente operava no equilíbrio Po e Tu 1» onde:
Po -1MW
Toi =100°C »212°F
e impondo a condição de equilíbrio às equações (148), (152) e (153), chega-se
a:
a
C!
10
1
.P o
A.
i • 1, 2, ..., 6
Ko -a,Toi +Y .P o -0,619 $
A partir do instante t »0, será inserido externamente uma variação de rea
tividade do tipo degrau de amplitude A «30 $. Portanto:
KJ -0,619 +0,300 -0,919 $
Portanto, todos os parâmetros do sistema já foram definidos,
obter a sua resolução através do programa "RKFS".
podendo-se
0 novo estado de equilíbrio (Pj, C! , TI.)» devido a aplicação do degrau
de reatividade, pode ser calculado analiticamente, resolvendo o seguinte sistema de equações.
, .p;-hu
e
a. , P '
i o
C! io X.
De onde se obtêm:
Pj -1.48MW
TJ, -155°C=-312°F
io
í ™ l , 2,
38
As figuras 20 e 21 mostram o comportamento das variáveis dinâmicas do sis
tema e da reatividade em relação ao tempo. Nas figuras 20-a, 21-a e 21-b, res
pectivamente potência, temperatura e concentração de precursores tendem no de
correr do tempo ao novo estado estacionário P*. T* e C! . Na figura 20-b, \e
V
^
rifica-se que a reatividade realimentada
0*
01
10
-
[ai .Ti *y . P j tende no decorrer do
tempo a se igualar com a reatividade Kj aplicada externamente.
Os critérios de Lurie-Letov e outros repousam na existência de matrizes
positivas de livre escolha. Há métodos que dispensam a existência destas matrizes. Tais métodos envolvem uma simples função P(w), no domínio da freqüência. A positividade da função P(v), para todos w, fornece meios de obtenção
de desigualdades de maneira «ais fácil, minimizando-se os esforços para o conhecimento da estabilidade. No estudo anterior utilizou-se esta matriz para
anular-se o termo B(X, A, Y) da equação (185-b), permitindo-se reduzir a análise da estabilidade a um número menor de termos associados.
*
"
•
-
*
'
39
Referências Bibliográficas;
16) Lauber, R., Atomkenergie 2» 95 (1962).
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Translation by Solomon Lefschetz, Princeton University Press (1947).
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22) Marcus, M.; Ming, H. - "A survey of matrix theory and matrix
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inequali-
23) Akcasu, Z.; Leilouche, G.S.; Shotkin, L.M. - "Mathematical Methods
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Nuclear Reactor Dynamics", Nuc. Sci. Tech., vol. 7, Academic Press, N.Y.
(1971).
24) Podonski, M. - "Asymptotic Stability of Coupled-Cores Reactors and Arbitrary Reactivity Feedback and No Coupling Time Lag", Nuc. Sci. Eng., 72,
256-261 (1979).
40
APÊNDICE A
Dados referentes aos neutrons atrasados
TABELA I
Dados de Hughes sobre neutrons atrasados
.01246
.0315
.1537
.456
1.612
13.86
1
2
3
4
5
6
.00025
.034
55.6
.00166
.22
22.0
.00213
.282
4.51
.00241
.319
.112
1.52
.033
.05
.00085
.00025
$ - .00755•
.43
TABELA II
Dados de Keepin sobre neutrons atrasados de fissão rápida.
Um valor de v = 2,56 foi usado para 8..
i
1
2
3
4
VB
V
000247
.038
.0013845
0012222
.213
.188
54.51
21.84
6.0
0026455
000832
.407
.128
.026
í
h
.01272
.031738
A.
.115525
.31083
5 1.39748
6 3.87235
000169
6 - .0065
2.23
.496
.179
APÊNDICE B
6N*
S e j a : — = [VK+FB~|ZP
no
no
•ON
= VK . ZP
no
no
6N*
no
e
VK . 1.P
RA = P .K .no
(1-B)
(2-B)
(3-B)
fiN*
n0
(A-B)
onde todas as funções acima estão definidas no domínio s.
ZP: função de transferência a potência zero.
LP: função de transferência de carga.
Levando-se (2-B) em (1-B) tem-se:
no
•-
-'no 'VK
(5-B)
Dividindo-se por LP, tem-se:
6N* _
no . LP
<6
- B)
Fazendo-se:
f
(7
- VK-^LP
" B)
a equação (6-B) torna-se:
íp
n 0 . LP
[ V K + F-'B | . f . no
L
(8-B)
Pela equação (7-B) pode-se escrever:
f '
|_VK . LP_
+ 1-1
Pela equação (3-B) pode-se escrever:
(9-B)
42
VK
f =1 +
VK .
(11-B)
5N*
no
A partir da equação (1-B), tem-se:
VK
I=
VK . ZP
(12-B)
[VK• FB~|
Pela equação (2-B), tem-se:
f = 1+
VK
(UN
(13-B)
[VK • FB~
«0
Levando-se (13-B) em (8-B) chega-se a:
, 6N*
= [VK + FB J
n0LP
1 +
VK
M = VK • &
no
no
^ L[VK • FB"
n»
+ FB I
(14-B)
Levando-se (4-B) em (14-B) chega-se a:
ON*
ON*
« VK* VK + P . K . n 0 .
n0 . L P
n0
6N
no
(15-B)
43
APÊNDICE C
Dedução da expressão (109)
5N
m
ex
•»
^
J wt
a e
2LP(jra«) " n0LP(jraw)
Para o termo de ordem m pode-se escrever:
a
2
e
m
k
X*
„
ex
jnwt _ m Jirowt
'V +—r— a e J
+V -£r e
•»•
2
m
2
ex a
ímwt
+ PK
Para m a 0 , e retirando-se do somatório o termo £ =0, obtem-se:
X1
V
X
X'
>£ r- - - 12
0 —C
"
2
X1 „
o -í
ex
i PK0n0+
Portanto, pode-se escrever:
X1
7— - £ PK0n0-2Re{
X
£
+CO
2
f i'K0no -2Rc{
1
X' „
o -I
ex
V - - - ^ PKotio +2Re
Y'
X
o-£
ex
1 •-=-
K
a
0
ex u --££
2
X
pv
+ F
V°
xo
o
X
„+
V
£ PK o n o -2Re{
X'
m
X
~2~ am
+PK
£n»xl*
APÊNDICE D
Representação e simulação de um reator rápido num computador analógico
A partir das equações cinéticas estabelecidas no Capitulo I, e definidas
pelas expressões (14) e (15), utilizando-se a expressão (17) e
definindo-se
as seguintes relações:
C.
C. - ~
1 C.
e
K
ex
-6K
10
as expressões (14) e (15), tornam-se:
<K~)
6
61íJL
4—37" *
-3.6K. -2- - — + E 4 C.
6
dl
no
dC.
-j-í- = A. . —
dt
ÓK-K
1
no
n0
+ A.86K —
í
n0
(1-D)
£ $ i
_
- A.C.
(2-D)
1 i
no
+RA
(3-D)
Todas as reatividades são expressas em dólar ($) e ÓK representa a reatividade total, isto é, a inserção de reatívidade externa K
(t) mais a reae«*
tivídade realimentada RA(t), para o reator operando a um determinado
nível
de potência.
A expressão que define a real intentação de reatividade, no domínio da fre
quineia, é dada pela expressão (70).
Na equação (l.D) o termo — — - dt— pode ser desprezado, pois em
I
P
-5
rápido, -r é muito pequeno (da ordem de 10 s).
reatores
P
Neste caso, tem-se:
-2- - ÔK — - 36K — • l 4- C.
no
no
no
{
p
(A-D)
í
No diagrama de simulação, apresentado na figura
22, estão
representa-
das as equações (4-D), (2-D), (3-D) e a expressão (70).
Note, pela tabela de ajuste dos jotencíometros, que um fator "l/a" aparece na entrada dos integradores. Este fator expressa uma relação entre o tem
po real de resposta do sistema e o tempo de computação, que é dado por:
T «a . t
onde
i = tempo de computação
t = tempo real
n
Para uma inserção de reatividade tipo degrau, o fluxo de neutrons (—),
~
no
obtido utilizando a aproximação dada pela equação (4-D), apresentara uma des
continuidade em função do tempo quando da inserção degrau. Se o termo
i d(ir>
•r — - j ~ não é desprezado, o amplificador 12 será um integrador.
Todos os efeitos de reatividade no sistema são tratados no amplificador
13. 0 potenciômetro 42 corresponde a una inserção de reatividade
(positiva
ou negativa), quando o nível de potência cresce ou decresce.
0 multiplicador efetua o produto ÔK X — . Para a aproximação
linear,
ajusta-se, nas entradas +x e -x do multiplicador, o valor de equilíbrio nu.
Antes de colocar o computador cm operação, deve-se ajustar as condições
iniciais, tanto das concentrações dos precursores dos neutrons atrasados, co
mo na malha de realimentação (Potenciômetro 1 a 6, 34 e 35).
Os dados referentes aos neutrons atrasados sao os fornecidos por Hughes
(APÊNDICE A ) .
Os ajustes dos potenciômetros da simulação encontram-se na tabela
Os potenciômetros 33 a 41 são correspondentes ã malha de realimentação
a seguinte função de transferência:
PK(s)
61O3
1 +—
wf
(1
III.
para
+—)
w
Para a simulação de um reator rápido ã potência zero, desconecta-se
malha de realimentação (entrada do potenciômetro 33 e saída do 41).
a
47
TABELA III
TABELA DE AJUSTE DOS POTENCIÔMETROS
Pot. n9
valor
Pot. n?
valor
1
.1 Cj i
22
A2/a
2
.1 C.02
23
A3/a
3
-1 Co3
24
Xja
4
.1 Cgt,
25
A5/10a
5
.01 C 0 5
26
Ae/lOOa
6
.01 C 0 6
27
Ai/10a
7
Ai/a
28
A2/10a
8
A2/a
29
A3/10a
9
A3/a
30
A^/10a
10
Aja
31
As/100a
11
A5/10a
32
A6/100a
12
A6/100a
33
.l/a
13
3i/B
34
10(n/n0)/100wf
14
35
3P(n/n0)n0/100
15
B2/B
$3/B
36
wf/10a
16
e%/B
37
ws/a
17
65/6
38
3wfwsPn0/10a
18
B6/3
39
2Pn0wf/10
19
.1000
40
.5000
20
10 0
41
1/3 xlO 3
21
A,/a
42
função da reativ
48
APÊNDICE E
Condições a serem estabelecidas para que a função definida por (184)
possa ser considerada uma função de Lyapunov em R.
Mostrando-se que cada termo de (184) i uma função positiva-definida em
R, então a função definida pela soma destes termos serã também uma função de
finida-positiva em R.
~T ~ Portanto, o primeiro termo Y . D . Y sera escrito como:
Y . D .Y -
f
Pdi .dj/(n. •n.)"|Y.Y.
r
-
N
du I I
-(n. +n.)u
d.d.Y.Y.e
* Jx J
q.Y.e
J
x
J
_
>0
(1-E)
Se q. =0 para j -m, então (1-E) poderá se anular para Y. «0
e
Y #0.
Uma condição necessária para que Y DY seja positiva-definida é que q. ?*0 pa
ra todo j.
A expressão (1-E) só se anulará se o integrando é identicamente
JU rO.
isto é, E q.Y.e
j JJ
-n.u
-nju
-n 2 u
~ tl N U
J
Z q.^.e
= q , .Y.e
+q 2 *2e
+ ...+qu-YMe N =0
1=1 J J
N
N
Dividindo-se por e
M
nulo,
-(n.-n,)
? q.Y.e
j-i J J
J
(2-E)
, tem-se:
«
-qi.Yi*?
tf»
"(n. -ni)u
q. .Y.e
J J
3
=0
(3-E)
Se nj é o menor valor dos n. e considerando que os n, são todos
vos e distintos, fazendo-se o limite para u ••<», então
ã para (n.-n,)
( ) >0
plicará em Yj «0.
im-
49
Repetindo-se este procedimento» mostra-se que Y DY - 0 , o que inplica em
Yi » 0 para todo j se os n. positivos slo distintos. Se (n. -ni) - 0 para j=m,
então o integrando sera identicamente nulo também para Y», Y # 0 , desde que
m
pela expressão (3) fazendo-se o limite para u -»•«>, tem-se:
Resumindo-se, para que a função Y DY seja positiva-definida deve-se ter
q. ^ 0 para todo j e todo n. >0 são distintos.
I
Analisando-se os dois termos restantes de (184), -z
r
P
i
i _
_
Z -r— X. -£u(l +X.)
f(x) «x -lu(l + x )
__
, pode-se verificar que a função f(x) definida por:
x > -1
tem o seguinte comportamento em relação a x.
-i
f(x) > 0 para
f(x) « 0 para
xVO e x>-l
x* 0
Logo, a função f(x) é positiva-definida em seu domínio.
Consequentemente, os dois últimos termos de (184) são positivos defini
dos para X o >-l e X. >-l, respectivamente.
Portanto, a função definida por (184) e uma função positiva-definida em
K.
50
APÊNDICE F
Determinação da derivada de V(X., Y., t) e denonstraçao de que os seus
três primeiros define» una função negativa-definida em R
V(X0 , X.,
~T ~ ~
IT
t ) -Y
.D .Y + Xo
P L
Y.,
J
1
I
+ Z
-ln(
i-i
a.
-~
r
X. - £ n ( l
\ [ ^
+X.)
(1-F)
V ( X O f X . , Y . , t ) - Y T D Y + Y T . D . Y + | •— JX O -in(l
1
j
P dt l
I
a.
i«i \
Y-col k,,
D*
1
.
dt
Y2,
r~
-i
L *
u
...
+X0)
(2-F)
YN
D..
J
d £ d.
D
ij
'
n£
+n.
•T - - r . Y. ,
Y
. D . Y»
Y | , Y2
....
Y
1 r
DI2
D
íN
Y2
NN
Ni
N .
Z Y.D, ,
N .
E Y.D.
|
N
i-i
.
1
i iN I
51
N
Z
Y,
.
Y:D:
N
N .
" iE YD
E
1»!
N
(3-F)
E Y.Y.D.
j.i-x J * 1
~T
~
i
N
Y . D .Y -
j
E
Y.Y.D..
J 1 U
(4-F)
Com a equação (176) levada en ( 3 - F ) , tem-se:
T
Y .D.Y-
N
N
E
Y.Y.D..»
E
J l XJ
j i
j
N
>:
N
Y.n.X0D.. -
N
E
Y.n.D.
i-i
Y.n.(X0-Y.)D.
x
J x
*
J i
E
Y.n.Y.D.. =
N
E
i
Y.n.Y.D.
J x x X
(5-F)
Com (176) em (4-F), tem-se:
~T ~ i
Y .D.Y=
•Xo
N
E
N
E
Y.Y.D..=
N
Z
j.i-i
n . Yx. . DX. . -
J
J
n . (Xo - Y . ) Y . D .
N
E
n.Y.Y.D.
(6-F)
Somando-se as equações (5-F) e ( 6 - F ) , tem-se:
(
N
E
j,i-i
Y.n.Y.D.. •
J
N
E
i
1
x
1J
N
Z
N
Y.n.Y.D..)
J.i-i
J
J
x
Z
Y.Y.D..(n. + n . ) -
1J
á à
:i
Y. . Y . — i - J - ( n . + n . )
l n 4 n
x
J
J
N
E
Y.Y.d.d.
J * ! J
(7-F)
52
Xü
£
2X0
Y.n.D..*X0
N
E
i.i-i
E
Y.n.D..-X0
N
D.-Y.n. -2X0 l
X
J J x
i-i
N
d.Y. E
J J i-i
E
D. . ( Y . n . * Y . n . )
d.n.
x
n
;
x
+ n
(8-F)
O termo abaixo
f
IA
S dt
Xo
Xo
o ^0
+x0
(9-F)
1 +X 0
mais a equação (177), levados na equação (9-F), obtem-se:
x
is
h-
-_
o
JKjXo ++Ã
Y | (1 + X o )
AY
0
(K1X0 +AY)X0 + 7—=-
I
E a.(X. - X o )
X • AO
\m\
!
(10-F)
1
O termo:
t
a.
I
1
1 +X.
i-i
a. .
1-
1 +X.
1
(U-F)
mais a equação (175), levados na equação (11-F), obtem-se:
I
=1
a
*
A
F
\ dt L *
X.
"I
*J
i-i
1 +x.
(12-F)
53
Somando-se (10-F) e (12-F), tem-se:
V
V
"T
-O^Xo • ÃY) Xo • - ~ -
. Z a. (X - X o ) • J
1 +AQ
i«l
1
1
a. (Xo - X )
[z]
1
V
a.(X. - X u )
l
(K,X.
+ A Y ) X 0
+iíi
a .
(T—^+ X.
V
&o
- -(KiXo +AY)X0 + .1
1 1
A.
1_
1 +Xn " 1 +X
(X. -X 0 )(X 0 -X.)
\
y
(
1
i
X
o>
(13-F)
+ AY)X0-.E
a£ TfTJTTTTxl
l
*
Portanto
i
V(X0, X., Y., t) será n soma de ( 7 - F ) , (8-F) e (13-F)
V(X0, X., Y , t) -- mZ
1
J
iiil
a.
^y
n
onde
xy ^
1 \l • A O M I * A.}
N
+ 2X0
W l
-
N
E d.d.Y.Y. +
j,i-i i J i J
N d.n.
E d.Y. H — i r i - - A . Y . X o
j-i
J J i - i n. +n.
Í14-F)
A - a .U . E
i » diag (Q ,)N xN
oi
a - Hnha (a. )1 xN
r
"I
U • I U..
* matriz de transformação
O que se pretende mostrar é que uma função definida pelos três
primei-
ros termos da expressão (14-F) é uma função negativa-definida em R.
Analisando inicialmente os dois primeiros termos:
(X. - X o ) :
h(X.)
- -{ E
1
i
a.
+X 0 )
+ K,
(15-F)
54
h
onde
a . =—
>0 ;
Kj « Y P o > 0 e
X. > - l p a r a i = 0 , 1 , . . . . I
IP
l
Verifica-se que:
!
^
a
(X.-Xo)2
- /i +v M *v \
lT
A
•*" A . V
Ki.Xo>O
para
£«1
i
\
> 0
«o^
Para
todo
X.6R
i =0, 1, . . . , I
(16-F)
l
X o éR
(17-F)
A função h(X.) será nula somente quando (16-F) e (17-F) se anularem s i multaneamente, i s t o é:
(X. - X o ) :
I
a
i
de onde se obtém:
X. «0 para i = 0 , 1, ..., I.
De (15-F), (16-F) e (17-F), verifica-se que h(X.) será negativa
para
X. tO onde i » 0 , 1, . . . , I . Então, pode-se escrever:
h(X.) - 0
para X.
i - 0 , 1, . . . , I
(18-F)
h(X.) <0 para X,
Port into, a soma dos dois primeiros termos de (14-F) definem uma função
negatíva-definida em R, e se mostrarmos que o terceiro termo de (14-F) é uma
função negativa'-definida em R, mostra-se que uma função definida pelos
primeiros termos de (14-F) e negativa-definida em R.
Analisando-se agora o terceiro termo de (14-F), pode-se escrever:
N
N
N
L(Y.)«- Z d.Y. Z d. .Y. - - . Ç d.d.Y.Y.J
i-i 1 1 j,i j j
i,j«i 1 J l J
(diY) + d 2 Y 2 + . . . + d N . YN)
*â2Y2(di\l
três
55
+ d 2 Y 2 +... • d ^
+ d 2 Y 2 + ... +d Y ) (diYi + d 2 Y 2 • ...
( E d.Y.) 2 SO
isl
(19-F)
1 1
Como estabelecido no APÊNDICE E, d. 1*0 e portanto:
L(Y.) *0 para Y. - 0
j - 1 , 2, .... N
(20-F)
L(Y.) <0 para Y.
De (18-F) e (20-F) conclui-se que uma função definida pelos três primei
ros lermos «In expross.-n* (IA—!•') «• realmente ney.ativa-tlef inicia em R, rum
condições acima estabelecidas.
as
56
APÊNDICE G
A continuidade de V(x> num ponto x implica que, dado 6 >0, pode-se achar
um 6(6, x) tal que |V(x') -V(x')|<€ t o que ocorre quando |x' -x| <ô(€, x ) . A
continuidade e" uniforme para x >a se 6(6, x) é independente de x para
todo
x >a. Quando V(x) é" limitada para x >a, tem-se, pelo teoreraa do valor médio,
que:
-x| |V(x + 0)| <M|x* onde
O<0<jx-xf|
e M e* o limite de |V(x) | , i s t o é ,
|V(x) | <M para
x >a.
Assim, ô(fi, x) »rr , fornecendo continuidade uniforme.
M
Lema. Seja g(x) uma função real de uma variável real x a qual é definida
para x >a >0. Se (i) tivn g(x) « g ^ (g^ é finito) e (ii) g(x) é uni
X-H»
formemente contínua para x >a, então £im
X-K» g(x) « 0 .
r.
Prova; Parte-se com g(x) »g(a) + j g(x')dx. Desde que g(x) tem um
o
limite, tem-se:
g(x')dx'-A £im g(x+0(x)) - 0
onde A é um número arbitrário positivo, e 0 <A(x) <A (teorema do valor médio). Desde que g(x) e uniformemente continua para x >a, g(x) e g(x+0(x))
têm o mesmo limite. Realmente, para um dado 6 >0, tem-se um Ô(&) tal que
jg(x+0(x)) -g(x)| < € p a r a todo x se 0(x) <6(6). Desde que 6(x) <A, pode-sees
colher um A<6(6), Desde que a diferença entre g L X + & ( X ) J e g( x ) P°de ser
feita menor do que qualquer € > 0 desejado, para qualquer x > a , g(x) deve também aproximar de zero quando x-*».
(IE
7K=Kt«. sen(wr)
VK=V+Kt*.*en(wt)
7K
n(t)
n(t)
â A í,
13.b
I3.o
Figura 13-Fluxo incremental contando freqüências múltiplas- ( o ) crescimento
exponential <-(b)amplitude de oscilação constante.
-27<f
-9Cf
Figura 14 - Dtegromo fosoriol do component* fundamantol • do
resposta linear (normalixadas em Ke«) para um reator to potfncia tero.
V+K«* stn(wt)
fhfllO
-«00
Figuro 1 5 - FHffO Inwimntol d t urn r*o«or ro'pido o potlndo zoro poro
•mrtrflor dodo por 7 K « - 0 0 7 2
—
2fharm0rwco
—
rtspotta linoor
90
80
70
60
50
SO
0.1 S
40
20
K)
«
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
7
0
8
Figura 16- Resposta a umo entrado degrau da rtoiMdoda
4» um reator rápido \ i potência M T O .
0
9
0
100
tampo
(t)
LO
Ktx'031
0.73
•xoto
40
SO
Figura 17-Fluxo inertmcntol <fn/n 0 devido a umo
mudonco degrau no rcotividode.de OJ S e
0 3 S [Reator rdpido, 1*4x10*»]Dodos »obre neutrons atrasados fornecidos por
Hughes.
60
tempo(s)
ttmpofe)
O
204OfiO80O0l20M0ie0iaO2O0
(o)
tf
C 75600
V{0)= 6,06x10
75550
|
75500
0
20
40
60
80
100
CO
MO
160
ttmpo(t)
(b)
-10
2
-II
.> -'2
-13O
30
60
90
120
150
180
(O
-Rtotor optrondo no tstodo t»»ock)otír»o poro t<0,4
ptrturbodo tónwtft tm potlneio «n t»0,(o)-comportomtnto d* X j t )*(P(t)-Po)/Po poro
(b)-compor tomtnto dt V(t) poro X^O)*&P(c)-comportomento dê [-V(t)] poro X0(0)»
t«mpo(»)
Fiouro 19 - Curvo* poro
constontts do funçílo tft Lyapunov, V(Xo,Xi,Y,)=C,no plono Xo » Y.Oinho* pontilhodot).
para ao condicftt* iniciois Xo<O) »5jO • Y, (O)«O (Unho* chtio*). * «scalo dt X o ( t ) ,
porá a trojtttria dt tstado, dtvt »*r multiplicada ptlo fator IO5
4,0
Po=IMW
3.0
F>J=1,48 MW
IX
o
o
o.
2.0
0.0
20
40
6o
80
100
120
140
160
180
200 t«mpo(s)
140
160
180
200
(o)
reolimentodo [ « T t í P ]
reotividode
—
100
£
BO
l
60
j
T
o
<*
i
L
reotivídod* externo
40
20
0-0
20
40
60
80
100
120
(b)
Figuro 2 0 - Comportomento, em relação oo tempo ( o ) - p o t t n c i o P ( t ) e ! b ) -reotividode
externo Ko e reolimentodo[<T( t ) + t P ( t )],quondo t e insere um deqrou
de reotividode externamente de amplitude A = 3 0 C t m t < 0
tempo(s)
20
40
60
80
tOO
120
140
«0
180
200 timpois)
(o)
•2
120
190
180 tempo (•)
(b)
Figuro 21 - Comportamento t m rtloeòo oo tempo (o) • temperoturo T ( t ) • (p) -concentrocto
dos precursores normolizodo C ' i ( t ) i C i ( t ) - i / / } , q v o n d o se insere um degrou de
reotividode eiternomenfe de omplitude A * 3 0 1 em t < 0 .
100 Mx (t )>
Figura 2 2 - Oioarama de «imulação tf* um
reator rápido com reaNmentação
(DT)
-IOOV
Limitador da reofividode
retrootimentada devido ao
movimente radial do elemento combustível.