Raízes de equações polinomiais
INTRODUÇÃO
Astréa Barreto
Objetivo específico: Aprendermos a utilizar o Teorema Fundamental da Álgebra
Para isso, vários conceitos preliminares são fundamentais.
O conjunto dos números naturais é representado por N = {0,1,2,3,4,...).
Equações do tipo x +1 = 0 , não têm solução no conjunto dos números naturais e
portanto foi necessária a expansão para o conjunto dos números inteiros,
Z = {...,-2,-1,0,1,2,3,...}.
Equações do tipo 2x - 3 = 0 não têm solução no conjunto dos inteiros e foi necessária
a expansão para o conjunto dos racionais, que pode ser representado por :
Q = { (m / n), onde n ≠ 0, e m e n são números inteiros primos entre si}.
Observe que N ⊂ Z ⊂ Q
Mais uma vez deparou-se com o problema de falta de solução nos racionais para
equações do tipo x² - 2 = 0 e o conjunto foi ampliado para os números reais.
Representamos por I o conjunto dos números reais que não são racionais, e
chamamos esses números de irracionais.
Assim, o conjunto dos números reais R = (Q U I), é a união dos conjuntos dos
números racionais e irracionais.
Os irracionais que são raízes de alguma equação algébrica com coeficientes inteiros é
chamado irracional algébrico, como por exemplo
2 , que é raiz da equação x² -2 =0.
Entretanto existem números irracionais que não são raízes de equações algébricas com
coeficientes inteiros, esses números são chamados transcendentes, como por exemplo
os números e ≅ 2,723 e π ≅ 3,1416. Como N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, quando dizemos que uma
equação tem raízes reais, essas raízes podem ser inteiras ou racionais ou irracionais.
Sabemos que existem polinômios com coeficientes reais, que não possuem raízes
reais.
As equações do segundo grau x² + 1 = 0 e ax² + bx + c = 0 com b² - 4ac < 0, não
possuem raízes reais.
Os babilônios, por volta de 1700 AC, já conheciam regras para resolverem a equação
do segundo grau. Os gregos aperfeiçoaram esse conhecimento. Durante muitos
séculos acreditou-se não ser possível resolver equações do tipo x³ + px = q. Os
Matemáticos italianos no Sec. XVI, começaram a trabalhar com a unidade imaginária
− 1 na resolução de equações algébricas. A procura da solução para equações do
terceiro grau levou ao uso da raiz quadrada de números negativos e Cardan em 1545
efetuava operações com esses números. Entretanto Euler, em 1748 foi o primeiro a
usar a letra i, para designar o número cujo quadrado é (-1).
Foi Gauss, que em 1832 usou pela primeira vez o nome números complexos para
z = a + bi.
Um número complexo tem a forma (a + bi) com a e b números reais e i² = -1.
Chamamos de C = { a + bi / a , b reais } o conjunto dos números complexos.
Observe que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
A introdução da igualdade
− 1 = i, foi fundamental para tornar possível a raiz
quadrada de um número negativo. Consequentemente toda equação do segundo grau
passou a ter raízes em C. Ainda é mais notável que quando se acrescentou aos
números já conhecidos o número i, de modo a existir as raízes da equação x² + 1 = 0 ,
todas as equações algébricas de grau n, passaram a ter n raízes complexas (não
necessariamente distintas). Este fato foi demonstrado por Gauss e ficou conhecido
como Teorema Fundamental da Álgebra.
Assim, dividimos o nosso estudo em 3 partes:
1ª) Polinômios, divisibilidade e raízes. O dispositivo de Briot Ruffini.
2ª) O estudo dos Números Complexos,
3ª ) Fatoração no conjunto dos reais
1ª) Continuamos com alguns conceitos preliminares com o objetivo de sabermos usar
o Teorema Fundamental da Álgebra: Todo polinômio de grau n, com coeficientes
reais possui n raízes, não necessariamente distintas, no conjunto dos números
complexos. Particularmente, nos interessa mais os polinômios com coeficientes
inteiros e a procura de suas raízes reais ou complexas.
Portanto, precisamos saber o que é um polinômio, o que é grau de um polinômio, o
que é raiz de um polinômio. Você encontrará estas definições nesta primeira parte dos
estudos.