Relatividade especial – Capítulo 37
1º Postulado: As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais.
2º Postulado: A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor em todas as direções e
em todos os referenciais inerciais.
Transformações de Lorentz:
Dilatação temporal:
∆t=
∆ t0
1− β
x' = γ ( x − vt )
Contração espacial:
L = L0 1 − β
2
(
t ' = γ t − vx c 2
2
S’
S
v
β =
c
γ =
v
1
1− β
)
x
2
vt
x’
x
x’
y' = y
z' = z
Problema 12: O comprimento de uma espaçonave em um certo referencial é metade do
comprimento de repouso.
(a)Com três algarismos significativos, qual é parâmetro de velocidade β da espaçonave no
referencial do observador?
(b)Qual a relação entre a rapidez da passagem do tempo no referencial da nave e no
referencial do observador?
(a) Contração espacial:
2
L = L0 1 − β
2
(
L2 = L0 1 − β
L2
− 1= − β
2
L0
2
2
)
β =
1−
2
L
=
2
L0
1−
( L0 2)
L0
β =
2
=
2
1− 1 4 =
3 / 4 ≈ 0,866
S’
S
v
L
L0
x’
x
Problema 12: O comprimento de uma espaçonave em um certo referencial é metade do
comprimento de repouso.
(a)Com três algarismos significativos, qual é parâmetro de velocidade β da espaçonave no
referencial do observador?
(b)Qual a relação entre a rapidez da passagem do tempo no referencial da nave e no
referencial do observador?
(a) Contração espacial:
2
L = L0 1 − β
(
L2 = L0 1 − β
2
L2
− 1= − β
2
L0
2
)
2
β =
(b) Dilatação temporal:
∆t=
∆t=
∆ t0
1− β
2
∆ t0
1− 3/ 4
Fator de Lorentz:
1−
2
L
=
2
L0
1−
( L0 2)
L0
β =
2
=
2
v
3/ 4
x’
1
1− β
L
L0
∆ t = 2∆ t 0
γ =
3 / 4 ≈ 0,866
S’
S
β =
1− 1 4 =
2
= 2
x
Problema 13 - Um astronauta parte da Terra e viaja com uma velocidade de 0,99c em
direção à estrela Vega, que está a 26 anos-luz (a-l) de distância. Quanto tempo terá passado,
de acordo com os relógios da Terra,
(a)quando o astronauta chegar a Vega;
(b)quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a
Vega?
(c)Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo
de viagem de acordo com o relógio de bordo?
(a)
1 ano luz = c ⋅ 1 ano
∆ tTerra
(b)
∆t= d v
26 anoluz 26 c.ano
=
=
= 26,3 anos
0,99 c
0,99 c
∆ tTerra = 26,3 anos + 26 anos = 52,3 anos
Tempo de viagem da notícia!
(c)
∆ t = γ ∆ t0
∆ t0 = ∆ t γ
γ =
1
1 − 0,99
2
= 7,09
∆ t0 = ∆ t Nave = 26,3 anos / 7,09
∆ t Nave = 3,71 anos
Problema 23 - Na Fig. 37.9, o observador S detecta dois clarões. Um grande clarão acontece
em x1=1200 m; 5 µs depois um clarão acontece em x2=480 m. De acordo com o observador
S’, os dois clarões acontecem na mesma coordenada x’.
(a)Qual é o parâmetro de velocidade de S’?
(b)S’ está se movendo no sentido positivo ou negativo do eixo x?
(c)Qual dos dois clarões acontece primeiro de acordo com S’?
(d)Qual é o intervalo de tempo entre os dois clarões de acordo com S’?
∆ x' = γ ( ∆ x − v ∆ t )
(a) ∆ x = x2 − x1 = 480 − 1200 = − 720m
∆ x' = 0
0 = γ ( − 720 − v 5,00 × 10
−6
)
v
β =
c
1,44 × 108
β =
= 0,480
3,00 × 108
− 720 5,00 × 10 − 6 = v v = − 1,44 × 108 m / s
(b) v é negatigo
(c) ∆ t ' = γ  ∆ t − v∆ x 
c2 

(
S
x
v?
vt
)
−6

−
1
,
44
×
10
m s ( − 720m ) 
−
6

∆ t ' = γ 5,00 × 10 −
2
8


3
,
00
×
10
m
s


(
Fig. 37.9
S’
(
)
Evento 2
)
∆ t ' = γ 5,00 × 10 − 6 − 1,15 × 10 − 6 = 3,85 × 10 − 6 γ
x2
∆ t '≥ 0
x’
Evento 1
x1
x’
x
Como no caso do observador S,
em S’, o evento 2 ocorre depois.
Problema 23 - Na Fig. 37.9, o observador S detecta dois clarões. Um grande clarão acontece
em x1=1200 m; 5 µs depois um clarão acontece em x2=480 m. De acordo com o observador
S’, os dois clarões acontecem na mesma coordenada x’.
(a)Qual é o parâmetro de velocidade de S’?
(b)S’ está se movendo no sentido positivo ou negativo do eixo x?
(c)Qual dos dois clarões acontece primeiro de acordo com S’?
(d)Qual é o intervalo de tempo entre os dois clarões de acordo com S’?
−6
(d) ∆ t ' = 3,85 × 10 γ

∆ t ' = 3,85 × 10 


−6

1
= 3,85 × 10 
 1− β


1

1 − 0,480 2 
−6
2
v∆ x 

∆ t' = γ  ∆ t − 2 
c 





x
vt
−6
∆ t ' = 4,39 × 10 s = 4,39 µ s
v
S
Fig. 37.9
S’
Evento 2
x2
x’
Evento 1
x1
x’
Problema 25 - Inversão relativística da ordem de dois eventos. As Figs. 37.26a e 37.26b
mostram a situação (usual) em que um referencial S’ passa por um referencial inercial S, na
direção positiva comum dos eixos x e x’, movendo-se com velocidade constante v em
relação a S. O observador 1 está sentado no referencial S e o observador 2 está no
referencial S’. As figuras também mostram eventos A e B que ocorrem nas seguintes
coordenadas do espaço-tempo expressas nos dois referenciais:
Evento
Referencial S
Referencial S’
A
(xA, tA)
(x’A, t’A)
B
(xB, tB)
(x’B, t’B)
No referencial S, o evento A ocorre antes do evento B com uma distância temporal ∆t = tB – tA =
1,00 µs e uma distância espacial ∆x = xB – xA = 400 m. Seja ∆t’ a distância temporal dos eventos
de acordo com o observador 2. Seja ∆t’ a distância temporal dos eventos de acordo com o
observador 2. (a) Escreva uma expressão para ∆t’ em termos do parâmetro de velocidade β (=
v/c) e dos dados do problema.
Fig. 37.26a
S
∆ t = tB − t A
= 1,00 µ s
Fig. 37.26b
S’
S
v
xA’
xA
v
xA’
x’
A
x
S’
∆ x = xB − x A
xB’
B
xA
xB
x’
= 400m
x
Problema 25 - Inversão relativística da ordem de dois eventos
(a) Escreva uma expressão para ∆t’ em termos do parâmetro de velocidade β
(= v/c) e dos dados do problema.
v∆ x 

∆ t' = γ  ∆ t − 2 
c 

S
β 400m 

∆ t ' = γ  1,00 × 10 − 6 s −

8
3,00 × 10 m / s 

β ∆x

∆ t' = γ  ∆ t −

c 

S’
S’
S
v
γ =
v
1
1− β
β =
xA’
x’
A
xA
xA’
x
xB’
B
xA
xB
2
v
c
x’
x
Problema 25 – continuação
Faça um gráfico de ∆t’ em função de β para os seguintes intervalos:
(b) 0 < β < 0,01 e (c) 0,1 < β < 1
β 400m 

∆ t ' = γ  1,00 × 10 − 6 s −

8
3,00 × 10 m / s 

b)0 ≤ β ≤ 0,01
∆ t ' ≅ ∆ t = 1,00 µ s
∆ t' ( β ) =
v
β =
c
(1,00 − 1,333 β ) × 10− 6 s
1− β
2
c )0,1 ≤ β ≤ 1
∆t’ diminui a medida que β
aumenta até ficar negativo!!
Problema 25 - continuação
(d) Para que valor de β a distância temporal ∆t’ é zero?
∆ t' ( β ) =
(1,00 − 1,333 β ) × 10 − 6 s
1− β
2
(1,00 − 1,333 β ) =
= 0
0
β = 0,750
 Para que faixa de valores de β a seqüência dos eventos A e B para o observador 2
(e) é a mesma que para o espectador 1 e (f) não é a mesma que para o espectador 1?
∆ t = tB − t A
∆ t > 0 ⇒ B ocorre depois de A
∆ t < 0 ⇒ B ocorre antes de A
∆t’
Se ∆t e ∆t’ têm o mesmo sinal, então os eventos
ocorrem na mesma ordem. ∆t = 1,00 µs > 0 !
A e B têm a mesma sequência para
ambos observadores! β < 0,750
β
β = 0,750
B ocorre antes de A! A ordem dos
eventos percebida por 2 é o inverso da
ordem percebida por 1  β > 0,750
Problema 25 - continuação
(g) O evento A pode ser a causa do evento B ou vice-versa? Justifique sua resposta.
Algo em A (B) origina o evento B (A)
∆ x = xB − x A
∆ t = tB − t A
= 1,00 µ s
v=
= 400m
Informação foi de um evento ao outro!!
∆x
400m
8
=
=
4
,
00
×
10
m/ s > c
−
6
∆ t 1,00 × 10 s
!!!!!
Um evento não pode ser a causa do outro, pois nenhum
sinal viaja mais rápido que a velocidade da luz!
S
S’
S
v
v
xA’
xA’
x’
A
xA
S’
x
xB’
B
xA
xB
x’
x
Problema: Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 350 m está se movendo com uma
velocidade de 0,82c em um certo referencial. Um micrometeorito, também com velocidade
de 0,82c neste referencial, cruza com a espaçonave viajando na direção oposta. Quanto
tempo o micrometeorito leva para passar pela espaçonave, do ponto de vista de um
observador a bordo da espaçonave ?
y
L0 = 350 m v =
0,82 c
v
Velocidade do meteorito
em relação à nave:
ux − v
u′x =
v ux
1− 2
c
L0
S
v
x
− v− v
− 2v
1,64 c
v′ =
=
= −
≈ − 0,98 c
2
2
v ( − v)
v
1 + (0,82)
1−
1+ 2
c2
c
v′ ≈ − 2,94 × 108 m/s
L0
350 m
∆ t0 =
≈
≈ 1,19 µ s
8
v′ 2,94 × 10 m/s
Problema: Qual deve ser o momento linear de uma partícula, de massa m, para que a
energia total da partícula seja 3 vezes maior que a sua energia de repouso ?
E = mc 2 = 3 ( m0 c 2 )
mas:
Problema: Uma certa partícula de massa de repouso m0 tem um momento linear cujo
módulo vale m0c. Determine o valor:
(a)de β;
(b)de γ;
(c)da razão sua energia cinética e energia de repouso.
p = m( v ) v = m0 c
a)
v2
2 2 =1 →
c
m0 v
2  1/ 2

 1− v 
2

c


= m0 c
→
v
1
β = =
≈ 0,707
c
2
1
1
=
=
(1 − 1 / 2) 1 / 2
b)
γ =
c)
K (γ − 1) m0c 2
=
≈ 1,414 − 1 = 0,414
2
E0
m0c
2 ≈ 1,414
v 2 
v 2 
=  1− 2 
2
c
c 

Problema 76 – Um transmissor de radar T está em repouso em uma referencial S´ que se
move para a direita com velocidade v em relação ao referencial S (veja a figura). Um
contador mecânico (que pode ser considerado um relógio) do referencial S´, com um
período τo (no referencial S´), faz com que o transmissor T emita pulsos de radar, que se
propagam com a velocidade da luz e são recebidos por R, um receptor do referencial S.
(a)Qual é o período τ do contador do ponto de vista do observador A, que está em
repouso no referencial S?
(b)Mostre que no receptor R o intervalo de tempo entre os pulsos recebidos não é τ nem
c+ v
τo, mas
τ =τ
R
o
c− v
(a)Explique por que o receptor R e o observador A, que estão em repouso no mesmo
referencial, medem um período diferente para o transmissor T.
(a)
∆t=
∆ t0
1− β
(b) f ′ = f 1 − β
1+ β
f = 1/τ
2
∆ to = τ o
Efeito Doppler: Quando a
fonte está se afastando do
observador .
τR = τo
1+ β
c+ v
= τo
1− β
c− v
S’
S
v
R
T
A
τo
(c) O observador A mede o período de emissão do
transmissor (efeito de dilatação do tempo), e o receptor
R mede o período de deteção do sinal (efeito Doppler).