FLAVIA SILVIA DOS SANTOS
AS EQUAÇÕES DE WEYL E DIRAC COMO EQUAÇÕES
RELATIVÍSTICAS PARA O SPIN
Londrina
2013
FLAVIA SILVIA DOS SANTOS
AS EQUAÇÕES DE WEYL E DIRAC COMO EQUAÇÕES
RELATIVÍSTICAS PARA O SPIN
Trabalho
de
Conclusão
de
Curso
apresentado ao Departamento de Física da
Universidade Estadual de Londrina, como
requisito parcial à obtenção do título de
Bacharel em Física.
Orientador: Prof. Dr. José Abdalla HelayëlNeto
Londrina
2013
FLAVIA SILVIA DOS SANTOS
AS EQUAÇÕES DE WEYL E DIRAC COMO EQUAÇÕES
RELATIVÍSTICAS PARA O SPIN
Trabalho
de
Conclusão
de
Curso
apresentado ao Departamento de Física da
Universidade Estadual de Londrina, como
requisito parcial à obtenção do título de
Bacharel em Física.
BANCA EXAMINADORA
____________________________________
Orientador: Prof. Dr. José Abdalla HelayëlNeto
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas
____________________________________
Coorientador: Prof. Dr. Antônio Edson
Gonçalves
Universidade Estadual de Londrina
____________________________________
Prof. Dr. Verissimo Manoel de Aquino
Universidade Estadual de Londrina
Londrina, _____de ___________de _____.
Dedico este trabalho a Deus e à minha
família.
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, por tudo o que Ele tem feito na
minha vida, por ser o Criador, Salvador e Mantenedor de tudo. Por Jesus ser meu
melhor amigo e estar me guiando em cada passo da minha jornada nessa Terra. Por
estar me capacitado com inteligência e força a concluir mais uma etapa da minha
carreira profissional. Pelo privilégio de ter conhecido pessoas maravilhosas, com
quem estive em contato esses quatro anos de graduação. E por tudo o que Ele temme feito.
Sou grandemente agradecida ao meu orientador, o Prof. José
Abdalla Helayël-Neto, que,além de me ter orientado neste trabalho e me ensinado
conceitos físicos, mostrou-se um excelente profissional e físico, um exemplo de ser
humano, educado e um exemplo de humildade em pessoa. Obrigada pela paciência,
incentivo e pela enorme bagagem de conhecimento que me proporcionou através de
suas fascinantes vídeo-aulas, palestras e orientação.
Dedico esta conquista também aos meus amados pais (Cícero e
Vilma) e as minhas amadas irmãs (Marcela e Franciele), que sempre me
incentivaram a buscar a concretizar os meus sonhos. Agradeço pelo carinho, apoio,
amor e paciência que tiveram comigo.
A Universidade Estadual de Londrina (UEL) e ao CBPF, pela
oportunidade de participar das aulas de Eletromagnetismo e Iniciação Científica,
através das vídeo-aulas e pela oportunidade e privilégio de ser orientada pelo
Professor Helayël.
A todos os meus colegas de turma, perseverantes na jornada, em
especial, ao Renan, Mateus, Ana Carolina, Neusmar, Aline, Guilherme, Helder e
Demétrio.
Enfim, a todos os professores que me acompanharam durante a
graduação, em especial ao Prof. Pedro Henrique, a Profa. Hiromi Iwamoto, ao Prof.
Veríssimo Manoel de Aquino, ao Prof. Antônio Edson e ao Prof. Edson Laureto, por
todo apoio.
SANTOS, Flavia Silvia dos. Asequações de Weyl e Dirac como equações
relativísticas para o spin. 2013.67 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação
em Física) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2013.
RESUMO
O presente trabalho consiste no estudo e na descrição física de duas categorias de
férmions – Weyl e Dirac -através de equações de onda relativísticas extraídas a
partir do Grupo de Lorentz. Neste contexto, apresentaremos as representações
irredutíveis relevantes para as partículas do Modelo-Padrão das Interações
Fundamentais. Mostraremos como compor a equação de Dirac através do
acoplamento das equações de Weyl para férmions ditos left e right, através da
introdução de um parâmetro de mistura com dimensão de massa. A metodologia de
trabalho baseia-se, sobretudo nas aulas de cursos de Eletromagnetismo e Teoria
Clássica de CamposdoCBPF (Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas), registradas
no Projeto Vídeo-Aulas,e pesquisas bibliográficas sobre o assunto.
Palavras-chave:Equações relativísticas. Férmions. Espaço de Minkowski. Spin.
Representações irredutíveis do Grupo de Lorentz.
SANTOS, Flavia Silvia dos. The Weyl and Dirac equations as relativistic
equations for spin. 2013. 67 f. Final Course Paper (Physics Bachelor) –
Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2013.
ABSTRACT
The present essay sets out to study and discuss the physical description of two
categories of fermions – Weyl and Dirac – by analysing the corresponding relativistic
wave equations that stem from the Lorentz Group. In this framework, we shall focus
on the irreducible representions where the particles of the Standard Model for
Fundamental Interactions are placed. We shall work out Dirac’s Equation by coupling
the Weyl’s Equations for left- and right-handed fermions by means of a mixing mass
parameter. The methodology of our work mainly consists in following the courses on
Electromagnetic Theory and Classical Fields delivered at CBPF (Brazilian Centre for
Research in Physics), available in the Video-Class Project, and bibliographical
research on the topics of this essay.
Keywords: Relativistic equations. Fermions. Minkowski Space. Spin. Irreducible
representations of Lorentz Group.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Gráfico 1 – Gráfico das funções hiperbólicas ........................................................... 16
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO.................................................................................................. 10
2
GRUPO DE LORENTZ ..................................................................................... 13
2.1 GRUPO SO(1,1).................................................................................................. 14
2.2 GRUPO SO(1,3).................................................................................................. 17
2.3 TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ UTILIZANDO ANOTAÇÃO COVARIANTE NO ESPAÇO
DE MINKOWSKI .................................................................................................... 20
2.4 OPERADORES DE SPIN......................................................................................... 22
2.5 ÁLGEBRA DE LIE DO GRUPO DE LORENTZ .............................................................. 24
2.5.1 Representações do Grupo SO(1,3) .................................................................. 26
3
EQUAÇÕES DE MAXWELL EM NOTAÇÃO COVARIANTE ......................... 29
3.1 EQUAÇÕES DE MAXWELL NO VÁCUO EM NOTAÇÃO COVARIANTE ............................. 29
3.1.1 Equação de Continuidade ................................................................................ 32
3.2 SIMETRIA DE GAUGE
4
........................................................................................ 33
EQUAÇÕES RELATIVÍSTICAS PARA FÉRMIONS ........................................ 34
4.1 EQUAÇÃO DE W EYL ........................................................................................... 34
4.1.1 Equação de Weyl – Left ................................................................................... 34
4.1.2 Equação de Weyl – Right ................................................................................. 35
4.1.3 O D’Alembertiano Escrito no Espaço dos Espinores ........................................ 36
4.2 REPRESENTAÇÃO ESPINORIAL EM DIFERENTES BASES ......................................... 38
4.2.1 Construindo a Equação de Dirac ...................................................................... 38
4.2.2 Notação de Dirac .............................................................................................. 40
4.3 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC PARA ENERGIA POSITIVA .................................... 43
4.3.1 Solução da Equação de Dirac no Referencial de Repouso (E > 0) ................. 43
4.3.2 Solução da Equação de Dirac para Momento Não Nulo (E > 0) ....................... 44
4.4 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC PARA ENERGIA NEGATIVA .................................. 45
4.4.1 Solução da Equação de Dirac no Referencial de Repouso (E < 0) ................. 46
4.4.2 Solução da Equação de Dirac para Momento Não Nulo (E < 0) ....................... 47
4.5 INTRODUÇÃO DA INTERAÇÃO ELETROMAGNÉTICA ................................................... 48
4.6 SIMETRIA DE CONJUGAÇÃO DE CARGA DA EQUAÇÃO DE DIRAC ............................... 50
4.6.1 Conjugação de Carga e as Soluções de Antipartícula ..................................... 53
5
CONCLUSÃO ................................................................................................... 56
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 59
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA .............................................................................. 60
APÊNDICES ............................................................................................................. 61
APÊNDICE A – Vetores covariante e contravariante ................................................ 62
APÊNDICE B – Propriedades da conjugação de Dirac ............................................. 64
APÊNDICE C – Propriedades da conjugação de carga ............................................ 66
10
1 INTRODUÇÃO
A importância dos métodos algébricos intrínsecos à Teoria de Grupos
para a descoberta das leis gerais da teria quântica tem-se tornado cada vez mais
visível, desde seu advento em 1929, no clássico livro de Hermann Weyl, “Theory of
Groups and Quantum Mechanics”, inicialmente publicado em alemão.A Teoria de
Grupos mostra-se um campo da Matemática de fundamental relevância para a
implementação e aplicação do conceito de simetria em sistemas quânticos e na
elaboração de modelos e teorias para as interações fundamentais entre partículas
genuinamente elementares. A investigaçãodas características específicas de cada
grupo de Lie, clássico ou excepcional, tem a vantagem de oferecer uma visão
sistemática sobre o sistema em estudo, mas a verdadeira compreensão das relações
entre
grandezas físicas
deve
ser obtida
seguindo-se um desenvolvimento
fundamental explícito, que envolve a teoria de representações.1
A metodologia de trabalho desta Monografia baseia-se, sobretudoem
cursos registrados no Projeto Vídeo-Aulasmantido pelos Grupos de Pesquisa “Teoria
de Campos e Partículas Elementares” e “Física e Humanidades”do CBPF (Centro
Brasileiro de Pesquisas Físicas) e pesquisas bibliográficas sobre a descrição de
férmions através das equações de onda relativísticas fermiônicas.
Este trabalho tem como objetivo o estudo da descriçãofísica de duas
categorias específicas de férmions, os férmions de Weyl e Dirac,através de equações
relativísticas extraídas a partir da teoria de grupo aplicada à Teoria da Relatividade
Restrita, e assim, apresentar alguns tipos de representações, notação e formalismo
que são muito importantes na descrição das partículas fundamentais do ModeloPadrão das Interações Fundamentais: a matéria - representada pelosléptons
carregados (elétron, múon, tau e suas correspondentes antipartículas), seus
respectivos neutrinos e as 3 famílias de quarks, o setor de bósons de gauge (fóton, os
bósons vetoriais carregados, W, e neutro, Z, e os glúons) e o crucial dubleto de
escalares de Higgs, elemento-chave para a geração de massa das partículas do
Modelo-Padrão.
Nesta Monografia, vamos nos concentrar especialmente no setor
fermiônico – a matéria do Modelo-Padrão. O nosso objetivo principal é mostrar de
forma pedagógica, o que não se encontra nos livros-texto da área, como derivar a
11
equação de Dirac através do acoplamento das equações
equações de Weyl para férmions ditos
left e right,, mediante a introdução de um parâmetro de mistura com dimensão de
massa nas equações de Weyl para o neutrino (setor-left) e antineutrino
neutrino (setor-right).
Em geral, os livros-texto
livros
motivam e chegam à equação de Dirac
tentando trabalhar algo como a raiz quadrada da Equação de Klein-Gordon
Klein
para
escalares, o que parece, em um primeiro momento para os iniciantes, uma derivação
muito formal, sem deixar claro, o que há de mais importante para a Equação de Dirac:
o fato de ser uma equação relativística para o spin, fato que Pauli buscava
tenazmente, mas foi Dirac a primeiro chegar a um resultado bem-sucedido.
bem
Este será
nosso ponto de partida.
Utilizaremos o grupo de Lorentz para obter as equações procuradas.
Cuja motivação física de utilizá-lo é porque ele sistematiza a álgebradas
álgebrad rotações no
espaço-tempo de Minkowski, fornecendo-nos
nos a base algébrica para o que é o spin na
Mecânica Quântica. O fato de o spin ser quantizado, tendo valores apenas semisemi
inteiros, é um resultado da Teoria de Grupos. A Mecânica Quântica entra atribuindo
ao spin a sua unidade física:
ísica: o
.
Os formalismos
formalismo desenvolvidos para tratar dass equações relativísticas
fermiônicas, em especial o formalismo
formalismo de Dirac,são muito úteis, porque podem ser
utilizados como suporte à desenvolvimentos e descobertas futuras
futura na Física. Isto
justifica que estudemos em detalhes estas
esta equações e as suas soluções.
A estruturação do trabalho está distribuída da seguinte
seguin forma:
No Capítulo
Capítu 2, introduz-se o conceito de grupos
rupos através dos princípios
de simetria dos diferentes espaços, onde no espaço de Minkowski obtém-se
obtém
o grupo
de Lorentz, que será o grupo
grupo base para a obtenção das equações relativísticas
fermiônicas, que descrevem os férmions,
férmio
como o elétron.
No Capítulo 3, ao
ao descrever o fóton através do D’Alembertiano
D
da
componente transversal do campo
, no espaço livre, em notação covariante,
co
obtém-
se as equações de Maxwell.
No Capítulo 4,
4 são feitas descrições dos férmions através das
equações relativísticas fermiônicas: Equação de Weyl e a Equação de Dirac.
Construímos
mos a equação de Dirac. Verifica-se
Verifica
a inserção natural do spin na equação
de Dirac,
irac, o que se deve ao conteúdo da representação irredutível a ela associada.
Introduz-se a interação eletromagnética
eletromagnética pelo tradicional método que denominamos de
prescrição do acoplamento mínimo.Analisamos
mínimo.Analisamos as soluções da equação de Dirac e
12
introduz-se o conceito do conjugado de Dirac e do conjugado de carga.
Finalmente, No Capítulo 5, apresentamos as nossas Considerações
Finais, onde organizamos de forma mais objetiva os resultados principais trabalhados
nesta Monografia.
Seguem-se 3 Apêndices, A, B e C, com o propósito de expecificarmos
as notações e convenções utilizadas no trabalho e explicitar, devidamente, detalhes
mais técnicos referentes a operações especiais associadas à Equação de Dirac.
13
2 GRUPO DE LORENTZ
As
teorias físicas são associadas a princípios
de simetria,
invariâncias, que estão associadas a alguma classe de transformação, porque ao
mudar de referencial procuramos algo que deva permanecer invariante ao fazer a
transformação de um referencial para o outro. Esses princípios de simetria estarão
associados a alguma classe de transformação, e essas transformações se agrupam
em uma classe chamada de grupos. As leis físicas devem ser covariantes também,
com respeito ao seu grupo de transformação, ou seja, as leis da física independem do
observador, elas devem ser válidas em qualquer referencial, somente as grandezas
físicas medidas que mudarão.
Por exemplo, no espaço euclidiano bidimensional (E²) se impusermos
que o produto escalar é um invariante sob uma determinada transformação, então os
módulos dos vetores e os ângulos entre os vetores serão preservados, já que suas
definições envolvem o produto escalar:
| = · |
, â
· |
|
Utilizando notação matricial o produto escalar é definido como:
· ds
ds
Supondo transformação do tipo:
’ (1)
Impondo o princípio de simetria que preserva o produto escalar,
obtemos:
ds
· ds
ds · ds
ds’² = ds²
² ²
que nos conduz a condição de ortogonalidade
(2)
A matriz(matriz identidade) é a métrica do espaço euclidiano para
que o princípio de simetria que preserva o produto escalar seja satisfeito para a
transformação do tipo ’ . Portanto, esse princípio de simetria nos conduziu
ao conjunto de matrizes ortogonais, que gera o grupo O(2), pois esse conjunto
14
satisfaz as condições de um grupo (associatividade, matriz identidade, existência da
matriz inversa ).
Tirando o determinante da condição de ortogonalidade:
det
# 1
%1
Se 1(subgrupo especial), obtemos o grupo SO(2), que é o
grupo de todas as matrizes reais (2x2) que sejam ortogonais e com determinanteigual
a +1.
A matriz transformação pode ser interpretada como uma matriz
rotação, ao fazer a relação entre:
e a identidade trigonométrica:
1e que ²& '(²& 1
2.1 GRUPO SO(1,1)
O espaço de Minkowski bidimensional(M1,1) com uma coordenada
temporal (cdt) e uma espacial (dx) é definido pela métrica
=)
1 0
,,
0 +1
,
(3)
que define o produto escalar nesse espaço da seguinte maneira:
ds · ds cdt
Definindo
dx )
1 0
cdt
, ) , c²dt # + dx #
0 +1 dx
'
/ ) ,,
podemos reescrever o produto escalar, utilizando a notação matricial, como:
· ² / /
Supondo transformação do tipo:
(4)
Impondo o princípio de simetria que preserva o produto escalar,
obtemos:
# / / / / / / ²
15
que nos conduz a seguinte condição:
Multiplicando a relação (5), pela direita, por , obtemos:
ou
(5)
(6)
(7)
A condição (5) gera o grupo O(1,1), o grupo das matrizes ortogonais
para uma dimensão temporal e uma dimensão espacial.
Seja a matriz transformação , uma matriz qualquer dada por:
a b


c d 
Aplicando-a na condição (7), obtemos:
1  d − b   1 0  a c  1 0 

=



∆  − c a   0 − 1 b d  0 − 1
onde, ∆ 1 – 3'é o determinante da matriz .
1  d − b  a − c

=
 (8.1)
∆  − c a   − b d 
A expressão (8.1) conduz as seguintes relações:
a=
d
(8.2)
∆
b=
c
(8.3)
∆
c=
b
(8.4)
∆
d=
a
(8.5)
∆
Substituindo a relação (8.2) em (8.5) ou (8.3) em (8.4), obtém-se que:
∆² = 1 ∆ = ±1
Assim como nas matrizes ortogonais, ou seja, a matriz transformação
R Є O(1,1), são matrizes pseudo ortogonais.
Se ∆ = +1 (subgrupo especial), obtemos o grupo SO(1,1), que é o
grupo de todas as matrizes reais (2x2) que sejam pseudo ortogonais, satisfazendo a
condição (5) e com determinante igual a +1.
A condição ∆ = +1 nos conduz a matriz transformação , dada por:
a b


b a
cujo determinante é:
∆ 1² + 3² 1
que pode ser relacionada com a identidade hiperbólica:
com, 1 '(4& e 3 4&, ou seja,
fornece que:
16
'(4² & – 4² & 1
 coshθ

 senhθ
(9)
senhθ 
 (10)
cosh θ 
Então, a matriz transformação dada pela expressão (10), nos
/’ /
 cdt '   coshθ

 = 
 dx'   senhθ
senhθ  cdt 
 
cosh θ  dx 
que nos conduz às seguintes relações:
' ’ '(4&' 4& '(4& ' 4&
(11.1)
’ 4&' '(4& '(4& 4&' (11.2)
Sabendo que:
'(4& 5 6 75 86
#
9 1, (12.1)
e supondo que conheçamos quem é 4&, impondo que esta seja igual a um valor :,
que deve estar no intervalo +1 ; 4& ; 1, como pode-se verificar no Gráfico 1:
Gráfico 1 – Gráfico das funções hiperbólicas
Fonte: Wikipedia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Sinh_cosh_tanh.png>. Acesso em: 20 de
Out de 2013.
17
Assim, se conhecermos quem é 4&, conheceremos quem é '(4&
utilizando a definição da função 4& e a identidade (9), porque queremos saber a
interpretação física da transformação /’ /, ou seja, temos que:
4& B : ; 1,
<5=>?
@A<>?
4& :'(4&.
(12.2)
(12.3)
Substituindo a relação (12.3) na equação (9), obtém-se que:
'(4& D²
9 1.
(12.4)
Substituindo a expressão (12.4) na equação (9), obtém-se que:
4& %
:
1 + :²
.
De acordo com a relação (12.3) 4& ; '(4&, portanto:
4& +
D
D²
.
(12.5)
Portanto, substituindo as expressões (12.4) e (12.5) na matriz ,
expressão (10), obtemos a seguinte matriz de transformação:
)
'(4&
4&
1
4&
,
E
D²
+:
'(4&
+:
F Λ.
1
(12.6)
Interpretando β = V , onde H é a velocidade relativa entre o
c
referencial S’ e o referencial S, obtém-se a transformação de Lorentz.
'
DI
' + :,
D I
(13.1)
+ :' .(13.2)
Portanto, as transformações do grupo SO(1,1), das matrizes pseudo
ortogonais, no espaço de Minkowski, nos fornece a transformação de Lorentz. No
espaço de M1,1 a transformação que deveria aparecer como uma rotação assim como
no espaço E2, apareceu como uma translação, ou seja, a Relatividade Restrita está
na métrica
, que define um novo produto escalar, do positivo não definido.2
2.2 GRUPO SO(1,3)
O espaço de Minkowski 4-dimensional (M1,3), com uma coordenada
temporal e três espaciais, é definido pela métrica:
18
0
0
1 0


0 −1 0 0 
η =
0 0 −1 0 


0 0
0 − 1

que define o produto escalar da seguinte forma;
· # / / '#
onde, o vetor é definido por:
#
+ # + # + J²
'
L
/ B K
J
Impondo o princípio de simetria que preserva o produto escalar,
obtivemos a seguinte relação:
Λ 1
que gera o grupo SO(1,3).
temos que:
Λ MΛ M
(14.1)
(14.2)
Fazendo a expansão em primeira ordem da matriz transformação Λ,
Λ N O Σ O
Σ # (15)
Substituindo a expansão (15) na relação (14.1), obtemos que:
Σ M +MΣ
A matriz Σ é uma matriz (4x4):
a

e
Σ=
i

m

b
c
f
g
j
k
n
o
(16)
d

h
l

p 
(17)
Substituindo a matriz (17) na relação (16), obtemos:
 −1

0
0

0

onde,
1 +1 0
3
0 0 0  a
 
1 0 0  e
*
0 1 0  i
 
0 0 1   m
'R
S
Assim,
b
c
f
g
j
k
n
o
d  a
 
h b
=
l  c
 
p   d
T +T 0
+U
e
i
f
j
g
k
h
l
m 1 0 0 0 
 

n   0 −1 0 0 
*
o   0 0 −1 0 
 

p   0 0 0 − 1
4 +
V +V 0
W +(
X +X 0
19
0 b

b 0
Σ=
c −g

d − h

c
g
0
−l
d

h
l

0 
Definindo:3 Y , ' Y# , YZ , & , 4 &# ,W &Z
Logo, podemos reescrever a matriz Σ como:
0 1

1 0
Σ = α1 
0 0

0 0

0 0

0 0
+ θ1 
0 −1

0 0

0 0
0


0 0
0
+α2

0 0
1


0
0 0 

0 0
0


1 0
0
+
θ
2
0
0 0


0
0 0 

0 1 0
0


0 0 0
0
+ α3

0 0 0
0


1
0 0 0 

0 0 0
0


0 0 1
0
+
θ
3
0
0 0 0


0
− 1 0 0 

0 0 1

0 0 0
0 0 0

0 0 0 
0 0 0

0 0 0
0 0 1

0 − 1 0 
(18.1)
Obtendo, assim, seis geradores composto por:ρ\ , R 1,2,3, que são
os geradores que acoplam o tempo e o espaço, denominados de boostspois geram
as transformações de Lorentz e Ω\ , R 1,2,3, os geradores que caracterizam o
espaço e desacoplam o tempo, representam rotações no espaço e pertencem a
álgebra so(3).
geradores
Podemos reescrever a matriz Σ como:
Σ Y ` Y# `# YZ `Z & Ω &# Ω# &Z ΩZ
Os geradores `\ , R 1,2,3 correspondem aos chamados boosts e os
Ω\ , R 1,2,3
descrevem,
respectivamente,
rotações
no
trigonométrico realizadas nos planos coordenados x-y, y-z e z-x.
As matrizes de transformação Λ são:
Λ=e
(18.2)
α ρ
1 1
 cosh α 1

 senhα 1
=
 0

 0

senhα 1
cosh α 1
0
0
0 0  ct ' = (cosh α )ct + ( senhα ) x

1
1
0 0  x' = ( senhα )ct + (cosh α ) x
1
1
1 0  y' = y

0 1  z ' = z
sentido
20
Λ=e
Λ=e
α ρ
2 2
α ρ
3 3
θΩ
Λ=e
1 1
θ Ω
Λ=e
2 2
θ Ω
Λ=e
onde:
3 3
 cosh α 2

 0
=
senhα 2

 0

 cosh α 3

 0
=
0

 senhα
3

0 senhα 2
1
0
0 cosh α 2
0
0
1
0
0
0
0 senhα 3  ct ' = (cosh α )ct + ( senhα ) z
3
3

0
0  x' = x
1
0  y' = y

0 cosh α 3  z ' = ( senhα 3 )ct + (cosh α 3 ) z
0
0
1

 0 cos θ1 senθ1
=
0 − senθ1 cos θ1

0
0
0

0
1

 0 cos θ 2
=
0
0

 0 senθ
2

1

0
=
0

0

0
0
0  ct ' = ct

0  x' = x
senθ 3  y ' = (cos θ 3 ) y + ( senθ 3 ) z

cos θ 3  z ' = (− senθ 3 ) y + (cos θ 3 ) z
:\ b ec 1
@
0  ct ' = ct

0  x' = (cosθ ) x + ( senθ ) y
1
1
0  y ' = (−senθ1 ) x + (cosθ1 ) y

1  z ' = z
 ct ' = ct

0 − senθ 2  x' = (cosθ 2 ) x + (− senθ 2 ) z
1
0  y' = y

0 cosθ 2  z ' = ( senθ 2 ) x + (cosθ 2 ) z
0
0
1
0
0 cos θ 3
0 − senθ 3
a
0  ct ' = (cosh α )ct + ( senhα ) y

2
2
0  x' = x
0  y ' = ( senhα 2 )ct + (cosh α 2 ) y

1  z ' = z
ed
1 + :\ #
, R 1,2,3
Portanto, obtivemos novamente a transformação de Lorentz, agora
para o grupo SO(1,3). Assim, a métrica
do espaço de Minkowski gera a
transformação de Lorentz mais rotação, ou seja, nos conduz a Relatividade Restrita.
2.3 TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ UTILIZANDO A NOTAÇÃO COVARIANTE NO ESPAÇO DE
MINKOWSKI
Reescrevendo o grupo de Lorentz, utilizando a notação covariante
(veja o Apêndice A), o vetor / no espaço M1,3 será escrito como:
21
f B ct; x, y, z j ; , # , Z (19)
que obedece a transformação de Lorentz, da seguinte forma:
f Λ k k
f
(20.1)
onde, a transformação de Lorentz Λ k é dada pelas matrizes: Λ = e
f
Λ=e
α ρ
3 3
α ρ
ou Λ = e
1 1
α ρ
2 2
ou
.
A partir da transformação (20.1) obtivemos as relações (14.1) e
selecionamos a condição (14.2), que definem o grupo de Lorentz. Reescrevendo
essas expressões em notação covariante:
Λlf Mlf Λ k Mfk
f
(20.2)
Utilizando a expressão (18.2), fazendo a expansão em primeira
ordem da transformação de Lorentz, obtemos:
Λ k k ) In
f
m
f
onde,
op N
op
f
, k # q rl Σrl s k k t uk k # q rl Σrl v k
k
f
f
w
(21)
Λ N
1
Σ q rl Σrl
2
A expressão matricial geral que reproduz qualquer componente dos
geradores do grupo de Lorentz, no espaço M1,3, é dada por:
Σrl k +
ur Mlk + Mrk ul f
f
f
(22)
O elemento de linha, em notação covariante é dado por:
# f f Mfk k f Mfk k f f f
A partir da expressão (20.2), obtemos que:
(23)
Mlf Λ k Λ l Mfk (24.1)
f
f
Multiplicando a expressão (20.1) por Mlf , à esquerda, temos que:
Mlf f Mlf Λ k k
f
(24.2)
Substituindo a relação (24.1) em (24.2), obtemos que:
l Λ l Mfk k
(24.3)
diferentemente
objeto
f
Portanto, no espaço dual, a transformação do objeto covariante é
realizada
pela
matriz
transposta
inversa
Λ do
contravariante, que é realizado pela matriz própria Λ. Isso ocorre devido a métrica
não trivial ( ) do espaço de Minkowski.
22
O operador gradiente no espaço de Minkowski, em notação
covariante é dado por:
xf y
yz {
xf y
yz{
x , |
@
(25.1)
x , +|
@
O D’Alembertiano é dado por:
xf x f x²
@² (25.2)
+ |#
(25.3)
O D’Alembertiano é um invariante por transformação de Lorentz.
A transformação do operador gradiente, na notação covariante é
dada por:
y
yz{
onde,
y
yz }
yz }
yz{
Λ kf yz }
y
(25.4)
x
x
k
Λ
f
xf
x k
ou seja, a derivada de uma coordenada contravariante resulta em uma coordenada
covariante e vice-versa.
2.4 OPERADORES DE SPIN
O teorema de Helmholtz diz que todo campo vetorial pode ser
decompostoem uma parte longitudinal ou solenoidal mais uma parte transversal ou
irrotacional, demonstrando que a condição necessária para se conhecer esse campo
vetorial é ter o conhecimento de seu rotacional e de seu divergente. 3
Seja uma função auxiliar ~ , continua e definida em todo o espaço.
Aplicando a seguinte relação vetorial sobre esta função:
Definindo:
 |
 ~ |
€|
· ~  + |²~
|
‚ +|²~
(26.1)
(26.2)
|
 ~
ƒ
(26.3)
| · ~ ,
(26.4)
substituindo estas definições na relação (26.1), obtemos a seguinte expressão para
o campo vetorial ‚:
|  ƒ
‚ +|
(26.5)
23
ou seja,
‚ ‚„ ‚…
(26.6)
, tirando o seu
Assim, a partir da definição (26.3) do vetor ƒ
divergente, sabendo que o divergente do rotacional de um vetor é sempre nulo, logo,
obtemos que:
· ƒ
|
· €|
 ~  0
|
Portanto, para se conhecer bem certo campo ‚ precisa-se conhecer
seu divergente e seu rotacional. 4
Tirando o divergente da expressão (26.5), obtemos:
· ‚ +|# B `
, , J (26.7)
|
Tirando o rotacional da expressão (26.5), obtemos:
|  ‚ |
 |
 ƒ
|
€|
· ƒ
 + |# ƒ
+|# ƒ
B †
, , J(26.8)
A partir das equações (26.7) e (26.8), temos que:
· ‚
+ |I |
+ I |
 ‚
ƒ
|
(26.9)
(26.10)
As expressões (26.9) e (26.10) estão em notação simbólica, elas significam,
matematicamente, que:
+ ‡ Z + ‡ Z ƒ
| · ‚
· ‚
‡ Z Š
+ |
4‰| + |
|  ‚
 ‚
‡ Z Š
+ |
4‰| + |
onde, a função de Green do laplaciano é dada por:
|# Š
+ u Z + ou seja, dividir um função pelo laplaciano significa calcular a sua função de Green.
Assim, podemos reescrever a expressão (26.5), substituindo pela
relação (26.9), como:
‹
‚ |
1
· ‚Œ |
 ƒ
|
|#
cuja i-ésima componente do vetor ‚ é dada por:
‚\ Definindo:
yb y
|²
 ƒ
\ q\Ž ‚Ž &\Ž ‚Ž
‚Ž |
(27.1)
, temos que:
ƒ
q\Ž B
24
x\ xŽ
|²
Substituindo a relação (26.10) na componente do rotacional do vetor
1
1
‘’ x‘ ‚’ Œ + # €u\‘ uŽ’ + u\’ uŽ‘ xŽ x‘ ‚’
#
|
|
xŽ x\
1
1
1
+ # €xŽ x\ ‚Ž + xŽ xŽ ‚\  + # xŽ x\ ‚Ž # |# ‚\ ‚\ + # ‚Ž
|
|
|
|
 ƒ
\ \Ž xŽ ƒ \Ž xŽ ‹+
|
 ƒ
\ u\Ž + q\Ž ‚Ž B &\Ž
“ |
Então, de acordo com a relação (26.6) podemos decompor a relação
(27.1) em uma parte longitudinal e uma transversal, dadas respectivamente por:
‚\ „ yb y
|²
‚Ž q\Ž ‚Ž
‚\ … u\Ž +
yb y
|I
No espaço M1,3, um quadrivetor é escrito como:
‚Ž &\Ž ‚Ž
(27.2)
(27.3)
‚f €‚j , ‚ (componente contravariante)
‚f ‚j , +‚ (componente covariante)
No Grupo SO(1,3), que gera o espaço M1,3, a componente ‚j é um
escalar com spin igual a zero 0, já as componentes espaciais que formam um
vetor tridimensional ‚ tem spin igual a um, 1. Portanto, no campo ‚, a parte
longitudinal guarda spin nulo 0 e a parte transversal guarda o spin inteiro igual
a unidade 1. 2
2.5 ÁLGEBRA DE LIE DO GRUPO DE LORENTZ
Álgebras de Lie surgem naturalmente como espaços vetoriais de
transformações lineares munidos com uma operação chamada de comutador.
O objetivo agora é identificar e caracterizar os espinores do grupo
SO(1,3), porque os espinores descrevem os férmions. E queremos encontrar uma
equação relativística que descreva o férmion fundamental do eletromagnetismo, o
elétron.
Obtivemos seis geradores a partir das transformações de Lorentz,
cuja representação matricial foi fornecida na equação (22), mas sabendo que M² ,
ou por componentes, Mfk Mk uf , podemos reescrever a equação (22) como:
€Σfk 
”•
25
+
Mf” Mk• + Mf• Mk” (28)
cujas componentes do tipo Σj\ B –\ , R 1,2,3 são chamados de boosts e geram as
transformações de Lorentz, e as componentes Σ\Ž B \Ž  , R — U — V ou \  Σ
# \Ž Ž
representam as rotações do espaço.
Buscamos a descrição dos férmions dentro da álgebra so(1,3), por
isso, calcularemos o comutador entre os geradores do grupo SO(1,3), utilizando as
expressões (22) e (28),
˜Σfk , Ӑl ™”• €Σfk ”š Ӑl š• + Ӑl ”š €Σfk •
š
€Mf” Mkš + Mfš Mk” 
urš Ml• + Mr• ulš + €M” Mlš + Mš Ml” €ufš Mk• + Mf• ukš 
Mf” Mk Ml• + Mf” Mkl Mr• + Mf Mk” Ml• Mfl Mk” Mr•
+M” Mlf Mk• M” Mlk Mf• Mf Ml” Mk• + Mk Ml” Mf•
Mk €+Σfl ”• Mfl +Σk ”• Mkl €Σf ”• Mf Σkl ”•
“ ˜Σfk , Ӑl ™”• +
Mk Σfl Mfl Σk + Mkl Σf + Mf Σkl (29.1)
ou seja, o comutador entre dois geradores quaisquer resulta em uma combinação
linear matricial, confirmando que os geradores formam uma álgebra de Lie.
Fazendo o comutador de dois boosts obtém-se:
˜B\ , BŽ ™ ˜Σj\ , ΣjŽ ™ +M\j ΣjŽ + MjŽ Σ\j M\Ž Σjj Mjj Σ\Ž Σ\Ž
(29.2)
já que pela definição da métrica M, os elementos fora da diagonal são nulos, ou seja,
M\j 0 e não existe rotação em um plano Σ\Ž , ( R U, ou seja, o comutador entre
dois boostsgera uma rotação.
Fazendo o comutador entre duas rotações obtém-se,
1
˜R \ , RŽ ™ \’= Žž ˜Σ’= , ӝž ™
4
Utilizando a relação (29.1):
1
˜R \ , RŽ ™ \’= Žž u= Σ’ž u’ž Σ= + u=ž Σ’ + u’ Σ=ž 4
1
1
1
1
\’ Žž Σ’ž \ž= Žž Σ= + \’ž Žž Σ’ + \= Žž Σ=ž
4
4
4
4
1
1
+ €u\Ž u’ž + u\ž u’Ž Σ’ž + €u\Ž u=ž + u\ u=Ž Σ=ž
4
4
1
1
+ u\Ž u’ + u\ u’Ž Σ’ + u\Ž u=ž + u\ž u=Ž Σ=ž
4
4
“ ˜R \ , RŽ ™ +Σ\Ž
(29.3)
26
ou seja, o comutador entre duas rotações gera outra rotação.
Fazendo o comutador entre um boost e uma rotação, obtém-se que:
˜B\ , RŽ ™ 1
1
Ž’= ŸΣj\ , Σ’= Ž’= u\’ Σj= uj= Σ\’ + u\= Σj’ + uj’ Σ\= 2
2
“ ˜B\ , RŽ ™ +\Ž’ –’
(29.4)
ou seja, o comutador entre um boost e uma rotação gera outro boost. Portanto,
existem termos fora da diagonal. Porém, se reescrevermos uma nova base de
geradores como uma combinação linear entre um booste uma rotação, dada por:
¡\ # –\ R\ \
(30.1)
¢\ + # –\ + R\ na qual,
\
(30.2)
˜J\ , JŽ ™ R\Ž ¡
˜K \ , ¢Ž ™ R\Ž ¢
˜J\ , ¢Ž ™ 0
Portanto, com essa nova base no espaço M1,3, definida pelas
expressões (30.1) e (30.2), o spin possui duas álgebras, devido à mistura do
boostcom a rotação.
so(1,3) ~ so(3) ¦ so(3) su(2) ¦ su(2)
Como o spin não relativístico é definido pela álgebra su(2), então o
spin relativístico é definido pela composição de dois spins não relativísticos su(2) ¦
su(2), caracterizando assim o fóton, cuja representação é )# , #,.2
2.5.1 Representações do Grupo SO(1,3)
A partir dos seis geradores do grupo de Lorentz (Σfk definiram-se
duas classes de geradores,os boosts
Σj\ e as rotações Σ’= , dos quais através da
combinação linear desses dois tipos de geradores definiram-se dois novos tipos de
geradores ¡\ , ¢\ , que comutam entre si, Ÿ¡\ , ¢\ 0, ou seja, são ortogonais, criando
assim uma nova base.
Assim, a álgebra de Lie do grupo de Lorentz pode ser escrita como a
composição de duas álgebras su(2), já que ¡\ e ¢\ são uma combinação linear
27
complexa de boosts com rotações e por isso ¡\ e ¢\ são descritos pela álgebrasu(2)
individualmente.
(
1,3 §¨ 2 ¦ §© 2
O grupo SU¬ 2pode ser caracterizado por um número j, que pode
tomar valores inteiros e semi-inteiros, cujo vetor é representado por ؎,’ com (2j+1)
componentes. E similarmente, SU® 2 é caracterizado por k, cujo vetor é
representado por ؐ,’¯ .
O grupo SO(1,3) é caracterizado por dois números U, V porque
somente esses dois geradores comutam entre si. Portanto, para caracterizar uma
partícula relativística é necessário especificar quem são esses dois números U, V.
A representação 0,0, onde U 0 e V 0, caracteriza um escalar,
um campo de Higgs.
A representação , 0, onde U e V 0, pode caracterizar: um
#
#
lépton (W„ , um quark °„ ou um neutrino ±„ no setor left. Associada a essa
representação o vetor é ²š , Y 1,2 (espinores de Weyl – left). Essa representação,
cuja dimensão é igual a dois, satisfaz a seguinte relação:
˜J\ , JŽ ™ R\Ž ¡
cuja relação é satisfeita pelas matrizes de Pauli divididas por dois:
³ #b , # ´ R\Ž
•
•
•¯
#
, com J\ µ\ /2 e K \ 0.
A representação 0, #, onde U 0 e V #, pode caracterizar: um
lépton (W· ou um quark °· no setor right, cujo vetor 鸚¹ , Y¹ 1,2. Da mesma forma
essa representação, com dimensão igual a dois, satisfaz a seguinte relação:
˜K \ , KŽ ™ R\Ž ¢
cuja relação é satisfeita pelas matrizes de Pauli divididas por dois:
³ #b , # ´ R\Ž
•
# , 0 e 0, #.
•
•¯
#
, com K \ •b
#
e J\ 0
Portanto conhecemos quem são os geradores das representações
Um objeto obtido a partir da soma espacial
# , 0 ¦ 0, #, representa
o elétron, que é descrito pela equação de Dirac, com dimensão igual a quatro, cujo
vetor é denotado por:
28
²
W
²
Ψ E „ F º¸#»
W·
¹
¸#¹
A representação com U #
e V , ) , , ¼ ‚f €‚j , ‚\ , onde
#
# #
‚\ ‚, onde R 1,2,3,caracteriza o fóton. Essa representação cuja dimensão é
2U 1
2V 1, que é igual a quatro tem como geradores:
µ\
J\ ½ #
2
µ\
K \ # ½
2
onde:
¡ 1 0
E
2 #
#
F
0
1 0 +R#
1 ¡# E
F ¡Z E #
R
0
2 #
2 0
µ\
0
¢\ K 2
µ\ L
0 +
2
0
F
+#
Por exemplo, uma rotação em torno do eixo x é dada por:
onde,
Σ#Z ¾
R
¡ ¿ R¾ 2
R
¢ + ¿ + R¾ 2
Somando ¡ com ¢ obtém-se que:
+¾ ¡ ¢ ,
0

¾  1
1

0

1
1
0
0
0
0
1
1
0

1
1

0 
Portanto, a representação )# , #,é bosônica, porque ao realizar uma
rotação completa de 2‰ em torno do próprio eixo sobre o objeto, o resultado é o
próprio objeto. Essa é a chamada representação quadrivetorial do grupo de Lorentz,
pois um vetor nessa representação é denotado por f j , . Do ponto de vista
do grupo SO(3) (espaço euclidiano), a representação )# , #, de SO(1,3), apresenta
0 e 1.
29
3 EQUAÇÕES DE MAXWELL EM NOTAÇÃO COVARIANTE
Com as definições anteriores dos operadores de spin a partir do
Teorema de Helmholtz, vamos, agora, passar à discussão de um interessante
aspecto que nos evidencia o importante papel das representações do grupo de
Lorentz no programa de encontrar as equações relativísticas adequadas para
descrever partículas com spin bem-definido.
O primeiro exemplo que trabalharemos envolve o caso do spin1.
Mostraremos como a propagação de uma partícula de spin1 e massa de repouso
nula automaticamente nos leva à descrição, baseada na simetria de calibre, das
equações de Maxwell em sua forma covariante. Portanto, ficará claro como uma
argumentação completamente baseada na representação ) , , do grupo SO(1,3)
# #
nos leva a redescobrir as equações de Maxwell em bases puramente algébricas.
Este exemplo do spin1 nos abrirá o caminho para uma derivação
bastante peculiar da equação de Dirac para férmions com spin massivos, mais
#
especificamente, os elétrons e pósitrons.
3.1 EQUAÇÕES DE MAXWELL NO VÁCUO EM NOTAÇÃO COVARIANTE
O D’Alembertiano da componente transversal do campo ‚ igual
azero descreve uma partícula com 1 e massa de repouso nula (fóton), no espaço
livre, ou seja, onde a densidade de carga e a corrente são nulas.
‚k… 0
(31)
Substituindo a relação (27.3), “covariantizada”, na equação (31),
obtemos:
‚k…
À‚ +
k
x k xf
‚f Á 0
‚k + x k xf ‚f 0
Usando a definição do D’Alembertiano, relação (25.3), obtemos:
x f xf ‚k + x k xf ‚f xf xf ‚k + x k ‚f 0
ou
xf ~fk 0
x f ~fk 0
(32)
30
Definindo o tensor de segunda ordem como:
~fk B x f ‚k + x k ‚f
~fk xf ‚k + xk ‚f
(33)
Portanto, a partir do espaço M1,3, descrevendo uma partícula com
1 e massa de repouso nula obtemos as equações de Maxwell no espaço livre.
Para  0 e ± R, R 1,2,3, a partir da expressão (33), obtemos
que,
\ ‚j B /\ /
~j\ xj ‚\ + x\ ‚j + x ‚ + |
@
na qual, sabendo que ‚\ +‚ e definindo ‚j ‚j B Ã/', temos que:
1
Ã
xj ‚\ + x\ ‚j + x ‚ + |
'
'
à Ä
“ +x ‚ + |
definindo/ B Ä /' (campo elétrico).
obtemos que,
ou seja,
(34.1)
(34.2)
Para  R, R 1,2,3 e ± U, U 1,2,3, a partir da expressão (33),
 ‚
~\Ž x\ ‚Ž + xŽ ‚\ +\Ž €|

 ‚ ,~#Z +€|
 ‚ ,
~# +€|
Z
Para  R, R 1,2,3
equação (32), obtemos:
 ‚
~Z +€|
#
e ± 0, substituindo a expressão (34.1) na
· / 0
x \ ~\j x \ /\ |
· / 0
“|
| · Ä 0
Para  0, R, R 1,2,3 e ± U, U 1,2,3, obtemos:
x f ~fŽ x j ~jŽ x \ ~\Ž Definindo,
e lembrando que:
(34.3)
(34.4)
1
1
 ‚ ´ x /Ž + Ž\ x\ – 0
x /Ž + x \ ³\Ž €|

'
'
|  ‚ B –
(34.5)
\Ž +Ž\
x \ +x\
 –
x Ä
“|
@²
(34.6)
31
Expandindo a equação (32) obtemos a identidade de Bianchi:
xf ~k xk ~f x ~fk 0
Para  0 e ± R, R 1,2,3, V U, U 1,2,3, obtemos:
xj ~\Ž x\ ~Žj xŽ ~j\ 0
onde,
 ‚ +\Ž –
~\Ž +\Ž €|

então, obtemos que:
~j\ +~\j Ä\
'
1
1
1
1
 Ä  0
+ \Ž x – + x\ Ď + xŽ Ä\ + \Ž x – + \Ž |
'
'
'
'
 Ä +x –
“|
Para  R, R 1,2,3, ± U, U 1,2,3 e V 1,2,3, obtemos:
(34.7)
x\ ~Ž xŽ ~\ x ~\Ž 0
Ž‘ x\ –‘ \‘ xŽ –‘ \Ž‘ x –‘ 0
Multiplicando a equação acima por \Ž , obtemos:
+\Ž Ž‘ x\ –‘ \Ž \‘ xŽ –‘ \Ž Ž\‘ x –‘ 0
+€u\Ž uŽ‘ + u\‘ uŽŽ x\ –‘ u\\ uŽ‘ + u\‘ uŽ\ xŽ –‘ u\\ u‘ + u\‘ u\ x –‘ 0
+xŽ –Ž 3x‘ –‘ 3x‘ –‘ + x\ –\ 3x‘ –‘ + x\ –\ 0
6xŽ –Ž 0 x Ž –Ž
· –
0
“|
(34.8)
Portanto, a equação (32) é equação de Maxwell no vácuo na
notação covariante.
Para descrever uma partícula com 1 e massa de repouso
diferente de zero, a equação (31) precisa ser diferente de zero. Acrescentandoum
termo ao lado direito da equação (32), descreveremos essa nova partícula da
seguinte forma:
ou
xf ~fk Âj U k
x f ~fk Âj Uk
Para  R, R 1,2,3 e ± 0, obtemos:
x\ ~ \j x \ ~j\ x \
Ä\
Âj U j
'
(35)
Sabendo que,
e definindo:
32
x \ Ä\ 'Âj U j
~j\ Ä\ /'e'² 1/Æj Âj
U j '`
obtemos que:
| · Ä ”
ÇÈ
(Lei de Gauss)
Para  0, R, R 1,2,3 e ± V, V 1,2,3, obtemos:
(36.1)
x j ~j x \ ~\ Âj U
1
1
x Đ \Ž x\ –Ž x Đ + \Ž x\ –Ž Âj U
'²
'²
onde, Uf Uj , +† e \Ž +\Ž , logo:
 –
x Ä Âj †
“|
@²
(Lei de Ampère com correção de Maxwell)
(36.2)
A partir da identidade de Bianchi, para  0 e ± R, R 1,2,3,
V U, U 1,2,3, da mesma forma que no espaço livre, obtemos a Lei de Faraday:
 Ä +x –
|
(36.3)
Da mesma forma que no espaço livre, para  0 e ± R, R 1,2,3,
V U, U 1,2,3, obtemos a lei de Gauss para o Magnetismo:
· –
0
|
(36.4)
3.1.1 Equação de Continuidade
Tirando o divergente da equação (35), e sabendo que os índices do
tensor ~fk são índices mudos, obtemos:
xk xf ~fk xf xk ~ kf +xf xk ~fk +xk xf ~fk Âj xk U k
onde, ~fk +~ kf
então, para o lado esquerdo da equação acima temos que:
xk xf ~fk +xk xf ~fk 0
Logo, o sinal de igualdade implica que o lado direito será dado por:
xk U k xj U j x\ U \ 0
· † 0
x ` |
esta equação é a chamada equação de continuidade.
(36.5)
33
3.2 SIMETRIA DE GAUGE
seguinte forma:
Fazendo uma transformação nas componentes do vetor ‚ da
‚k ‚k xk T
onde,T
seja uma função contínua, tal que:
xf xk T
xk xf T
Tirando o gradiente das componentes do vetor ‚, obtemos:
xf ‚k xf ‚k xf xk T
Logo, a transformação do tensor ~kf será dada por:
~fk
xf ‚k + xk ‚f xf ‚k xf xk T
+ xk ‚f + xk xf T
xf ‚k + xk ‚f ~fk
Portanto, se o campo ‚f apresentar uma transformação feita por uma
função contínua T
, o tensor ~fk será um invariante, apresentando uma simetria, a
chamada simetria de Gauge ou Calibre, ou seja, a descrição de uma partícula de
1 e massa de repouso nula no espaço M1,3 está vinculada com uma simetria de
Gauge.
34
4 EQUAÇÕES RELATIVÍSTICAS PARA FÉRMIONS
A cada partícula associa-se uma equação relativística que
caracterize e descreva essa partícula. Por isso, para cada representação U, V
obtida a partir dos geradores do grupo SO(1,3) procuraremos uma equação
relativística que a descreva, porque cada um desses objetos possue um espinor
associado que descreve a sua dinâmica.
As equações relativísticas fermiônicas descrevem os férmions, cuja
característica são spins semi-inteiros.
As
equações
especificadas
nos
itens
seguintes
descrevem
partículas elementares e subatômicas. A equação de Weyl descreve o neutrino e o
antineutrino, a equação de Dirac descreve o elétron.
4.1 EQUAÇÃO DE W EYL
4.1.1 Equação de Weyl - Left
No Capítulo 3 obtivemos as equações de Maxwell covariantes, onde
os campos de radiação descreviam partículas com massa nula S 0 e spin igual
a 1 ( 1) através da equação (31). Agora queremos descrever uma partícula com
massa nula e spin , que é a descrição do neutrino (de acordo com o Modelo
#
Padrão), um férmion - left. Impondo que o spin dessa partícula esteja projetado ao
longo da direção de movimento, que é dada pelo vetor momento linear, a equação
que pode descrever essa partícula é a seguinte:
· X̂ # Ê
(37.1)
onde o operador de spin na representação meio é dado por:
µ
Ê
2
Assim, atuando o operador dado pela equação (37.1) sobre um
espinorΨ, na qual Ψ é um autoestado do operador · X̂ com autovalor# Ê, obtém-se
que:
Ê # · || ψ # Êψ
•

(37.2)
35
Sabendo que o momento relativístico é definido como:
RÊxf Xf
na qual,
(38)
RÊxj Xj Xj , xj RÊx\ X\ +X
Ì
@
yÍ
@
E definindo o quadrivetorµ contravariante como,
µ f B µ j , µ
na qual:
µ j #
As matrizes de Pauli são:
µ µ \ µz , µÎ , µÏ então, a partir da relação (37.2), obtém-se que:
X · µψ Ä
ψ
'
Utilizando o Princípio da Correspondência com a mecânica quântica,
obtém-se que:
ψ RÊ
+Rʵ · |
x
ψ
'
xj ψ 0
Rʀµ · |
Rʀµ \ x\ xj # ψ 0
“ Rʵ f xf ψ 0
(Equação de Weyl - left)
(39)
ou, sabendo que RÊxf Xf , podemos reescrever essa equação da seguinte forma:
µ f Xf ψ 0
Portanto, a equação de Weyl - left descreve o movimento de um
férmion não massivo, com # e cuja projeção do spin está ao longo do
movimento, o neutrino, cuja representação é ) , 0,.
#
4.1.2 Equação de Weyl - Right
Para descrever uma partícula com massa nula e spin #, e cujo
spin dessa partícula esteja projetado no sentido contrário da direção de movimento,
36
ou seja, a descrição de um férmion - right, )0, ,. A equação que pode descrever
essa partícula é a seguinte:
#
· X̂ + Ê
#
(40.1)
Analogamente ao que foi feito para o férmion-left, tendo Ê,
definindo um espinor–right¸š¹ e definindo ŸµÐf B , +µ , obtém-se que:
Ê · || χ + Êχ
•
#

χ +RÊ
+Rʵ · |
#
x
χ
'
•
#
(40.2)
xj χ 0
Rʀµ · |
Rʀ+µ \ x\ xj # χ 0
“ RʵÐf xf ¸ 0
(Equação de Weyl - right)
(41)
ou, podemos reescrever essa equação da seguinte forma:
µÐf Xf χ 0
Portanto, a equação de Weyl - right descreve o movimento de um
férmion não massivo, com # e cuja projeção do spin está no sentido contrário à
direção do movimento, o antineutrino, cuja representação é )0, #,.
A representação )0, ,é equivalente ao complexo conjugado da
#
representação )# , 0,, indicando que o antineutrino é uma partícula diferente do
neutrino. 2
Ò
1
1
E0, F ~ E , 0F
2
2
4.1.3O D’Alembertiano Escrito no Espaço dos Espinores
Adotamos na notação covariante que :
µ f B , µ
Se definirmos um sigma barrado:
µÐf B , +µ
a partir da relação simétrica entre esses dois quadrivetores:
µ f µÐ k µ k µÐf
Para  ± 0, obtém-se que:
µ j µÐ j µ j µÐ j 2
37
Para  0 e ± R, obtém-se que:
µ j µÐ \ µ \ µÐ j +µ µ 0
Para  R e ± U, obtém-se que:
µ \ µÐ Ž µ Ž µÐ \ +µ · µ + µ · µ +2u\Ž Portanto, a expressão geral da relação simétrica entre os dois
quadrivetores sigma é dada por:
µ f µÐ k µ k µÐf 2Mfk #
(42)
Mas, a relação de anticomutação:
fornece:
Óµ f , µÐ k Ô µ f µÐ k µÐ k µ f
Para  ± 0:
Óµ j , µÐ j Ô µ j µÐ j µÐ j µ j 2
Para  0 e ± R:
Õµ j , µÐ \ Ö µ j µÐ \ µÐ \ µ j +µ + µ +2
Para  R e ± U:
Õµ \ , µÐ Ž Ö µ \ µÐ Ž µÐ Ž µ \ +µ · µ + µ · µ +2u\Ž Portanto, a relação de anticomutação geral entre os quadrivetores
sigma também fornece uma relação similar à (42).
Atuando µ f xf sobre µÐ k xk , sabendo essa relação é simétrica e
utilizando a relação (42), temos que:
€µ f xf 
µÐ k xk 1 f k k f
µ µÐ µ µÐ xf xk Mfk # xf xk 2
“ €µ f xf 
µÐ k xk (43)
Aplicando o operador D’Alembertiano€µ f xf 
µÐ k xk sobre espinor-
leftؚ , obtemos a equação de Weyl-left, dada por:
(44)
rightχš¹ , obtemos a equação de Weyl - right, dada por:
(45)
ؚ 0
Aplicando o operador D’Alembertiano€µ f xf 
µÐ k xk sobre espinorχš¹ 0
38
4.2 REPRESENTAÇÃO ESPINORIAL EM DIFERENTES BASES
Sabendo que:
1
1
1 1
, 0 ½ 0, × HšD¹ Ø , 2
2
2 2
1
1
1 1
0, ½ , 0 × Hš¹D Ø , 2
2
2 2
onde a representação
, é uma representação espinorial Y:¹ ou Y¹ :.
# #
Etendo que qualquer matriz 2x2 pode ser expandida na base Ó, µÔ
ou na base Ó, +µÔ, como no exemplo:
H Sf µ f Sj S\ µ \
H f µÐf j \ µÐ \
(46.1)
(46.2)
Multiplicando a equação (46.1) por µÐ k e a equação (46.2) por µ k ,
pela direita, e tirando o traço, obtém-se que:
Ù
HµÐ k Sf Ù
µ f µÐ k Ù
Hµ k Sf Ù
µÐf µ k onde: Ù
µ f µÐ k Ù
µÐf µ k 2Mfk , que conduzem a:
Sf # Ù
HµÐ k ef # Ù
Hµ k Assim, podemos reescrever as expressões (46.1) e (46.2) como:
Hš¹D # Ù
HµÐ k µš¹D
f
HšD¹ # Ù
Hµ k µÐšD¹
f
(46.3)
(46.4)
ou seja, pode-se expandir a matriz H em diferentes bases. Portanto, a atuação da
matriz µ leva a representação :¹ )0, , em Y , 0 e vice-versa e essa relação
conduz a equação de Dirac.
#
2
#
4.2.1 Construindo a Equação de Dirac
Descrevemos o neutrino e o antineutrino através da equação de
Weyl, que é um férmion # não massivo. Para descrever uma partícula
fermiônica massiva, deve-se acoplar um termo de massa à equação de Weyl.
Portanto, adicionando as equações de Weylright e left um termo massivo, com
unidade de momento, já que o termo µ f Xf da equação de Weyl tem unidade de
39
momento e concordando com o princípio de covariância, o qual diz que todos os
termos de uma equação tensorial têm que ter a mesma natureza, ou seja:
Xf µ f š¹D ψD ξcχš¹ 0
(47.1)
Xf µÐf šD¹ χD¹ Û'²š 0
(47.2)
onde, os termos Ü Û possuem dimensão de massa e como ' (velocidade da luz)
tem dimensão de velocidade, então ξc e Û' tem dimensão de momento. Pode-se
perceber também que o termo Xf µ f š¹D transforma o espinorleftψD cuja
representação é )# , 0, para a representação right)0, #, e igualmente, o termo
Xf µÐf šD¹ transforma o espinor rightχD¹ cuja representação é )0, #, para a
representação left)# , 0, .
As equações (47.1) e (47.2) são equações acopladas pela massa
fermiônica.
A partir da equação (47.2), obtém-se que:
²+
1
Xk µÐ k ¸
Û'
Substituindo essa expressão na equação (47.1), desacoplamos as
equações:
Xf Xk µ f µÐ k ¸ + ÜÛ' # ¸ 0
onde o termo µ f µÐ k é simétrico, logo ele pode ser reescrito como µ f µÐ k µ k µÐf e
utilizando a expressão (42), obtém-se que:
Xf Xk Mfk # ¸ + ÜÛ' # ¸ 0
#
X² + ÜÛ' # ¸ 0
Considerando que Ü, Û possuem unidades de massa, então a
equação a cima conduz a seguinte relação:
X² S²' #
(48)
Fazendo uma correspondência com a relação entre energia e
momento Ä 'X, a expressão (48) nos conduz a relação de energia relativística
IJ S²' Ý , onde o quadrivetor momento é igual a Xf Sc', X Sc', 0, com o
vetor momento nulo, ou seja, a partícula está em um estado estacionário.
Portanto, as equações acopladas (47.1) e (47.2) estão descrevendo
uma partícula fermiônica massiva em um estado estacionário.
40
Reescrevendo
as
equações
representação matricial e definindo Ü Û +S:
(47.1)
+S'
À
Xf µ f
Xf µÐf ²̧
ÁE F 0
+S'
0
µf
²̧
µÐf
, + S'´ E F 0
0
e
(47.2)
utilizando
a
Utilizando a representação de Weyl, reescrevemos a expressão
acima como:
³Xf )
Definindo:
cf B )
0
µf
µÐf
, (matrizes gama de Dirac na representação de Weyl)
0
1
1
²̧
Ψ E F Ø E , 0F ¦ E0, F
2
2
Obtemos a equação de Dirac:
€Xf c f + S'Ψ 0
Como Xf RÊxf , então:
€RÊc f xf + S'Ψ 0
(49)
Portanto, acoplando um termo de massa a Equação de Weyl nas
representações )0, #, e )# , 0, obteve-se a Equação de Dirac, que descreve uma
partícula fermiônica # com massa, ou seja, a descrição do elétron.
A Equação de Dirac é uma equação de primeira ordem tanto na
derivada temporal, quanto na espacial, por isso ela possui dois graus de liberdade
(carga e spin) com quatro coordenadas: elétron com energia positiva e spin up ou
spin down e elétron com energia negativa (anti-elétron) com spin up ou down.
4.2.2 Notação de Dirac
A partir de agora, será utilizado a notação de Dirac, para isso será
necessário redefinir a notação do espinor Ψ, para eliminar os índices com pontos
que foi adotado no espaço de Minkowski, ou seja:
Ψ
²
Ψ
²
Ψ º ¸ # » B º # » ؚ , Y 1,2,3,4
ΨZ
¹
¸#¹
ΨÝ
Essa redefinição será utilizada para distinguir o espaço dos
41
espinores, como os índices Y 1,2,3,4, do espaço de Minkowski, onde tínhamos os
índices com ponto do setor right e os índices sem ponto do setor left.
A partir da definição da matriz c f , feita na seção 4.2.1, obtém-se as
seguintes propriedades dessa matriz:
dado por:
O quadrado das componentes temporal e espacial da matriz c f , é
c j # €c \  +
#
(50)
A componente temporal da matriz c f é hermitiana e a componente
espacial é anti-hermitiana:
c j Þ c j €c \  +c \
Þ
onde
cj E #
0
(51)
0
F c\ ) 0
+#
+µ
µ, (52)
0
Essas matrizes são unitárias, pois multiplicando a matriz c j Þ por c j
e multiplicando€c \  por c \ , pela esquerda. Tendo que c j c j e c \ c \ , obtém-se
Þ
que:
c j c j Þ c \ €c \  Þ
As componentes da matriz gama espacial e temporal anti-comutam
entre si:
c j c \ +c \ c j
(53)
c \ c Ž +c Ž c \ , R — U
Nessa nova representação, a representação de Dirac, perde-se a
noção de espinor left e right, como havia-se definido no espaço de Minkowski.
O objetivo de se utilizar essa notação é o de diferenciar as
componentes que são relativísticas e as que não são. Já, na representação de Weyl
ficou claro a estrutura de spin da partícula. Os diferentes tipos de representações
são importantes para ajudar a resolver o problema abordado e
simplificar a
interpretação física do mesmo, porque independentemente da representação a física
do problema é a mesma.
Reescrevendo a equação de Dirac, dada pela equação (49), no
espaço dos momentos, tendo que RÊxf Xf , obtém-se que:
ß p 0
€c f Xf + S'Ψ
(54)
Utilizando a notação de Dirac, essa equação terá a seguinte forma:
42
Ä + S' # +
µ · X'
Ü
E
F) , 0
#
µ · X'
+
Ä S' á
onde:
Ψ
Ψ
Ü E F á E Z F
Ψ#
ΨÝ
na qual, Ü â )# , 0, á â 0, #, porque nessa nova representação há uma mistura de
componentes.
Assim, obtém-se as seguintes equações:
Ä + S' # Ü + '
µ · Xá 0
(55)
'
µ · XÜ + Ä S' # á 0
Da última equação se extrai que:
á
·
@
•
Ü
Ì7’@ I (56)
Portanto, no limite não relativístico ã ä ', as quatro componentes
do espaço espinorial tendem para a representação bidimensional, com um espinor
dominante, pois á depende de Ü, assim, Ü é o espinor fixo, trazendo consigo 4
parâmetros reais independentes e á é o espinor dependente. Isso ocorre porque foi
imposto que Ψ satisfaz a equação de Dirac. A quantidade de parâmetros obtida foi
devido o fato de a equação de Dirac ser uma equação de primeira ordem na
derivada temporal.
Substituindo a expressão (56) na equação (55), obtém-se a equação
de energia e momento para uma partícula relativística massiva.
Ÿ
Ä # + S# ' Ý + µ · X'# Ü 0
onde,
µ · X'# '²µ\ µŽ X\ XŽ '²X²
Assim, obtém-se que:
µ\ µŽ ŸÄ # + S# ' Ý + '²X² Ü 0
massiva:
Para Ü arbitrário, extraí-se a equação da energia relativística
Portanto,
a
Ä %S# ' Ý '²X² B %
X
relação
consequência da equação de Dirac.
energia-momento
(57)
relativístico
é
uma
43
4.3SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC PARA ENERGIA POSITIVA
Definindo §
; X, o espinor de Dirac, com quatro componentes,
como a solução da equação de Dirac com energia positiva (E > 0), a equação de
Dirac será dada por:
c j  + c · X' + S' # §
; X 0
(58)
Tirando o conjugado hermitiano da equação (58):
onde,
§Þ c j  c · X' + S' # 0
(59)
c j c j , c Þ +c, XÞ X
Þ
Multipicando a equação (58) por §Þ pela esquerda, multiplicando a
equação (59) por § pela direita e somando o resultado, obtém-se que:
§Þ § 
X Þ j
§ c §
S'²
Definindo um novo tipo de conjugado, denominado de conjugado de
Dirac(veja o Apêndice B), como:
onde,
§Ð §Ò
§Ð §Þ c j
§#Ò
diferenciando-se do conjugado hermitiano:
§Þ §Ò
§#Ò
+§ZÒ
§ZÒ
(60)
+§ÝÒ §ÝÒ 4.3.1 Solução da Equação de Dirac no Referencial de Repouso (E > 0)
Seja a energia dada por:
Ä 
X S' #
obtemos que a solução de um espinor com energia positiva e momento nulo, ou
seja, a solução no referencial de repouso, será dada por:
S'²
c j + §€ S' # ; 0 0
(61)
Na representação de Dirac, temos que:
0
c j + )0
,
0 +2
(62)
Portanto, substituindo a matriz (62) na equação (61), obtemos que:
0
S'² )
0
44
§
§#
0
,K L 0
+2 §Z
§Ý
implicando que: §Z §Ý 0. Então, a forma do espinor da solução com E>0 é dada
por:
§
1
0
§
#
0
§€S' # ; 0 K L § K L §# K1L
0
0
0
0
0
0
(63)
com duas soluções independentes no espaço bidimensional.
4.3.2 Solução da Equação de Dirac para Momento Não Nulo (E > 0)
Pode-se reescrever
a equação de Dirac para uma partícula
relativística com energia positiva e momento arbitrário (não nulo) como:
cf Xf + S'§
Xf 0
(64)
Multiplicando o operador de Dirac pelo seu conjugado, obtemos:
c f Xf + S'
c k Xk S' c f c k Xf Xk + S²'² X² + S²'²Ý
onde, o termo c f c k , que é simétrico, pode ser reescrito como:
1
c f c k c f c k c k c f Mfk Ý
2
Logo, a solução da equação (64) é dada por:
§
Xf c k Xk S'§€S' # ; 0
(65)
Portanto, conhecendo a solução para a partícula livre em energia
positiva, basta multiplicá-la pelo operador c k Xk S' que obtemos a solução em
qualquer instante, para um momento arbitrário.
Tendo que as duas soluções no referencial de repouso são:
1
0
0
K L , K1L
0
0
0
0
Aplicando o operador c k Xk S' nessas soluções, obtemos que:
onde,
@ S'
1
1
æ
S'
µ
·
X
0
ë
c k Xk S' K0L å @
ç K0L é
æ
0
0
+X
Ï
+µ · X
+ @ S'
0
0
è+Xz + RXÎ ê
æ
(66)
XÏ
1
+µ · X ) , + E
Xz RXÎ
0
+XÏ
Xz + RXÎ 1
F ) , )+X + RX ,
+XÏ
z
Î
0
45
S'
1
@
0
ë é o boostdo espinor livre, K0L, de
Portanto, o espinor é
0
+XÏ
0
è+Xz + RXÎ ê
æ
energia positiva, no referencial da partícula de movimento.
A outra solução é dada pela aplicação do operador c k Xk S'
sobre a segunda solução:
onde,
0
0
0
æ
æ
µ · X
S'
S'
ë
ç K1L é @
c k Xk S' K1L å @
æ
0
+Xz RXÎ
+µ · X
+ @ S' 0
0
0
XÏ
è
ê
XÏ
0
+µ · X ) , + E
Xz RXÎ
1
(67)
Xz + RXÎ 0
+X RXÎ
F) , E z
F
XÏ
+XÏ
1
0
0
@ S'
ë é o boost do espinor livre, K1L, de
Portanto, o espinor é
0
+Xz RXÎ
0
XÏ
è
ê
æ
energia positiva, no referencial da partícula de movimento.
Assim, a solução geral de um elétron com E > 0 e momento não nulo
é dada pela combinação linear desses dois boosts, (66) e (67). Portanto, dado um
elétron com E > 0 e momento definido sabemos qual é a sua função de onda.
4.4SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC PARA ENERGIA NEGATIVA
Definindo ã
+; X, o espinor de Dirac, com quatro componentes,
como a solução da equação de Dirac com energia negativa (E < 0), a equação de
Dirac será dada por:
Definindo:
temos:
c j  c · X' S' # ã
+; X 0
Xì f B /'; + X

c f Xf c j + c · X
'
(68)
46

c f Xì f c j c · X
'
Assim, podemos reescrever a equação (68) como:
cf Xì f S'ã
+X 0
(69)
Tirando o conjugado hermitiano da expressão (68), temos que:
ã Þ c j  + c · X' S' # 0
(70)
Multiplicando a equação (69) por ã Þ a esquerda e multiplicando a
equação (70) por ã a direita, e somando o resultado, obtemos que:
(/S'²ãì ã +ã Þ ã
onde,
(71)
ãì B ã Þ c j
Portanto, obtivemos o mesmo resultado que o anterior (para a
energia positiva), porém, agora, com sinal negativo.
Assim, temos:
c f Xf + S'§
X 0
c f Xìf S'ã
+Xì 0
4.4.1 Solução da Equação de Dirac no Referencial de Repouso (E< 0)
Analogamente ao processo seguido para encontrar a solução da
equação de Dirac com E > 0, seguiremos o mesmo procedimento para encontrar a
solução para a E < 0.
A solução de um espinor com energia negativa e momento nulo, ou
seja, a solução no referencial de repouso, será dada por:
c j ã€+/'; 0 0
(72)
Na representação de Dirac, temos que:
c j )2
0
0
,
0
Substituindo a matriz (73) na equação (72), obtemos que:
ã
ã
2 0
)
, K #L 0
0 0 ãZ
ãÝ
implicando que: ã ã# 0
(73)
47
então, a forma do espinor da solução com E < 0 é dada por:
0
0
0
ã€+/'; 0 Kã0 L ãZ K0L ãÝ K0L
Z
1
0
ãÝ
0
1
(74)
com duas soluções independentes no espaço bidimensional:
0
0
0
K L, K0L
1
0
0
1
4.4.2 Solução da Equação de Dirac para o Momento Não Nulo (E < 0)
Sendo a equação de Dirac para uma partícula relativística com
energia negativa e momento arbitrário (não nulo) dada por:
cf Xìf S'ã
+Xì 0
(75)
multiplicando o operador de Dirac pelo seu conjugado, obtemos:
c f Xìf S'
c k Xìk + S' c f c k Xìf Xìk + S²'² X² + S²'²Ý
onde, c f c k Mfk Ý e Xì f Xìf Xf Xf X²
Logo, a solução da equação (75) é dada por:
ã
+/'; X c k Xìk + S'ã€+S'; 0
(76)
Portanto, conhecendo a solução para a partícula livre com energia
negativa, basta multiplicá-la pelo operador c k Xìk + S' que obtemos a solução em
qualquer instante, para um momento arbitrário.
Aplicando o operador c k Xìk + S' nas soluções da equação de
XÏ
0
0
æ
X
RXÎ
@ + S'
µ · X
z
0
0
k
é
ë
c Xìk + S' K L å
çK L æ
æ
1
+
@ S'
+µ · X
+
@ S' 1
0
0
è
ê
0
Dirac para E < 0, no referencial de repouso, obtemos que:
XÏ
Xz RXÎ
(77)
0
ë é o boostdo espinor livre, K0L, de
Portanto, o espinor é æ
1
+
@ S'
0
è
ê
0
energia negativa, no referencial da partícula de movimento.
obtemos:
Aplicando o operador c k Xìk + S' sobre a segunda solução,
Xz + RXÎ
0
0
æ
+
S'
µ
·
X
+XÏ
ë
ç K0L é
c k Xìk + S' K0L å @
æ
0
0
+µ · X
+
@ S' 0
æ
1
1
è+
@ S'ê
48
(78)
Xz + RXÎ
0
+XÏ
ëé o boostdo espinor livre, K0L, de
Portanto, o espinor é
0
0
æ
+
S'
1
è @
ê
energia negativa, no referencial da partícula de movimento, onde,

c k Xìk + S' c j Xìj c \ Xì\ + S' c j Xìj + c \ Xì \ + S' c j c · X + S'
'
na qual, para E < 0, Xì \ +X.
Portanto, a solução geral de um elétron com E < 0 e momento não
nulo é dada pela combinação linear desses dois boosts, dados pelas equações (77)
e (78).
4.5INTRODUÇÃO DA INTERAÇÃO ELETROMAGNÉTICA
Tendo que a equação de Dirac livre foi obtida na seção 4.2.1:
€RÊc f xf + S'Ψ 0
introduzindo um termo de potencial eletromgnético nesta equação, dado por:
obtemos a seguinte equação:
xf í xf R
‚
Ê f
€RÊc f xf + S' + ‚f c f Ψ 0
(79)
Reescrevendo esta equação no espaço dos momentos, obtemos:
€c f Xf + S' + ‚f c f Ψ 0
(80)
Assim, acrescentamos o campo eletromagnético na equação de
Dirac, para descrever uma partícula carregada, um férmion, em acoplamento mínimo
com o campo elétrico.
Trabalharemos no limite baixamente relativístico, onde a energia
dominante é a energia de repouso mc².
Abrindo a equação (80), temos que:
onde, ‚j Ã/',
c j ÄΨ + c · X'Ψ + S' # Ψ + Ãc j Ψ ec‚ · cΨ 0
‚\ +‚
(81)
49
Utilizaremos a notação de Dirac, pois nesta notação fica claro que a
componente da representação de Dirac no campo dos espinores tem quatro
componentes, que são dois espinores com duas componentes cada um, onde a
parte inferior é fracamente relativística.
Reescrevendo a equação (81) utilizando as matrizes de Dirac,
obtemos:
Ü̧
onde, E F Ψ
Ä + S' # + Ã#
À
'µ · X + ‚
+'µ · X + ‚
+Ä + S' # Ã#
Ü̧
ÁE F 0
(82)
A partir da equação (82), obtemos as seguintes equações
acopladas:
Ä + S' # + ÃÜ 'µ · X + ‚¸
'µ · €X + ‚Ü (Ä S' # + ø
Da equação (84) extraímos que:
¸
·€5î
@•
Ì7’@ I 5Ã
Ü
(83)
(84)
(85)
Substituindo a relação (85) na equação (83), obtém-se que:
Ä + S' # + Ã
Ä S' # + ÃÜ Ÿ 'µ · €X + ‚ ²Ü
(86)
Para o lado esquerdo da equação (86), temos que:
Ä + S' # + Ã
Ä S' # + ÃÜ 2S'²
Ä=ï + ÃÜ
onde, Ä=ï Ä + S' # e
Ä S' # + Ã 2S'²
(87)
Para o lado direito da equação (86), temos que:
µ\ µŽ X\ + ‚\ €XŽ + ‚Ž ' # Ü '²µ\ µŽ €X\ XŽ + X\ ‚Ž + ‚\ XŽ ²‚\ ‚Ž Ü ' # €u\Ž R\Ž µ €X\ XŽ + X\ ‚Ž + ‚\ XŽ ²‚\ ‚Ž  Ü '²X²Ü '²²‚²Ü + R' # €X  ‚ · µÜ + 2' # ‚ · XÜ Ÿ'µ · €X + ‚ ² Ü (88)
Observação: µ\ µŽ tem uma parte simétrica e uma antissimétrica.
Portanto, substituindo as expressões (87) e (88) na equação (86),
obtemos:
2S' # Ä=ï + ÃÜ '²X²Ü '²²‚²Ü + R' # €X  ‚ · µÜ + 2' # ‚ · XÜ
Dividindo a equação acima por 2S' # e rearranjando os termos:
Ä=ï + ÃÜ X²
²
2
R
Ü
‚²Ü +
€X · ‚Ü +
€X  ‚ · µÜ 2S
2S
2S
2S
50
1
R
X + ‚²Ü +
€X  ‚ · µÜ
2S
2S
na qual, da mecânica quântica e do eletromagnetismo, pelo princípio de
correspondência, temos que:
Portanto,
 ‚ +Rʖ
€X  ‚ +RÊ|
Ä=ï + ÃÜ #’
X + ‚²Ü +
Ê5
#’
· µÜ
–
(89)
Obtemos, assim, uma interação eletromagnética. Aquilo que no
espaço de Minkowski, no limite não-relativístico, é um acomplamento mínimo, no
limite fracamente relativístico é a interação do spin elétrico com o campo magnético,
Ê
já que ð # µ.
de Schrödinger:
Rearranjando a equação (89), para Ä=ï Ü RÊx Ü,obtemos a equação
· µ Ã Ü
RÊx Ü Ÿ#’ X + ‚² + #’ –
Ê5
(90)
Reescrevendo o penúltimo termo do lado direito da equação (90):
Ê5
#’
· µ 2 ) Ê5 , –
· )•, Âñ „ ð · –
 · –
–
#’
#
(91)
esse termo é o acoplamento magnético, onde:
Ê5
#’
B Âñ
„ „5‘ 2
(magneton de Bohr)
ð µ
2
(razão giro eletromagnética do elétron)
(92)
O resultado prevendo que a razão giro eletromagnetica do elétron
fosse igual a 2 foi um grande triunfo da equação de Dirac, pois esse resultado foi
extraído naturalmente da equação de Dirac, já na equação de Pauli, o termo „5‘ 2
precisa ser “colocado a mão” forçadamente, ou seja, a interação eletromagnética
fracamente relativística é não-mínima. Pois ao introduzir o acoplamento mínimo na
equação de Dirac, a relatividade já introduz o acoplamento magnético.2
4.6SIMETRIA DE CONJUGAÇÃO DE CARGA DA EQUAÇÃO DE DIRAC
A equação de Dirac com um campo eletromganético dada pela
equação (79) é dada por:
€RÊc f xf + S' + ‚f c f Ψ 0
51
Tomando o conjugado de Dirac desta equação, obtemos:
ò c f + S'Ψ
ò + ‚f Ψ
ò cf 0
+RÊ
xf Ψ
(93)
Transpondo a equação (93), obtemos:
ò + S'Ψ
ò + ‚f c f Ψ
ò 0
+RÊc f xf Ψ
Existe uma matriz ó, unitária e antissimétrica, tal que:
óc f ó +c f
Óc f , c k Ô 2Mfk Óc f , c k Ô 2Mfk Ó
+c f , +c k Ô 2Mfk (94)
(95)
(96)
(97)
(98)
onde, os dois grupos de matrizes (97) e (98) satisfazem a álgebra das matrizes
gama. Asrelações de (96) a (98)são denominadas de automorfismo da álgebra,
porque os elementos mudam, mas as relações algébricas não mudam. A
transformação (95) independe da representação que for utilizada.
Então, aplicando a matriz ó na equação (94), pela esquerda, e tendo
que, ó ó , obtemos:
ò + S'óΨ
ò + ‚f óc f ó óΨ
ò 0
+RÊóc f ó óxf Ψ
(99)
Utilizando a propriedade (95) e definindo um novo tipo de
conjugação, denominado de Conjugação de Carga(veja Apêndice C), dado por:
ò
Ψ@ B óΨ
(100)
fazendo essas substituições na equação (99), obtemos:
RÊc f xf Ψ@ + S'Ψ@ ‚f c f Ψ@ 0
(101)
A equação (101) é a equação de Dirac com um campo
eletromagnético para o espinor Ψ@ . Portanto, a equação de Dirac oferece duas
soluções, na qual a solução Ψ@ tem a mesma massa e esta submetida ao mesmo
campo eletromagnético que a solução Ψ, mas com carga oposta +, ou seja, duas
soluções que se diferem somente pela natureza da carga, carga positiva para a
solução Ψ e carga negativa para a solução Ψ@ .
Indo para a representação de Dirac, onde a propriedade (95) é
satisfeita, multiplicando essa relação pela matrizó, pela direita, obtemos:
onde:
óc f +c f ó
óc j óc j +c j ó
í
(102)
Óó, c j Ô 0
óc óc c ó
í
óc # óc # +c # ó
óc Z óc Z c Z ó
í
então, pelas propriedades (103), se fizermos:
í
ó Vc j c #
Ÿó, c 0
Óó, c # Ô 0
52
(103)
Ÿó, c Z 0
Multiplicando a expressão (104) por c j , pela direita, temos que:
(104)
óc j Vc j c # c j +Vc # c j c j +Vc #
Multiplicando a expressão (104) por c j , pela esquerda, temos que:
c j ó Vc j c j c # Vc #
então, a expressão (104) é mesmo uma solução da equação (102).
qual:
Se a matriz ó for unitária
ó ó Þ , a partir da solução (104), na
ó 1
1
+c # c j c j c #
V
V
ó Þ V Ò +c # c j V Ò c j c #
temos que:
ó ó Þ
1 j #
c c VÒc jc #
V
|V # | 1
ou seja, a matriz ó tem que ser uma fase:
cuja transposta é dada por:
ó \š c j c #
(105)
ó \š c # c j + \š c j c # +ó
Portanto, se a matriz ó for unitária, ela também será antissimétrica e
satisfaz a propriedade (95) para qualquer c f .
Na notação de Dirac, a expressão (105) ficará como:
ó \š )
0
0
,E
0 + +µÎ
Se \š R, temos que:
0
ó RE
µÎ
0 0
µÎ
F R K0 0
0
0 +R
R 0
0
R
0
0
µÎ
0
F \š E
0
µÎ
0
+R
0 LK 0
0
0
0
+1
ó Rc j c #
µÎ
F
0
0 0 1
0 +1 0L
1 0 0
0 0 0
(106)
53
Utilizando as definições de conjugação de carga (100) e conjugação
de Dirac (60) e também a relação (106), temos que:
ò ó
ΨÞ c j óc j ΨÒ óc j ó CΨ Ò +c j CΨÒ +c j Rc j c # ΨÒ
Ψ@ B óΨ
+Rc # ΨÒ
“ Ψ@ +Rc # ΨÒ
Em notação das matrizes de Dirac:
0
@
Ψ +R K 0
0
+R
ΨÒ
0 0 +R
0
Ò
0 R 0 L ºΨ# » K 0
R 0 0
ΨZÒ
0
Ò
0 0 0
+1
ΨÝ
“ Ψ@ õ\ïö@
0 0
0 1
1 0
0 0
(107)
ΨÒ
+1
Ò
0 L ºΨ# »
0
ΨZÒ
0
ΨÝÒ
+ΨÝÒ
ΨÒ
º ZÒ »
Ψ#
+ΨÒ
(108)
Portanto, a conjugação de carga pega as soluções de energia
negativa e transforma em soluções de energia positiva, porém, como a conjugação
de carga tem o sinal da carga oposto, então, troca-se a carga e troca-se o sinal da
energia. 2
4.6.1 Conjugação de Carga e as Soluções de Antipartícula
Obtivemos na seção 4.4, as soluções para a equação de Dirac com
energia positiva e negativa:
c f Xf + S'§
Ä, X 0
c f Xìf S'ã
+Ä, +Xì 0
Para energia positiva Ä S' # e momento nulo X 0, obtivemos
que as soluções são:
soluções são:
1
§ K0L ,
0
0
0
§# K1L
0
0
0
ã K0L ,
1
0
0
ã# K0L
0
1
Para energia negativa Ä +S' # e momento nulo X 0, as
54
Tirando o conjugado de carga da solução ã , utilizando as definições
de conjugado de Dirac e de Carga, e a expressão (106), temos que:
ã @ óã
ÐÐÐ +c j óãÒ +Rc # ãÒ
“ ã @ +Rc # ãÒ
Em notação das matrizes de Dirac,
ã
@
0
K 0
0
+1
0
0
1
0
0
0
0 +1
1 0 L K0L K1L §
#
0
1
0 0
0
0
0 0
“ ã @ §#
Tirando o conjugado de carga novamente, na qual sabemos que
Ψ@ @ Ψ (veja o Apêndice C), temos que:
ã @ @ ã §# @
(109)
Tirando o conjugado de carga da solução ã# , utilizando as definições
de conjugado de Dirac e de Carga, e expressão (106), temos que:
ã# @ óã
ÐÐÐ# +c j óã#Ò +Rc # ã#Ò
“ ã# @ +Rc # ã#Ò
Em notação das matrizes de Dirac,
ã# @
0
K 0
0
+1
0 0 +1
1
0
0 1 0 L K0L + K0L +§
0
0
1 0 0
1
0
0 0 0
“ ã# @ +§
Tirando o conjugado de carga novamente, temos que:
ã# @ @ ã# +§ @
Portanto, a partir das relações (109) e
(110)
(110), observa-se que a
solução de energia negativa ã , ã# , nada mais é do que o conjugado de carga da
solução de energia positiva § , §# . Os lados direitos das relações (109) e (110)
possuem energia positiva e descrevem um objeto com carga positiva, os lados
esquerdos são soluções com energia negativa e descrevem um objeto com carga
negativa, porém as massas das partículas são as mesmas. Logo, as soluções de
energia negativa podem ser interpretadas como a conjugação de carga das soluções
de energia positiva. Essa foi a interpretação que Dirac deu para as soluções com
energia negativa, ou seja, aqui Dirac prevê a existência dos pósitrons (carga oposta,
, com E > 0).2
55
Assim, quando fazemos a conjugação de carga sobre um elétron com
energia negativa, obtemos um pósitron com energia positiva. Esse ponto foi o
“ponto-chave” na qual Dirac interpretou a antipartícula. Logo, não há mais solução
com energia negativa, mas sim uma solução com energia positiva e com carga
oposta , ou seja, um pósitron.2
56
5CONCLUSÃO
Introduziu-se o conceito de grupos através dos princípios de simetria
dos diferentes espaços, dando um exemplo com o espaço euclidiano bidimensional
(E²). Então, definiu-se uma nova métrica
que caracteriza o espaço de Minkowski,
impondo o princípio de simetria que preserva o produto escalar para uma
transformação do tipo ’ , que nos conduz a condição e selecionando
o subgrupo com 1, obtém-se o grupo SO(1,3), o grupo das matrizes
pseudo ortogonais (4x4), com uma dimensão temporal e três espaciais, denominado
de grupo de Lorentz, cujas transformações são as Transformações de Lorentz, da
Relatividade Restrita.
Através da álgebra de Lie caracterizou-se os espinores do grupo
SO(1,3), que descrevem os férmions, na qual, a partir desses procuramos as
equações relativísticas que descrevam as partículas.A partir dos geradores do grupo
de Lorentz definiu-se duas classes de geradores, os boosts e as rotações, na qual a
combinação linear destes dois tipos de geradores nos conduz a uma nova base,
composta por dois novos geradores ¡\ , ¢\ , cujos grupos são caracterizados por dois
números U, V. Onde para caracterizar uma partícula relativística é necessário
especificar quem são esses dois números U, V.
Os estudos sobre a luz conduziram o andamento da Física a
algumas representações: as equações de Maxwell, posteriormente a Relatividade e
ao grupo de Lorentz, que são descritas pelas equações relativísticas, na qual cada
uma está associada a um espinor. A partir do grupo de Lorentz ao atuar sobre um
espinor fermiônico, ou seja, um espinor cuja representação é uma partícula com spin
semi-inteiro, com as matrizes de Pauli, levando a representação (½, 0) para a
representação (0, ½) para descrever um férmion massivo é necessário acrescentar
um parâmetro de massa na representação fermiônica (½, 0) e (0, ½), que nos
conduz a Equação de Dirac.
Através da descrição do fóton na notação covariante obteve-se as
equações de Maxwell.
Obteve-se dois tipos de representações: a representação de Dirac e
a representação de Weyl, na qual, esses diferentes tipos de representações são
importantes para ajudar a resolver o problema abordado e simplificar a interpretação
física do mesmo, porque independentemente da representação a física do problema
57
é a mesma. Na representação de Weyl obtém-se claramente a estrutura de spin e na
representação de Dirac fica claro o quanto as partículas são relativísticas ou não.
Através da teoria degrupo obteve-se as equações de Maxwell do
eletromagnetismo e as relações da física quântica, onde o spin surge naturalmente
da equação de Dirac sem precisar ser “colocado a mão”, demonstrando a
importânicia do ponto de vista proporcionado pela teoria de grupos para a
descoberta das leis físicas.
Obtivemos que a massa do elétron surge do acoplamento dos
setores left e rightdo grupo de Lorentz. Mostramos, assim, como emergem as
matrizes de Dirac e a Álgebra de Clifford naturalmente a partir da introdução de
massa na equação de Weyl, obtendo-se finalmente a Equação de Dirac.
Introduzindo um termo de potencial eletromgnético na equação de
Dirac, para descrever um férmion carregado, em acoplamento mínimo com o campo
elétrico, no limite baixamente relativístico, obtivemos uma interação eletromagnética.
Aquilo que no espaço de Minkowski, no limite não-relativístico, é um acomplamento
mínimo, no limite fracamente relativístico é a interação do spin elétrico com o campo
Ê
magnético, já que ð # µ. Dessa análise obteve-se, também, que a razão giro
eletromagnetica do elétron é igual a 2, o que foi um grande triunfo da equação de
Dirac.
Verificou-se que a equação de Dirac oferece duas soluções, Ψ e Ψ@ ,
na qual a solução Ψ@ tem a mesma massa e esta submetida ao mesmo campo
eletromagnético que a solução Ψ, mas com carga oposta +, ou seja, duas
soluções que se diferem somente pelo natureza da carga, carga positiva para a
solução Ψ e carga negativa para a solução Ψ@ .
A partir das soluções para a equação de Dirac com momento nulo e
energia positiva (§ , §# , e com momento nulo e energia negativa ã , ã# , tirando o
conjugado de carga dessas soluções, obteve-se que, a solução de energia negativa
ã , ã# é o conjugado de carga da solução de energia positiva § , §# , ou seja,
ã §# @ e ã# +§ @ . Como os lados direitos dessas relações possuem energia
positiva e descrevem um objeto com carga positiva, os lados esquerdos são
soluções com energia negativa e descrevem um objeto com carga negativa, cujas
massas das partículas são as mesmas. Então, as soluções de energia negativa
podem ser interpretadas como a conjugação de carga das soluções de energia
58
positiva. Essa foi a interpretação que Dirac deu para as soluções com energia
negativa, prevendo, assim, a existência do pósitron.
Portanto, quando fazemos a conjugação de carga sobre um elétron com
energia negativa, obtemos um pósitron com energia positiva. Essa interpretação de
Dirac foi muito importante, porque dessa forma não há mais solução com energia
negativa, mas sim uma solução com energia positiva e com carga oposta, ou seja, o
pósitron.
59
REFERÊNCIAS
1 WEYL, Hermann; ROBERTSON, H. P.The theory of groups and quantum
mechanics.[s.n.]. DoverPublications, 1931.p.vii e viii.
2HELAYËL-NETO, José Abdalla. Notas do Curso: Eletromagnetismo Clássico, 1º
semestre e 2º semestre de 2013. Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas, Rio de
Janeiro, 2012.
3 HSU, Hwi P.Análise vetorial. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1972.
p. 122-125.
4 CANTARERO, Andrés. Terema de Helmholtz. 2004.
<http://www.uv.es/cantarer/em/>. Acessoem: 23 out. 2013.
Disponível
em:
60
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
1 DIRAC, Paul Adrien Maurice. The quantum theory of the electron.
Cambridge:JSTOR, 1928. (Communicated by R. H. Fowler, F.R.S. – Received
January 2, 1928).
2DIRAC, Paul Adrien Maurice. The quantum theory of the electron: Parte
IICambridge:JSTOR, 1928. (Communicated by R. H. Fowler, F.R.S. – Received
February 2, 1928).
3 OAKES, Thiago Luiz Antonacci.Estado fundamental do átomo de hidrogênio
via equação de Dirac em um cenário com comprimento mínimo. 2013. 72f. Tese
(Doutorado em Ciências Físicas) – Centro de Ciências Exatas, Universidade Federal
do Espírito Santo, Espírito Santo, 2013.
4 BROWN, Laurie M.Paul A.M.Dirac’s the principles of quantummechanics.
Physics in Perspective, BirkhäuserVerlag, Basel, 2006(This article is based upon a
talk I gave at the Baylor University Dirac Centennial Conference, September 30October 2, 2003, organized by Bruce Gordon).
5RIBAS, Rafael Marques. Equação de Dirac. 2001. 39f. Monografia (Bacharel em
Física) – Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2011.
61
APÊNDICES
62
APÊNDICE A
Vetores covariante e contravariante
Em um espaço qualquer, n-dimensional (SN) podemos definir o
produto escalar como:
u · v
§\ ù · ㎠ú §\ ㎠\Ž
onde, a métrica do espaço é definida como:
\Ž ù · ú
Utilizando a notação matricial, reescrevemos o produto escalar
como:
u · v
§ ã
Supondo uma transformação do tipo:
§’ §
ã’ ã
e impondo que o produto escalar seja um invariante, obtemos:
u · v
§ ã § ã § ã u · v
que nos conduz a seguinte condição:
(A-1)
Se a métrica for não singular, ou seja, se ela tiver um determinante
não nulo, ela será inversível.
vetor §:
Definindo um novo vetor (§û como o produto entre a métrica e o
§û §
Aplicando a transformação em§û, obtemos:
A partir da relação (A-1), temos que:
§û § § § (A-2)
(A-3)
Substituindo a relação (A-3) em (A-2), obtemos que:
§û § § §û
(A-4)
63
Portanto em um espaço cuja métrica é não trivial cria-se uma
nova categoria de vetores §û § (vetor dual) que se transforma por ,
diferentemente da primeira categoria de vetores § que se transforma por . Esses
dois tipos de vetores que têm origem na métrica não trivial são chamados de vetores
covariantes e contravariantes, que podem ser definidos colocando-se índices em
cima e embaixo. Definiremos como vetores contravariantes os vetores com índice
em cima, e vetores covariantes os vetores com índice embaixo:
§ §f
(vetor contravariante)
§û § §f (vetor covariante)
(A-5)
(A-6)
64
APÊNDICE B
Propriedades daconjugação de Dirac
Conhecendo as seguintes propriedades do conjugado hermitiano:
c \ +c \ ,
Þ
onde,
na qual, em notação de Dirac,
cj E #
0
0
F c\ ) 0
+#
+µ
µ,
0
c j c j ,
c j c j (B-1)
Þ
R 1,2,3 (B-2)
c \ c \ + (B-3)
Multiplicando a relação (B-1) por c j , a direita e a esquerda, e
utilizando a propriedade (B-3), obtém-se que:
c jc j c j c jc jc j c j
Þ
“ c jc j c j c j
Þ
(B-4)
Fazendo a mesma operação sobre a relação (B-2), obtém-se que:
c j c \ c j +c j c \ c j c \ c j c j c \
Þ
“ c j c \ c j c \ (B-5)
Þ
Comparando as expressões (B-4) e (B-5) verifica-se que tanto a
coordenada espacial quanto a coordenada temporal, ambas obedecem a mesma
relação. Portanto podemos agrupá-las em uma expressão única dada por:
c j c f c j c f , Â 0,1,2,3(B-6)
Þ
Reescrevendo essa relação para matrizes, temos que:
ò
c j ¿Þ c j ¿
De acordo com as propriedades (B-1) e (B-2), observa-se que na
conjugação hermitiana nem todas as matrizes gama são auto-conjugadas. Mas, na
conjugação de Dirac, todas as matrizes gama são auto-conjugadas:
cì f c f , Â 0,1,2,3(B-7)
Portanto, definimos o conjugado de Dirac como:
²Ð ² Þ c j
ò c j ¿Þ c j
¿
(para um espinor ²)
(para uma matriz M)
(B-8)
(B-9)
Analisaremos, a seguir, algumas proriedades do conjugado de Dirac:
1) Para duas matrizes, temos que:
ÐÐÐÐÐ
ò¿
ò
¿¾ c j ¿¾Þ c j c j ¾ Þ ¿Þ c j c j ¾ Þ c j c j ¿Þ c j ¾
ÐÐÐÐÐ ¾
ò¿
ò
“ ¿¾
65
(B-10)
Introduzimos o termo c j c j, pois ele é igual a matriz identidade.
2) Tirando o conjugado do conjugado de Dirac, temos que:
ò c j ¿Þ Þ c j ¿
¿
ò¿
“¿
(B-11)
ÐÐÐÐÐ ²Ð¿
ò
“ ¿²
(B-12)
3) Fazendo o produto de uma matriz com um espinor, obtemos:
ÐÐÐÐÐ
ò
¿² ¿²Þ c j ² Þ ¿Þ c j ² Þ c j c j ¿Þ c j ²Ð¿
4) Multiplicando um espinor por um escalar, obtemos:
ÐÐÐÐ '²Þ c j ' Ò ² Þ c j ' Ò ²Ð
'²
ÐÐÐÐ ' Ò ²Ð
“ '²
(B-13)
ÐÐÐÐ ' Ò ¿
ò
“ '¿
(B-14)
¿
ÐÐÐÐÐÐ
ò “¿
(B-15)
5) Multiplicando uma matriz por um escalar, obtemos:
ÐÐÐÐ c j '¿Þ c j ' Ò c j ¿Þ c j ' Ò ¿
ò
'¿
6) Tirando o conjugado de Dirac de uma mariz inversa:
ÐÐÐÐÐÐ
ò ¿ c j ¿ Þ c j c j ¿Þ c j c j ¿Þ c j c j ¿Þ c j ¿
na qual, utilizamos a seguinte propriedade:
¿ ¿ Tirando o conjugado hermitiano dessa propriedade, temos que:
¿ ¿Þ ¿Þ ¿ Þ ¿ Þ ¿Þ Portanto, a partirdessas propriedades, (B-10) a (B-15) observa-se
que a conjugação de Dirac apresenta propriedades similares às do conjugado
hermitiano. Exceto, que como já dissemos, as matrizes gama são auto-conjugadas
na conjugação de Dirac, o que não ocorre na conjugação hermitiana.
66
APÊNDICE C
Propriedades da conjugação de carga
Tendo que a definição do Conjugado de Carga é definido por:
ò
Ψ@ B óΨ
(C-1)
(i) Tirnado o transposto desta relação, obtemos:
ò +Ψ
òó
Ψ@ óΨ
Multiplicando essa última relação pela matriz ó , pela direita, e
sabendo a matriz ó é uma matriz unitária e antissimétrica, temos que:
ò óó Ψ@ ó +Ψ
ò +
Ψ@ ó “Ψ
(C-2)
ò Χ, que é um número,
(ii) Tirando o transposto da seguinte relação Ψ
ou seja a transposta de um número é o próprio número, temos que:
ò Χ Ψ
ò Χ Χ Ψ
ò Χ ó óΨ
ò +Χ
ÐÐÐ@ Ψ@
Ψ
ò Χ +Χ
ÐÐÐ@ Ψ@
Ψ
(C-3)
onde, a partir da definição (C-1) e utilizando a definição de conjugado de Dirac para
um espinor, dado pela expressão (B-8), temos que:
ò ó
ΨÞ c j óc j ΨÒ óc j ó óΨÒ +c j óΨÒ (C-4)
Ψ@ B óΨ
cujo conjugado de Dirac será dado por:
ÐÐÐÐ
Ψ@ B Ψ@ Þ c j
(C-5)
ÐÐÐÐ@ +Ψ ó “Ψ
(C-6)
Substituindo a relação (C-4) em (C-5):
ÐÐÐÐ
Ψ@ óc j ΨÒ Þ c j Ψ c j ó c j Ψ ó óc j ó c j +Ψ ó c j c j +Ψ ó onde, c j c j , óc f ó +c f
ò c f Χ, que também é
(iii) Tirando o transposto da seguinte relação Ψ
um número, temos que:
ò c f Χ Ψ
ò c f Χ Χ c f Ψ
ò Χ ó óc f ó óΨ
ò Χ
ÐÐÐ@ c f Χ @
Ψ
onde, utilizamos as relações (C-1), (C-6), óc f ó +c f e ó ó .
ò c f Χ Χ
ÐÐÐ@ c f Χ @
“ Ψ
(C-7)
(iv) Utilizando a definição de conjugado de carga (C-1),a relação (C4) e a definição de conjugado de Dirac para um espinor, dado pela expressão (B-8).
Então, tirando o cojugado de carga do conjugado de carga, temos que:
67
j óΨ Ò +ó
Ψ
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ
ÐÐÐÐ@ ó
+c
ÐÐÐÐÒ óì c j +ó€ΨÒ Þ c j c j ó Þ c j c j 
Ψ@ @ óΨ
onde,
ó Þ ó +ó
Ψ ó +ó
+ó Ψ Ψ
ÐÐÐÐ
ΨÒ ΨÒ Þc j
óì c j ó Þ c j
c jc j Ψ Ò Þ Ψ
Portanto,
Ψ@ @ Ψ
(C-8)