8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Equações de Estado
8.1 – Representação por Variáveis de Estado
Exemplos
3
4
Exemplo 8.1
4
Exemplo 8.2
6
Exemplo 8.3
6
Exemplo 8.4
8
Matriz na forma companheira
10
Exemplos
11
Exemplo 8.5
11
Exemplo 8.6
12
8.2 – A equação característica e os polos do sistema
Exemplos
14
14
Exemplo 8.7
14
Exemplo 8.8
15
Exemplo 8.9
15
Exemplo 8.10
15
8.3 – Representações Equivalentes
16
Exemplos
17
Exemplo 8.11
17
Exemplo 8.12
19
Exemplo 8.13
20
Exemplo 8.14
22
Exemplo 8.15
24
1
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
8.4 – Transformação Função de Transferência para Equações de Estado
Exemplos
26
26
Exemplo 8.16
26
Exemplo 8.17
27
Exemplo 8.18
28
8.5 – Simulação Analógica
29
Exemplos
30
Exemplo 8.19
30
Exemplo 8.20
30
Exemplo 8.21
30
Exemplo 8.22
31
Exemplo 8.23
32
Exemplo 8.24
33
8.6 – Conversão de Equação de Estado para Função de Transferência
Observação
34
35
Exemplos
36
Exemplo 8.25
36
Exemplo 8.26
37
Exemplo 8.27
38
Exemplo 8.28
39
Exemplo 8.29
40
Múltiplas entradas e múltiplas saídas
Exemplo 8.30
41
43
2
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Equações de Estado
8.1 – Representação por Variáveis de Estado
Já vimos no capítulo 3 (“Representação de Sistemas”) uma forma de representar
sistemas (lineares e invariantes no tempo) através de uma função de transferência
que relaciona diretamente a entrada (input) com a saída (output).
Aqui veremos uma outra forma de representar sistemas com o uso de variáveis internas ao sistema (variáveis de estado). Com as variáveis de estado se constrói um sistema de equações diferenciais de 1ª ordem que são chamadas de “equações de
estado”.
u
S
y
(entrada)
variáveis
de estado
(saída)
A representação de um sistema em equações de estado considera variáveis internas
=
o “estado”. Normalmente
terá
⋮
componentes,
sendo a ordem do sistema.
(A dimensão do vetor poderá eventualmente ser maior que ordem do sistema, mas
neste caso haverá equações redundantes).
3
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Para sistemas lineares e invariantes no tempo de ordem
a forma
=
=
+
,
+
as equações de estado têm
0 =
onde
eq. (7.1)
×
A é uma matriz
×
B é uma matriz
p = número de entradas
×
C é uma matriz
q = número de saídas
×
D é uma matriz
No caso de sistemas com apenas uma entrada u(t), i.e., p = 1 e uma saída y(t) i.e.,
q = 1, temos que
=
⋮
,
=
…
!
"
= # !
ou seja, neste caso B é um vetor coluna, C é um vetor linha e D é uma constante d1
(ou seja, D é uma matriz 1 x 1).
Exemplo 8.1:
Sistema carro-massa-mola
A equação diferencial ordinária (EDO) que descreve este sistema, conforme já visto
no capítulo 2 (“Modelização de Sistemas”) é dada por:
4
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
$
#
#
+&
+' % =
#%
#%
%
Neste exemplo, se definirmos a variável de estado
% =
% =
onde
então o par
=(
)
% = *+,çã* #* /00* * , +%/ %" %,
% = 1"2* ,#/#" #* /00* * , +%/ %" %.
%
5
%
% =4
representa o estado interno do sistema. Por exemplo, se
0 =
=(
0
),
−3
então isso significa que no instante t = 0 o “estado” do sistema é o carro passando
pela origem ( 0 = 0) com velocidade – 3m/s, ou seja 3m/s para trás ( 0 = −3).
Com a definição de
e, como
=
= 899:< acima temos
=
;
=
= = =−
e
= , então
=
=−
=
'
$
'
&
1
−
+
$
$
$
−
&
$
+
5
1
$
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
logo,
A
B
0
1
0
=(
) +(
)
−'/$ −&/$
1/$
= 1
0!
C
=0
que é a representação deste sistema em equações de estado na forma eq. (8.1). Note
que neste caso D = 0.
Exemplo 8.2:
Agora, considerando o sistema carro-massa-mola do exemplo anterior com
$=1
&=5
então
'=4
0
=8
−4
= 1
A
C
1
0
< +8 <
1
−5
0 ! + 0!
B
D
Exemplo 8.3:
Considere um sistema descrito pela equação diferencial ordinária (EDO)
y′′′ + 4 y′′ + 5 y′ = 3 u
cuja a função de transferência é dada por:
Y (s)
3
=
2
U (s)
s ⋅ (s + 4 s + 5)
=
3
s + 4 s + 5s
3
2
6
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Neste caso define-se as variáveis de estado como:
3 ⋅U (s)

2
 X 1 ( s) = Y ( s) = 3
s
s
+
4
+ 5s


 X 2 (s) = s ⋅ Y (s)

 X 3 ( s) = s 2 ⋅ Y (s )


o que implica que:
⇒
 s ⋅ X 1 (s) = X 2 (s)

 2
 s ⋅ X 1 (s) = X 3 (s)

 s 3 ⋅ X 1 ( s ) + 4 s 2 ⋅ X 1 ( s ) + 5 s ⋅ X 1 ( s ) = 3 ⋅ U ( s )
Mas,
s ⋅ X1 (s) = s ⋅ X 2 (s)
2
e
s ⋅ X 1 (s) = s ⋅ X 3 (s)
3
logo,
⇒
 s ⋅ X 1 ( s) = X 2 ( s)


 s ⋅ X 2 ( s) = X 3 ( s)

 s ⋅ X 3 ( s ) + 4 s 2 ⋅ X 1 ( s ) + 5 s ⋅ X 1 ( s ) = 3 ⋅ U ( s )
e como s ⋅ X1 (s) = X 2 (s) e s ⋅ X 1 (s) = X 3 (s) , temos que:
2
⇒







s ⋅ X 1 (s) = X 2 (s)
s ⋅ X 2 (s) = X 3 ( s)
s ⋅ X 3 ( s) + 5 ⋅ X 2 ( s) + 4 ⋅ X 3 (s) + 3 ⋅U ( s)
Y ( s) = X 1 (s)
e portanto,
7
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
⇒







s ⋅ X 1 (s) = X 2 (s)
s ⋅ X 2 (s) = X 3 (s)
s ⋅ X 3 (s) = − 5 ⋅ X 2 (s) − 4 ⋅ X 3 (s) + 3 ⋅ U (s)
Y (s) = X 1 (s)
e desta formas obtemos as equações de estado do sistema:

0


 x& = 0



0


 y = [ 1
0
0 

 
1  x + 0  u

 
3
− 4
1
0
−5
0 ]x
0
Note que as matrizes A, B, C e D são neste caso:
0

A = 0

0
1
0
−5
0

1

− 4
0 
 
B = 0 
 
1
C = [1
0
0]
e
Exemplo 8.4:
Considere um sistema descrito pela equação diferencial ordinária (EDO)
#
# B
+/
+ ⋯+ /
#%
#% B
B
#
+/
#%
% =
%
É fácil de se notar que a função de transferência deste sistema é dada por
D +
=
E +
+ +/ +
B
8
+ ⋯+ /
B
++/
D=0
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Agora, definindo-se a variável de estado
=
⋮
de maneira semelhante aos exemplos 8.1, 8.2 e 8.3 acima, temos
J + =D +
I
G J + = +D +
⋮
H
G
FJ + = +
⇒
I
G
G
B
H
+J
G
G
F
⋮
D +
⇒
+J + = J +
I
G
G
+J + = JL +
H
G
G
F + +/ +
B
+J
⋮
B
+⋯+/
+J1 + = J2 +
⋮
+ =J +
B
++/ J + =
+J2 + = J3 +
+J
−1
+ = −/ J1 + − /
+ =J +
−1 J2
+ − ⋯ − /1 J + +
D + = J1 +
0
P 0
O
=O ⋯
⇒
O 0
H N−/
G
G
F
I
G
G
A
1
0
⋯
0
−/
−1
0
⋯
0
⋯
1
⋯
−2
⋯
= 1 0 0 ⋯ 0!
C
9
0S
⋯
⋯
−/
0
R
R
1R
/1 Q
⋯
+
0!
D
0E
B
+
0
P 0S
O⋮R
OR
O 0R
N 1Q
+
E +
⇒
⇒
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Matriz na forma companheira
A matriz A deste exemplo 8.4 acima é dita estar na forma companheira.
Note que ela tem
a) os elementos acima da diagonal principal têm todos o valor ‘1’ (um);
b) a última linha é constituída dos coeficientes do polinómio característico de A
+ =+ +/ +
+ ⋯+ /
B
B
com os sinais trocados e na ordem inversa;
++/
além disso,
c) os demais elementos são todos igual a ‘0’ (zero).
Uma matriz quadrada (n x n) A que satisfaz as propriedades (a), (b) e (c) acima é dita
estar na forma companheira.
Observe que as matrizes A do exemplos 8.1, 8.2 e 8.3, também estão ambas na forma
companheira.
Se o polinómio característico de uma matriz quadrada (n x n) A tem o coeficiente de
seu termo de mais alto grau um valor ao ≠ 0, ou seja,
+ = /T + + / +
B
+⋯+/
B
++/
então a matriz A na forma companheira terá a forma mais geral:
 0

 0

 0

A = 
M

 0

 − an 
 ao 

1
0
0
L
0
1
0
L
0
0
1
L
M
M
M
M
0
 − an−1 


a
 o 
0
 − an −2 


a
 o 
0
 − a n −3 


a
 o 
L
10
L


0 

0 

M 

1 

 − a1 


a
 o 
0
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
No caso particular, mas bastante comum, de ao = 1, a matriz A na “forma
companheira” tem o seguinte aspeto:
 0
 0

 0
A = 
 M
 0

− a n
1
0
0
1
0
0
0
M
0
− a n −1
0
M
0
− a n −2
1
M
0
− a n −3
0 
0 
L 0 

M
M 
L 1 

L − a 1 
L
L
onde, a1 , … , an-1 , an , são os coeficientes da equação característica p(s)
p(s) = s n + a 1s n −1 + a 2s n −2 + L + a n −1s + a n
Exemplo 8.5:
Se a equação diferencial ordinária (EDO) também tivesse derivadas de u, a escolha
acima não seria apropriada. Considere o sistema descrito por:
= +2 +2 =
u(t)
+2
y(t)
S
A função de transferência do sistema é:
Define-se neste caso:
E +
IJ + =
+ + 2+ + 2
G
H
GJ + =
F
+E +
+ + 2+ + 2
D +
++2
=
E +
+ + 2+ + 2
⇒
+J + = J +
U
+ J + + 2+J + + 2J + = E +
11
⇒
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
+J1 + = J2 +
⇒ V+J2 + = −2J1 + − 2J2 + + E +
D + = 2J1 + + J2 +
e portanto:
=8
0
−2
⇒W
1
0
< ,B= 8 < ,C= 2
−2
1
=
8
0
A
−2
= 2
1! e
1
−2
C
1!
<
B
+
+
8<
0
1
0!
D
= 0!
e observe que aqui novamente a matriz A deste exemplo está na forma companheira,
pois a equação característica do sistema é:
+ = + + 2+ + 2
Exemplo 8.6:
Considere o sistema cuja função de transferência é dada por:
D +
2+ + 7+ + 3
=
E +
+ + 4+ − 2
Neste caso o sistema é de segunda ordem, logo tem 2 polos, mas como o numerador
da função de transferência tem o mesmo grau que o denominador, o sistema também
tem 2 zeros.
Primeiramente, dividindo-se o numerador pelo denominador:
2+ + 7+ + 3
+ + 4+ − 2
−2+ − 8+ + 4
2
−+ + 7
Obtemos o quociente de 2 e resto s+7. Logo,
2+ + 7+ + 3
−+ + 7
D +
=
=2+
+ + 4+ − 2
E +
+ + 4+ − 2
12
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
ou seja,
D + =
−+ + 7 E +
+ 2E +
+ + 4+ − 2
eq. (7.2)
Agora definindo as variáveis de estado
E +
+ + 4+ − 2
+E +
J + =
+ + 4+ − 2
J + =
temos que
+J + =
+E +
=J +
+ + 4+ − 2
+J + = −4+J + + 2J + + E + =
e logo,
=
=2
Portanto,
−4
A
C
+
B
0 1
0
=8
< +8 <
2 −4
1
= 7 − 1! + 2!
C
D
Observe que a matriz A aqui neste exemplo também está na forma companheira.
13
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
8.2 – A equação característica e os polos do sistema
Um sistema descrito na forma de equação de estados [eq. (8.1)]:
=
=
+
+
S
u(t)
y(t)
tem o seu polinómio característico dado por:
+ = det +] −
Já os polos do sistema são os “autovalores”(ou “valores próprios”) de A, podendo ser
repetidos, i.e., duplos, triplos, etc.
Como é sabido, os autovalores de A são as raízes do polinómio característico
det +] − .
+ =
Exemplo 8.7:
Observe que para o sistema do exemplo 8.2 acima, o polinómio característico é dado
por:
+
−1
+ = det +] −
=+ +
= #"%
&
'
+ +
$
$
^
_
`+ + _b
a
=
e, no caso de m = 1, & = 5 e k = 4
+ = $+ + &+ + ' = + + 5+ + 4
Logo, a equação característica pode ser escrita como:
+ + 5+ + 4 = 0
e para encontrar os polos, calcula-se as raízes de p(s), ou seja, os autovalores de A
c = −1
e
c = −4
Observe que a polinómio característico p(s) e os polos c " c obtidos aqui são os
mesmos que os obtidos através da função de transferência.
14
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.8:
Para o sistema do exemplo 8.4 acima, o polinómio característico é:
+ = det +] −
+
P0
O
= #"% O ⋯
O0
N/
= +
=
−1
+
⋯
0
/ B
+ / +
B
0
−1
⋯
0
/ B
+ / +
B
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
0
0
⋯
−1
++/
+ ⋯+ /
S
R
R
R
Q
B
+ + /T
e os polos dos sistema (autovalores de A) são as n raízes de p(s), podendo ser repetidas, i.e., duplas, triplas, etc.
Exemplo 8.9:
Para o sistema do exemplo 8.5 acima, o polinómio característico é:
+
+ = det (
2
−1
) = + + 2+ + 2
++2
e os polos dos sistema (autovalores de A) são:
c = −1 + d
c = −1 − d
Exemplo 8.10:
Para o sistema do exemplo 8.6 acima, o polinómio característico é:
+
+ = det (
−2
−1
) = + + 4+ − 2
++4
e os polos dos sistema (autovalores de A) são:
c = −4,45
c = 0,45
15
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
8.3 – Representações Equivalentes
Considere o sistema:
=
=
+
+
,
0 =
eq. (7.3)
S
u(t)
y(t)
cuja variável de estado é x(t). Definindo-se agora uma nova variável de estado ̅
como sendo:
̅=f
sendo P inversível. Logo, como:
temos que:
W
̅=f
= fB ̅
= fB ̅
e substituindo na eq. (8.3) obtém-se:
fB ̅ = fB ̅ +
W
= fB ̅ +
⇒
W
̅
g
̅ = f fB ̅ + f
= fB ̅ +
̅
h
Portanto, a representação em Equações de Estado não é única. O sistema das equações da eq. (8.3) acima pode ser representado na forma equivalente.
̅= ̅ ̅+ g ,
= ̅ ̅+h
̅ 0 = ̅
16
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
̅ = f fB
onde:
g=f
eq. (7.4)
̅ = fB
h=
Note que a entrada u e a saída y não se alteraram. Somente a representação interna do
sistema (variáveis de estado).
Exemplo 8.11:
Considere um sistema de 2ª ordem do exemplo 8.5, cujas equações de estado são:
W
=
8
0
−2
= 2
Portanto, a variável de estado original é:
Agora, escolhendo-se,
1
−2
1!
f=8
<
+
+
=( )
8<
0
1
0!
0 1
<
1 0
̅=f =( )
temos que
Ou seja, a nova variável de estado ̅ é a antiga variável de estado x com a ordem das
componentes trocadas.
Calculando ̅, g , ̅ " h pela eq. (8.5) obtemos
0
A = PAP = 
1
−1
1  0
⋅
0 − 2
1  0
⋅
− 2 1
17
1 − 2
=
0  1
− 2

0 
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
0 1 0 1
B = PB = 
 ⋅ 1  = 0  ,
1
0

    
0 1 
C = CP −1 = [2 1] ⋅ 
 = [1 2] ,
1
0


e
D =D=0
e desta forma, as equações de estado abaixo

− 2
&
=
x

1



y = [ 1
̅
̅
g
− 2
1 
+
x
u



0 
0 
2 ]x
são uma representação diferente do mesmo sistema.
Observe que a matriz P deste exemplo é igual a própria inversa:
0 1 
P = P −1 = 

1 0 
Note também que:
P = P–1 ⇒ P·P–1 = P·P = P2
mas P·P-1 = I , logo,
P2 = I
Estas matrizes são chamadas de idem potentes.
18
h=0
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.12:
Considere agora um sistema de sistema de 3ª ordem do exemplo 8.4.
A

0


x& = 0



0


 y = [ 1
B
0
0 

 
1  x + 0  u

 
3
− 4
1
0
−5
=0
0 ]x
0
C
Para que a nova variável de estado ̅ ser igual à antiga x apenas trocando a terceira
componente L pelo dobro: ̅L = 2 L , P deve ser:
1
f = i0
0
e desta forma temos que
A = PAP
−1
1

= 0

0
2

B = PB = 0

0
C = CP = [1
−1
0
1
0
0
1
0
0
0  0
 
0  ⋅ 0
 
0,5 0
0  0  0 
    
0  ⋅ 0  = 0 
    
1 3 3
0
0,5

0] ⋅  0
1

 0
0
0
1
0
1
0
−5
0
0j
2
0  1
 
1  ⋅ 0
 
− 4 0
0

0 = [0,5

1
0
0
1
0
0]
0 0
 
0 = 0
 
2 0
e
1
0
− 2,5
0

1 

− 2
D=D=0
logo, as equações abaixo são uma representação diferente do mesmo sistema em
equações de estado.
19
J. A. M. Felippe de Souza

0


x& = 0



0


 y = [1
1
̅
g
0
0 

 
1  x + 0  u

 
6
− 4
0
− 10
0
̅
0] x
8 – Equações de Estado
h=0
Exemplo 8.13:
Considere novamente o sistema do exemplo 8.2,
0
=8
−4
= 1
onde
A
C
B
1
0
< +8 <
−5
1
0!
% = posição do carro
% = velocidade do carro
Vamos definir uma nova variável de estado ̅ de tal forma que a sua primeira componente
̅ é igual à primeira componente da variável de estado original ;
entretanto, a sua segunda componente
̅ é uma combinação linear das duas componentes da variável de estado original ,
Por exemplo: ̅ é igual a primeira componente de
componente de (i.e., ̅ = + 2 ).
20
mais a 2 vezes a segunda
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Logo, a nova variável de estado:
será dada por:
̅
̅=( )
̅
̅ % =
̅ % =
% +2
%
%
̅=f
então,
com a matriz P sendo:
f=8
1 0
<
1 2
Esta matriz P é claramente inversível com a inversa fB dada por:
e portanto podemos calcular
1
0
fB = 8
<
−0,5 0,5
̅, g " ̅ pelas relações em eq. (8.5) obtendo-se:
̅ = f fB = (−0,5 0,5 )
−3,5 −4,5
g = f = 80<
2
̅ = f B = 1 0!
h = =0
e o sistema pode ser reescrito de forma equivalente como:
̅
g
−0,5 0,5
0
̅=(
) ̅+ 8 <
−3,5 −4,5
2
V
= 1 0!
̅
21
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.14:
Para o sistema do exemplo anterior, vamos calcular a matriz P que transforma A em l
dado por:
l = 8−1 0 <
0 −4
que é a forma diagonalizada de A, uma vez que os elementos da diagonal, ou seja –1
e –4, são os autovalores de A.
Portanto, pela eq. (8.4),
l = f fB
que equivale a,
8
ou seja,
−1 0 /
<8
0 −4
l
lf = f
P
#
<=8
Note que aqui nós definimos P como
/
P
f=8
/
#
0
<8
# −4
A
1
<
−5
<.
Resolvendo esta equação matricial obtemos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas: a, b, c e d.
−/ = −4
I
G −4 = −4#
⇒
H − =/−5
G
F−4# = − 5#
W
/=4
=#
Observe que este sistema não tem uma única solução pois as 4 equações se reduzem,
por redundância, a apenas duas. Uma das formas que podemos escrever a solução é
/
#! = /
//4
22
!,
/ ≠ 0,
≠ 0.
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Logo, a escolha de P não é única:
/
f=4
//4
5,
/ ≠ 0;
Agora, se escolhermos, por exemplo, a = 4 e b = 1 temos,
o que implica que,
4
f=4
1
1
1
⇒
5
f
B
=4
1/3
−1/3
≠0
−1/3
4/3
5
l = f fB = 8−1 0 <
0 −4
1
o =f =( )
1
l = fB = 1/3 −1/3!
ou seja,
p=
=0
−1
̅=8
0
l
o
0
1
< ̅+ 8 <
1
−4
= 1/3 −1/3!
l
No exemplo acima nós encontramos uma forma equivalente para o sistema de tal
forma que a matriz A é diagonal. Entretanto, nem sempre é possível se obter uma
representação equivalente:
q = lq + o
= lq
eq. (7.5)
com l na forma diagonal.
Quando isso é possível diz-se que a matriz A é diagonalizável.
23
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Um resultado bastante conhecido da Álgebra Linear é que se uma matriz A é
diagonalizável, então os elementos da sua diagonal principal são os seus próprios
autovalores.
Se A possui os seus n autovalores,
c ,c ,⋯,c
distintos, então este é um caso em que a diagonalização de A é possível.
Uma forma de se obter a representação deste sistema na forma diagonalizada para A,
é a seguinte: Define-se a matriz M (mudança de base) como sendo:
onde
r= 1
1
… 1 !
1s = autovector associado com o autovalor cs , i = 1, 2,…
(Note que esta matriz M não é única pois qualquer autovector 1s pode ser substituído
por um múltiplo '1s , com ' ≠ 0 ).
Escolhendo-se:
f = rB
então a transformação de variáveis de estado,
q=f
nos levará às equações de estado da eq. (8.4) acima com
verdade já sabemos que l será:
c
0 …
l = f fB = rB r = 0 c …
⋮
⋮ ⋱
0 0 …
l na forma diagonal. Na
0
0
⋮
c
e também sabemos que p = . Portanto nós só precisamos da eq. (8.4) para calcular
o e l.
Exemplo 8.15:
Considere o sistema do exemplo 8.2 acima, cujos autovalores de A (calculados no
exemplo 8.7) são:
c = −1
c = −4
24
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
e os respetivos autovectores,
1 =8
u
<
−u
−v
1 =( )
4v
Escolhendo-se, por exemplo, u = v = 1/3, temos que,
r=4
1/3
−1/3
−1/3
4/3
5 = fB
que foi a matriz P encontrada no exemplo 8.13 acima.
Se entretanto escolhermos u = 1 e v = −1, teremos,
1
r = fB = 4
−1
e portanto,
f = rB = 4
1
−4
4/3
5
1/3
−1/3 −1/3
l = f fB = 8−1 1 <
0 −4
5
1/3
o =f =(
)
−1/3
l = fB = 1 −2!
ou seja,
−1
q=8
0
l
o
1/3
0
<q+(
)
−4
−1/3
= 1 1! q
l
que é uma outra representação do mesmo sistema em equações de estado com a
matriz A na forma diagonal.
25
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
8.4 – Transformação Função Transferência para Equações de Estado
Não há uma regra única para se transformar sistemas descritos pela sua equação
diferencial ordinária (EDO) ou, equivalentemente, pela sua função de transferência,
em equações de estado.
Vamos mostrar aqui o mesmo sistema, de terceira ordem, descrito pela equação
= 20 = 80 e portanto com função de transferência dada por
diferencial w + 12 +
x + =
80
+ + + 2 + + 10
e vamos achar três formulações diferentes deste sistema em equações de estado.
Exemplo 8.16:
Considere o sistema descrito pela equação diferencial ordinária (EDO)
= 20 = 80
w + 12 +
80
D +
=
+ L + 12+ + 20+ E +
Facilmente podemos achar a função de transferência do sistema G(s) = Y(s)/U(s)
=
=
x + =
Definindo as variáveis de estado:
L
= =
⇒
⇒
L
=
=
L
= −20 −12
=
A
0
1
0
0
x = i0
0
1 jx + i 0 ju
0 −20 −12
80
= 1 0 0!
B
C
Observe que a matriz A está na forma companheira.
26
L
+ 80
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.17:
Vamos considerar o mesmo sistema do exemplo anterior. Entretanto aqui vamos reescrever a função de transferência G(s) da seguinte forma:
x + =
5
4
4
D +
∙
∙
=
+ ++2
+ + 10
E +
J +
E +
J +
E +
JL +
E +
Logo, definindo as variáveis de estado da seguinte forma:
5E +
+
20E +
J + =
+ ++2
J + =
JL + = x + . E | = D + =
temos que
⇒
I
G
+J1 + = 5E +
+ + 2 J2 + = 4.
H
G + + 10
F
J3 + = 4.
5E +
+
20 E +
80E +
+ + + 2 + + 10
= 4. J1 +
+ ++2
= 4. J2 +
⇒ }
2
3
1
= 5
= 4
= 4
1
2
−2
− 10
2
3
que nos dá uma outra formulação em equações de estado deste sistema, diferente do
exemplo anterior. Escrevendo na forma matricial temos
⇒
0 0
0
5
= i4 −2
0 j + i0j
0 4 −10
0
= 0 0 1!
27
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.18:
Vamos considerar novamente o mesmo sistema dos 2 exemplos anteriores. Entretanto
aqui vamos reescrever a função de transferência G(s) da seguinte forma: Expandindo
em frações parciais e definindo as variáveis de estado J + , J + e JL + da forma
indicada abaixo,
x + =
4
+
+
J +
E +
temos que
−5
++2
J +
E +
+
4E +
+
−5E +
J + =
++2
J + =
JL + =
1
+ + 10
JL +
E +
⇒
E +
+ + 10
J +
J +
JL +
D + =(
+
+
)E +
E +
E +
E +
D +
E +
=
+J + = 4E +
+J + = −2J + − 5E +
+JL + = −10JL + + E +
D + = J + + J + + JL +
logo, as equações de estado ficam:
=4
L
= −2
= −10
=
+
−5
L
+
+
L
A
0 0
0
4
= i0 −2
0 j + i−5j
0 0 −10
1
⇒
= 1 1
C
B
1!
Portanto obtemos uma terceira representação em equações de estado para o mesmo
sistema, diferente das anteriores. Note que nesta representação a matriz A está na
forma diagonal e os polos do sistema (+ = 0, + = −2 e + = −10) são os elementos
da diagonal principal. Obviamente que isso ocorre pois: se a matriz é diagonal, então
os elementos da sua diagonal principal são os próprios autovalores do sistema.
28
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
8.5 – Simulação Analógica
Seja qual for a natureza de um sistema linear e invariante no tempo (mecânica,
elétrica, eletromecânica, térmica, hidráulica, ou um processo químico, etc.) ele pode
ser simulado em laboratório através de componentes eletrónicos. Desta forma é
possível simular uma entrada qualquer para o sistema, como um degrau por exemplo,
e observarmos qual seria a resposta (ou seja, a saída) do sistema para aquela entrada.
A isso chamamos de “simulação analógica”.
Apresentamos abaixo os componentes com que fazemos a simulação analógica.
o INTEGRADOR:
Este elemento, como se pode imaginar, transforma um sinal s na sua entrada em s na
sua saída, ou seja, integra. A simulação analógica de um sistema de ordem n precisará
de n integradores.
s
s
o SOMADOR:
Este elemento, obviamente, soma os sinais que entram num único sinal de saída.
~
+
+
+~
o MULTIPLICADOR:
Este elemento, por sua vez, multiplica por k o sinal
sua saída.
s
'
'
s
29
s
que entra, devolvendo '
s
na
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.19:
Só para exemplificar vamos ver, na figura a seguir, como se escreveria a equação
−3
= −3
+
−3
Exemplo 8.20:
Vamos agora ilustrar, na figura a seguir, como se escreveria a equação
−3
+
−2
−2
= −2
−3
−3
Exemplo 8.21:
Na figura a seguir ilustramos como se escreveria a equação
−3
+
−2
−2
= −2
−3
−3
30
+
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.22:
Vamos agora fazer a simulação analógica do sistema de segunda ordem dado abaixo.
Note que precisamos de 2 integradores, um para cada uma das equações diferenciais
de 1ª ordem do sistema de equações de estado.
=
= −2
=
+
−3
+
−2
−2
−3
=
−3
Agora, se colocarmos uma caixa abrangendo a simulação feita, podemos observar
que nesta caixa entra apenas a entrada u (input do sistema) e sai apenas a saída y
(output do sistema). O que fica dentro da caixa é uma representação interna do sistema, através das variáveis de estado e .
+
−3
−2
−2
=
−3
31
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.23:
Vamos agora fazer a simulação analógica do sistema de terceira ordem dado abaixo,
já analisado no exemplo 8.16. Note que é preciso de 3 integradores, um para cada
uma das equações diferenciais de 1ª ordem do sistema de equações de estado.
=5
=4
−2
= 4 −10
= L
L
5
L
4
4
+
−2
−10
+
L
L
=
Novamente, vamos colocar uma caixa abrangendo a simulação feita e vamos
observar que nesta caixa entra apenas a entrada u (input do sistema) e sai apenas a
saída y (output do sistema). O que fica dentro da caixa é uma representação interna
do sistema, através das variáveis de estado , e L .
5
4
4
+
−2
32
+
10
L
L
=
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.24:
Vamos agora fazer a simulação analógica do mesmo sistema de terceira ordem do
exemplo anterior, mas com uma representação diferente em equações de estado, dada
abaixo, obtida no exemplo 8.17.
=4
= −2
= −10
= +
−5
L
+
+
L
Observando agora a caixa que abrange a simulação, vemos mais uma vez que nesta
caixa entra apenas a entrada u e sai apenas a saída y. O que fica dentro (i.e., a
representação interna do sistema) é diferente do exemplo anterior, apesar de simular
o mesmo sistema do exemplo anterior. Isso porque as variáveis de estado , e L
são diferentes e as equações de estado também não são as mesmas.
4
−5
+
+
−2
−10
L
+
L
33
+
+
L
=
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
8.6 – Conversão de Equações de Estado para Função de Transferência
A representação de um sistema em equações de estado que vimos aqui [na eq. (8.1)],
=
=
+
+
não é única. Na realidade, como já vimos na secção 8.3, definindo-se a nova variável
de estado ̅ como,
para alguma matriz inversível P, então
onde [eq. (8.4)]:
̅=f
= ̅ +g
= ̅ +h
̅ = f fB
g=f
̅ = fB
h=
é uma outra representação do mesmo sistema em equações de estado.
Em particular, se A for diagonalizável e escolhermos f = rB onde M é a matriz
mudança de base
r= 1
1
⋯ 1 !
1s = / %*-1" %*0 /++* ,/#* *$ * / %*1/2*0 cs , , = 1,2, … ,
então ̅ ficará na forma diagonal, com os seus autovalores c , c , ⋯ , c , sendo os
elementos da diagonal principal.
Por outro lado a representação de um sistema pela sua função de transferência é
única.
Por exemplo, a função de transferência
34
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
D +
E +
no caso de uma entrada u t e uma saída y(t)
é única (a menos, claro, de uma multiplicação por uma constante nos coeficientes do
numerador e do denominador).
Observação:
As funções de transferência
D +
4 ++1
=
E +
2+ + 11+ + 15
e
D +
2 ++1
=
11
15
E +
+ + ++
2
2
são a mesma. Nitidamente elas diferem apenas de uma multiplicação por uma constante em ambos o numerador e o denominador. Esta função de transferência é a única
deste sistema que tem polos
= −3 e
= −1,5 e um zero ~ = − 1.
Para converter a representação de um sistema [que tem entrada u(t) e saída y(t)]
S
u
de equações de estado
=
=
para função de transferência
+
+
a fórmula é dada por,
D +
=
E +
+] −
B
y
,
0 =
eq. (7.6)
D +
E +
+
eq. (7.7)
Este resultado será mostrado a seguir para um caso mais geral.
35
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.25:
Considere o sistema de segunda ordem abaixo dado pela sua equação de estado
A
B
0
1
0
=8
< +8 <
−2 −2
1
= 1 0!
C
Para se obter a função de transferência, primeiramente achamos a matriz +] −
+] −
e a sua inversa,
+] −
B
=8
+
−1
<
2 ++2
1
++2
= + + 2+ + 2 + + 2+ + 2
−2
+
+ + 2+ + 2 + + 2+ + 2
e portanto, como D = 0 neste caso,
D +
= 1
E +
C
1
++2
+ + 2+ + 2 + + 2+ + 2 (0)
0!
−2
+
1
+ + 2+ + 2 + + 2+ + 2
+] −
B
logo, a função de transferência do sistema é dada por:
D +
1
=
+ + 2+ + 2
E +
36
B
,
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.26:
Considere o sistema de segunda ordem abaixo dado pela sua equação de estado
A
B
0
1
0
=8
< +8 <
−4 −5
1
= 2 1!
C
Novamente, para se obter a função de transferência, primeiramente achamos a matriz
+] − ,
+] −
e a sua inversa,
+] −
B
=8
+
−1
<
4 ++5
++5
1
= + + 5+ + 4 + + 5+ + 4
−4
+
+ + 5+ + 4 + + 5+ + 4
logo, como D = 0, a função de transferência fica
D +
= 2
E +
C
++5
1
+ + 5+ + 4 + + 5+ + 4 (0)
1!
−4
+
1
+ + 5+ + 4 + + 5+ + 4
+] −
B
e portanto, a função de transferência do sistema é dada por:
D +
++2
=
E +
+ + 5+ + 4
37
B
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.27:
Considere agora o sistema de terceira ordem abaixo, já visto no exemplo 8.15, dado
pela sua equação de estado
0
1
0
0
= i0
+
i0j
0
1 j
0 −20 −12
80
= 1 0 0!
Mais uma vez, começamos calculando a matriz +] −
+] −
e a sua inversa
+] −
onde,
B
P
O
O
=O
O
O
N
+ −1
0
= i0 +
−1 j
0 20 + + 12
+ + 12+ + 20
+
0
+ = det +] −
0
o polinómio característico do sistema.
Agora, como D = 0,
,
D +
= 1 0
E +
+ + 12
+
+ + + 12
+
20+
+
= + L + 12+ + 20+
0! +] −
B
C
0
i0j
80
B
e portanto, a função de transferência do sistema é dada por:
D +
80
= L
E +
+ + 12+ + 20+
Conforme já tínhamos visto no exemplo 8.15.
38
1
+
+
+
+
+
S
R
R
R
R
R
Q
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.28:
O sistema abaixo é o mesmo que vimos no exemplo 8.14, com a representação na forma
de equações de estado tal que a matriz A está na forma diagonalizada l .
−1
q=8
0
l
o
1/3
0
<q+(
)
−4
−1/3
= 1 −2! q
l
Calculando a matriz €+] − l •, temos:
€+] − l • = 4
cuja inversa é
B
€+] − l •
++1
0
1
= ++1
0
e portanto,
D +
= l +] −
E +
B
o = 1
=
++4
5
0
1
++4
1
++1
1!
0
1
++1 ++4
1
+ + 5+ + 4
que é a função de transferência do sistema.
39
0
1
++4
1/3
−1/3
+
++1
++4
=
=
0
1
3
1
−
3
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Exemplo 8.29:
O sistema abaixo é o mesmo do exemplo anterior. Entretanto, tomemos a representação
na forma de equações de estado com a matriz A na forma companheira, conforme já
vista no exemplo 8.2:
0
=8
−4
= 1
A
C
B
1
0
< +8 <
−5
1
0 ! + 0!
D
Agora, calculando a matriz €+] − l •, temos:
€+] − l • = 4
cuja inversa é
B
€+] − l •
e portanto,
D +
= l +] −
E +
B
+
−1
4 ++5
5
++5
1
= + + 5+ + 4 + + 5+ + 4
−4
+
+ + 5+ + 4 + + 5+ + 4
o = 1
= 1
=
++5
1
+ + 5+ + 4 + + 5+ + 4 80<
0!
−4
+
1
+ + 5+ + 4 + + 5+ + 4
1
+4
0! + + 5+
+
+ + 5+ + 4
1
+ + 5+ + 4
que, obviamente, é a mesma função de transferência do sistema já encontrada no
exemplo anterior.
40
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Múltiplas entradas e múltiplas saídas
No caso de sistemas com p entradas e q saídas
=ƒ ⋮ †
‚
„
=ƒ⋮†
‡
…
‚ …
p (entradas)
„
q (saídas)
⋮
⋮
S
‡
temos então uma Matriz de Transferência (ao invés de função de transferência), de
dimensão q x p dada por,
D +
P
OD +
O
O ⋮
O ⋮
O
ND‡ +
Y(s)
D +
P
S
E +
R OD +
R O
O
R= E +
O
R O ⋮
R O D‡ +
Q NE +
D
E
D
E
⋮
+
+
+
+
D‡ +
E +
⋯
⋯
⋱
⋯
D +
E„ +
D +
E„ +
⋮
D‡ +
E„ +
matriz de transferência
do sistema
S
R PE +
R E +
RO ⋮
O
RO ⋮
R E +
N
R „
Q
S
R
R
R
Q
U(s)
Neste caso a relação das equações de estado e a matriz de transferência é semelhante
ao caso anterior.
D + =
+] −
B
+ !∙E +
que é a generalização do resultado da eq. (8.7).
41
eq. (7.8)
8 – Equações de Estado
J. A. M. Felippe de Souza
Para verificarmos o resultado eq. (8.7) acima considere a Transformada de Laplace
das equações de estado da eq. (8.6) quando as condições iniciais são nulas (i.e.,
= 0):
+J + = J + + E +
W
D + = J + + E +
+] − J + = E +
W
D + = J + + E +
ou seja,
J + = +] − B E +
W
D + = J + + E +
e portanto,
que é equivalente à eq. (8.8).
Portanto um sistema pode ter mais de uma representação na forma de equações de
estado, mas apenas uma representação na forma de função de transferência.
As relações da eq. (8.7), que repetimos aqui:
D +
=
E +
+] −
e da eq. (8.8), que também repetimos aqui:
D + =
+] −
B
B
+
E + + E +
mesmo que aplicadas a representações diferentes do mesmo sistema em equações de
estado, conduzem sempre à mesma função de transferência do sistema, pois ela é
única.
Exemplo 8.30:
O sistema abaixo…
42
J. A. M. Felippe de Souza
L
ˆ
(t)
0
= 0
0
0
8 <=8
1
0
0
0
0
1
0
−1
A
0
0
1
0
8 – Equações de Estado
L
ˆ
x(t)
1 0 0 0
<
0 0 1 0
y(t)
L
ˆ
x(t)
C
Exemplo 8.31:
O sistema abaixo…
−0,5
0
)8 <
( )=(
0
−0,25
(t)
8 <=8
y(t)
x(t)
A
0,5 0
<8 <
0 1
C
43
x(t)