FAMAT em Revista - Número 10 - Abril de 2008
173
Novas Operações com Matrizes:
Algumas de Suas Propriedades e Aplicações.
Otoniel Nogueira da Silva 1 e Valdair Bonfim 2
1 – Introdução:
O presente trabalho originou-se durante o desenvolvimento de um projeto do
Programa Institucional de Bolsas para o Ensino de Graduação – PIBEG – da Universidade
Federal de Uberlândia. Este programa visa a melhoria do ensino de graduação, e o referido
projeto foi desenvolvido junto à disciplina de Álgebra Linear. Mais precisamente, quando
introduzimos o conceito de exponencial de matrizes para o posterior estudo dos sistemas de
equações diferenciais lineares de primeira ordem, surgiu a curiosidade de responder às
perguntas:
- É possível calcular a raiz quadrada de uma matriz A de ordem n ?
- É possível calcular a raiz n-ésima de A?
- É possível definir o seno e o co-seno de tal matriz?
- Em caso afirmativo, será que vale a identidade sen 2 A + cos 2 A = I ?
- Que tipo de problema prático estes conceitos ajudam a resolver?
Veremos como os resultados da Álgebra Linear podem nos ajudar no sentido de
fornecer respostas elegantes para tais questões, pelo menos em alguns casos particulares.
2 – A raiz quadrada de uma matriz.
Definição 1: Denomina-se raiz quadrada real de uma matriz A qualquer matriz B com
entradas reais tal que B 2 = A .
Neste contexto vamos considerar apenas raízes quadradas com entradas reais, e no que
segue vamos referir a elas simplesmente dizendo raízes quadradas. Introduziremos aqui duas
notações para expressar a raiz quadrada de uma matriz: uma raiz quadrada de uma matriz A
será representada por A , ou também A1 / 2 .
Assim como nem todo número real admite uma raiz quadrada em R, nem toda matriz
admite uma raiz quadrada. Conforme veremos adiante, uma condição necessária para a
1
2
Bolsista do Programa de Educação Tutorial – PET; Acadêmico do Curso de Matemática da UFU.
Orientador; Professor da Faculdade de Matemática da UFU.
174
FAMAT em Revista - Número 10 - Abril de 2008
existência da raiz quadrada de A é que seu determinante seja não-negativo. A proposição
seguinte dá condições suficientes para a existência de raiz quadrada.
Proposição 1: Seja A uma matriz diagonal de ordem n:
λ1
.

.
A = 
0
0

 0
0
0 0 
. 0

. . 
. . 

. λ n 
.
.
0 0
λ2
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.
0
0
.
Se λi ≥ 0 para ∀ i ∈{1, 2 , L , n } , então a matriz:




A≡




λ1
.
.
.
0
0
0
λ2
. 0 0
. . 0
. . .
. . .
. . .
0 . .
.
.
0
0








λ n 
0
0
0
.
.
é uma raiz quadrada da matriz A .
Demonstração:
Basta mostrar que:









λ1
.
.
.
0
0
0
λ2
.
.
0 0
. 0
.
.
0
0
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
0   λ1
 
0   .
0   .
. 
.   0
.   0
 
λn   0
.
λ2
.
.
0 0
. 0
.
.
0
0
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
0 

0 
0 
=
. 
. 

λn 
λ1
.

.

0
0

 0
.
λ2
.
.
0 0
. 0
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
0
.
.
.
.
Esta igualdade se demonstra comparando as entradas da matriz produto
entradas correspondentes da matriz A :
0
0 
0

. 
. 

λ n 
A . A com as
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 λ1 . λ1

.


.

0


0

0

.
λ 2 . λ2
.
.
.
.
0
0
λ3 . λ 3
.0 0
. 0
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.
175
0
0
0
.
.
λn .




=



λn 
λ1
.

.

0
0

 0
.
λ2
.
.
0 0
. 0
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
0
.
.
.
.
0
0 
0
.
. 
. 

λ n 
A próxima proposição amplia significativamente o conjunto das matrizes que admitem
raiz quadrada.
Proposição 2: Se uma matriz A de ordem n for diagonalizável e todos os seus autovalores
forem não-negativos, então A admite uma raiz quadrada.
Demonstração:
Sendo A diagonalizável, sabemos que existe uma matriz inversível P tal que:
P. A.P −1
λ1
.

.
=D= 
0
0

 0
.
λ2
.
.
0 0
. 0
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
0
.
.
.
.
0
0 
0

. 
. 

λ n 
Logo, uma raiz quadrada da matriz A é dada por:
A = P − 1 . D .P
De fato:
(P
−1
)(
)
. D .P ⋅ P −1 . D .P = P −1 . D .P.P −1 . D .P = P −1 . D .I . D .P = P −1 . D . D .P =
−1
P .D.P ,
e esta matriz é igual a A, pois sendo
P. A.P −1 = D ⇒ P −1. P. A.P −1 P = P −1 .D.P ⇒ I . A.I = P −1 .D.P ⇒ A = P −1 .D.P , ou seja,
A = P −1 . D .P . Observação 1: Para todo número natural n e toda matriz quadrada X é fácil ver que
(P
−1
. X . P ) = P −1 . X n . P . Logo podemos generalizar a nossa procura inicial considerando as
n
raízes n-ésimas de A, que serão denotadas por
n
A ou A1 / n .
Proposição 3: Seja A uma matriz diagonal de ordem n:
176
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λ1 .
. λ
2

.
.
A = 
.
0
0 0

 0 0
Se λi ≥ 0 para ∀i , então a matriz:
 n λ1

 .
 .

 0
 0

 0
.
n
0
0 0 
. 0

. . 
. . 

. λ n 
.
0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
. 0 0
. . 0
. . .
. . .
. . .
0 . .
λ2
.
.
0
0




,



λn 
0
0
0
.
.
n
a qual vamos denotar por n A ou A1 / n , é uma raiz n-ésima de A . No caso em que n é ímpar
não é necessária a condição λi ≥ 0 , ∀i .
Prova: É completamente análoga à feita na proposição 1. Proposição 4: Se uma matriz A de ordem n for diagonalizável e todos os seus autovalores
forem não-negativos, então A admite uma raiz n-ésima.
Demonstração: Sendo A diagonalizável existe uma matriz inversível P tal que:
P. A.P −1
λ1
.

.
=D= 
0
0

 0
0
0 0 
. 0

. . 
. . 

. λ n 
.
.
0 0
λ2
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.
0
0
.
Logo P −1 . n D . P é uma raiz n-ésima de A, pois usando a observação 1 com X = n D
obtemos:
(P
−1 n
. D. P
)
n
( )
n
= P −1 . n D . P = P −1 . D . P = A .
Novamente observamos que quando n é ímpar não precisamos ter λi ≥ 0 , ∀i . Observação 2: A proposição 4 fornece condições suficientes, mas não necessárias para a
existência da raiz. De fato, no exemplo abaixo vemos uma matriz com autovalores negativos
que admite raiz quadrada.
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177
0
− 1
Exemplo: A matriz A = 
 possui autovalores negativos, λ1 = λ 2 = −1 , mas admite a
 0 − 1
2  1
2  − 1
0
2
 1
 1
⋅
=
, pois 
raiz quadrada A = 


 = A.

− 1 − 1 − 1 − 1  0 − 1
− 1 − 1
A próxima proposição fornece uma condição necessária para a existência de raiz nésima, com n par. Em particular, têm-se uma condição necessária para a existência de raiz
quadrada.
Proposição 5: Se A admite raiz n-ésima, com n par, então Det ( A) ≥ 0 .
Demonstração:
( )
Seja B uma raiz n-ésima de A, ou seja B n = A . Logo Det ( A) = Det B n .
Da álgebra com matrizes sabemos que:
( )
Det B n = Det ( B.B.....B) = Det ( B) . Det ( B )..... Det ( B ) = (Det (B ))
n
Portanto, Det ( A) é a n-ésima potência do número real Det (B ) , e como n é par, segue que
Det ( A) ≥ 0 . Corolário: Se Det ( A) < 0 , então a matriz A não admite raiz quadrada.
Exemplo:
 − 1 0
A=
 não admite raiz quadrada, pois Det ( A) = −1 < 0 .
 0 1
3 – O seno e o co-seno de uma matriz:
Sabemos do cálculo diferencial que para todo número real x tem-se
sen x =
∞
∑ (−1) n ⋅
k =0
x3 x5 x7
x 2 k +1
= x−
+
−
+L ,
(2k + 1)!
3! 5! 7!
e também que
∞
x 2k
x 2 x 4 x6 x8
= 1−
+
−
+
−L .
cos x = ∑ (−1) ⋅
(2k )!
2! 4! 6! 8!
k =0
k
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Assim, dada uma matriz quadrada A de ordem n, todas as potências inteiras nãonegativas A k estão bem definidas, e é bastante natural “arriscar” as definições abaixo:
(1)
sen A =
∞
∑ (−1) k ⋅
k =0
A 2 k +1
A3 A5 A7
= A−
+
−
+L ,
(2k + 1)!
3!
5!
7!
e
(2)
cos A =
∞
∑ (−1) k ⋅
k =0
A 2k
A 2 A 4 A 6 A8
=I−
+
−
+
−L ,
(2k )!
2!
4!
6! 8!
em que I denota a matriz identidade.
Observe que
2 k +1
A
A 2 k +1
(−1) ⋅
≤
(2k + 1)!
(2k + 1)!
k
para todo natural k, qualquer que seja a norma considerada no espaço das matrizes quadradas
2 k +1
∞
A
de ordem n, e como ∑
é uma série convergente de números reais, segue por
k = 0 ( 2k + 1)!
A 2 k +1
é absolutamente convergente, e portanto
(2k + 1)!
k =0
convergente. De modo completamente análogo se prova que a série (2) é convergente e,
portanto, estão bem definidas as operações sen A e cos A .
comparação que a série
∞
∑ (−1)
k
⋅
Note, por simples substituição, que se A é a matriz nula, então
sen A = sen 0 = 0 e cos A = cos 0 = I ,
o que está de acordo com o seno e o co-seno do número real zero.
Agora, será que vale para as matrizes a identidade sen 2 A + cos 2 A = I ?
É isto que nos propomos provar no caso particular em que a matriz A é diagonalizável.
Isto será feito em duas etapas.
Etapa 1: A é uma matriz diagonal.
λ1 L 0 
Digamos que A =  M O M  . Então é fácil provar por indução finita que
 0 L λ n 
λ1k L 0 


A k =  M O M  para todo número inteiro não-negativo k. Assim:
 0 L λkn 


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
k
(−1)



∞
∞
A 2 k +1
k
= ∑ 
sen A = ∑ (−1) ⋅
(2k + 1)! k =0
k =0





⋅
λ12 k +1
179


(2k + 1)!


O

M
M
=
M
O
M

M
M

O

2 k +1 
λ

0
LL LL LL (−1) k ⋅ n
(2k + 1)!
LL LL LL
∞
λ12 k +1
k
LL LL LL
∑ (−1) ⋅
(2k + 1)!
 k =0
O

M

O

=
M
M

O



LL LL LL
0





M

=
M

M


2 k +1 
∞
λ

(−1) k ⋅ n
∑
(2k + 1)!
k =0
0
0 
 senλ1 L

= M
O
M  .
 0
L senλ n 
Ou seja:
λ1 L 0 
A =  M O M 
 0 L λ n 
⇒
0 
 senλ1 L

O
M  .
senA =  M
 0
L senλ n 
De modo completamente análogo se prova que:
λ1 L 0 
A =  M O M 
 0 L λ n 
⇒
0 
cos λ1 L

O
M  .
cos A =  M
 0
L cos λ n 
Logo,
 sen 2 λ1 L
0 


2
2
O
M +
sen A + cos A =  M
 0
L sen 2 λ n 

cos 2 λ1 L
0 


O
M =
 M
 0
L cos 2 λ n 

0
180
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 sen 2 λ1 + cos 2 λ1 L

0


M
O
M
=
=
2
2

0
L sen λ n + cos λ n 

1 L 0 
M O M = I .


0 L 1
Conclusão: a “relação fundamental” vale para as matrizes diagonais.
Etapa 2: A é uma matriz diagonalizável.
Sendo A diagonalizável, existe uma matriz inversível P tal que P. A.P −1 é uma matriz
diagonal D, a saber:
P. A.P −1
λ1
.

.
=
0
0

 0
0
0 0 
. 0
 , cujas entradas são os autovalores de A.
. . 
. . 

. λ n 
.
.
0 0
λ2
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.
0
0
.
Assim, A = P −1 . D .P , de onde segue que A m = P −1 . D m . P para todo natural m. Logo:
∞
senA = ∑ (−1) k ⋅
k =0
∞
P −1 . D 2 k +1 . P
A 2 k +1
= ∑ (−1) k ⋅
=
(2k + 1)! k =0
(2k + 1)!
∞
D 2 k +1 
k
−1
= P . ∑ (−1) ⋅
 . P = P . senD . P
(2k + 1)!
 k =0
−1
Analogamente,
cos A = P −1 . cos D . P .
Portanto,
sen 2 A + cos 2 A = P −1 . sen 2 D . P + P −1 .cos 2 D . P = P −1 . ( sen 2 D + cos 2 D ). P ,
e como a relação fundamental já foi provada para as matrizes diagonais, segue que
sen 2 A + cos 2 A = P −1 . I . P = I ,
como afirmado.
Podemos agora enunciar, e dar por demonstrada, a seguinte proposição:
Proposição 6: Se A é uma matriz quadrada diagonalizável, então sen 2 A + cos 2 A = I .
FAMAT em Revista - Número 10 - Abril de 2008
181
4 – As noções introduzidas nas seções anteriores tem alguma utilidade?
Sabemos que se a > 0 então a função x : R → R definida por
x(t ) = c1 . cos( a . t ) + c 2 . sen( a . t )
resolve a equação diferencial de segunda ordem
x ′′(t ) + a . x(t ) = 0 ,
quaisquer que sejam as constantes reais c1 e c 2 .
Esta equação diferencial e outras parecidas surgem na modelagem matemática de
diversos sistemas mecânicos, de onde segue sua importância.
É natural, portanto, a seguinte pergunta:
Dada uma matriz A de ordem n que admite raiz quadrada e dadas constantes vetoriais
arbitrárias C1 , C 2 ∈ Rn , será que a função X : R → Rn definida por
( (
))
( (
))
( ⊕ ) X (t ) = cos t . A . C1 + sen t . A . C 2
resolve o sistema de equações diferenciais X ′′(t ) + A . X (t ) = 0 ?
Observe que este sistema é de ordem 2 , e quando escrito por extenso fica na forma:
 x1′′(t ) = − a11 . x1 (t ) − L − a1n . x n (t )


(⊗) 
M


 x n′′ (t ) = − a n1 (t ) . x1 (t ) − L − a nn . x n (t )
,
com equações que se apresentam acopladas umas às outras. Não dá para determinar, digamos,
a função escalar x1 (t ) a partir da primeira equação, pois nela aparecem as demais funções
incógnitas: x 2 (t ) , ... , x n (t ) . E ocorre o mesmo com as demais equações. Se a pergunta
acima for respondida positivamente, temos uma resposta bastante limpa e elegante para o
sistema (⊗). Resumindo, o tratamento vetorial é bastante apropriado, e acreditamos ter
convencido o leitor de que nem toda “brincadeira” que se produz em Matemática está livre
de servir para alguma coisa de interesse prático. O leitor é convidado a provar que a pergunta
acima tem resposta positiva, e para isso basta derivar, com relação a t, as séries que definem
cos t . A . C1 e sen t . A . C 2 .
(
)
(
)
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que
não possa um dia ser aplicado aos fenômenos do mundo real.
Lobatchevsky.
182
FAMAT em Revista - Número 10 - Abril de 2008
A melhor solução foi encontrada pelo Algoritmo dos Mínimos Sucessivos, que nos permitiu
determinar o melhor percurso para o caixeiro viajante. Sendo considerada ótima, pois, para ter
a certeza desta afirmação teríamos de encontrar todas as soluções pelo Método Exaustivo, o
que implica na análise de 360 percursos, tarefa pouco aconselhável.
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A teoria dos grafos é essencial para resolução de problemas, desde os mais simples aos
elaborados. São problemas que justificam atenção devido ao fato de aparecerem diversas
aplicações e serem considerados difícil solução. Grafos são uma inesgotável fonte de
problemas com enunciado simples, mas que escondem, muitas vezes, uma sofisticada
estrutura matemática.
8. BIBLIOGRAFIA
[1] BARROSO, M. M. A., Operações Elementares em Grafos e Aplicações, VII SEMAT,
Uberlândia, 2007.
[2] BOAVENTURA NETTO, P. O., Teoria e Modelos de Grafos, E. Blucher, São Paulo,
1979.
[3] LUCCHESI, C. L., Introdução à Teoria dos Grafos, IMPA-CNPq, Rio de Janeiro,1979.
[4] OYNSTEIN O., Graphs and Their Uses, The Mathematical Association of America,
Editorial Committee, England, 1990.
[5] www.guiaquatrorodas.com.br