ANÁLISE MATEMÁTICA II
Acetatos de Ana Matos
Limites e Continuidade
em
Campos Escalares e Vectoriais
DMAT
Limites e Continuidade
Noção de Limite em R
Recordemos que:
sendo f : D
e a D , diz-se que b
limite de f quando x tende para a se
0
0:x
D\ a
|x
a|
|f x
éo
.
b|
Esta condição é equivalente a
0
0:x
D\ a
B a,
fx
B b,
.
Intuitivamente, estas condições significam que as imagens
dos pontos do domínio diferentes de a estão tão próximas
quanto quisermos de b, desde que nos aproximemos
suficientemente de a.
O facto de a ser ponto de acumulação de D permite que nos
aproximemos de a, por pontos de D diferentes de a.
Faz sentido falar de limite de f num ponto que não pertence ao
domínio, desde que seja ponto de acumulação deste.
Não faz sentido falar de limite duma função em pontos do
domínio que não sejam pontos de acumulação.
Ana Matos AMII - 13/14
Lim. e Cont. - 1
Limites de campos escalares
n
Definição: Sejam f : D f
ponto de acumulação de D f e b
um campo escalar, a um
.
Diz-se que b é o limite de f quando x tende para a, e
escreve-se
lim f x
b,
x a
se
0
0:x
D\ a
x
|f x
a
.
b|
Esta condição é equivalente a
0
0:x
D\ a
B a,
fx
B b,
ea
0
0:x
D\ a
x1
|f x
a1
b|
2
xn
an
2
.
Em particular, sendo f um campo escalar de duas variáveis,
x 0 , y 0 um ponto de acumulação de D f e b
,
lim
x,y
0
x 0 ,y 0
0 : x, y
f x, y
b
D\ x 0 , y 0
sse
x, y
x0, y0
|f x, y
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b|
Lim. e Cont. - 2
Nota:
1. Recordemos as seguintes propriedades do módulo:
|x. y|
|x
y|
|x|. |y|,
|x|
|x|
|y|
x
y
|y| e |x
(para y
y|
|x|
0),
|x k |
|x| k ,
|y|.
2. É também muito útil a seguinte propriedade:
Para qualquer x
|x i |
n
,
x ,
para todo 1
Em particular, para qualquer x, y
|x|
x2
y2
e |y|
i
2
x2
n.
,
y2 .
x,y
Da definição de limite resulta que:
Proposição: O limite duma função num ponto quando existe é
único.
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Lim. e Cont. - 3
Limites Relativos
n
Definição: Sejam f : D
, C um subconjunto de D e
a um ponto de acumulação de C.
Diz-se que b é o limite de f relativo a C quando x tende
para a, e escreve-se
lim f x
b,
x a
x C
se o limite, quando x tende para a, da restrição de f a C é b.
Chama-se limite direccional a qualquer limite relativo a uma
recta que passe pelo ponto em questão.
Proposição: Nas condições da definição anterior
lim f x
x a
b
lim f x
b.
x a
x C
Ou seja, caso exista, o limite da função no ponto terá que ser
igual a qualquer limite relativo da função nesse ponto.
Este facto é particularmente útil para provar que não existe
limite de uma determinada função num ponto e, também, para
deduzir que valor o limite terá, caso exista.
No entanto, pode existir limite de f relativo a um certo
subconjunto do domínio sem que exista o limite da função.
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Lim. e Cont. - 4
Propriedades dos Limites
Da definição resulta imediatamente que:
o limite de uma função constante é a própria constante.
se
a
j
é a projecção de ordem j em
n
, então
lim
j
x
n
(com 1
j
n) e
aj.
x a
Proposição: Sejam f e g campos escalares de D
a ponto de acumulação de D e b, c
.
Se lim f x
b e lim g x
x a
x a
1. lim f x
gx
b
n
em
,
c tem-se que:
c;
x a
2. lim
fx
b, para qualquer
;
x a
3. lim f x . g x
b. c;
x a
4. lim
x a
fx
gx
5. lim |f x |
b
c
, se c
0eg x
0 numa vizinhança de a;
|b|.
x a
n
(Sendo C um subconjunto de n e a
, diz-se que C é
uma vizinhança de a se existe uma bola aberta de centro em a
contida em C. )
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Lim. e Cont. - 5
Observação: Da definição de limite vem imediatamente que
se lim
|f x |
x a
0 então lim
fx
x a
0.
Este resultado não é válido para valores diferentes de zero.
Proposição (Lei do enquadramento):
n
Sejam f, g e h campos escalares definidos em D
e a um
ponto de acumulação de D tais que, para todos os valores do
domínio numa vizinhança de a (excepto, eventualmente, para a),
gx
Se
hx.
fx
lim g x
lim h x
x a
x a
então lim f x
b,
b.
x a
Continuidade de campos escalares
Definição: Sejam f : D
e a
n
D
D.
Diz-se que f é contínua em a se
lim f x
fa .
x a
Esta condição é equivalente a
0
0:x
D
x
a
|f x
fa |
.
Uma função diz-se contínua se for contínua em todos os pontos
do seu domínio.
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Lim. e Cont. - 6
Das correspondentes propriedades dos limites resulta que:
qualquer campo escalar constante é contínuo;
qualquer projecção
j
é um campo escalar contínuo;
a soma e a diferença de campos escalares contínuos é um
campo escalar contínuo;
o produto de um escalar por um campo escalar contínuo é
um campo escalar contínuo;
o produto de campos escalares contínuos é um campo
escalar contínuo;
o quociente de campos escalares contínuos é um campo
escalar contínuo, nos pontos onde o denominador não se
anula;
o módulo de um campo escalar contínuo é um campo
escalar contínuo.
n
Proposição: Sejam f : D
, g:E
, com
fD
E, f contínua em a e g contínua em f a .
Então g f : D
n
é uma função contínua em a.
Portanto,
a composta de duas funções contínuas, nos pontos em que
está definida, é uma função contínua.
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Lim. e Cont. - 7
Definição: Sejam f : D
n
e a
D \D.
Diz-se que f é prolongável por continuidade ao ponto a se
existe lim f x .
x a
À função g : D
a
gx
n
definida por
fx
se x
D
lim f x
se x
a
x a
chama-se o prolongamento por continuidade de f ao ponto a.
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Lim. e Cont. - 8
Limites de Campos Vectoriais
Definição: Sejam f : D
a D e b
b1, . . . , bm
n
m
m
um campo vectorial,
.
Diz-se que b é o limite de f quando x tende para a, e
escreve-se lim f x
b, se
x a
0
0:x
D\ a
x
a
x1
a1
fx
b
xn
an
.
Esta condição é equivalente a
0
0:x
D\ a
f1 x
b1
2
fm x
2
bm
2
2
.
Na prática, o estudo dos limites de campos vectoriais reduz-se ao
estudo dos limites das suas componentes escalares:
Proposição: Sejam f : D
a D eb
b1, . . . , bm
n
m
m
um campo vectorial,
.
Então,
lim f x
b sse
x a
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lim f 1 x
x a
b1,
, lim f m x
bm.
x a
Lim. e Cont. - 9
Proposição: Sejam f e g campos vectoriais de D
R m , a D e b, c R m .
Se lim f x
b e lim g x
x a
R n em
c, tem-se que:
x a
1. lim f x
gx
b
c;
x a
2. lim
fx
b, para qualquer
R;
x a
3. lim f x |g x
b|c;
x a
4. lim f x
b .
x a
Continuidade de Campos Vectoriais
Definição: Sejam f : D
a D D.
n
m
um campo vectorial e
Diz-se que f é contínuo em a se
lim f x
fa .
x a
Um campo vectorial diz-se contínuo se for contínuo em todos
os pontos do seu domínio.
Proposição: Um campo vectorial é contínuo num ponto se e só
se todas as suas componentes escalares o são.
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Lim. e Cont. - 10
Das correspondentes propriedades dos limites de campos
vectoriais, resulta que:
a soma de campos vectoriais contínuos é um campo
vectorial contínuo;
o produto de um escalar por um campo vectorial contínuo é
um campo vectorial contínuo;
o produto interno de dois campos vectoriais contínuos é um
campo escalar contínuo;
a norma de um campo vectorial contínuo é um campo
escalar contínuo.
Tal como se fez para os campos escalares:
Definição: Sejam f : D
a D \D.
n
m
um campo vectorial e
Diz-se que f é prolongável por continuidade ao ponto a se
existe lim f x .
x a
À função g : D
a
gx
n
m
definida por
fx
, se x
D
lim f x
, se x
a
x a
chama-se prolongamento por continuidade de f ao ponto a.
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Lim. e Cont. - 11