APOSTILA – UP-GRADE
MATEMÁTICA
Prof. Marcelo Renato
AULA 01: ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
Se um evento pode ocorrer de n1 maneiras distintas e, a seguir, um segundo evento pode ocorrer
de n2 maneiras distintas, e assim sucessivamente, até um k-ésimo evento que pode ocorrer de nk maneiras
distintas, então o número de maneiras distintas em que os k eventos podem ocorrer sucessivamente é:
n1 · n2.....nk.
Por exemplo: Lanchar um sanduíche ( 5 opções) e um suco (4 opções).
O número total de maneiras distintas para o lanche ser efetuado será: T = ( 5 ) ⋅ ( 4 )
⇒ T=20
2. ARRANJOS & COMBINAÇÕES
Na análise de um problema de contagem, quando o agrupamento formado se altera quando efetuamos
alteração na ordem dos elementos que o compõem, necessariamente o agrupamento é um ARRANJO.
Caso a alteração na ordem dos elementos não interfira no grupo formado, o agrupamento será
uma COMBINAÇÃO.
ARRANJO
COMBINAÇÃO
Numa corrida de fórmula–1, se a ordem de
chegada foi alcançada pelos pilotos
A – B – C ...
Se, entre n pontos A, B, C, D, etc., dispostos num
plano, formarmos um triângulo com os pontos
A – B – C ...
... sabemos que se for informado que a
chegada ocorreu na forma A – C – B ...
... corresponderá ao mesmo triângulo A – C – B.
... o grupo–resultado ALTERA.
A resolução de problemas de Arranjo é
efetuada, na sua esmagadora maioria, com a
utilização do PFC, ou seja,
Nesse caso a ordem dos elementos que compõem o
grupo NÃO ALTERA o referido grupo.
A resolução de
problemas de Arranjo é
efetuada com o emprego
da fórmula,
Cpn =
n!
p ! (n − p)!
T = (nº opções). (nº opções)...
3. PERMUTAÇÃO
É um caso especial de Arranjo que estudaremos, o qual, em praticamente 99% das situações, será
resolvido com a utilização do PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM.
Temos três tipos de Permutação, ou seja, PERMUTAÇÃO SIMPLES, PERMUTAÇÃO COM
REPETIÇÃO e PERMUTAÇÃO CIRCULAR, os quais serão trabalhados detalhadamente.
PERMUTAÇÃO
FÓRMULA
Simples
Pn = n !
C/ Repetição
Pnn1,n2 ,...,nk =
n!
n1! n2 !....nk!
EXEMPLOS RESOLVIDOS DE PFC
1. (UERJ adaptada) Em um salão há apenas 6 mulheres e 6 homens que sabem dançar. Calcule o
número total de pares de pessoas de sexos opostos que podem ser formados para dançar.
39
APOSTILA - UP-GRADE
Resolução:
Há 6 possibilidades de se escolher uma mulher e, para cada uma dessas escolhas, existem 6 possibilidades
de se escolher um homem. Portanto, o número total “T” de maneiras distintas de se formar um casal é dado
por T = ( 6 ) ⋅ ( 6 ) = 36 .
Resposta: 36 maneiras distintas.
2. (FGV-SP) No sistema de numeração decimal, quantos números pares existem com 3 algarismos
distintos e maiores que 800?
Resolução:
Lembrando que devemos iniciar a contagem priorizando as restrições.
Caso 1: Números começando com o algarismo 8 (1ª restrição) e terminando em algarismo par
(2ª restrição);
T1 = (1) ⋅ ( 8 ) ⋅ ( 4 )
T1 = 32
⇒
Caso 2: Números começando com o algarismo 9 (1ª restrição) e terminando em algarismo par
(2ª restrição);
T2 = (1) ⋅ ( 8 ) ⋅ ( 5 )
T2 = 40
⇒
Assim, a quantidade de números que atendem ao enunciado será
T = T1 + T2
⇒
T = 72
Resposta: 72 números pares.
3. (UFGO 2004) Uma senha com seis algarismos tem as seguintes características:
seus algarismos são distintos;
a soma dos dois últimos algarismos deve ser igual a seis.
Com essas características, determine a quantidade de senhas possíveis de serem formadas.
Resolução:
Como os algarismos são distintos não consideraremos a situação em que os dois últimos algarismos são
iguais a 3; assim, termos as seguintes situações para os dois últimos algarismos:
a b c d 1 5 ; a b c d 5 1 ; a b c d 2 4 ; a b c d 4 2 ; a b c d 0 6 e a b c d 6 0.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem:
8
7
6
5
T =(8 )
(
⋅ 7)
(
⋅ 6)
(
⋅ 5)
(
⋅ 6 )= 10 080
6
Resposta: 10.080 senhas distintas.
4. (Unifor-CE) Em uma agência bancária, ao retirar-se o cartão de crédito, escolhe-se uma senha que
deve ser composta de 6 dígitos, escolhidos de 1 a 9. De quantos modos pode-se escolher uma senha
que tenha os três primeiros dígitos repetidos e o último dígito seja par?
Resolução: Como não há restrições para o 4º e para o 5º dígito, teremos:
9
1
1
9
9
4
Par
ou
ímpar
Igual
ao 1º
Igual
ao 1º
Sem
restr.
Sem
restr.
par
T = 9.1.1.9.9.4
Resposta: 2.916 senhas distintas.
⇒
T = 2.916
EXEMPLOS RESOLVIDOS DE PFC – ARRANJO – PERMUTAÇÃO
5. (UFMG 2010 adaptada) Para montar a programação de uma emissora de rádio, o programador musical
conta com 10 músicas distintas, de diferentes estilos, assim agrupadas: 4 de MPB, 3 de Rock e 3
de Pop. Sem tempo para fazer essa programação, ele decide que, em cada um dos programas da
emissora, serão tocadas, de forma aleatória, todas as 10 músicas.
Calcule o número de programas distintos em que as músicas vão ser tocadas agrupadas por estilo.
Resolução: (M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 ) − ( R 1 ,R 2 ,R 3 ) − (P1 ,P 2 ,P3 )
i. Poderá haver permutação dos três estilos: MRP – MPR – RMP – RPM – PMR – PRM
40
APOSTILA – UP-GRADE
ii. Haverá permutação das músicas dentro e cada estilo:
(P4 ) e (P3 ) e (P3 )
Assim, o número de programas que atende ao enunciado será:
Resposta:
( 4! ) ⋅ ( 3! )
3
N
= ( 3! ) ⋅ ( 4 ! ) ⋅ ( 3 ! ) ⋅ ( 3 ! )
.
6. (UFES 2000) De quantas maneiras 10 clientes de um banco podem se posicionar na fila única dos
caixas de modo que as 4 mulheres do grupo fiquem juntas?
(M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 ) − H 1 − H 2 − H 3 − H 4 − H 5 − H 6
Resolução:
CONSIDERA −SE UMA PESSOA
i. Haverá permutação dos “sete” pessoas:
H1 − H 2 − H 3 − (
M1 ,M 2
,M 3 ,M 4 )
−H 4 − H 5 − H 6
CONSIDERA −SE UMA PESSOA
ii. Haverá permutação das 4 mulheres, no bloco das mesmas:
(M 3 ,M 1 ,M 4 ,M 2 )
Assim, o número de maneiras que atende ao enunciado será:
N
Resposta:
( 4 ! ) ⋅ ( 7! ) .
= ( 7! ) ⋅ ( 4 ! ) .
7. (UNESP adaptada) Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos
permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. DETERMINE:
a) Quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1.
b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, qual posição ocupa o número 512346 e que
número ocupa a 242ª posição.
Resolução:
T = 6!
a) No total podemos formar T = P6
T = 720 números;
⇒
⇒
Verificando os números que se iniciam com o algarismo 1:
T =(1 )
⋅ P5
T = 5!
T1 = 120
1
1
⇒
⇒
b) Verificamos que o número 512346 é o primeiro, em ordem crescente, que inicia com o algarismo “5”,
portanto, todos que começam com 1, com 2, com 3 e com 4 estão antes dele. Com os cálculos efetuados
no item anterior (120 números começam com 5) podemos afirmar que o número 512346 ocupa a posição
481º pois antes deles teremos 4 ⋅ (120 ) = 480 números.
A posição 242º será ocupada por:
120 números começando com o algarismo 1 (do 1º ao 120º);
120 números começando com o algarismo 2 (do 121º ao 240º);
O número da posição 241º será 3–1–2–4–5–6;
O número da posição 242º será 3–1–2–4–6–5.
Respostas: a) 720 números no total e 120 iniciando com o algarismo 1.
b) 481º e 3-1-2-4-6-5.
AULA 01 – PFC, ARRANJO & PERMUTAÇÃO – SÉRIE AULA
1. (UFG–GO 2008) Os computadores digitais codificam e armazenam seus programas na forma binária.
No código binário, que é um sistema de numeração posicional, as quantidades são representadas
somente com dois algarismos: zero e um. Por exemplo, o código 101011001, no sistema binário,
representa o número 345, do sistema de numeração decimal. Assim sendo, calcule quantos códigos
binários podem ser escritos com exatamente nove algarismos, considerando que o primeiro algarismo
do código binário é 1.
2. (UFPE) Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por 4 algarismos de 0 a 9, de tal
forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivas (assim, a senha “0120” é válida,
mas “2114” não é). O número de senhas válidas é:
a) 10.000.
b) 9.000.
c) 7.361.
d) 7.290.
e) 8.100.
3. (FUVEST 2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos
somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, podem ser usados e um
uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua
algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De
escolher sua senha?
41
para sua conta bancária. Nessa senha,
mesmo algarismo pode aparecer mais de
senha contenha o número 13, isto é, o
quantas maneiras distintas Maria pode
APOSTILA - UP-GRADE
4. (PUC-SP) Para ter acesso a um certo arquivo de um microcomputador, o usuário deve realizar duas
operações: digitar uma senha composta por três algarismos distintos e, se a senha for aceita, digitar
uma segunda senha composta por duas letras distintas escolhidas num alfabeto de 26 letras. Quem não
conhece as senhas pode fazer tentativas. O número máximo de tentativas necessárias para ter acesso
ao arquivo é:
5. (UFMG 2004) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco vestem camisas amarelas, cinco
vestem camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila com essas
pessoas de forma que as três primeiras vistam camisas de cores diferentes e que as seguintes
mantenham a seqüência de cores dada pelas três primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras
distintas se pode fazer tal fila?
3
a) 3 · (5 !) .
3
b) (5 !) .
3
c) (5 !) · (3 !).
d)
15 !
.
⋅
6. (FAAP-SP) Permutando os algarismos 2, 4, 6 e 8, formamos números. Dispondo esses números em
ordem crescente, qual o número que ocupa a 22 ª posição?
3! 5!
7. (UP 2013) Determine o número total de maneiras distintas que 3 (três) alunos podem ser alocados em
uma fileira de 6 (seis) carteiras vazias de modo que, entre dois alunos próximos (seguidos), sempre
tenha exatamente uma carteira vazia.
8. (FUVEST-SP adaptada) A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão
assinalados as casas de João (A), de Maria (B), a escola ( C) e um possível caminho que João percorre
para, passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que
João poderá percorrer, caminhando somente para o Norte ou Leste, para ir de sua casa à escola,
passando pela casa de Maria?
AULA 01 – PFC, ARRANJO & PERMUTAÇÃO – SÉRIE CASA
1. (UFSCar-SP) Um encontro científico com a participação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7
químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu formar uma
comissão de dois cientistas para representá-lo em um congresso. Tendo sido estabelecido que a dupla
deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas que podem
representar o grupo no congresso é igual a:
a) 46
b) 59
c) 77
d) 83
e) 91
2. (UP 2013) Quantos anagramas (com as oito letras) da palavra PAPAGAIO começam por consoante e
terminam com vogal?
3. (IBMEC-RJ 2010 adaptada) Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de
costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não
têm preferência. Calcule de quantos modos distintos esses 10 passageiros podem sentar, respeitadas
as suas preferências.
4. (UNESP 2007) Dois rapazes e duas moças irão viajar de ônibus, ocupando as poltronas de números 1 a
4, com 1 e 2 juntas e 3 e 4 juntas, conforme o esquema.
a)
b)
c)
d)
e)
O número de maneiras de ocupação dessas quatro poltronas, garantindo
que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça sempre viaje um
rapaz, é:
4.
6.
8.
12.
16.
42
APOSTILA – UP-GRADE
5. (UERJ 2011) Uma rede
representação abaixo.
é
formada
de
triângulos
equiláteros
congruentes,
conforme
a
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X
caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X
equivale a:
a) 20.
b) 15.
c) 12.
d) 10.
RESPOSTAS – AULA 01 (COMBINATÓRIA)
SÉRIE AULA
SÉRIE CASA
01) 256.
01) D.
02) D.
02) 180.
03) 551 senhas possíveis.
03) 43200.
04) 1370.
04) E.
05) C. 06) 8462. 07) 12. 08) 150. 05) B.
AULA 02: ANÁLISE COMBINATÓRIA (COMBINAÇÕES)
AULA 02 – COMBINAÇÕES – SÉRIE AULA
1. (UFPel-RS modificada) Para realizar um bingo beneficente, uma
associação solicitou a confecção de uma série completa de cartelas com
10 números cada uma, sem repetição, sendo utilizados somente
números de 1 a 15.
Quantas cartelas foram confeccionadas?
a) 2100
b) 2500
c) 2080
d) 3050
e) 3003
4
8
6
3
5
7
1
14
9
13
2. (UERJ 2007) Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do
Candidato do Vestibular Estadual 2007. Um desses grupos está representado a seguir:
Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente
quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos
entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a:
a) 24
b) 35
c) 70
d) 140
3. (Unifesp-SP adaptada) Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram convocados para
uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo
proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas
maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas?
43
APOSTILA - UP-GRADE
4. (FUVEST-SP adaptada) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que
vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos,
com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões
podem ser formadas?
5. (Cesgranrio-RJ adaptada) Dispondo-se de 5 rapazes e 6 moças, de quantas maneiras pode-se escolher
4 pessoas para formar uma comissão tendo, pelo menos uma moça?
6. (UFABC-SP) Admita que, dos 20 jogadores convocados pelo técnico da seleção brasileira de futebol
para as 10 posições de linha, 4 sejam canhotos, 14 destros e 2 ambidestros. Nessas condições, se o
técnico quiser escalar todos os jogadores que sabem chutar com a perna esquerda, o número de
formas distintas com que ele poderá preencher as demais vagas da linha, não importando a ordem das
posições, é igual a:
a) 660
b) 784
c) 880
d) 909
e) 1001
7. (Unesp-SP) Marcam-se, num plano, 10 pontos, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, dos quais 4 estão sobre a
mesma reta e três outros pontos quaisquer nunca estão alinhados,
conforme a figura.
O número total de triângulos que podem ser formados, unindo-se três
quaisquer desses pontos, é:
a) 24
b) 112
c) 116
d) 120
e) 124
8. (UP 2013) É comum confundirmos problemas de Combinação com problemas de Arranjo. Sabemos que
quando se trata de problemas de Combinação a ordem dos elementos que compõem o grupo formado
não altera o mesmo, por exemplo, um trio de amigos Antônio, Beatriz e Carlos é o mesmo independente
de os citarmos Beatriz, Carlos e Antônio. No Arranjo isso acarreta grupos distintos (exemplo de corrida
de fórmula 1: em 1º lugar Felipe Massa, em 2º- Kimi Raikkonen e em 3º- Sebastian Vettel).
É interessante também utilizarmos o PFC (Princípio Fundamental da Contagem) para a maioria dos
casos de Arranjo: De quantas maneiras distintas poderíamos ter os três pilotos citados, no parágrafo
anterior, ocupando as três primeiras colocações de uma determinada corrida?
Como se trata de um problema de Arranjo, neste caso poderemos utilizar o PFC para solucioná-lo:
3
2
1
Temos 3 opções para o 1º lugar; 2 opções para o 2º e 1 opção para o 3º,
totalizando, pelo PFC, 6 maneiras distintas.
a) De quantos modos podemos distribuir 12 pessoas em 3 quartos, no município de Vila Velha-ES, abendo
que no primeiro (de frente para a Praia da Costa, dormirão 4 pessoas, no segundo (ao lado do Clube
Libanês) 3 e no terceiro (localizado nos fundos, com vista para o Convento da Penha) as 5 restantes?
b) De quantas maneiras podemos distribuir 12 pessoas formando 3 times de voleibol (com 4 pessoas
cada) para brincar no ponto conhecido como “Beverly Hills” da Praia de Itapoá (Vila Velha/ES)?
QUESTÃO ESPECIAL DE COMBINAÇÃO COMPLETA (BOLA -TRAÇO)
1. (UP 2013) Deseja-se distribuir 20 brinquedos distintos entre 4 crianças. De quantos modos distintos
essa divisão poderá ser realizada, nas condições abaixo:
a) Podendo haver crianças que não receba presente algum ou que receba parte deles ou ainda todos eles.
b) De modo que cada uma delas receba pelo menos 3 brinquedos.
Resolução:
a) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 20
Arrumando... x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 20
⇒
Resolvendo com a utilização do esquema “bola-traço”:
44
T
3 , 20
= P23
=
23 !
3 ! 20 !
⇒
Ta = 1771
APOSTILA – UP-GRADE
b) Considerando x 1 , x 2 , x 3 , x 4 as quantidades de brinquedos recebidas por cada criança, teremos
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 20
Como cada criança deverá receber pelo menos 3 brinquedos, fazendo-se uma troca de variáveis teremos
(y 1 + 3 ) + (y 2 + 3 ) + (y 3 + 3 )+ (y 4 + 3 ) = 20
Arrumando... y1 + y 2 + y 3 + y 4 = 8
⇒
Resolvendo com a utilização do esquema “bola-traço”:
Respostas: a) 1771 modos distintos.
T
3,8
= P11 =
11!
3!8 !
⇒
Tb = 165
b) 165 modos distintos.
EXEMPLOS RESOLVIDOS COM COMBINAÇÃO
1. (UNESP adaptada) Um repórter perguntou ao técnico de um time de futebol de salão se ele já dispunha
da escalação de sua equipe. O técnico respondeu que jogariam Fulano, a grande estrela do time, e
mais 4 jogadores. Supondo que o técnico disponha de um elenco de 11 jogadores (incluindo Fulano) e
que qualquer jogador pode ocupar qualquer posição, quantas equipes diferentes podem ser formadas
de maneira que a resposta do técnico seja verdadeira?
Resolução:
Já que Fulano está definido que jogará, restam apenas escolher 4 outros jogadores entre os 10 que
sobraram, ou seja:
T
= ⎛⎜
⎝
10
4
⎞
⎟=
⎠
10 !
4! 6!
⇒
T = 210
2. (UFCG–PB adaptada) Com o objetivo de fazer uma boa campanha nos Jogos Olímpicos de Pequim em
2008, almejando a conquista da medalha de ouro para o nosso futebol, o técnico da seleção brasileira
feminina de futebol convocou 18 jogadoras para formar nossa seleção. Dentre estas estavam: 2
goleiras, 3 laterais, 3 zagueiras, 6 meio – campistas e 4 atacantes.
Pensando sempre na melhor formação para representar nosso país, calcule o número de possibilidades
que o técnico teve para montar um time com 1 goleira, 2 laterais, 2 zagueiras, 4 meio – campistas e
2 atacantes.
Resolução:
Aqui temos a combinação do Princípio Fundamental da Contagem com a técnica da Combinação para a
escolha de cada jogadora em suas respectivas posições.
3 3 6
⎞
T = ( 2 )⋅ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ 4 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ 4
2⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
⇒ T = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅15 ⋅ 6 ⇒
T = 1620
3. (Mack-SP adaptada) Em uma sala de aula há 25 alunos, quatro deles considerados gênios. Calcule o
número de grupos, com três alunos, que pode ser formado incluindo pelo menos um dos gênios.
Resolução:
Aqui utilizaremos a “Técnica do Recipiente”, técnica criada pelo
professor MR:
25
⎞
x = ⎛⎜ 3 ⎞⎟ − ⎛⎜ 21
⎟
⎝
⎠ ⎝ 3 ⎠
x = ( 2300 ) − (1330 )
⇒
x = 970
4. (UFES adaptada) Uma lanchonete faz vitaminas com uma, duas, três, quatro ou cinco frutas diferentes,
a saber: laranja, mamão, banana, morango e maçã. As vitaminas podem ser feitas com um só tipo de
fruta ou misturando-se os tipos de fruta de acordo com o gosto do freguês. Desse modo, quantas
opções de vitaminas a lanchonete oferece?
Resolução: Considerando T o total de opções que atende ao enunciado, teremos
5
5
5
5
5
T = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ + ⎛⎜ 2 ⎞⎟ + ⎛⎜ 3 ⎞⎟ + ⎛⎜ 4 ⎞⎟ + ⎛⎜ 5 ⎞⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
45
APOSTILA - UP-GRADE
Veremos, mais adiante, na aula de Binômio de Newton, quando comentarmos sobre Triângulo de Pascal,
que existe uma teoria sobre a soma de combinações conforme apresentado abaixo:
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞
⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟+
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝3 ⎠
5⎞ ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛5⎞ 5
⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟ = 2
⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 5 ⎠
Assim, no nosso exemplo, T = ⎛⎜
T = 2 5 −1
⇒ T = 32 −1 ⇒
n ⎞ = 2n
⎟
⎝n⎠
+ ⎛⎜
5⎞
⎟
⎝0⎠
− ⎛⎜
T = 31
AULA 02 – COMBINAÇÕES – SÉRIE CASA
1. (Fatec-SP adaptada) Considere que todas as x pessoas que estavam em uma festa trocaram apertos
de mão entre si uma única vez, num total de y cumprimentos. Se foram trocados mais de 990
cumprimentos, o números mínimo de pessoas que poderiam estar nessa festa é
2. (FGV-RJ 2011 adaptada) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos
duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão.
Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e
não as quantidades?
3. (FESP-PE adaptada) Uma turma é composta por 8 rapazes (Jorge e Júnior são dois deles) e 5 moças
(Ana e Daniela são duas delas). Calcule o número n de comissões que podem ser formadas com os
componentes da turma, constituídas de 3 rapazes e 2 moças, de modo que delas façam parte Jorge e
Júnior, e não façam parte Ana e Daniela.
4. (Fuvest-SP) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De
quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos?
a) 98
b) 126
c) 115
d) 165
e) 122
5. (Fuvest-SP) Um químico dispõe de 10 substâncias. De quantos modos poderá associar 6 dessas
substâncias se existem duas que não podem ser juntadas porque haveria explosão?
1. 70
2. 120
3. 28
4. 140
5. 120
DESAFIO 1
1. (FGV-SP 2012) Oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte. Dirigem-se a um
hotel onde somente estão disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo.
a) De quantos modos diferentes elas podem alojar-se no hotel?
b) As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos, como mostra a figura. Certo dia, elas decidem
almoçar no único restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes elas podem escolher para ir do
hotel ao restaurante? Elas caminham somente para o norte ou para o leste. A figura indica um
possível caminho.
46
APOSTILA – UP-GRADE
DESAFIO 2
2. (IME) Seja um barco com 8 lugares, numerados como no diagrama seguinte:
Há 8 remadores disponíveis para guarnecê-lo, com as seguintes restrições: Os remadores A e B só
podem sentar no lado ímpar e o remador C, no lado par. Os remadores D, E, F, G, H podem ocupar
quaisquer posições. Quantas configurações podem ser obtidas com o barco totalmente guarnecido?
DESAFIO 3
3. (UNESP 2011) Em todos os 25 finais de semana do primeiro semestre de certo ano, Maira irá convidar
duas de suas amigas para ir à sua casa de praia, sendo que nunca o mesmo par de amigas se repetirá
durante esse período. Respeitadas essas condições, determine o menor número possível de amigas
que ela poderá convidar. Dado 201 ≅ 14,2 .
RESPOSTAS – AULA 02 (COMBINATÓRIA)
SÉRIE AULA
SÉRIE CASA
01) E.
01) 46.
02) 26.
02) B.
03) 1260.
03) 18.
04) 71.
04) A.
05) D.
05) 325. 06) E. 07) C.
08) a)
Ta
=
12 !
. 08) b)
3! 4! 5 !
Tb
=
12 !
3!
⋅ (4 !) 3
.
Resolução da questão 08 – série aula:
a)
b)
Ta
⎛ 12 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 5 ⎞
⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝3⎠ ⎝5⎠
= ⎜⎜
⎛⎜
⎜⎝
b =
12
T
4
⎞⎟ ⋅ ⎛⎜
⎟⎠ ⎜⎝
8
4
3!
⎞⎟ ⋅ ⎛⎜
⎟⎠ ⎜⎝
4
4
⇒
⎞⎟
⎟⎠
⇒
Ta
=
12 !
4! 8!
12 !
Tb
=
4! 8 !
⋅
⋅
8!
3! 5!
8!
4! 4!
⋅
⋅
5!
5! 0!
⇒
Ta
=
⇒
Tb
=
12 !
3! 4! 5 !
4!
4! 0 !
3!
12 !
3!
⋅ (4 !) 3
Neste caso, como foi usado o PFC e sabemos que não existe permutação entre os times
formados, ou seja, independente da ordem como colocamos os 3 times lado a lado, os três sempre serão
os mesmos, temos que dividir o resultado do PFC pela permutação dos três times (3 !). Fique atento, isso
não ocorre quando os grupos ocupam lugares fixos ou cargos fixos, ou seja, como no item “a” desta
questão e no caso de cargos de senador, deputado e vereador, etc., ou ainda de times com nomes
definidos: Botafogo, Flamengo e Vasco, nesses casos existirá a permutação das pessoas nos referidos
grupos claramente definidos.
.
RESPOSTAS DOS DESAFIOS
1) a) 560
b) 210.
2) 5760
47
3) no mínimo oito amigas.
APOSTILA - UP-GRADE
AULAS 03 E 04: PROBABILIDADE
1. ESPAÇO AMOSTRAL “S”
É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.
No lançamento de uma moeda perfeita (não viciada) o espaço amostral é S = { cara; coroa };
No lançamento de um dado não viciado: S = {1; 2; 3; 4; 5; 6 };
No lançamento de dois dados distintos, não viciados, o espaço amostral está representado Figura 1 abaixo:
S = { (1,1); (1,2); (1,3); ... ; (6,6) }, onde n (S) = 36 elementos.
1
2
3
4
5
6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Figura 1
2. DIAGRAMA DE ÁRVORE
Exemplo: Um casal sadio pretende ter filhos (menino ou
menina) em três gestações consecutivas, gerando um bebê
em cada gravidez. O espaço amostral para esta situação
está representado na figura ao lado (Figura 2).
3. EVENTO “E”
É qualquer subconjunto do Espaço Amostral, ou seja,
E ⊂ S ... (E está contido em S).
Figura 2
•
No lançamento de um dado não viciado, o subconjunto E = {2; 4; 6} é o evento que acontece se o
número mostrado na face de cima é par;
•
No lançamento de dois dados não viciados, distintos, o subconjunto E = {(4,6); (5,5); (6,4); (5,6); (6,5);
(6,6)}, composto por 6 elementos, é o evento que acontece se a soma dos números mostrados nas
respectivas faces superiores determina uma soma maior ou igual a 10.
4. PROBABILIDADE DE UM EVENTO “p(E)”
Supondo o espaço amostral
equiprovável:
“S”
p(E ) =
número de casos favoráveis n(E)
=
total de casos possíveis
n(S )
O número de casos favoráveis é o número de elementos do subconjunto E;
O Total de casos possíveis é o número de elementos do espaço amostral S.
Exemplo: Considere dois dados, cada um deles com seis faces numeradas de 1 a 6. Se os dados são
lançados ao acaso, qual a probabilidade das faces obtidas darem soma maior ou igual a 8?
Utilizando a representação do espaço amostral conforme a Figura 1
apresentada no tópico 1 acima ...
... verificamos que temos (1 + 2 + 3 + 4 + 5) casos favoráveis em um
total de 36 possíveis resultados.
15 ÷ 3 5
=
A probabilidade “P” que atende ao enunciado será: P =
36 ÷ 3 12
48
APOSTILA – UP-GRADE
A unidade da grandeza presente no numerador (item 4) tem que ser a mesma unidade da grandeza
presente no denominador, ou seja, se no numerador fossem duplas de bolas, consequentemente, no
denominador deverá ser total de duplas de bolas. Se fosse para determinar a probabilidade de acertar a
Mega-Sena com um único cartão com 6 dezenas marcadas, no numerador teremos o número 1
representando um grupo de seis dezenas e no denominador teremos todos os grupos de 6 dezenas com 60
⎛ 60 ⎞
60 !
dezenas possíveis ⎜⎜ ⎟⎟ =
≅ 0,000002 % .
6
6
! 54 !
⎝
⎠
Meu Deus!
RESOLVER – SÉRIE AULA TESTES 01 A 08
5. PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES SUCESSIVOS OU SIMULTÂNEOS
Aqui temos o conectivo “e” que tem como significado a intersecção de eventos (regra do produto).
Dois eventos são ditos independentes quando a ocorrência de um não influencia a ocorrência do outro.
Se dois ou mais eventos independentes ocorrem seqüencialmente, a probabilidade de ocorrência deles
será calculada multiplicando os resultados obtidos nas probabilidades de cada evento isolado.
p (E1 ∩ E 2 ) = p (E1 ) ⋅ p (E 2 )
Exemplo: Numa urna foram depositadas 2 bolas verdes e 3 bolas vermelhas. Retiradas com reposição, qual
a probabilidade de obtermos uma bola verde seguida de uma vermelha?
Resolução: Considerando E1 a probabilidade de retirada da bola verde e E2 da bola vermelha:
2
3
p (E1 ) =
, p (E2 ) =
5
5
⇒
p( E ) ⋅ p( E ) =
1
2
2 3
⋅
5 5
⇒
p( E ) ⋅ p( E ) =
1
2
6
25
6. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS INDEPENDENTES (OCORRER O EVENTO A OU
EVENTO B)
Aqui temos o conectivo “ou” que tem como significado a união de eventos (regra da adição).
CASO 1: Probabilidade de ocorrer E1 ou E 2 sendo que E1 ∩ E2 = ∅ (eventos mutuamente exclusivos).
p (E1 ∪ E 2 ) = p (E1 ) + p (E2 )
Exemplo:
Uma carta nº 1 (Ás)
Um baralho completo possui 52 cartas dispostas em 4 naipes
onde, em cada naipe, a cartas são numeradas conforme
apresentado ao lado:
Nove cartas com numeração de 2 a 10
Se utilizarmos um baralho completo, qual a probabilidade de
sua retirada ser um valete ou um 2?
Uma carta Dama
49
Uma carta Valete
Uma carta Rei
APOSTILA - UP-GRADE
Resolução: Como E1 ∩ E 2 = ∅
⇒ p (E
1∪
E2 ) = p (E1 ) + p (E 2 )
⇒
p (E1 ∪ E 2 ) =
7
4
4
+
=
52 52 13
CASO 2: Probabilidade de ocorrer E1 ou E 2 sendo que E1 ∩ E2 ≠ ∅ .
p (E1 ∪ E 2 ) = c + p (E 2 ) − p (E1 ∩ E 2 )
Exemplo:
Retirando aleatoriamente uma carta de um baralho
completo, qual a probabilidade de obter uma dama ou
uma carta de espadas?
Resolução:
Considerando os eventos E1 (dama) e E2 (espadas):
p (E1 ) =
Sabemos que existe a carta “dama” que
também é do naipe “espadas”, ou seja, existe a
probabilidade E1 ∩ E2 ≠ ∅ que é igual a 1/52.
p (E1 ∪ E2 ) =
Resposta:
13
4
, p (E 2 ) =
52
52
4 13 1 16 4
+
−
=
=
52 52 52 52 13
4
.
13
RESOLVER – SÉRIE AULA TESTES 09 A 12
6.1. EVENTOS COMPLEMENTARES (PROBABILIDADE DE NÃO OCORRER UM EVENTO)
Quando os eventos de um espaço amostral S, E1 e E2 são tais que
E1 ∩ E2 = ∅ e E1 ∪ E2 = S ,
E1 e E2 são chamados de “eventos complementares”.
Exemplo 1:
No lançamento de um dado os eventos E1 (obter número menor que três) e E2 (obter número maior que
dois), além de mutuamente exclusivos E1 ∩ E2 = ∅ são complementares E1 ∪ E2 = S .
p (E1 ) =
2
4
e p (E 2 ) =
6
6
⇒
p (E1 ∪ E2 ) =
2 4
+ =1
6 6
De um modo geral, se E1 e E2 são eventos complementares, p (E1 ∪ E 2 ) = 1 .
Em outras palavras, p (E1 ) = 1 − p (E 2 ) .
Exemplo 2:
No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual a probabilidade de não sair
soma cinco?
Resolução: O espaço amostral para o lançamento de 2 dados distinguíveis é composto por 36 elementos;
O evento E1: “sair soma 5” , { (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) } tem probabilidade p (E1 ) =
A probabilidade do evento E2: “não sair soma 5” será: p (E2 ) = 1 −
50
1
9
⇒
4
36
p (E 2 ) =
⇒ p (E ) = 91 ;
1
8
9
APOSTILA – UP-GRADE
RESOLVER – SÉRIE AULA TESTES 13 A 16
7. PROBABILIDADE CONDICIONAL
Em alguns problemas o cálculo da probabilidade de um evento A está condicionado ao
conhecimento da probabilidade de um evento B (independente de já ter ocorrido ou não o evento B), é a
chamada Probabilidade Condicional.
Muitos problemas de probabilidade condicional podem ser resolvidos “reduzindo-se adequadamente
o espaço amostral”, a partir de uma informação parcial do resultado do experimento.
Exemplo: (PUCC-SP) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma, nos dois dados, é igual a 8,
calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles.
Resolução: É conhecido que o espaço amostral inicial S possui 36 elementos;
Como já fomos informados de que a soma dos números nos dois dados vale 8 podemos reduzir o nosso
espaço amostral “S” para “S1”, onde
2
S1 = { (2,6) , (6,2) , (3,5) , (5,3), ( 4,4) }
n(S1) = 5 ; assim, a probabilidade será: P = .
5
⇒
RESOLVER – SÉRIE AULA TESTES 17 e 18
8. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (OCORRÊNCIAS REPETIDAS)
Seja uma experiência realizada com “n” tentativas independentes e com dois resultados possíveis em
cada tentativa, sucesso ou fracasso (falha):
Seja “p” a probabilidade de ocorrência do evento E (sucesso) e
" q = (1 − p) " a probabilidade de ocorrência do evento E (fracasso).
A probabilidade de obtermos “r” vezes o resultado desejado é dada por:
Exemplo-1: Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a
probabilidade de obtermos 3 caras (K) e 3 coroas (C)?
Assim, a probabilidade de obtermos 3 caras (K)
e 3 coroas (C) em 6 lançamentos será:
Resolução: Uma das situações favoráveis pode ser
representada por: K – K – K – C – C – C
Sabemos que os 6 elementos que compõem a situação
favorável poderão permutar entre si, fato esse que
viabilizará outras condições favoráveis.
6!
K −K −K − C − C − C
P63, 3 =
P63, 3 = 20
3
!
3
!
3,3
P = 20 ⋅ ⎜
⇒
P6
⇒
⎛ 1⎞
⎟
⎝2⎠
⎛ 1⎞
⎟
⎝2⎠
P = 20 ⋅ ⎜
Resposta:
3
⎛ 1⎞
⎟
⎝2⎠
3
⋅⎜
6
⇒ P = 20 ⋅ 641 ⇒ P = 165
5
16
Exemplo-2: (MRUP) O médico geriatra do professor Júnior Bola (o papa da Geografia) constatou em uma
pesquisa recente sobre a fertilidade na 3ª idade que Júnior Bola, num exame específico,
apresentou a probabilidade de gerar filhos do sexo feminino 5 vezes maior do que a de gerar
filhos do sexo masculino. Com base na pesquisa do geriatra, qual a probabilidade de um casal
(onde o homem tem as mesmas características de fertilidade que o professor Júnior Bola) gerar
2 filhas e 3 filhos em 5 gestações sucessivas?
Resolução: Considerando H (filho) e M (filha), e que “p” é a probabilidade do casal em questão gerar
“filho-H” e “5p” a de gerar “filha-M”,
p + 5p = 100 %
⇒ p + 5p = 1 ⇒
p=
1
6
⇒
PH =
1
5
e PM =
6
6
Uma das situações favoráveis pode ser representada por: M – M – H – H – H
Sabemos que os 5 elementos que compõem a situação favorável poderão permutar entre si,
fato esse que viabilizará outras condições favoráveis.
51
APOSTILA - UP-GRADE
− − − − ⇒
M
M
H
P52 ,3
H
H
2, 3
P5
=
5!
2! 3 !
⇒ P = 10
2, 3
5
Assim, a probabilidade do nascimento de 2 filhas (M) e 3 filhos (H) em 5 gestações sucessivas
⎛5⎞
⎟
⎝6⎠
será: P = 10 ⋅ ⎜
2
⎛ 1⎞
⎟
⎝6⎠
⋅⎜
3
⇒
25 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟⋅ ⎜
⎟
⎝ 36 ⎠ ⎝ 36 ⎠
P = 10 ⋅ ⎛⎜
⇒ P ≅ 19,3%
⇒ P = 125
648 RESOLVER – SÉRIE AULA TESTES 19 e 20
AULAS 03 e 04 – SÉRIE AULA
1. (PUC-RJ 2009 adaptada) Jogamos dois dados comuns, distintos e honestos. Qual a probabilidade de
que o total de pontos seja igual a 10?
2. (Cesgranrio-RJ) Num jogo com um dado, o jogador X ganha se tirar, no seu lance, um número de
pontos maior ou igual ao do lance do jogador Y. A probabilidade de X ganhar é:
a) 1/2
b) 2/3
c) 7/12
d) 13/24
e) 19/36
3. (FUVEST 2009 adaptada) Dois dados cúbicos, distintos e não viciados, com faces numeradas de 1 a 6,
serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos,
cuja soma seja um número primo, é de:
4. (PUC-RJ 2007) A probabilidade de um dos cem números 1, 2, 3, 4, …, 100 ser múltiplo de 6 e de 10 ao
mesmo tempo é:
5. (Fuvest-SP) Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 9. Sorteiam-se, com reposição, duas bolas. A
probabilidade de que o número da segunda bola seja estritamente maior do que o da primeira é:
a) 72/81.
c) 36/81.
e) 45/81.
b) 1/9.
d) 30/81.
6. (Mack-SP) Num grupo de 10 pessoas estão A e B. Escolhidas ao acaso 5 pessoas do grupo, a
probabilidade de A e B serem escolhidas é:
a) 1/5.
c) 2/9.
e) 9/10.
b) 1/10.
d) 5/9.
7. (PUC-PR 2006) Há em um hospital 9 enfermeiras (Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas é um deles).
Diariamente, devem permanecer de plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Qual a probabilidade de Karla e
Lucas estarem de plantão no mesmo dia?
a) 1/3.
c) 8/45.
e) 2/3.
b) 1/4.
d) 1/5.
8. (UPE) A caixa A contém 8 peças das quais 3 são defeituosas, e a caixa B contém 5 peças das quais 2
são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa. Sabendo-se que os eventos são
independentes, a probabilidade de ambas não serem defeituosas é:
a) 2/5
c) 7/8
e) 3/2
b) 3/5
d) 3/8
9. (Fuvest-SP 2006) Um recenseamento revelou as seguintes características sobre a idade e a
escolaridade da população de uma cidade.
52
APOSTILA – UP-GRADE
a)
b)
c)
d)
e)
Se for sorteada, ao acaso, uma pessoa da cidade, a probabilidade de esta pessoa ter curso superior
(completo ou incompleto) é
6,12%
7,27%
8,45%
9,57%
10,23%
10. (FGV-SP 2008) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o trabalho: de ônibus ou de moto. A
probabilidade de ela ir de ônibus é 30% e, de moto, 70%. Se Cláudia for de ônibus, a probabilidade de
chegar atrasada ao trabalho é 10% e, se for de moto, a probabilidade de se atrasar é 20%. A
probabilidade de Cláudia não se atrasar para chegar ao trabalho é igual a:
11. (ADVISE 2009 adaptada) O quadro funcional de uma empresa é composto de 35 pessoas efetivas e 15
pessoas prestadoras de serviços. Do pessoal efetivo 20 são homens e do pessoal prestador de serviço
5 são mulheres. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa empresa, a probabilidade dessa pessoa
ser homem ou prestar serviço é:
12. (FGV-SP) Num sorteio, a urna “A” tem 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. A urna “B” tem 5 bolas
brancas e 5 bolas pretas. Foi retirada uma bola da urna “A”, não se sabe sua cor, e foi colocada na urna
“B”; em seguida, foi sorteada uma bola da urna “B”. Qual é a probabilidade desta bola ser branca?
13. (UERJ 2004) Numa sala existem cinco cadeiras numeradas de 1 a 5. Antônio, Bernardo, Carlos, Daniel
e Eduardo devem se sentar nestas cadeiras. A probabilidade de que nem Carlos se sente na cadeira 3,
nem Daniel na cadeira 4, equivale a:
a) 16%
b) 54%
c) 65%
d) 96%
14. (PUC-SP 2010) Um aluno prestou vestibular em apenas duas Universidades. Suponha que, em uma
delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto na outra, pelo fato de a prova ter
sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas condições, a probabilidade
deque esse aluno seja aprovado em pelo menos uma dessas Universidades é de:
15. (Unicamp-SP 2007) Dois prêmios iguais serão sorteados entre dez pessoas, sendo sete mulheres e três
homens. Admitindo que uma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, responda às perguntas abaixo.
a) De quantas maneiras diferentes os prêmios podem ser distribuídos entre as dez pessoas?
b) Qual é a probabilidade de que dois homens sejam premiados?
c) Qual é a probabilidade de que ao menos uma mulher receba um prêmio?
16. (UFMG 2007 adaptada) Um grupo de pessoas é formado por 5 crianças (entre elas Paulinho) e 4
adultos, dos quais 3 possuem habilitação para dirigir automóvel. Com um automóvel de 5 lugares (2 na
frente e 3 atrás), tendo a restrição de que criança não pode viajar no banco da frente, escolhida ao
acaso uma das maneiras de se efetuar a lotação do automóvel, a probabilidade de Paulinho não fazer
parte da lotação é de:
a) 4/7.
c) 3/5.
e) 1/2.
b) 3/7.
d) 2/5.
17. (UP 2011) Em janeiro de 2010, na festa de aniversário (50 anos) do professor “VALADARES”, houve
um sorteio de um SKATE. Os bilhetes foram numerados de 1 a 50. Entretanto, foi anunciado que o
número sorteado era par. Se o professor “BORGINHO”, convidado-irmão, só tinha 4 bilhetes pares, qual
era a probabilidade, em %, do professor “BORGINHO” NÃO ser sorteado?
18. (UFABC-SP) Uma firma realizou um concurso para selecionar alguns universitários que pretendem
fazer estágio. A tabela apresenta as escolhas das carreiras dos estudantes inscritos, por sexo.
Um desses estudantes é escolhido ao acaso, e sabe-se
que ele é do sexo masculino. A probabilidade de este
estudante ter escolhido computação é de
a) 6%.
b) 15%.
c) 24%.
d) 30%.
e) 36%.
53
carreira
masculino
feminino
engenharia
8
6
computação
6
5
matemática
11
4
APOSTILA - UP-GRADE
19. (UFMG 2008) Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla escolha,
com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide fazer essa
prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é CORRETO afirmar que a
probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questão é:
20. (PUC-RIO 2010) Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer
coroa em uma só moeda?
AULAS 03 e 04 – SÉRIE CASA
1. (Vunesp 2010) Duas máquinas A e B produzem juntas 5000 peças em um dia. A máquina A produz
2000 peças, das quais 2% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 3000 peças, das quais 3%
são defeituosas. Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso, e examinando-a,
constatou-se que ela é defeituosa. Qual a probabilidade de que essa peça escolhida tenha sido
produzida pela máquina A?
2. (FEI-SP) Em um exame de seleção com 1800 candidatos, 600 ficaram reprovados em Matemática, 450
ficaram reprovados em Português e 240 ficaram reprovados em Matemática e Português. Se um dos
participantes for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter sido reprovado em Matemática e
aprovado em Português?
a) 1/5
b) 3/4
c) 1/3
d) 2/5
e) 1/10
3. (UFRS 2004) Em um jogo, dentre dez fichas numeradas com números distintos de 1 a 10, duas fichas
são distribuídas ao jogador, que ganhará um prêmio se tiver recebido fichas com dois números
consecutivos. A probabilidade de ganhar o prêmio neste jogo é de:
a) 14%
b) 16%
c) 20%
d) 25%
e) 33%
4. (Vunesp-SP) Um baralho consiste em 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se 2 cartões ao
acaso (sem reposição). A probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja
igual a 100 é:
a) 49/4950
c) 1%
e) 51/4851
b) 50/4950
d) 49/5000
5. (UERJ) Uma pesquisa realizada em um hospital indicou que a probabilidade de um paciente morrer no
prazo de um mês, após determinada operação de câncer, é igual a 20%.
Se três pacientes são submetidos a essa operação, calcule a probabilidade de, nesse prazo:
a) todos sobreviverem;
b) apenas dois sobreviverem.
6. (UFPE) Numa sala há 10 homens e 20 mulheres; metade dos homens e metade das mulheres têm
olhos azuis. Uma pessoa, entre eles, é escolhida aleatoriamente. Podemos afirmar que a probabilidade
dessa pessoa ser homem ou ter olhos azuis é:
a) 2/3.
b) 1/3.
c) 2/5.
d) 1/5.
e) 0,25.
7. (Unesp-SP) Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao acaso. A probabilidade de que a soma
dos resultados obtidos seja 3 ou 6 é:
a) 7/18.
b) 1/18.
c) 7/36.
d) 7/12.
e) 4/9.
8. (FEI-SP) Numa moeda viciada a probabilidade de ocorrer face cara num lançamento é igual a quatro
vezes a probabilidade de ocorrer coroa. A probabilidade de ocorrer cara num lançamento desta
moeda é:
a) 40%.
b) 80%.
c) 25%.
d) 20%.
e) 50%.
9. (Mack-SP) Uma caixa contém 2 bolas brancas, 3 vermelhas e 4 pretas. Retiradas, simultaneamente,
três bolas, a probabilidade de pelo menos uma ser branca é:
a) 1/3.
b) 7/12.
c) 2/9.
d) 2/7.
54
e) 5/12
APOSTILA – UP-GRADE
10. (FGV-SP) Uma moeda é viciada de tal forma que os resultados possíveis, cara e coroa, são tais que a
probabilidade de sair cara num lançamento é o triplo da de sair coroa.
a) Lançando-se uma vez a moeda, qual a probabilidade de sair cara?
b) Lançando-se três vezes a moeda, qual a probabilidade de sair exatamente uma cara?
DESAFIO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE
11. (UP 2013) O professor ÊMIERRI elaborou uma prova de Matemática com 12 questões, sendo 5 de
Análise Combinatória, 3 de Probabilidade e 4 de Funções. Diferentes versões da prova poderão ser
produzidas, permutando-se livremente essas 12 questões.
a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas? (0,5 ponto)
b) O professor ÊMIERRI definiu as versões classe A da prova como sendo aquelas que seguem o
seguinte padrão: as 5 primeiras questões são de Análise Combinatória, a última deve ser uma questão
de Probabilidade e, ainda mais: duas questões de Probabilidade não podem aparecer em
posições consecutivas.
Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas? (1,0 ponto)
c) KALANGO é um dos alunos que receberá uma prova que começa com 5 questões de Análise
Combinatória, qual é a probabilidade de que ele NÃO receba uma versão classe A? (0,5 ponto)
(Questão modificada–prova: http://www.fuvest.br/vest2011/provas/fuv2011_2fase_dia3.pdf)
AULAS 03 e 04: RESPOSTAS SÉRIE AULA
01
1/12
02
C
03
2/9
04
3%
05
C
06
C
07
C
08
D
09
B
10
83%
11
70%
12
27/55
13
C
14
58%
15
(*)
16
A
17
84%
18
C
19
27/64
20
25%
(*) 15) a) 45. b) 1/15. c) 14/15.
AULAS 03 e 04: RESPOSTAS SÉRIE CASA
01
4/13
02
A
03
C
04
A
05
(*)
06
A
07
C
08
B
09
B
10
(**)
(*) 05) a) 51,2%. b) 38,4%.
(**) 10) a) 75%. b) 9/64.
RESOLUÇÃO DO DESAFIO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE
Resolução:
Na = 12 ! .
a) Considerando " Na " a quantidade que atende ao enunciado: Na = P12
b) Análise Combinatória (AC): 5 questões, Probabilidade (P): 3 questões e, Funções (F): 4 questões.
⇒
1
AC1
5!
2
AC2
3
AC3
4
AC4
5
AC5
6
7
8
9
10
3F e 2P (não podem 2P juntas)
11
F
12
P
4
3
Cálculo do número de maneiras distintas de dispormos as 5 questões (nº 6 a nº 10) tendo as questões de
Probabilidade separadas:
55
APOSTILA - UP-GRADE
⇒P
Assim, teremos: P5 −(P4 ⋅ P2 )= 5 ! −(4 ! )
(
⋅ 2! )
5
−(P4 ⋅ P2 )= 120 − 48
⇒
P5 −(P4 ⋅ P2 )= 72
Resumindo, a quantidade " Nb " de versões da classe A distintas da prova será: N b = 5 !( 72 )⋅ 4 ⋅ 3
c) Considerando " p " a probabilidade de o aluno KALANGO RECEBER a prova na versão classe A, num
universo de [( 5 ! ) ⋅ ( 7 ! ) ] provas que começam com 5 questões de Análise Combinatória:
p=
5(
! 72 )⋅ 4 ⋅ 3
(5 ! )
(
⋅ 7! )
⇒ p =(5 ! )⋅57(!⋅ 672⋅ 5)⋅⋅ 44 ⋅⋅ 33 ⋅ 2 ⋅ 1 ⇒
p=
6
35
Considerando " p " a probabilidade de o aluno KALANGO NÃO RECEBER a prova na versão classe A,
no referido universo de provas que começam com 5 questões de Análise Combinatória:
p = 1− p
⇒
p = 1−
Respostas: a)
6
35
12 !
.
⇒
p=
29
35
b) 5 ! ⋅ 864 .
c)
29
.
35
56