MATEMÁTICA
Aula 1 – Revisão
Prof. Anderson
AULA 1 – Revisão
Assuntos
ƒ
Equação do 1º grau com uma variável .
ƒ
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis .
ƒ
Equação do 2º grau com uma variável .
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável
ƒ
Denomina-se equação do 1º grau com uma variável toda
equação que pode ser escrita da forma ax + b = 0, com a ≠ 0,
onde a e b são números reais conhecidos.
ƒ
O número b também é denominado termo independente, pois
não está acompanhado de x.
ƒ
Exemplos
a)
na equação 3x + 4 = 0, temos a = 3 e b = 4. Compare:
ax + b = 0
3x + 4 = 0
b)
na equação –x + 3 = 0, temos a = -1 e b = 3. Compare:
ax + b = 0
-1x + 3 = 0
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável
Resolução da equação
ƒ
Resolver uma equação é achar o valor de uma incógnita que
torna verdadeira a igualdade, isto é, achar o seu conjunto
verdade V ou conjunto solução, S.
ƒ
Exemplo: Determine a solução da equação 2x + 4 = 10.
ƒ
Solução
•
2x + 4 = 10
•
2x = 10 – 4
•
2x = 6
•
x=3
•
Portanto
S = { 3}
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável
Exercícios de Fixação
1. Determine a solução de cada equação abaixo:
a.
4 x − 11 = 19
b.
2x − 8 = 8
c.
− 3x + 11 = −1
− 5 x + 3 = −3x + 18
2x − 1 1
1+ x
e.
− = 2−
10
5
4
d.
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável
Exercícios de Fixação
Solução:
a. 4x – 11 = 19
4x = 19 +11
4x = 30
x = 30 = 15
4
2
b. 2x – 8 = 8
2x = 8 + 8
2x = 16
x = 16
2
x=8
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável
Exercícios de Fixação
Solução:
c. -3x + 11 = -1
-3x = -1 - 11
-3x = -12
x = -12
-3
x=4
d. -5x + 3 = -3x +18
-5x + 3x = 18 -3
-2x = 15
x = 15
-2
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável
Exercícios de Fixação
Solução:
e. 2x – 1 – 1 = 2 – 1 + x
10
5
4
ƒ
Obs: Nas equações com mais de um denominador, para sua
resolução, deve-se simplificá-los ao denominador 1.
ƒ
Para tal deve-se achar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos
mesmos, no caso atual é 20.
ƒ
Multiplica-se todos os numeradores pelo MMC, no caso atual
a equação ficará da seguinte forma:
40x – 20 – 20 = 40 – 20 + 20x
10
5
4
Simplificando:
4x – 2 – 4 = 40 – 5 – 5x
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável
Exercícios de Fixação
4x + 5x = 40 – 5 + 2 + 4
9x = 41
X = 41
9
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
ƒ
Quando duas equações do 1º grau estão relacionadas entre si,
temos um sistema de equações do 1º grau com duas variáveis.
ƒ
Exemplos:
⎧2 x − y = 5
a) ⎨
⎩ x + y = 10
⎧ x + y = 12
b) ⎨
⎩x− y =2
ƒ
Cabe ressaltar que o conjunto solução de um sistema de
equações é sempre formado por um par ordenado (x,y), ou seja,
escrevemos em 1º lugar o valor de x, e depois o valor de y.
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Resolução dos sistemas
ƒ
Existem dois métodos para resolução dos sistemas de equações
do 1º grau com duas variáveis: o método da substituição e o da
adição.
Método da substituição exemplo:
ƒ
Resolver o sistema:
⎧ x + y = 12
⎨
⎩x− y =4
ƒ
1
2
1º passo: escolhe-se uma das equações e isola-se uma das
variáveis; por exemplo, isolamos o x na equação (2).
x− y =4
x = 4+ y
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Resolução dos sistemas
ƒ
2º passo: substitui-se o valor isolado na outra equação e
encontra-se o valor da variável restante; no caso substituímos x
na equação (1) pelo valor encontrado (x = 4 + y), e encontramos
o valor de y.
x + y = 12
(4 + y ) + y = 12
4 + y + y = 12
4 + 2 y = 12
2 y = 12 − 4
2y = 8
y=4
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Resolução dos sistemas
ƒ
3º passo: Substitui-se o valor encontrado em qualquer uma das
equações; no caso substituímos na equação (2).
x− y =4
x−4= 4
x = 4+4
x=8
ƒ
Portanto o conjunto solução é o par ordenado (8,4).
ƒ
S = {(8,4)}
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Método da adição
ƒ
Aplicaremos o método no mesmo problema anterior.
ƒ
Solução
ƒ
As duas equações apresentam termos opostos: y na primeira e –
y na segunda.
ƒ
1º passo: Ao somarmos as equações, cancelamos a variável y,
encontrado o valor da variável x.
x + y = 12
x− y =4
2 x = 16
16
x=
2
x=8
+
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Método da adição
ƒ
Um outro caso:
⎧ 2 x + y = 11 1
⎨
⎩ x − 2 y = −2 2
ƒ
Solução: Não adianta somar as equações, pois não há termos
opostos. É necessário, portanto, usar um artifício.
ƒ
Multiplicamos a 1ª equação por 2.
2 x + y = 11 (×2)
⎧4 x + 2 y = 22
⎨
⎩ x − 2 y = −2
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Método da adição
ƒ
Observe que agora, as duas equações apresentam termos
opostos (2y na 1ª e -2y na 2ª ).
4 x + 2 y = 22
x − 2 y = −2
5 x = 20
20
x=
5
x=4
+
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Método da adição
ƒ
Substituindo x = 4 na 2ª equação temos:
x − 2 y = −2
4 − 2 y = −2
4 + 2 = 2y
6 = 2y
6
=y
2
y=3
ƒ
Portanto, o par ordenado (4,3) é a solução do sistema.
ƒ
S = {(4,3)}
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Exercícios de Fixação
1. Resolva o sistema abaixo, usando o método da substituição:
⎧ x + 5 y = 26
⎩ 2x + y = 7
a. ⎨
2. Resolva o sistema abaixo, usando o método da adição:
⎧ 2 x + y = −3
⎩ x − 3 y = −26
a. ⎨
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Exercícios de Fixação
Solução:
1. ⎧ x + 5 y = 26
⎨
⎩ 2x + y = 7
x = 26 – 5y
2.(26 – 5y) + y = 7
52 – 10y + y = 7
-10y + y = 7 – 52
-9y = -45
y = -45
-9
y=5
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Exercícios de Fixação
Solução:
x = 26 – 5y
x = 26 – 5.(5)
x = 26 – 25
x=1
S = {(1,5)}
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Exercícios de Fixação
Solução:
2 x + y = −3
⎧
1. ⎨
⎩ x − 3 y = −26
3x Î (2x + y = –3)
6x + 3y = -9
6x + 3y = -9
x – 3y = -26
7x = -35
x = -35
7
x = -5
+
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Exercícios de Fixação
Solução:
2x + y = -3
2.(-5) + y = -3
-10 + y = -3
y = -3 + 10
y=7
S = {(-5,7)}
AULA 1 – Revisão
Equação do 2º grau com uma variável
ƒ
Chamamos de equação do 2.° grau à equação do tipo:
ƒ
ax2 + bx + c = 0
ƒ
Com a, b, c R e a ≠ 0.
ƒ
Sendo:
ƒ
a = coeficiente de x2
ƒ
b = coeficiente de x
ƒ
c = termo independente
AULA 1 – Revisão
Equação do 2º grau com uma variável
ƒ
Exemplos:
a)
Na equação x2 + 2x + 5 = 0, temos a = 1, b = 2 e c = 5.
ƒ
b)
Na equação 3x2 – 3x – 9 = 0, temos a = 3, b = -3 e c = -9.
ƒ
c)
Na equação 2x + 3x2 + 1 = 0, temos a = 3, b = 2 e c = 1.
Cuidado! Observe que a equação não está escrita na forma ax2
+ bx + c = 0
Compare:
ax2 + bx + c = 0
2x + 3x2 + 1 = 0
AULA 1 – Revisão
Equação do 2º grau com uma variável
Resolução da equação do 2º grau
ƒ
Para encontrarmos as raízes (solução) da equação do 2º grau
completa, basta aplicarmos a fórmula de Báskara.
− b ± b 2 − 4ac
x=
2a
ƒ
A expressão b2 – 4ac é representada pela letra grega ∆ (delta), e
é chamada discriminante.
ƒ
A existência ou não de raízes depende, exclusivamente, do
discriminante.
ƒ
Se ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes.
ƒ
Se ∆ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais.
ƒ
Se ∆ < 0, a equação não tem raízes reais.
AULA 1 – Revisão
Equação do 2º grau com uma variável
Exercícios Resolvidos
1. Resolva a equação: x2 - 5x + 6 = 0
Solução:
ƒ
Sabemos que: a = 1, b = -5 e c = 6
ƒ
Vamos calcular o valor do discriminante:
ƒ
∆ = b2 – 4ac
∆ = (−5) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6
∆ = 25 − 24
∆ =1
ƒ
∆ > 0 → duas raízes reais e distintas.
AULA 1 – Revisão
Equação do 2º grau com uma variável
Exercícios Resolvidos
ƒ
Para encontrarmos as raízes, aplicaremos a fórmula:
x=
− b ± b − 4ac
2a
2
− (−5) ± 1
x=
2 ⋅1
ƒ
5 ±1
x=
2
5 −1 4
⎧
=
= =2
x
'
⎪
2
2
⎨
5 +1 6
⎪ x' ' =
= =3
2
2
⎩
Portanto as raízes são 2 e 3; logo S = {2,3}.
AULA 1 – Revisão
Equação do 2º grau com uma variável
Exercícios Resolvidos
2. Resolva a equação x2 + 4x + 4 = 0
Solução:
ƒ
Sabemos que a = 1, b = 4 e c = 4
ƒ
∆ = b2 – 4ac
∆ = 4 2 − 4 ⋅1 ⋅ 4
∆ = 16 − 16
∆=0
ƒ
∆ = 0 → As duas raízes são reais e iguais.
AULA 1 – Revisão
Equação do 2º grau com uma variável
Exercícios Resolvidos
− b ± b 2 − 4ac
x=
2a
−4± 0
x=
2 ⋅1
−4±0
x=
2
−4−0 −4
⎧
x
'
=
=
= −2
⎪
2
2
⎨
−4+0 −4
⎪ x' ' =
=
= −2
2
2
⎩
ƒ
Portanto, as duas raízes são iguais a -2; logo
ƒ
S = { -2}
AULA 1 – Revisão
Equação do 2º grau com uma variável
Exercícios Resolvidos
3. Resolva a equação 2x2 + 2x + 1 = 0
Solução:
ƒ
Sabemos que: a = 2, b = 2 e c = 1
ƒ
∆ = b2 – 4ac
∆ = 2 2 − 4 ⋅1 ⋅ 2
∆ = 4−8
∆ = −4
ƒ
∆ < 0 → não existem raízes reais
ƒ
S= ∅
AULA 1 – Revisão
Equação do 2º grau com uma variável
Exercícios de Fixação
1. Resolva a equação abaixo:
a. x2 + 3x – 10 = 0
AULA 1 – Revisão
a. x2 + 3x – 10 = 0
Equação do 2º grau com uma variável
Solução
− b ± b 2 − 4ac
x=
2a
ƒ
x = -(3) +/- (3)2 – 4*(1 * -10)
2* (1)
x’ = -3 – 7
2
= -5
x’’ = -3 + 7
=2
2
ƒ
S = { -5, 2}