Coltec/UFMG – Física – 1º Ano – 2015
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ASSOCIAÇÕES DE RESISTORES
Introdução
Nesta atividade, você aprenderá a prever a resistência total oferecida por um circuito que contém uma
associação de resistores conectados a uma fonte de tensão elétrica por meio de fios de ligação. Para isso,
retomaremos várias ideias-chave que foram introduzidas nas seguintes atividades: (i) “Chaves interruptoras
e curtos-circuitos”; (ii) “Controle dos fluxos de carga elétrica”; (iii) “Medidas de resistência elétrica em
lâmpadas incandescentes e resistores”. A última dessas atividades foi feita no laboratório e nos deu a
oportunidade de configurar um multímetro de maneira a transformá-lo em um Ohmímetro, ou medidor de
resistência elétrica.
Eis as ideias-chave que serão retomadas agora: (i) a resistência é uma grandeza que mede a dificuldade
oferecida por um elemento de circuito à passagem da corrente elétrica; (ii) a unidade de medida da resistência
é o Ohm (símbolo Ω); (iii) fios de ligação feitos de cobre têm resistência desprezível em relação à resistência
oferecida por filamentos de lâmpadas incandescentes e por fios de níquel-cromo usados em diversos tipos
de aquecedores elétricos; (iv) a resistência depende das características do condutor elétrico e, por isso, fios
diferentes podem oferecer diferentes valores de resistência elétrica, quando submetidos à mesma tensão; (v)
existem elementos conhecidos como resistores que são feitos para oferecer uma resistência de valor
praticamente constante mesmo quando submetidos a diferentes valores de tensão.
Exploração 1 – Resistência equivalente de uma associação de resistores em série
A medida da resistência elétrica, tanto pode ser utilizada para caracterizar um único elemento de circuito
isolado, quanto para identificar o comportamento de um circuito feito a partir da associação de vários
elementos ligados em série ou em paralelo. Para compreender esse aspecto importante do conceito de
resistência, faça o que se pede a seguir.
Utilize o aplicativo em Java Circuit Construction Kit DC (https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/circuitconstruction-kit-dc) para montar um circuito simples, com apenas uma lâmpada, ao lado de um circuito que
contém duas lâmpadas ligadas em série. Lembre-se de inserir amperímetros nos dois circuitos para medir as
correntes elétricas em um dos polos da fonte de tensão.
Feito isso, altere a resistência elétrica da lâmpada inserida no circuito simples, da seguinte forma:
(i) clique com o botão direito do mouse sobre o ícone que representa a lâmpada e escolha a opção Alterar
Resistência; (ii) observe o valor da corrente elétrica que é exibido pelo amperímetro conectado ao circuito
simples e altere a resistência da lâmpada até que a corrente no circuito simples coincida com a corrente no
circuito com duas lâmpadas em série.
a) Quantos ohms de resistência apresenta a lâmpada inserida no circuito simples, quando a corrente nesse
circuito se iguala àquela estabelecida no circuito com as duas lâmpadas associadas em série?
b) Clique com o botão direito em cada uma das duas lâmpadas ligadas em série e acione a função Alterar
Resistência apenas para descobrir qual é a resistência elétrica de cada uma delas. A soma dessas
resistências possui alguma relação com a resistência apresentada pela lâmpada inserida no circuito
simples depois que as correntes elétricas nos dois circuitos tornaram-se iguais?
c) Seria apropriado dizer que a resistência apresentada pelo filamento da lâmpada inserida no circuito
simples, após ser alterada, tornou-se equivalente à resistência apresentada pela associação das duas
lâmpadas em série?
Exploração 2 – Resistência equivalente de uma associação de resistores em paralelo
Quando associamos resistores em série, tal como no caso do circuito montado na exploração 1, nós
aumentamos a resistência equivalente do circuito e reduzimos a corrente nos polos da fonte de tensão. Mas,
e quando associamos resistores (ou lâmpadas) em paralelo?
Mesmo que você já saiba responder qualitativamente essa questão nós pretendemos ensiná-lo como prever,
matematicamente, o efeito do acréscimo de resistores em paralelo sobre a resistência equivalente do circuito,
isto é, sobre a intensidade da corrente elétrica nos polos da fonte de tensão. Para dar mais esse passo no
estudo dos circuitos elétricos, reinicie o aplicativo usado na Exploração 1 para montar, novamente, um circuito
simples, com apenas uma lâmpada, que, desta vez, deverá estar ao lado de um circuito que contém duas
lâmpadas associadas em paralelo.
Mais uma vez, insira amperímetros nos dois circuitos, de modo a medir as correntes elétricas em um dos
polos das fontes de tensão. Feito isso, altere a resistência elétrica da lâmpada do circuito simples até que o
valor da corrente elétrica nesse circuito se iguale à corrente no circuito com a associação de duas lâmpadas
em paralelo.
a) Quantos ohms de resistência apresenta a lâmpada inserida no circuito simples, quando a corrente nesse
circuito se iguala àquela estabelecida no circuito com as duas lâmpadas associadas em paralelo?
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b) Clique com o botão direito em cada uma das duas lâmpadas ligadas em paralelo e acione a função Alterar
Resistência apenas para descobrir qual é a resistência elétrica de cada uma delas. Como se comparam
a resistência de cada lâmpada individual e a resistência da lâmpada colocada no circuito simples?
c) Seria apropriado dizer que a resistência apresentada pelo filamento da lâmpada inserida no circuito
simples, após ser alterada, tornou-se equivalente à resistência apresentada pela associação em paralelo
de duas lâmpadas?
Exploração 3 – Parâmetros que determinam a resistência de um condutor
Figura 1
Nas explorações 1 e 2, nós alteramos a resistência dos filamentos das lâmpadas. Nesta exploração usaremos
o aplicativo Resistência em um Condutor (https://phet.colorado.edu/sims/html/resistance-in-a-wire/latest/
resistance-in-a-wire_en.html) para compreender que características do filamento de uma lâmpada devem ser
modificadas para que possamos alterar sua resistência.
O uso do novo aplicativo pressupõe a
compreensão dos símbolos que ele reúne e
apresenta. A FIG. 1 mostrada ao lado foi
gerada a partir de uma captura da tela da
interface do aplicativo e nos ajudará a
alcançar tal compreensão. Na parte inferior
da janela do aplicativo aparece a imagem de
um condutor cilíndrico, cujas características
podem ser alteradas com o acesso aos
botões deslizantes que aparecem no lado
direito da interface do aplicativo. Acima dos
botões deslizantes vemos o valor da
resistência do condutor, dada em ohms.
No lado esquerdo da janela vemos uma equação que relaciona o valor da resistência elétrica (R) com as
seguintes características do condutor que determinam esse valor:
ρ
(resistividade)_ A resistividade é uma
característica que identifica, tanto o tipo de material
utilizado na confecção do condutor, quanto a
temperatura que o material apresenta. O tipo de
material é um fator importante porque materiais
diferentes apresentam diferentes formas de
organizar microscopicamente os seus átomos.
Assim, por exemplo, a organização microscópica
dos átomos em objetos feitos de alumínio (Al) possui
a geometria mostrada na FIG. 2 ao lado. As bolinhas
de cor cinza identificam átomos situados em
segundo plano. Esse tipo de geometria é
denominada cúbica de face centrada. As geometrias
características de outros metais podem ser obtidas
na internet. Alguns tipos de organização
microscópica facilitam o fluxo de cargas elétricas no
interior do material, enquanto dificultam esse. Os autores do aplicativo que estamos usando decidiram
não representar os átomos. Ao invés disso, eles utilizaram pontinhos pretos cuja concentração sugere o
aumento ou a diminuição da concentração de obstáculos ao fluxo de elétrons no interior do material.
L _ Essa letra, retirada da palavra LENGTH (comprimento, em inglês), representa o comprimento do
condutor cilíndrico mostrado no lado inferior esquerdo da janela do aplicativo fio que apresenta resistência
elétrica interfere diretamente no valor da resistência.
A _ Essa letra, retirada da palavra AREA (área, inglês), identifica a área de seção transversal, uma medida
que identifica a “grossura” do condutor.
Figura 2



Levando em consideração todas essas informações, faça o que se pede a seguir:
a) No aplicativo, manipule os botões deslizantes para variar os parâmetros ρ , L e A. Descreva, por escrito,
as mudanças que essa manipulação provoca: (i) no tamanho das letras que representam os parâmetros
e a resistência do condutor; (ii) no valor da resistência, dado em ohm, bem como nos valores dos
parâmetros, dados em suas respectivas unidades; (iii) nas características visuais do fio representado na
parte inferior da tela.
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FIG. 3
b) Deixe a resistividade do condutor em seu valor máximo. Nesta exploração nós iremos supor que o
filamento das lâmpadas dos circuitos manipulados nas explorações 1 e 2 possuem esse valor de
resistividade (1,00 Ω.cm). Feita essa escolha, mexeremos no botão deslizante que altera o valor do
parâmetro L até que o fio apresente um comprimento, aproximadamente, igual a 10 cm. Como passo
seguinte, alteraremos o valor do parâmetro A até que a resistência do condutor cilíndrico representado
na parte inferior da janela do aplicativo fique próximo a 10 Ω. Note que esse era o valor da resistência de
cada uma das lâmpadas associadas em série no circuito construído na Exploração 1. Naquela exploração,
nós constatamos que a associação de filamentos em série, aumenta a resistência equivalente do circuito.
Considerando dois filamentos idênticos, podemos interpretar esse fato racionando do seguinte modo: dois
filamentos (ou resistores) idênticos, associados em série, apresentam uma resistência igual àquela
apresentada por um único filamento de mesmo material e espessura, mas com o dobro do comprimento
dos filamentos individuais. Esse raciocínio está representado, visualmente, na FIG. 3, a seguir.
Reproduza-o ao mexer no botão deslizante do comprimento até que a resistência do condutor mostrado
na parte inferior da janela mostrado no aplicativo apresente uma resistência próxima a 20 Ω. Note que
esse é o valor da resistência equivalente da associação de duas lâmpadas em série que manipulamos na
Exploração 1.
FIG. 4
c) Volte a resistência do condutor cilíndrico para um valor próximo a 10 Ω. Note que esse era o valor da
resistência de cada uma das lâmpadas associadas em paralelo no circuito construído na Exploração 2.
Naquela exploração, nós constatamos que, embora a resistência elétrica de cada filamento continue a
ser uma medida da dificuldade oferecida por esse elemento à passagem da corrente elétrica, a ligação
de dois filamentos em paralelo aumentou a facilidade de circulação de corrente pelo circuito como um
todo e, por isso, diminuiu a resistência oferecida pela associação. Considerando dois filamentos idênticos,
podemos interpretar esse fato racionando do seguinte modo: dois filamentos (ou resistores) idênticos,
associados em paralelo, apresentam uma resistência duas vezes menor do que aquela apresentada por
um único filamento de mesmo material e comprimento, mas com o dobro da área de seção reta de um
único filamento individual. Esse raciocínio está representado, visualmente, na FIG. 4, a seguir.
Reproduza-o ao mexer no botão deslizante da área de seção reta até que a resistência do condutor
mostrado na parte inferior da janela mostrado no aplicativo apresente uma resistência aproximadamente
igual a 5 Ω. Note que esse é o valor da resistência equivalente da associação de duas lâmpadas em
paralelo que manipulamos na Exploração 2.
Exploração 3 – Leitura de textos e realização de exercícios sobre associação de resistores
3.1- Associação em série
Na associação em série, ao desligarmos uma das lâmpadas, as
outras se apagam. Isso acontece porque, para se estabelecer uma
corrente elétrica, é preciso um circuito fechado, incluindo uma fonte
de energia elétrica. Ao desligarmos uma lâmpada, o caminho é
interrompido, e o circuito se abre.
Você deve ter notado que as lâmpadas acendem com menor brilho
ligadas em série do que em paralelo. Isso significa que a corrente
do circuito em série é menor, comparativamente à ligação em
paralelo. A diferença de brilho ocorre porque a tensão em cada
lâmpada é uma parte da tensão total, fornecida pelas pilhas. Se as
três lâmpadas forem iguais, cada uma estará sujeita a 1/3 da tensão
da fonte. Se forem diferentes, a tensão será maior naquela que
possuir maior resistência. Em ambos os casos, porém, a soma das
tensões em cada lâmpada será igual à tensão total das pilhas:
U = U1+ U2+ U3 , tal como indicado na figura 5 ao lado.
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Na associação em série, nós temos a mesma corrente em todos os
resistores. O que podemos dizer é que, quanto maior o número de
resistores iguais na associação em série, menor a corrente em todos
eles. No circuito da figura 4, é possível substituir os resistores R1, R2
e R3 por um único resistor R, desde que com a inserção de R
tenhamos, no circuito, a mesma corrente elétrica. Esse resistor
equivalente está representado na figura 6. O valor de sua resistência
é calculado por: R = U/i, onde U representa a tensão aplicada à
associação e i, a corrente estabelecida no circuito. Podemos
descrever a tensão elétrica aplicada em cada resistor da associação
da seguinte forma:
U = R·• i  U1 = R1 • i1 , U2 = R2 •·i2 e U3 = R3 •·i3
Nesta última expressão U é a tensão das pilhas, U1 é a tensão
aplicada em R1, U2 é a tensão aplicada em R2, e U3 a tensão aplicada
em R3.
Como U = U1 + U2 + U3 e tendo em vista também a relação i = i1 = i2 = i3 ,
nós podemos afirmar que: R• i= R1•i+ R2 •i+ R3 •i
Dividindo toda a expressão por i, verificamos que a resistência
equivalente (Req) é igual à soma das resistências R1, R2 e R3 ou
Req = R1 + R2 + R3
Exemplo de exercício resolvido
Uma associação em série de resistores está representada na
FIG. 7. Vamos calcular, para este circuito: a) a resistência equivalente;
b) a corrente em cada resistor; c) a tensão sobre cada resistor.
Resposta da letra (a): R = R1 + R2  R = 2,0 Ω + 3,0 Ω ou R= 5,0 Ω
Esse resultado quer dizer que um resistor de 5,0 Ω estabelece no circuito a mesma corrente que a associação
em série das resistências de 2,0 Ω. e 3,0 Ω.
Resposta da letra (b): Como a corrente é a mesma para Req, R1 e R2, nós podemos utilizar a relação
U = R • i para descobrir o valor dessa corrente: U = R • i  6,0 = 5,0 • i. Então i = i1 = i2 = 6,0/5,0 = 1,2 A
Resposta da letra (c): Agora, utilizaremos a relação U = R • i para cada resistor, encontrando a tensão a que
cada um está submetido:
U1 = R1 • i  U1 = 2,0 Ω • 1,2 A = 2,4 V
U2 = R2 •i  U2 = 3,0 Ω X 1,2 A = 3,6 V
Note que esse resultado é coerente com a afirmação de que U = U1 + U2 + U3
3.2- Associação em paralelo
Nas ligações em paralelo, tal como é o caso do circuito da FIG. 8, todos os
resistores estão submetidos ao mesmo valor de tensão, sejam suas
resistências iguais ou diferentes. Além disso, como a corrente se divide nas
bifurcações a soma dos valores da corrente estabelecida em cada resistor (i1,
i2, i3) corresponde à corrente que sai e entra na pilha (i), isto é: i = i1 + i2 + i3
Dado que R = U/i, podemos definir cada corrente elétrica como:
i = U/R  i1 = U/R1 , i2 = U/R2 e i3 = U/R3
Como i = i1 + i2 + i3 temos: U/R = U/R1 + U/R2 + U/R3
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Dividindo toda a expressão por U, constatamos que o inverso de uma resistência R é igual à soma dos
inversos das resistências R1, R2 e R3, isto é, 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
Essa equação indica que os três resistores de resistências R1, R2 e R3 podem ser substituídos por um único
resistor R, que, introduzido no mesmo circuito, isto é, conectado à mesma fonte, permite estabelecer a mesma
corrente total i. Por esse motivo, recebe o nome de resistência equivalente.
Um exemplo numérico nos permitirá entender o conceito de resistência
equivalente em associações de resistores em paralelo. Considere dois resistores com resistências iguais a 2,0 Ω e 3,0 Ω que
estão conectados em paralelo, como mostrado na figura 9 ao lado. a
Podemos determinar a resistência equivalente dessa associação de
resistores utilizando o seguinte desenvolvimento matemático:
1
1
1
1
1
2,0
5,0
R
6,0
1
3,0
FIG. 9
1,2Ω
O resultado para o cálculo de Req indica que, se os dois resistores forem substituídos por outro, de resistência
elétrica igual a 1,2 Ω, a corrente total i no circuito continuará a mesma. Esse resultado também está
apresentado na figura ao lado.
Para calcular as correntes i1 e i2 estabelecidas nos resistores R1 e R2 precisamos nos lembrar de que, em
uma associação em paralelo a tensão é a mesma para todos os resistores. Utilizando novamente a relação
i = U/R, teremos:
6,0
2,0Ω
3,0 e
6,0
3,0Ω
2,0
FIG. 10
Esses resultados são coerentes com o valor da corrente que podemos
calcular a partir do circuito equivalente mostrado na
, , 5,0 FIG. 10, onde:
, Ω
Note que todos esses resultados confirmam a expressão i = i1 + i2
Exercícios
1) O que é a resistência equivalente de uma associação em série
de resistores e como calculá-la?
2) O que é a resistência equivalente de uma associação em série
de resistores e como calculá-la?
3) No circuito elétrico mostrado na FIG. 11 ao lado, o amperímetro
indica 6,0 A. Analisando o circuito, determine:
a) O valor da resistência equivalente do circuito.
b) O valor da corrente elétrica em cada resistor.
c) O valor da corrente estabelecida na resistência equivalente.
d) A tensão estabelecida entre os terminais dos resistores.
e) A tensão da fonte de energia elétrica ligada ao circuito.
FIG. 11
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4) No circuito elétrico em série ilustrado na figura 12 ao lado, o
voltímetro ideal indica 24 V. Determine:
a) o valor da resistência equivalente do circuito;
b) o valor da corrente elétrica em cada resistor;
c) o valor da corrente estabelecida na resistência equivalente;
d) a tensão entre os terminais dos resistores;
e) a tensão da fonte que alimenta o circuito.
5) Nos três circuitos representados a seguir temos lâmpadas idênticas,
cada uma com resistência elétrica igual a 10 Ω. As fontes de tensão
são idênticas e aplicam tensões iguais a 10,0 V.
Figura: três circuitos com diferentes associações de lâmpadas
a) Determine a resistência equivalente nos três circuitos.
b) Determine a corrente elétrica nos polos das fontes de tensão nos três circuitos.
c) Determine a corrente que passa pelas cinco lâmpadas (A, B, C, D, E).
6) A figura ilustra a forma como três lâmpadas estão
ligadas a uma tomada. A corrente elétrica no ponto P do
fio é iP e no ponto Q é iQ .
Em um determinado instante, a lâmpada L2 se queima.
Pode-se afirmar que
a) a corrente iP se altera e iQ não se altera.
b) a corrente iP não se altera e iQ se altera.
c) as duas correntes se alteram.
d) as duas correntes não se alteram.
FIG. 12