FÍSICA 3
Circuitos Elétricos em
Corrente Contínua
Prof. Alexandre A. P. Pohl, DAELN, Câmpus Curitiba
EMENTA
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Carga Elétrica
Campo Elétrico
Lei de Gauss
Potencial Elétrico
Capacitância
Corrente e resistência
Circuitos Elétricos em Corrente Contínua
Campo Magnético
Indução Magnética
Indutância
Magnetismo em Meios Materiais
Atividades
1
Leis de Kirchhoff*
Para a solução de circuitos mais complexos, que envolvem diversas fontes
e componentes é necessário o emprego de técnicas que permitam resolver
tais circuitos de modo sistemático.
As leis de Kirchhoff são regras aplicadas a nós e malhas, através das quais
um conjunto de equações lineares é obtido e a partir do qual valores de
componentes, tensões e correntes podem ser calculados.
Definições:
1) JUNÇÃO ou NÓ: é um ponto do circuito onde ocorre a união de dois ou
mais condutores.
2) MALHA: é qualquer caminho condutor fechado
*Físico alemão Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887)
Leis de Kirchhoff
Exemplo 1:
Este circuito possui dois nós, nos pontos a e b e três malhas (duas internas
e uma externa)
2
Leis de Kirchhoff
Exemplo 2:
Este circuito possui quatro nós (a, b, c e d) e quatro malhas (acda, abda,
acba, bcdb)
Lei dos Nós
A lei dos Nós afirma que a soma algébrica de todas as correntes que entram ou
saem de um nó é igual a zero:
∑I = 0
A lei dos Nós é baseada na lei da conservação da carga elétrica. Um nó não pode
acumular carga. A carga que entra em um nó, por unidade de tempo, deve ser
igual à carga que sai.
Nó
I2
I1
I1 + I2
3
Lei das Malhas
A lei das Malhas afirma que a soma algébrica de todas as diferenças de potencial
através de uma malha, incluindo os elementos resistivos e a fem de todas as
fontes, é igual a zero.
∑V = 0
A lei das malhas é baseada na natureza conservativa das forças eletrostáticas.
CONVENÇÕES DE SINAIS
Para se aplicar a lei das malhas deve-se observar as seguintes regras:
• escolha qualquer malha do circuito e indique um sentido (horário ou anti-horário)
para percorrer a malha. O sentido do percurso não precisa ser o mesmo do sentido
escolhido para a corrente.
• ao percorrer a malha no sentido escolhido, some algebricamente as diferenças
de potencial à medida que se atravessa cada elemento. Uma fem é positiva quando
você a atravessa do sinal – para o +. E negativa quando é atravessada do sinal
+ para o -.
• Quando se atravessa um resistor no mesmo sentido escolhido para a corrente,
o termo IR é negativo, porque a corrente está fluindo no sentido dos potenciais
decrescentes. Quando se atravessa um resistor no sentido contrário ao da corrente,
o termo IR é positivo, pois isto corresponde a um aumento de potencial.
• Iguale a zero a soma algébrica obtida ao percorrer a malha.
4
Convenções de sinais
+
Convenção para fem:
-
ε
-
-
+
Sentido do percurso
ε
+
Sentido do percurso
I
I
Corrente
Convenção para os resistores:
Corrente
Sentido do percurso
Sentido do percurso
+IR
-IR
Observações
• Escolha malhas em número suficiente para montar um sistema de equações
que lhe permita resolver o número de incógnitas;
• Identifique todas as grandezas, conhecidas e desconhecidas, escolhendo
sentidos para toda corrente e toda fem desconhecida.
• Não há como saber previamente o sentido real de uma corrente. Caso
o sentido real seja contrário ao escolhido, você obterá um sinal negativo
para a resposta dessa grandeza.
• Ao se identificar correntes em um diagrama, é mais conveniente aplicar
de início as lei dos nós para expressar as correntes em função do menor
número possível de grandezas.
5
Exemplo 1
Situação inicial: três correntes (I1, I2, I3) desconhecidas.
Após aplicação da lei dos nós ao ponto a: I3 = I1 + I2
Exemplo 2
Seja o circuito da figura abaixo que contém dois resistores e duas baterias,
cada uma delas com uma fem e uma resistência interna. Calcule (a) a corrente
no circuito, (b) a diferença de potencial Vab e (c) a potência de cada fem.
2Ω
12 V
b
I
- +
I
3Ω
7Ω
I
4Ω
- +
a
O circuito possui apenas uma malha e
nenhum nó.
4V
O sentido escolhido para a corrente
é anti-horário.
Partindo-se do ponto a, percorre-se
a malha no sentido anti-horário.
6
Exemplo 2
A soma algébrica de todas as diferenças de potencial é dada por:
− I (4Ω ) − 4V − I (7Ω ) + 12V − I (2Ω ) − I (3Ω ) = 0
Portanto, a corrente que circula pela malha será:
I (16Ω ) = 8V ⇒ I = 0,5 A
Obs- se o sinal de I fosse negativo, a corrente estaria no sentido contrário ao
escolhido.
A diferença de potencial Vab é calculada ao se fazer a soma algébrica das tensões.
partindo-se do ponto b em direção ao ponto a:
V = (0,5 A)(7Ω ) + 4V + (0,5 A)(4Ω ) = 9,5V
ab
O ponto a possui um potencial 9,5 V mais elevado do que o ponto b.
Pode-se fazer a soma considerando o outro percurso (sentido anti-horário)
Exemplo 2
A potência de cada fem é determinada pelo produto P = ε I.
Assim, a potência fornecida pela bateria de 12 V é: P = ε I = (12V )(0,5 A) = 6W
A potência fornecida pela bateria de 4 V é: P = ε I = (− 4V )(0,5 A) = −2W
O sinal negativo da bateria de 4V surge porque a corrente percorre a bateria
do terminal de potencial mais elevado para o menos elevado. O valor
negativo indica que tal bateria consome potência porque está armazenando
energia e está sendo carregada pela bateria de 12V.
Para onde vão os 4 W restantes fornecidos pela bateria de 12V?
7
Exemplo 3
+ -
- +
O circuito indicado na figura abaixo contém uma fonte de tensão de 12V,
com resistência interna desconhecida r, conectada a uma bateria descarregada,
com fem ε e resistência interna igual a 1 Ω, e com uma lâmpada de resistência
de 3 Ω que transporta uma corrente de 2 A. A corrente que passa na bateria
descarregada é igual a 1 A no sentido indicado. Calcule a resistência r, a corrente I
e a fem ε.
(1)
a
O circuito possui três
malhas: (1), (2) e (3).
ε
12 V
(3)
Há três incógnitas:
(2)
3Ω
ε, I e r.
1Ω
I
r
2A
1A
Portanto, precisamos de
três equações.
(1)
b
Exemplo 3
Ao aplicar a lei dos nós no ponto a, obtém-se:
(2 A) + (1A) + (− I ) = 0 ⇒ I = 3A
A resistência r é obtida aplicando-se a lei das malhas ao percurso externo (1):
12V − (2 A)(3Ω ) − ( I )r = 0
12V − 6V − (3)r = 0 ⇒ r = 2Ω
A fem ε é obtida aplicando-se a lei das malhas ao percurso (2):
− ε + (1A)(1Ω ) − (2 A)(3Ω ) = 0 ⇒ ε = −5V
O valor negativo para ε mostra que a polaridade real da fem é oposta à indicada
na figura (os polos + e – devem ser invertidos)
8
Exemplo 3
Para uma verificação adicional do resultado, pode-se usar a malha (3):
12V − (3 A)(2Ω ) − (1A)(1Ω ) + ε = 0 ⇒ ε = −5V
A diferença de potencial Vab é encontrada ao se percorrer o ramo da malha
direito no percurso (3):
+ 12V − (3 A)(2Ω ) = +6V
Ou, da mesma forma, ao se percorrer o ramo central (de cima para baixo):
− (− 5V ) + (1A)(1Ω ) = +6V
Exemplo 3
Considerando ainda o exemplo 3, encontre a potência fornecida pela bateria
de 12 V e a da bateria que está sendo carregada, calculando a potência em cada
resistor.
A potência fornecida pela fonte é: Pfonte = εfonte Ifonte
A potência dissipada pela resistência r é: Pr = (Ifonte)2rfonte
P = (12V )(3 A) = 36 W
fonte
P = (3A) (2Ω ) = 18W
2
r
A potência da fem ε da bateria que está sendo carregada é Pfem= ε Ibateria:
P = (− 5V )(1A) = −5W
fem
A potência é negativa porque a bateria está sendo carregada (corrente circula
do potencial mais elevado para menos elevado> lembrar que a polaridade está
invertida.
A potência dissipada pela resistência da bateria que está sendo carregada é:
A potência total fornecida para essa bateria é 6 W!
P
r − em carga
= (1A) (1Ω ) = 1W
2
9
Exemplo 4
A figura abaixo mostra um circuito “ponte”. Calcule a corrente que circula em
cada resistor e a resistência equivalente do circuito com os cinco resistores.
A princípio, existem cinco
correntes diferentes para
serem determinadas.
Aplicando-se a lei dos nós
pode-se reduzir a três correntes
desconhecidas.
Exemplo 4
Aplicando-se a lei das malhas para as malhas (1), (2) (3) obtém-se o sistema
de equações
13 V − I (1Ω ) − ( I − I )(1Ω ) = 0
(1)
− I (1Ω ) − ( I + I )(2Ω ) + 13V = 0
( 2)
1
1
2
2
3
3
− I (1Ω ) − I (1Ω ) + I (1Ω ) = 0
1
3
2
(3)
10
Exemplo 4
A solução pode ser obtida explicitando-se uma corrente em relação as outras.
Assim, pode-se fazer I2 = I1+ I3 ao se usar a equação (3). Pode-se eliminar
I2 das equações (1) e (2) e obter:
13V = I (2Ω ) − I (1Ω )
(1′)
13V = I (3Ω ) + I (5Ω )
(2′)
1
3
1
3
Pode-se multiplicar a equação (1´) por 5 e somar as duas equações para obter:
78V = I (13Ω ) ⇒ I = 6 A
1
1
Exemplo 4
Se I1 = 6 A, substituindo-se tal valor na equação (1´), obtém-se:
13V = (6 A)(2Ω ) − I (1Ω ) ⇒ I = −1 A
3
3
Finalmente, I2 = I1+ I3 = (6 A) + (-1 A) = 5 A
O valor negativo de I3 mostra que o sentido é contrário ao sentido escolhido.
A queda de potencial através do resistor equivalente é calculada através
da fem da bateria:
R =
eq
13V
13
= = 1,2 Ω
I + I 11
1
2
Isto é possível porque a bateria do circuito não possui uma resistência interna.
11
Circuitos R-C
Os circuitos tratados até o momento consideraram valores constantes para
seus componentes (fem, resistores, capacitores). Porém, muitos circuitos
incorporam capacitores em que estes são carregados e descarregados ao
longo do tempo.
Denomina-se um circuito R-C aquele que possui um resistor em série com
um capacitor.
Para caracterizar uma grandeza de valor constante usamos as letras maiúsculas
V, I e Q. Usaremos letras minúsculas para tratar variáveis com dependência
temporal (v, i e q).
Circuitos R-C
Seja o circuito da figura ao lado, no qual o capacitor
se encontra inicialmente descarregado. Assim,
a diferença de potencial vbc, através dele,
é igual a zero para t = 0. Nesse instante a voltagem
inicial, vab, através do resistor é igual à fem da bateria.
A corrente inicial, I0, através do resistor será: I =
0
v
ε
=
R R
ab
Ao se fechar a chave, o capacitor começa a se carregar.
Nesse caso, a tensão vbc começa a aumentar e a tensão
vab começa a diminuir. A soma dessas duas tensões
deve ser igual à fem.
12
Circuitos R-C
Depois de um determinado tempo o capacitor fica
completamente carregado, a corrente torna-se igual
a zero e a diferença de potencial através de vab se anula.
A tensão vbc torna-se igual à fem ε.
Seja q a carga acumulada no capacitor e t a variável tempo.
As tensões instântaneas são dadas por:
v = i (t ) R e v =
ab
bc
q(t )
C
Ao se aplicar a lei das malhas de Kirchhoff obtém-se:
ε − i(t ) R −
q(t )
=0
C
Obs- ao se aplicar a lei das malhas adota-se para o capacitor
as mesmas regras estabelecidas para o resistor.
Circuitos R-C
Pode-se explicitar a corrente instantânea que circula no circuito por:
i(t ) =
q(t )
R RC
ε
−
Quando a chave está fechada, a carga sobre o capacitor aumenta com o tempo
enquanto a corrente diminui. À medida que a carga aumenta o termo q/RC
torna-se maior até que a carga atinja seu valor final, denominada Qf.
Quando isto ocorre a corrente se anula. Assim:
0=
ε
Q
⇒ Q = Cε
R RC
−
f
f
13
Circuitos R-C
A figura ao lado mostra o comportamento
da corrente para um capacitor em carga.
Quando a chave é fechada a corrente dá
um salto para seu valor inicial I0.
A figura ao lado mostra o comportamento
da variável carga ao longo do tempo.
Após um tempo longo o capacitor atinge
o valor Qf.
Circuitos R-C
Podemos deduzir expressões gerais para i e q a partir das equações dadas.
Seja i (t)= dq/dt. Assim,
d q ε q(t )
= −
dt R R C
dq
1
(q − C ε )
=−
dt
RC
i(t ) =
Reagrupando os termos acima e integrando ambos os lados obtém-se:
dq
dt
d q′
dt′
=−
⇒∫
= −∫
q − Cε
RC
q′ − Cε
RC
q
t
0
0
14
Circuitos R-C
Ao se realizar a integral obtém-se:
 q − Cε 
t
ln
=−
RC
 − Cε 
Ao se aplicar a exponencial em ambos os lados da equação acima e
isolando-se q, obtém-se:
q − Cε
=e
−Cε
− t
RC
(
⇒ q = C ε 1− e
−t
RC
) = Q (1 − e )
− t
RC
f
A expressão para a corrente instantânea é obtida derivando-se a expressão acima
em relação ao tempo:
i=
dq ε
= e
dt R
− t
RC
=Ie
− t
RC
0
Constante de Tempo
em Circuitos R-C
Ao se examinar o comportamento temporal de i e q observa-se que
a corrente diminui de um valor 1/e após o intervalo de tempo RC.
Nesse mesmo instante de tempo a carga do capacitor atingiu o valor:
(1 – 1/e) = 0,632 de seu valor final Qf.
O produto RC denomina-se constante de tempo ou tempo de relaxação
do circuito e é designado pela letra grega τ. Assim, τ = RC.
Observações:
- Se τ é pequeno o capacitor se carrega rapidamente. Quando for maior
o tempo de carga é mais longo (tanto R como C contribuem para tornar
τ maior ou menor);
15
Descarga de um Capacitor
Seja agora um circuito R-C, cujo capacitor já esteja carregado. Para
efeito de entendimento do mecanismo de descarga, este circuito não possui
a bateria.
Nesse circuito a chave está inicialmente aberta com o capacitor carregado com
a carga q = Q0 no instante t = 0. Pode-se usar as mesmas equações anteriores,
mas considerando ε = 0. Assim, pode-se calcular i e q da seguinte forma:
i=
dq
q
d q′
1
=−
=−
⇒∫
∫ d t′
dt
RC
q′
RC
Calculando a integral obtém-se
a expressão para o capacitor
em descarga:
q
t
Q0
0
ln
q
t
=−
⇒q=Q e
Q
RC
−t
RC
0
0
Descarga de um Capacitor
De forma análoga pode-se calcular o comportamento para a corrente
no circuito do capacitor em descarga. Tal corrente é calculada derivando-se
a expressão anterior obtida para a carga. Assim,
i=
dq
Q
=−
e
dt
RC
0
− t
RC
=Ie
−t
RC
0
16
Descarga de um Capacitor
Exemplo 1
Um resistor com resistência 10 MΩ é conectado em série com um capacitor
de 1,0 µF e com uma bateria com fem igual a 12 V. O capacitor se encontra
inicialmente descarregado. Determine (a) a constant de tempo; (b) a fração
da carga final que está sobre uma das placas quando t = 46 s; (c) a fração
da corrente inicial que permanece no circuito quando t = 46 s.
a) Constante de tempo: τ = RC = (10x106)x(1,0x10-6) = 10 s
b) a fração da carga final que está sobre uma das placas quando t = 46 s
(
q
= 1− e
Q
− t
RC
) = (1 − e ) = 0,99
− 46
10
f
c) a fração da corrente inicial que permanece no circuito quando t = 46 s
i
=e
I
−t
RC
=e
− 46
10
= 0,01
0
17
Exemplo 2
Seja um circuito R-C onde o resistor possui resistência de 10 MΩ e capacitância
igual a 1,0 µF. O capacitor foi carregado com uma carga de 5,0 µC e a chave do
circuito é fechada no instante t=0, instante em que o circuito começa a se
descarregar. Em que instante a carga do capacitor é igual a 0,50 µC?
Qual é a corrente nesse instante?
a) Em que instante a carga do capacitor é igual a 0,50 µC?

q
t
 = −
⇒ t = − R C ln 
R
C

Q 
 0,5 × 10 
t = −(10 x10 Ω )(1,0 × 10 F ) ln
 = 23 s
 5,0 × 10 
q
=e
Q
− t
RC
0
q
⇒ ln
Q
0
0
−6
6
6
−6
b) Qual é a corrente nesse instante?
i=−
Q
e
RC
0
5,0 × 10
e
(10 ×10 Ω )(1,0 × 10 )
−6
− t
RC
=−
6
−6
− 23
10
= −5 ×10 A
−8
Sistemas de
Distribuição de Potência
Automóveis usam sistemas elétricos em corrente contínua (cc). Por outro lado,
a distribuição de energia elétrica para uso doméstico, comercial e industrial é
feito em corrente alternada (ca). Usualmente, lâmpadas, motores e aparelhos
domésticos são ligados em paralelo com a fonte de tensão. Se fossem conectados
em série, caso um aparelho queimasse, todos os demais deixariam de funcionar.
18
Sistemas de
Distribuição de Potência
No Brasil a tensão nominal máxima para uso residencial é da ordem de 127V
ou 240 V. Estes valores representam o valor quadrático médio (rms) da tensão
(equivale a 1/√2 do valor de pico da tensão).
A corrente que flui em um dispositivo depende da potência P = VI.
Supondo quer possamos usar tais valores como constantes, então a corrente
que flui por uma lâmpada de 100 W é
I=
P 100W
=
= 0,79 A
V 127V
Portanto, a resistência de uma lâmpada será:
R=
V 127V
=
≅ 161Ω ou
I 0,79 A
2
R=
2
V 127
=
≅ 161 Ω
P 100
Exemplo
Uma torradeira de 1800 W, uma frigideira elétrica de 1,3 KW e uma lâmpada
de 100 W são ligadas a um mesmo circuito de 20 A e 120 V. Calcule (a) a
corrente que atravessa cada dispositivo; (b) a resistência de cada um deles e
(c) verifique se tal combinação fará o circuito queimar.
a) Corrente que atravessa cada dispositivo. Pode-se usar I = P/V.
I
torradeira
I
frigideira
I
lâmpada
1800W
= 15 A
120V
1300W
=
= 11 A
120V
100W
=
= 0,83 A
120V
=
A corrente total ao longo da linha será: Itorradeira+Ifrigideira+Ilâmpada= 26,83 A.
Tal valor supera o limite máximo estiuplado para a linha!
19
Exemplo
b) A resistência de cada dispositivo é determinada por: R = P/V2
(120V )
2
R
torradeira
=
= 8Ω
1800
(120V )
=
= 11Ω
1300
(120V )
=
= 144 Ω
100
2
R
frigideira
2
R
lâmpada
Exemplo
Outras formas para determinar a corrente:
a) Cálculo da resistência equivalente:
1 1 1
1
= + +
⇒ R = 4,5 Ω
R 8 11 144
eq
eq
∴ I =V / R =
eq
120
= 26,7 A
4,5
b) Pela expressão I = P/V
I=
P +P +P
1800 + 1300 + 100
=
= 26,7 A
V
120
tor
frid
lamp
20
Exercício 1
No circuito da figura abaixo ambos os capacitores se encontram sob
tensão inicial de 45,0 V. Quanto tempo após a chave S ser fechada
o potencial através de cada capacitor será reduzido a 10,0 V? Qual será
a corrente nesse instante?
Exercício 2
Estritamente falando verificamos que seria necessário um tempo infinito para
descarregar completamente um capacitor. Contudo, na prática, podemos
considerar um capacitor completamente descarregado depois de um intervalo de
tempo finito. Para exemplificar, considere um capacitor com capacitância C
conectado a um resistor R e suponha que ele esteja completamente descarregado
quando sua carga q for igual a somente um elétron!
Calcule o tempo necessário para atingir esse estado considerando C = 0,92 µF,
R = 670 KΩ e Q0 = 7,0 µC. A quantas constantes de tempo isso corresponde?
Para um dado valor de Q0 o tempo necessário para atingir esse estado é sempre
igual a mesmo número de constantes de tempo, independentemente dos valores
de C e de R. Por quê?
21
22