Fundamentos de Física Clássica – Prof. Ricardo
Capacitor
É um dispositivo eletrônico que tem como principal finalidade armazenar carga elétrica e,
conseqüentemente, energia.
Ele é basicamente formado por duas placas de metal separadas por uma pequena distância. Num
capacitor comercial, dependendo do tipo (eletrolítico) as placas metálicas enrolam-se uma na outra e
são separadas por algum material isolante. A figura ao
Conector Negativo
lado mostra muito bem um capacitor por dentro.
Considere um capacitor inicialmente descarregado.
Quando os terminais são conectados, por exemplo, a
uma bateria, dar-se início a uma corrente elétrica que só
terminará quando a ddp entre as placas do capacitor for
igual à ddp entre os terminais da bateria. Para um
capacitor ser caracterizado, precisamos informar dois
parâmetros, são eles: capacitância (C) e diferença de
potencial (máxima). A relação entre eles é:
Conector Positivo
Dielétrico
Placa de Metal
Q = C V.
(1)
Alumínio
Plástico
A unidade de capacitância no Sistema International (SI) é o farad (F). De acordo com a equação (1),
1 farad = 1 coulomb/volt.
Quanto maior o potencial e a capacitância, maior é a quantidade de cargas que podemos acumular
num capacitor. Quando um capacitor está totalmente carregado, uma das placas está carregada com
carga positiva (dizer que uma placa está carregada positivamente significa que existe ausência de
elétrons) e a outra com carga negativa. Este vídeo mostra um capacitor sendo carregado e
descarregado em seguida: http://www.youtube.com/watch?v=ciMxaPvEPUs. Este outro filme mostra
o que um capacitor pode fazer num circuito: http://www.youtube.com/watch?v=EoWMF3VkI6U
1 - Cálculo da Capacitância – Placas Paralelas
Exemplo 1:
Capacitor de placas paralelas (não considere efeito de bordas).
1
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Um capacitor desse tipo é formado por duas placas plano paralelas. Quando carregadas, estas placas
criam um campo elétrico (facilmente calculado por Lei de Gauss – reveja esta aula) entre elas cujo
valor é:
E=
σ
.
ε0
(2)
σ é a densidade de carga superficial e ε0 é a permissividade do vácuo. A permissividade é uma
medida da facilidade com que o dielétrico permite o estabelecimento de linhas de campo em seu
interior. Quanto maior a permissividade, maior a quantidade de cargas depositadas nas placas. Por
isso, como veremos mais adiante, se desejarrmos aumentar a carga num capacitor, com o campo
elétrico constante, poderemos substituir o “vácuo” por um material isolante.
Veja que esse campo é dobro do campo de uma placa carregada, ou seja, ele é o resultado da soma do
campo da placa negativa com a placa positiva entre elas.
A densidade de carga numa placa é dada
pela seguinte equação:
σ=
Q
.
A
Q é a quantidade de carga numa área A.
Levando este resultado na equação
anterior (2), obtemos:
E=
-
O campo elétrico se
anula fora das placas e
se adionam entre elas.
+
Q
.
ε0A
A capacitância é função do potencial entre as placas que, nesse caso, é igual a:
V = Ed .
Onde d é a distância entre as placas. Levando esse resultado na equação (1), obtemos:
C=
ε A
Q
Q
Q
=
=
= 0 .
V E d Qd
d
ε0A
(3)
Como podemos ver, quanto menor a distância entre as placas, maior a capacitância e esta é
diretamente proporcional a área da placa. Além disso, tem um detalhe muito importante: se o espaço
entre as placas for preenchido com outro material, como veremos mais a frente, a capacitância
aumenta.
2
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Exemplo 2:
Um capacitor de 1x10-6F está carregado com uma ddp de 1V. Quantas cargas elementares têm neste
capacitor?
Q = CV = 1 × 10 −6 × 1 = 1 × 10 −6 C.
Cada carga elementar tem 1,6x10-19C, logo, o número total de cargas no capacitor, é:
N=
1 × 10 −6
= 6,25 × 1012 elétrons.
1,6 × 10 −19
Link muito bom: http://phet.colorado.edu/en/simulation/capacitor-lab
2 - Dielétrico
Basicamente dielétricos são isolantes elétricos e, quando estes são colocados entre placas de um
capacitor, a capacitância aumenta por um determinado valor. Além disto, um dielétrico é uma forma
mecânica de manter as placas do capacitor separadas. A
+
explicação para isso é simples: quando um dielétrico é
+ - + - + - +
colocado entre as placas de um capacitor, ver figura ao lado, as
+
moléculas deste dielétrico se orientam (temperatura e
- + - + - + - +
intensidade do campo são importantes para esta orientação) de
forma que cria um campo elétrico (seta vermelha fina) que
+ - + - + - +
+
diminui o campo elétrico original (seta grossa azul). O
resultado disso é a diminuição do potencial entre as placas.
Detalhe importante: as placas estão ligadas à bateria que tem
V
que manter o potencial original (por que?) e isto só pode ser
feito, com a adição de mais cargas, logo, pela Equação (1), se V
é constante, se a carga aumenta, a capacitância tem que aumentar. Veja também, que o dielétrico cria
uma carga superficial (carga ligada) próximo às placas do capacitor e, como já vimos, isso da origem
a um campo elétrico (seta vermelha).
Se a capacitância original (sem dielétrico) do capacitor é C0, então, com a introdução do dielétrico
preenchendo totalmente o espaço entre as placas, esta nova capacitância passa a ser
C = KC0
(4)
onde K é denominado de constante dielétrica. Supondo que o capacitor fique ligado à bateria
enquanto o dielétrico é introduzido entre as placas, teremos então, que a nova carga é:
Q = C . V0 = K C0 . V0 = K Q0.
(5)
Outra situação é quando um capacitor, sem dielétrico, está totalmente carregado e não conectado a
uma bateria, neste caso, ao introduzir um dielétrico preenchendo todo espaço entre as placas, o
potencial original diminui para o seguinte valor:
V = V0 / K
3
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O campo elétrico também diminui e fica: E = E0 / K pois E = V/d.
(6)
A tabela abaixo mostra os valores da constante dielétrica para alguns materiais.
Exemplo 3:
Um dielétrico, ao ser é inserido entre as placas de um capacitor carregado, diminui o campo original
(aquele sem dielétrico e representado na figura acima por setas azuis) porque as cargas na superfície
produzem um campo contrário ao original (setas vermelhas). Estas cargas, pelo fato de estarem
ligadas ao dielétrico, são denominadas de cargas ligadas e são representadas por σ b. O campo devido
a estas cargas é dado por (ver capítulo 1):
E′ =
σb
.
ε0
(7)
O campo resultante entre as placas do capacitor e’:
E = E0 − E ′ =
E0
1

⇔ E ′ = E0 1 −  ,
K
 K
ou
1
.
K
1
(8)
O gráfico ao lado mostra a razão entre cargas ligadas e cargas
livres. Lembre-se que o ar também é um dielétrico.
Pergunta: Suponha que você carregue ao máximo um
capacitor com um determinado dielétrico eles as placas. O que
poderia acontecer, se você, de alguma forma, retirasse esse
dielétrico?
carga ligada / carga livre


σ b = σ 0 1 −
0.9
0.8
Agua = 80
Porcelana = 7
Papel = 3.7
Ar = 1,00059
0.7
0.6
0.5
0
20
40
60
constante dieletrica (K)
80
4
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Exemplo 4:
Um dielétrico com constante K e com a mesma área das placas do capacitor é inserido entre as placas
carregadas. A espessura do dielétrico é 4/3 da distância entre as placas d. Calcule a nova capacitância.
Na figura ao lado, o campo dentro do dielétrico é menor do
que fora, pois o campo das cargas ligadas é contrario ao
original.
Este problema pode ser resolvido considerando-se 2
capacitores em série e assim calcular a capacitância de cada
capacitor e em seguida aplicando a equação (2). Ou calcula-se
a diferença de potencial entre as placas.
+
+
+
+
+
+
-
O potencial entre duas placas é V = E d.
No caso do capacitor, temos:
E d E 3d E 0 d E 0 3d
 K + 3
 K + 3
V = V1 + V2 = 0 +
=
+
= E0 d 
 = V0 
.
4
4
4
K 4
 4K 
 4K 
Mas C = Q0/V, ou seja,
vácuo
-
K
V1
C=
+
+
+
+
+
+
V2
Q0 4 K
4K
=
C0
V0 K + 3 K + 3
3 – Armazenamento de Energia Elétrica
Para carregar um capacitor, precisamos, e.g., de uma bateria, mas, à medida que carregamos outros
capacitores, podemos descarregar completamente esta bateria. Podemos então dizer que energia foi
“transferida” da pilha para o capacitor. Logo, um capacitor com carga tem uma determinada energia e
para carregar um capacitor, trabalho tem que ser realizado. Carregar um capacitor significa transferir
carga elétrica de um potencial menor para um maior (placa positiva). Veremos depois que a energia
armazenada é exatamente igual a metade do trabalho realizado (pela bateria) para transferir carga para
um determinado potencial. Se a quantidade de carga transferida é dq, então a variação energia
potencial que a carga sofre é:
V = q/C
dU =V. dq ,
(9)
dq sendo
transferida de
um potencial V
onde V é a diferença de potencial no capacitor quando este tem uma dterminada quantidade de carga.
Este potencial é aumentado à medida que carga é adicionada ao capacitor. Mas, o potencial num
capacitor é dado pela equação 1, ou seja,
5
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V = q / C.
Levando a equação acima na Equação (9) obtemos:
dU =
Q q
q
1 Q2
.
dq ⇒ U = ∫
dq ⇒ U =
0 C
C
2 C
(10)
Podemos reescrever a equação (10) da seguinte forma:
1
1
QV = C V 2 .
2
2
U=
(11)
No caso de placas planas paralela, temos:
QV σ A E d Eε 0 A Ed 1 2
=
=
= E ε 0 Ad .
2
2
2
2
U=
(12)
As Equações (10) e (11) estabelecem que a energia num capacitor é diretamente proporcional ao
quadrado da carga ou ao potencial num capacitor.
Vimos no curso de Física I que o trabalho é igual à integral do produto escalar da forca F com a
distância infinitesimal que um corpo percorre. No nosso caso, a forca sobre uma carga dq é dq.E. O
trabalho necessário para transferir essa carga por uma distancia d (distância entre as placas) é:
dW = d dq E,
mas,
E=
σ
q
=
ε 0 Aε 0
ou
dE =
dq
.
Aε 0
Assim, levando a última equação na expressão para trabalho, obtemos:
E0
dW = d dE A ε 0 E ⇒ W = ε 0 Ad ∫ E dE =
0
1 2
E0 ε 0 Ad .
2
(13)
Ou seja, o trabalho necessário para carregar um capacitor até um campo E0 é exatamente a energia
eletrostática de um capacitor U já calculada antes (veja as equações 12 e 13). O produto da área pela
distância entre as placas é exatamente o volume do capacitor (supondo que o campo é constante nas
bordas) e assim podemos definir outro parâmetro, ou seja, a densidade de energia de um campo
eletrostático, como sendo:
η=
U 1
= ε0E2.
V 2
(14)
6
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Exemplo 7
Um capacitor de 60x10-6F está carregado a 12V. O capacitor é então removido da bateria e a
separação entre as placas aumenta de 2 para 3,5mm.
a) qual a carga do capacitor?
b) qual a energia inicialmente armazenada no capacitor?
c) de quanto aumenta a energia armazenada se mudamos a distância entre as placas?
Resposta
a) Q = CV = 60 x 10-6.12 = 720 x10-6 C
b) U = QV/2 = 720 x10-6 . 12/2 = 4320 x 10-6 J.
c) Neste caso, o potencial não será mais 12V (O campo elétrico permanece constante).
Sabemos que V = E.d, como o valor do campo elétrico não muda quando as placas se afastam
(veja que E só depende da densidade de carga e esta permanece constante) então podemos
dizer que o novo potencial elétrico é:
E=
Vi V f
=
di d f
⇔ Vf =
df
di
Vi =
3,5.12
= 21V
2
Logo, a energia armazenada agora é de 720 x10-6 x 21/2 = 7560 x 10-6 J. O que dá um
aumento de 7560-4320 = 3240x10-6J.
Fato interessante:
Este mesmo resultado poderia ser obtido se
imaginássemos a seguinte situação: suponha que vamos
calcular o trabalho para afastar uma placa de carga Q
de uma outra placa carregada. Vamos prender a placa
positiva e afastar a negativa.
Placa
carregada Q
s
Neste caso, o trabalho para afastar a placa superior da
inferior é:
W = F.s = E´Q s =
= 3000. 720 x10-6.0,0015
= 3240 x10-6 J.
Ou seja, o trabalho realizado para afastar a carga é igual
ao aumento da energia armazenada.
E´=E/2=12/(0,002.2)
= 3000V/m
Placa fixa
Aqui consideramos o campo elétrico como sendo
apenas devido uma única placa.
7
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Exemplo 8 (Facultativo): Calcule a energia de um condutor esférico isolado com carga Q e raio R
(veja exemplo 8 do capítulo de Potencial Elétrico)
O uso da equação (14) e do potencial calculado anteriormente, nos dá:
U=
1
1 kQ kQ 2
.
QV = Q
=
2
2 R
2R
Este resultado também pode ser obtido via densidade de energia, ou seja, a densidade de energia de
uma casca esférica de raio r (r > R) e espessura dr, é:
ε 0 k 2Q 4
1
2
η = ε0E =
,
2
2r 2
mas
dU = η dV =
ε 0 k 2Q 4
2r 2
kQ 2
kQ 2
dr
U
⇒
=
.
R 2r2
2R
4π r 2 dr ⇒ U = ∫
∞
Esta expressão é igual à primeira obtida acima.
4 – Combinação de Capacitores (Facultativo)
A disposição de dois ou mais capacitores ligados entre si, forma o que denominamos de associação de
capacitores. Podemos associá-los de três formas distintas: paralelo, serie ou serie e paralelo. Porem,
esta associação pode ser substituida por um unico capacitor que chamamos de equivalente.
Representação para capacitores em paralelo.
Neste caso, os terminais dos capacitores estão sob um mesmo potencial elétrico, então as cargas serão
acumuladas de acordo com a capacitância de cada capacitor, ou seja,
Q1 + Q2 + .... + Qn = Q ou
C1V + C 2V + ...C nV = CV ⇔ C = C1 + C 2 + ...C n
(17)
Representação para capacitores em serie.
8
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A diferença de potencial total entre o primeiro e último capacitor, é igual a soma de cada potencial
sobre cada capacitor; alem disto, a cada em cada capacitor é a mesma pois ao colocarmos carga + Q
na placa do primeiro capacitor, induzimos carga negativa na placa oposta, que vem do segundo
capacitor, e assim por diante.
V = V1 + V2 + ....+ Vn
ou
Q Q
Q
Q
1
1
1
1
=
+
+ ... +
⇔ =
+
+ ... +
C C1 C 2
Cn
C C1 C 2
Cn
(18)
Se tivermos uma serie de capacitores associados em serie e paralelo, o capacitor equivalente é
determinado a partir da resolução de cada tipo de associação separadamente.
Outra forma: o capacitor do exemplo é uma associação de dois capacitores, um com dielétrico e outro
sem.
ε A
Capacitor sem dielétrico: C1 = 0 .
d
4
Capacitor com dielétrico: C2 =
Capacitor em série:
K ε0 A
.
3d
4
1
1
1
4K
=
+
⇒C =
C0 .
C C1 C2
K +3
Exercício:
1) Calcule a capacitância do capacitor da figura ao lado.
A
d
K1
K
2) Calcule a capacitância do capacitor da figura ao lado.
9