Determinação de Massas e Raios Estelares
1
Introdução
A massa de uma estrela é a sua característica mais importante. Conhecendo-se a massa
inicial e a composição química inicial de uma estrela, devemos estar aptos a calcular todas as
suas outras propriedades – tais como: raio, luminosidade, etc – em qualquer instante desde a
sua formação até os últimos estágios de sua evolução.
A determinação da massa de uma estrela só pode ser obtida através de seus efeitos gravitacionais. Um destes efeitos é o deslocamento para o vermelho observado na radiação
emergente da superfície de objetos extremamente densos, tal como uma anã branca. Para outras estrelas, necessitamos da presença de um segundo corpo nas proximidades da mesma, o
que restringe a nossa possibilidade de determinação de massas ao Sol e às estrelas binárias.
Afortunadamente, entretanto, na Galáxia muitas estrelas são encontradas formando pares ou
sistemas múltiplos.
Estima-se que mais da metade de todas as estrelas no céu possuem outras orbitandoas como companheiras. Em uma pequena porcentagem desses casos, as duas estrelas
encontram-se tão próximas que uma chega a causar efeitos profundos na história evolutiva
da outra.
As estrelas binárias são classificadas de acordo com a maneira com que são observadas.
Em alguns casos, a associação física de duas estrelas é inferida, apesar de que somente
uma é realmente observada, porque o movimento próprio da estrela visível apresenta uma
oscilação no céu. Este tipo de binária é designada por binária astrométrica. Quando duas
estrelas são vistas separadamente como imagens que orbitam uma em torno da outra com o
decorrer do tempo, designamo-as de binária visual. São chamadas binárias espectroscopicas
os pares de estrelas que são inferidos a partir de observações espectroscopicas que mostram
uma variação periódica do deslocamento Doppler de suas linhas espectrais. Algumas vezes
observa-se as linhas das duas estrelas e outras vezes somente de uma delas. Ao primeiro
caso chamamos binária espectroscópica de linha dupla, ao segundo binária espectroscópica
de linha simples. Existem ainda os casos onde a natureza associativa de uma par de estrelas
é observada através da variação periódica da luz total do sistema que pode ser interpretada
em termos de eclipses de uma estrela pela outra.
2
Binárias Espectroscópicas
Se um sistema binário não pode ser resolvido em um telescópio, seu carater de duplicidade
pode aparecer em um espectro. Mesmo que o movimento orbital não seja detectável, sabemos que estamos lidando com uma binária de espectro quando dois conjuntos diferentes de
1
linhas são vistos superpostos no espectro. Um caso mais útil, e interessante, é a binária espectroscópica: aqui duas estrelas orbitam rapidamente seu centro de massa muito próximo
(≤ 1 unidade astronômica) (P ≈ horas a alguns meses), e a inclinação orbital1 , i, é diferente
de 0◦ .
O espectro de uma binária espectroscópica exibe linhas que oscilam periódicamente em
comprimentos de onda. Se a companheira for muito fraca de forma que seu espectro não é
detectado, temos uma binária de linha simples, duas estrelas de luminosidades parecidas produzem dois conjuntos de linhas espectrais que oscilam em sentidos opostos (em comprimento
de onda), e chamamos a estes sistemas, binárias espectroscópicas de linha dupla. Aproximadamente 1000 binárias espectroscópicas são conhecidas, das quais algumas centenas
possuem orbitas bem determinadas.
2.1
A curva de velocidade
Devemos interpretar o comportamento das linhas espectrais para obtermos informações úteis
de um espectro de uma binária espectroscópica. Como as duas estrelas orbitam em um plano
inclinado (ângulo i) com relação à esfera celeste, as componentes de suas velocidades ao
longo da linha de visada irão produzir um deslocamento Doppler em suas linhas espectrais.
(Note que não pode ocorrer deslocamento Doppler como resultado de um movimento orbital
quando i = 0◦ ; o sistema aparecerá como uma binária de espectro.) Em adição, o centro
de massa do sistema move-se com respeito ao Sol, assim que o espectro inteiro pode sofrer
algum deslocamento Doppler.
O deslocamento Doppler pode ser expresso pela fórmula
(λ − λ0 )
vr
∆λ
≡
=
λ0
λ0
c
(1)
onde λ0 é o comprimento de onda da linha espectral medida em laboratório, λ é o comprimento
de onda observado, vr é a velocidade radial (positiva para recessão, negativa para aproximação) da estrela, e c = 2, 9979250 × 1010 cm sec−1 é a velocidade da luz. Devido à largura
finita das linhas espectrais, no visível estamos limitados a uma resolução do deslocamento
de ∆λ ≥ 0, 001 nm; então, a velocidade radial precisa ser vr ≥ 1 Km s−1 para ser detectável.
Assim, o período das binárias espectroscópicas observáveis são necessariamente curtos.
Quando convertemos (utilizando a equação (1)) os deslocamentos Doppler em velocidades
radiais e construimos um gráfico dos resultados como função do tempo, obtemos a curva de
velocidade. O caso mais simples é orbita circular com inclinação i = 90◦ (sistema visto de
lado); as duas curvas (uma para cada estrela) são senoidais e oscilam com fases exatamente
opostas com relação à velocidade do centro de massa do sistema com período P , como representado na Figura 1. Neste caso, encontramos as distâncias ao centro de massa notando-se
que em um período, a primária descreve a circunferência 2πr1 a velocidade constante V . Então, V P = 2πr1 e
r1 =
1
VP
2π
e
r2 =
vP
.
2π
A inclinação orbital é definida como o ângulo entre o plano da orbita e o plano do céu.
2
(2)
Figura 1. Correspondência entre posições na órbita e pontos na curva de velocidade radial. A ilustração mostra o caso
em que a relação de massas para as estrelas A e B é 2:1.
Diagrama superior esquedo: Órbita das
duas componentes em torno do centro de
massa, marcado com +.
Diagrama superior direito: Órbita relativa
da estrela B em torno da estrela A.
Diagrama inferior: Curvas das velocidades radiais correspondentes. A amplitude da curva B é duas vezes a de A.
A razão das massas estelares é
M
r2
v
=
=
m
r1
V
(3)
o semieixo relativo maior a é r1 + r2 , e pela 3−a lei de Kepler modificada por Newton, a soma das
massas é dada por
a3
(4)
P2
onde as massas são dadas em unidades de massas solares (M ) e o período em anos siderais.
M +m=
As massas estelares individuais podem ser obtidas da soma e razão destas, e as características dinâmicas da binária espectroscópica podem ser completamente determinadas.
3
Em geral, essa configuração simples não ocorre. Para uma binária espectroscópica de linha
simples, pode-se determinar somente r1 e a chamada função massa — dada por: m3 sen3 i/(M +
m)2 . Um valor razoável para M pode ser obtido do tipo espectral da primária; e então o sistema
pode ser razoávelmente determinado. Uma dificuldade maior é que a menos que o sistema
também seja uma binária eclipsante, não temos uma idéia clara de sua inclinação orbital. Se
a curva de velocidade é puramente senoidal, sabemos somente que estamos lidando com um
sistema cuja órbita é circular e cujo plano orbital está inclinado de algum ângulo i com relação à esfera celeste. As amplitudes das curvas de velocidade fornecem a velocidade circular
observada
V 0 = V sen i
v 0 = v sen i.
Então, podemos determinar a razão exata das massas porque
r2
v
v0
M
=
=
= 0
m
r1
V
V
mas somente o limite inferior, a sen i, do semieixo relativo maior pode ser obtido.
Se a órbita não for circular, possuindo excentricidade e, as curvas de velocidade serão
distorcidas e não senoidais puras. As curvas de binárias de linha dupla são imagens especulares uma da outra mas possuindo amplitudes diferentes — uma inclinação orbital i meramente
reduzirá todas as velocidades radiais pelo mesmo fator sen i. A periodicidade e as formas características destas curvas permitem-nos encontrar imediatamente P , e, e Ω (a orientação do
eixo maior com respeito à linha de visada). Quando i = 90◦ , o semieixo relativo maior e ambas
as massas estelares podem ser obtidos.
3
Binárias Eclipsantes
Quando a inclinação da órbita de uma binária é próxima de 90◦ , cada uma das estrelas pode
eclipsar a outra periódicamente — chamamos estes sistemas de binárias eclipsantes. Alguns
milhares destes sistemas são conhecidos; muitos são também binárias espectroscópicas, e
pouquissimos binárias visuais. Para uma órbita relativa com raio igual a ρ, inclinada de um
ângulo φ com relação à linha de visada (φ = 90◦ − i), eclipses podem ocorrer somente quando
ρ sen φ < R(primária) + R(companheira), onde R é o raio estelar (vide Figura 2). Assim, órbitas
pequenas são favorecidas; como tais órbitas possuem períodos curtos e altas velocidades
orbitais, isto, em geral, implica que os sistemas são também observados como sendo binárias
espectroscópicas.
3.1
Interpretação da curva de luz
Binárias eclipsantes são frequentemente detectáveis por sua variação periódica no brilho. Se
representarmos graficamente a magnitude aparente ou fluxo de tal binária em função do tempo,
obteremos a curva de luz, que geralmente exibe dois mínimos com profundidades diferentes
no brilho, correspondendo aos dois eclipses possíveis por órbita.
4
Figura 2. Representação esquemática de uma estrela binária. A inclinação orbital, i, é
definida como o ângulo entre o
plano da órbita e o plano do céu,
neste caso, i = 90◦ − φ.
O mínimo mais profundo — eclipse primário — ocorre quando a estrela mais quente passa
atrás da estrela mais fria; o outro eclipse — o secundário — é menos profundo. Vários tipos
de eclipses são possíveis: (1) quando i = 90◦ , ambos os eclipses, o total (estrela menor
atrás da maior) e o anular (estrela menor na frente da maior) são chamados centrais; (2)
quando ρ sen i < [R(primária) − R(companheira)], temos eclipses total e anular; e (3) quando
[R(primária) − R(companheira)] < ρ sen i < [R(primária) + R(companheira)], ocorrem somente
eclipses parciais. Note que se as órbitas são circulares, em todos os três casos, exatamente a
mesma área é coberta em ambos os mínimos, primário e secundário, .
Considere a curva de luz associada a um eclipse central e órbitas estelares relativas circulares, para a situação onde a estrela maior possui menor temperatura superficial do que a
estrela menor. A Figura 3 apresenta uma representação esteriotipada dessa situação. Um dos
eclipses é total e a luz do sistema permanece constante enquanto a estrela ocultada passa
de um lado para o outro da estrela ocultante. Na Figura, esse caso corresponde ao eclipse
primário. O eclipse secundário é anular e também permaneceria constante em seu mínimo se
a estrela maior (ocultada) fosse uniformemente brilhante sobre seu disco. Como, entretanto,
qualquer estrela é mais brilhante no centro de seu disco devido a um efeito chamado de escurecimento de borda, o perfil do mínimo varia continuamente. Note que a curva de luz mostrada
na Figura não apresenta brilho constante para as regiões entre eclipses. Por quê?
Figura 3. direita: Representação esteriotipada da órbita relativa de uma estrela binária eclipsante vista
da Terra com inclinação ângular igual a 90◦ . Os pontos marcados indicam os instantes quando: (1)
começa o eclipse; (2) a estrela menor é totalmente eclipsada; (3) final do eclipse total; e (4) final do
eclipse. esquerda: Esboço da curva de luz do sistema mostrado à direita. Os instantes indicados
referem-se aos pontos mencionados acima.
5
Existem quatro pontos (durante um eclipse) onde as bordas das duas estrelas se tangenciam; dizemos que ocorre o primeiro contato (t1 ) quando o eclipse começa; segundo contato
(t2 ) quando atinge-se o mínimo no brilho; terceiro contato (t3 ) quando a estrela menor começa
a deixar o disco da maior; e quarto contato (t4 ) quando o eclipse termina. Na Figura 3 estes
pontos estão representados para o caso do eclipse total.
Se denotarmos os raios estelares por Rg (estrela maior) e Rp (estrela menor) e a velocidade
orbital relativa da estrela menor por v, pela geometria do sistema (Figura 3 – esquerda) teremos
2Rp ≈ v(t2 − t1 ) = v(t4 − t3 )
(5a)
2(Rp + Rg ) ≈ v(t4 − t1 ).
(5b)
Entretanto, o raio a da órbita relativa circular é
vP
(6)
2π
onde P é o período orbital. Combinando-se as equações (5), e (6), podemos determinar as
razões entre os raios estelares e o raio orbital, que são dadas por,
a=
Rp
π(t2 − t1 )
=
a
P
Rg
π(t4 − t2 )
=
a
P
4
(7)
(8)
Procedimento
Para exemplificarmos, iremos estudar o sistema eclipsante Zeta Phoenicis (ζ Phe). Esse sistema foi escolhido por ser separado2 , possuir órbita relativa praticamente circular (e ≈ 0) e
apresentar eclipses quase centrais — a inclinação do sistema foi determinada como sendo
igual a i = 87,◦ 8). Devemos ter em mente que a análise que faremos é muito simplificada e
que em geral, estrelas binárias eclipsantes são sistemas bem mais complicados que requerem
modelos muito mais eleborados do que o apresentado aqui. Como exemplo, podemos citar
que em alguns sistemas, devido à proximidade das estrelas, observam-se efeitos tais como:
(1) deformação das componentes por efeitos de maré; (2) efeito reflexão — isto é, a luz emitida por uma das componentes na direção da companheira é reemitida por esta produzindo um
efeito semelhante a uma reflexão; (3) transferência de massa em sistemas em semi-contato;
etc.
O objetivo desse exercício é mostrar como, através do conhecimento das curvas de velocidade e de luz de um sistema binário eclipsante, pode-se determinar alguns dos parametros
fundamentais das estrelas. Na Tabela 1 são apresentadas medidas as das velocidades radiais
de cada uma das duas componentes principais que formam o sistema eclipsante ζ Phe3 . A
2
Um sistema separado é aquele em que as estrelas estão suficientemente longe uma da outra, de maneira
que não ocorre contato entre elas. Existem também os sistemas chamados “em contato” e “semi-contato”. Nestes
últimos não ocorre o contato físico entre as componentes, mas uma das componentes possui uma atmosfera tão
extendida, que ocorrem transferências de massa desta para a outra estrela.
3
Este sistema possui ainda uma terceira e mais distante componente, que não chega a afetar sensivelmente
as curvas de luz e de velocidades radiais.
6
Tabela 2 contêm valores da diferença de magnitudes entre ζ Phe e uma estrela de comparação
(ζ Phe − HR 191) para o filtro b do sistema de Strömgren.
1. Utilizando uma folhas de papel milimetrado construa um gráfico das velocidades radiais,
dadas na Tabela 1, para cada uma das componentes como função da fase. Por motivos
de clareza, utilize simbolos diferentes para cada estrela.
2. Como a órbita é praticamente circular, as curvas serão senoidais. Os pontos observados
poderão então ser ajustados através de uma curva do tipo,
Vi = Ai + Bi sen (2π × fase).
Utilize o método de mínimos quadrados para encontrar as constantes Ai e Bi de cada
curva de velocidade. Com estes valores desenhe as curvas que se ajustam aos dados
observacionais.
Como você já deve ter percebido, o coeficiente Ai fornece a velocidade comum com
que o sistema binário está se aproximando (negativo) ou afastando (positivo) do Sol, e
deveriam ser os mesmos para ambas as estrelas. Os valores encontrados são iguais? A
amplitude de cada uma das curvas — coeficiente Bi — fornece a projeção da velocidade
tangencial de cada estrela ao longo da linha de visada (no presente caso, como i ≈ 90◦ ,
esta amplitude é praticamente igual à velocidade tangencial da estrela).
3. Utilize a equação (3) para determinar a razão das massas estelares. A soma das massas pode ser obtida através da equação (4). O semi-eixo relativo pode ser calculado
utilizando-se a velocidade relativa entre as duas componentes (equação (6)). O período
deste sistema foi determinado como sendo igual a P = 1,d 6697724. Note que na equação
(4) devemos utilizar o período em unidades de anos siderais (365,d 2564)4 e o semi-eixo
em unidades astronômicas5 . O valor encontrado expressa a soma das massas em unidades de massas solares (M ). Determine as massas individuais de cada componente
deste sistema binário.
4. Utilizando outra folha de papel milimetrado construa a curva de luz deste sistema (Tabela
2). Identifique o mínimo correspondente ao eclipse total. Selecione uma região em torno
desse mínimo e construa um terceiro gráfico ampliando essa região. Identifique os quatro instantes de contato e através das equações (7) e (8) estime os raios de ambas as
estrelas. A órbita é realmente circular? Por quê?
4
5
Um dia sideral médio é igual a 23h 56m 4,s 091.
Uma unidade astronômica (UA) é igual a 149.597.900 km.
7
TABELA 1. Observações de velocidade radial de ζ Phoenicis. As colunas fornecem a data da
observação, a fase, e a velocidade radial para cada uma das componentes da estrela.
HJD
− 2440000
3788,7201
3788,8475
3788,8597
3789,6141
3789,6517
3789,7259
3789,8040
3789,8333
3790,5789
3790,6082
3790,6448
3790,7010
3790,7610
3790,7943
3791,5271
3791,5613
fase
0,6248
0,7011
0,7084
0,1602
0,1828
0,2272
0,2740
0,2915
0,7380
0,7556
0,7775
0,8112
0,8471
0,8670
0,3059
0,3264
Comp. A
Km s−1
107,9
136,0
139,8
−98,2
−103,8
−113,2
−111,8
−109,0
150,0
150,0
146,9
140,8
125,5
119,0
−106,2
−98,8
Comp. B
HJD
−1
Km s
− 2440000
−141,1 3791,5984
−187,7 3791,6433
−184,4 3791,6790
188,5 3793,7385
198,4 3793,7609
216,8 3793,7946
209,0 3793,8181
208,1 3793,8728
−192,4 3793,8942
−190,0 3794,5685
−191,4 3794,6081
−179,6 3794,6672
−156,5 3794,7165
−140,1 3794,7687
203,6 3794,7907
197,1
8
fase
0,3486
0,3755
0,3969
0,6303
0,6437
0,6639
0,6779
0,7107
0,7235
0,1274
0,1511
0,1865
0,2160
0,2472
0,2604
Comp. A
Km s−1
−88,7
−73,5
−65,4
121,8
115,8
128,9
131,9
148,3
149,1
−79,6
−87,9
−106,0
−111,7
−112,7
−110,7
Comp. B
Km s−1
171,0
158,2
128,1
−142,1
−138,4
−157,3
−161,8
−179,8
−183,1
154,3
177,1
191,3
211,7
214,7
210,6
TABELA 2. Curva de luz de ζ Phoenicis. As colunas fornecem a data da observação, fase, e
diferença (ζ Phe − HR 191) de magnitude na cor b do sistema de Strömgren.
HJD
− 2440000
1643,61486
1643,62594
1643,63539
1643,64410
1643,65130
1643,65819
1643,66543
1643,67063
1643,68342
1643,69161
1643,69718
1643,70261
1643,70634
1643,70821
1643,71981
1643,72896
1643,73622
1643,74607
1643,75328
1643,75918
1936,85400
1937,64824
1937,66995
1937,67670
1937,68474
1937,71725
1937,77792
1937,82949
1937,87740
1943,59201
1943,60103
1943,62806
1943,63624
1943,67933
1943,73231
1943,76040
1943,86824
1943,88074
1946,51060
1946,52888
fase
∆b
−0,044
−0,038
−0,032
−0,027
−0,023
−0,018
−0,014
−0,011
−0,003
0,002
0,005
0,008
0,010
0,012
0,018
0,024
0,028
0,034
0,038
0,042
0,572
0,048
0,061
0,065
0,070
0,089
0,126
0,157
0,185
0,608
0,613
0,629
0,634
0,660
0,692
0,709
0,773
0,781
0,356
0,367
−0,322
−0,254
−0,198
−0,151
−0,098
−0,050
−0,010
−0,006
0,012
0,019
0,016
0,010
0,005
−0,004
−0,051
−0,108
−0,164
−0,230
−0,276
−0,306
−0,448
−0,345
−0,415
−0,437
−0,448
−0,448
−0,451
−0,459
−0,456
−0,457
−0,450
−0,456
−0,464
−0,463
−0,468
−0,469
−0,460
−0,464
−0,472
−0,465
HJD
fase
− 2440000
1946,57771
0,396
1946,60174
0,410
1946,61438
0,418
1946,62431
0,424
1946,64046
0,433
1946,64834
0,438
1946,65102
0,440
1946,65565
0,442
1946,65757
0,444
1946,66109
0,446
1946,66308
0,447
1946,67257
0,453
1946,67440
0,454
1946,68383
0,459
1946,69439
0,466
1946,70260
0,471
1946,71960
0,481
1946,73144
0,488
1946,74001
0,493
1946,74534
0,496
1946,76573
0,508
1946,77630
0,515
1946,78478
0,520
1946,78915
0,522
1946,79813
0,528
1946,81096
0,535
1946,83415
0,549
1946,84446
0,556
1946,85116
0,560
1946,86345
0,567
1946,86812
0,570
1946,87522
0,574
1946,88483
0,580
1946,89922
0,588
1946,90214
0,590
1948,79230
0,722
1948,83886
0,750
1948,88880
0,780
1950,58749
0,797
1950,79246 −0,080
9
∆b
−0,462
−0,462
−0,456
−0,453
−0,448
−0,450
−0,451
−0,444
−0,437
−0,439
−0,433
−0,415
−0,408
−0,385
−0,349
−0,317
−0,259
−0,210
−0,192
−0,192
−0,192
−0,194
−0,191
−0,200
−0,220
−0,270
−0,353
−0,393
−0,406
−0,437
−0,444
−0,448
−0,448
−0,452
−0,455
−0,470
−0,474
−0,468
−0,468
−0,440
HJD
− 2440000
1950,81128
1950,81535
1950,83200
1950,84561
1954,62565
1954,63752
1954,67929
1954,71083
1954,75470
1954,81395
1955,62115
1955,68949
1955,74821
1955,76047
1955,77800
1955,79100
1956,63041
1956,64982
1956,66456
1956,89069
1961,63345
1961,64864
1961,65003
1961,73530
1961,75629
1961,76556
1961,77530
1961,79845
1961,79994
1961,83557
1961,84844
1962,59450
1962,59763
1962,60067
1962,70380
1962,80046
1963,56351
1963,57967
1963,58296
1963,59805
fase
∆b
−0,069
−0,066
−0,056
−0,048
0,216
0,223
0,248
0,267
0,293
0,328
−0,188
−0,147
−0,112
−0,105
−0,094
−0,087
0,416
0,428
0,437
0,572
0,412
0,422
0,422
0,473
0,486
0,492
0,497
0,511
0,512
0,534
0,541
−0,012
−0,010
−0,008
0,053
0,111
0,568
0,578
0,580
0,589
−0,442
−0,438
−0,401
−0,349
−0,471
−0,468
−0,470
−0,477
−0,469
−0,470
−0,464
−0,459
−0,453
−0,450
−0,447
−0,447
−0,456
−0,459
−0,459
−0,452
−0,459
−0,456
−0,454
−0,300
−0,229
−0,197
−0,190
−0,192
−0,196
−0,255
−0,307
0,003
0,008
0,012
−0,383
−0,451
−0,443
−0,451
−0,453
−0,462