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Resumo com exercícios resolvidos do assunto:
(I)
(II)
(III)
Funções de duas ou mais variáveis;
Limites;
Continuidade.
(I)
Funções de duas ou mais variáveis.
No Cálculo I estudamos funções de uma variável,do tipo y=f(x) em que o
domínio era uma reta, apenas. Agora, no Cálculo II , estudaremos funções do tipo
z=f(x,y),w= f(x,y,z), etc.
Função de 2 variáveis: Neste caso, temos que o domínio da função passa a ser uma
área, e o gráfico de z=f(x,y) passa a ser uma superfície, onde a imagem vai do valor
mínimo até o valor máximo que z assume.
Exemplo:
𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 =
9 − 𝑥² − 𝑦²
Como uma raiz quadrada não pode ser negativa (nos reais), temos que:
9 − 𝑥² − 𝑦² ≥ 0 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥² + 𝑦² ≤ 9
Vemos, portanto que o domínio é dado pela área contida dentro de um disco de raio 3.
Gráfico:
𝑧=
9 − 𝑥² − 𝑦² → 𝑧² + 𝑦² + 𝑥² = 9
Essa é a equação de uma esfera de raio 3, no entanto, z deve ser positivo para estar contido no
domínio,logo o gráfico será apenas a parte positiva da equação da esfera (semiesfera de raio
3).
Semiesfera de raio 3
Imagem: Ao observar o gráfico, vemos que z varia de 0 até 3, logo a imagem será:
𝐷𝑜𝑚(𝑧) = [0,3]
Obs:
Funções de 3 variáveis:
Neste caso, o domínio da função w=f(x,y,z) seria uma superfície, e o gráfico seria algo na 4ª
dimensão, não sendo possível de desenhar. Mesmo assim, ainda é possível descobrir a sua
imagem algebricamente.
Obs 2: Para funções com mais de 3 variáveis não é possível esboçar o domínio nem o gráfico
da função, por isso, essas são mais difíceis de serem estudadas.
Exemplo (3 variáveis):
𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = log⁡
(25 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑧 2 )
Domínio: (ℝ³)
0 ≤ 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² < 25
Logo, percebemos que o domínio será uma esfera maciça, de raio menor do que 5 (sendo a
casca esférica que sobrepõe a esfera fora do domínio).
Imagem: Vemos que o gráfico (eixo w) teria uma variação de ln(0) = - ∞ até ln25 = 2ln5,
portanto temos:
𝐼𝑚 𝑊 = [−∞, 2𝑙𝑛5]
O gráfico dessa função não é possível esboçar.
Curvas de Nível
As curvas de nível de uma função F de duas variáveis,são funções do tipo f(x,y)=K, onde K é
uma constante. Em outras palavras, é como “cortar” o gráfico da função em diferentes alturas
e depois planificar as imagens encontradas.
Exemplo:
Esboce as curvas de nível da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) =
K=0 ,temos z=0
9 − 𝑥² − 𝑦² para K=0,1,2 e 3.
9 − 𝑥² − 𝑦² = 0 → 9 = 𝑥² + 𝑦²
Circunferência de raio 3
K=1, temos z=1
9 − 𝑥 2 − 𝑦² = 1 → 𝑥² + 𝑦² = 8
Circunferência de raio 2 2
K=2, temos z=2
9 − 𝑥 2 − 𝑦² = 4 → 𝑥² + 𝑦² = 5
Circunferência de raio 5
K=3, temos z=3
9 − 𝑥² − 𝑦² = 9 → 𝑥² + 𝑦² = 0
Ponto (x,y)=(0,0)
Curvas de nível da função f(x,y).
Exercícios Recomendados:
1)(Stewart)Determine e esboce o domínio da função f(x,y)=ln(9-x²-9y²).
𝑦−𝑥²
2) (Stewart)Determine o domínio da função f(x,y)= 1−𝑥² .
3)(Stewart)Esboce o gráfico da função f(x,y)=10-4x-5y.
Gabarito :
1
2-{(𝑥, 𝑦)|𝑦 ≥ 𝑥 2 , 𝑥 ≠ ±1
1-{(x,y)|9 𝑥² + 𝑦² < 1},(-∞, 𝑙𝑛9)
3(II)
Limites
Em uma função de duas variáveis, para o limite lim 𝑥,𝑦 →(0,0) 𝐹(𝑥, 𝑦) existir, os sublimites
(limites calculados em todas as direções possíveis) devem existir e devem ser todos iguais.
Exemplo:
Mostre que não existe o limite: lim 𝑥,𝑦
𝑥𝑦
→(0,0) 𝑥²+𝑦².
Para mostrar que não existe limite basta encontrar dois sublimites diferentes.
Temos:
𝐷𝑜𝑚
𝑥2
𝑥𝑦
= ℝ² − {(0,0)}
+ 𝑦2
Fazendo o sublimite na direção do eixo y, (x=0), temos:
𝑥𝑦
0
= 2=0
𝑥→0 𝑥² + 𝑦²
𝑦
lim
Fazendo o sublimite na direção da reta y=x, temos:
𝑥𝑦
𝑥²
1
=
=
→(0,0) 𝑥² + 𝑦²
2𝑥² 2
lim
𝑥,𝑦
Portanto, como encontramos dois sublimites diferentes, podemos concluir que o limite
não existe.
Outra maneira de provar que o limite não existe é usando noção de “grau”.
lim 𝑥,𝑦
𝑥𝑦
→(0,0) 𝑥²+𝑦²
Grau 2
Como os graus do numerador e do denominador são iguais, já devemos suspeitar que o
limite não existe. Para confirmar, fazemos a substituição y=mx .
𝑥𝑦
𝑚𝑥 2
𝑚
=
=
2
→(0,0) 𝑥² + 𝑦²
1 + 𝑚 𝑥² 1 + 𝑚2
lim
𝑥,𝑦
Como m pode variar, vemos que existem infinitos sublimites , que dependem da inclinação
da reta y=mx. Logo, podemos concluir que o limite não existe.
Existem outras aplicações para utilizar o conceito de grau, um deles é substituir o valor de
uma variável em relação a outra para igualar o grau e provar que o limite não existe.
Exemplo:
𝑦 9600 𝑥 4
→(0,0) 𝑦 10000 + 𝑥 100
lim
𝑥,𝑦
Notamos que, para igualar o grau, podemos fazer a substituição 𝑥 = 𝑚𝑦100
𝑦 9600 𝑥 4
=
→(0,0) 𝑦 10000 + 𝑥 100
lim
𝑥,𝑦
𝑦 9600 𝑚4 𝑦 400
𝑚4
=
→(0,0) 𝑦 10000 + 𝑚100 𝑦 10000
1 + 𝑚100
lim
𝑥,𝑦
Como m é uma variável, vemos que existem infinitos sublimites, logo, o limite em questão
não existe.
Podemos perceber então, que é muito mais difícil a existência do limite de uma função de
duas variáveis do que quando trabalhávamos com funções de uma variável. No entanto,
utilizando separações de funções e Teorema do Confronte é possível provar a existência
do limite em algumas funções.
Exemplo 1:
lim 𝑥,𝑦
𝑥 2𝑦
→(0,0) 𝑥 2 +𝑦²
Grau 3
Grau 2
Como o grau do numerador é maior que do denominador, a intuição nos diz que a parte
de cima da equação tende a zero mais rápido, logo o limite seria 0. Mas como provar isso?
Vamos separar a função em y.
𝑥²
.
𝑥²+𝑦²
Podemos perceber que
igual a zero e menor ou igual a 1. (Função limitada).
0≤
𝑥²
≤1
𝑥² + 𝑦²
𝑥²
será sempre maior ou
𝑥²+𝑦²
Logo, lim 𝑥,𝑦
𝑥2
→(0,0) 𝑦. 𝑥 2 +𝑦²
=0
0
entre 0 e 1
Obs: Sempre que a função for separável, dessa forma o limite existe.
Exemplo 2:
𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥)
→(0,0) 𝑥 2 + |𝑦|
lim
𝑥,𝑦
Vamos separar a função em: x . cos(x) .
𝑦
𝑥 2 +|𝑦|
𝑦
Mas, −1 ≤ cos x ≤ 1 e 0 ≤ 𝑥 2 +|𝑦| ≤ 1
Logo, essas duas funções são limitadas, e:
lim 𝑥,𝑦
→(0,0) 𝑥. 𝑐𝑜𝑠
Tende a 0
𝑥 .
𝑦
=0
𝑥 2 +|𝑦|
limitado
limitado
(III)
Continuidade
Dizemos que uma função f(x,y) é contínua num ponto (a,b) ∈ Domínio se
lim 𝑥,𝑦 →(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) existe e
lim
𝑥,𝑦 →(𝑎,𝑏)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏)
Teorema: As funções principais conhecidas (Polinômios, senos e cossenos,
exponenciais , logaritmos...) são contínuas em todos os pontos do seu domínio,
assim como a composição dessas funções.
Ex.:F(x,y)= sen(x²+y²) é continua em ℝ² pois é formada pela composição seno e
polinômio.
Exemplo:
Calcule os pontos de continuidade da função:
𝑥²𝑦
𝑥 4 +𝑦²
𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 ≠ (0,0)
F(x,y)=
0
𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 = (0,0)
Domínio da Função = ℝ²
Podemos perceber que a função é contínua em todos os pontos diferentes de
(0,0),pois essa função é formada pela composição de dois polinômios. Agora
devemos descobrir se a função também e contínua no ponto (0,0).
Para isso ocorrer, devemos ter que :
𝑥²𝑦
lim
= 𝐹 0,0 = 0
4
𝑥,𝑦 →(0,0) 𝑥 + 𝑦²
Mas, usando a substituição y=mx² temos que:
𝑥²𝑦
𝑚𝑥 4
𝑚
lim
=
lim
=
𝑥,𝑦 →(0,0) 𝑥 4 + 𝑦²
𝑥,𝑦 →(0,0) 1 + 𝑚2 𝑥 4
1 + 𝑚²
Como temos infinitos sublimites, não existe limite, e portanto a função não é
contínua no ponto (0,0).
Logo, os pontos de continuidade são: ℝ²-(0,0).
Exercícios Recomendados:
1) Diga o valor de a, se possível, de modo que a seguinte função seja contínua na
origem:
F(x,y) =
3𝑥𝑦 ²
, 𝑠𝑒
𝑥²+𝑦²
𝑥, 𝑦 ≠ (0,0)
𝑎, 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 = (0,0)
2) Calcule lim 𝑥,𝑦
𝑥.𝑠𝑒𝑛 (𝑦)
→(0,0) 𝑥²+|𝑦|
3) Calcule os seguintes limites (se existirem):
a) lim
b) lim
c) lim
d) lim
1+𝑥 2
(𝑥 2 +𝑥𝑦 )
𝑥,𝑦 →(1,0) log⁡
𝑥𝑦 4
𝑥,𝑦 →(0,0) 𝑥 2 +𝑦 8
𝑦²+𝑥 2
𝑥,𝑦 →(0,0)
𝑥²+𝑦²+1−1
𝑥𝑧 +𝑦𝑧
𝑥,𝑦,𝑧 →(0,0,0) 𝑥²+𝑦²+𝑧²
4) (UFRJ-2014.1-Modificada)
Diga se existem os seguintes limites abaixo:
5) (UFRJ-2013.2)
6) (UFRJ-2012.2)
Gabarito:
1- 0 | 2- 0 |3- a) 0 b) ∄ c)2 d) ∄ | 4- Existe.Não existe | 5- a | 6- a) Não b) Não
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