158
3.8 – EXERCÍCIO – pg. 79
x − 1 , x ≤ 3
1 - Seja f ( x) = 
3 x − 7 , x > 3
Calcule:
(a) lim− f ( x) = lim− ( x − 1) = 3 − 1 = 2
x →3
x →3
(b) lim+ f ( x) = lim+ (3 x − 7) = 3 ⋅ 3 − 7 = 2
x →3
x →3
(c) lim f ( x) = 2
x →3
(d) lim− f ( x) = 3 ⋅ 5 − 7 = 8
x →5
(e) lim+ f ( x) = 8
x →5
(f) lim f ( x) = 8
x →5
Esboçar o gráfico de f (x) .
y
6
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
-1
-2
x2 − 2 x + 1 , x ≠ 3
2 – Seja h( x) = 
,x=3
7
2
3
4
5
6
159
Calcule lim h( x) . Esboce o gráfico de h(x).
x→3
lim h( x ) = 4 

h( x) = 4
 ⇒ lim
x →3
lim+ h ( x) = 4 
x →3

x →3−
Segue o gráfico
y
7
6
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
3 – Seja F ( x) =| x − 4 | . Calcule os limites indicados se existirem:
(a) lim+ F ( x) = lim+ ( x − 4) = 0
x→4
x→4
(b) lim− F ( x) = lim− (− x + 4) = 0
x→4
x→4
(c) lim F ( x) = 0
x→4
Esboce o gráfico de F(x).
y
7
6
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
160
4 – Seja f ( x) = 2+ | 5 x − 1 | . Calcule se existir:
1
(a) lim+ f ( x) = lim+ [2 + (5 x − 1)] = 2 + 5/ ⋅ − 1 = 2
1
1
5/
x→
x→
5
5
1
(b) lim− f ( x) = lim− [2 − (5 x − 1)] = 2 − (5/ ⋅ − 1) = 2 − 0 = 2
1
1
5/
x→
x→
5
5
(c) lim f ( x) = 2
x→
1
5
Esboce o gráfico de f(x).
y
7
6
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
-1
-2
| x − 3 |
,x≠3

5 - Seja g ( x) =  x − 3
 0 , x = 3
(a) Esboce o gráfico de g(x)
(b) Achar lim+ g ( x) , lim− g ( x)
x →3
x →3
(a) Segue o gráfico da função dada
e lim g ( x)
x→3
2
161
y
2
1
x
-1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
(b) lim+ g ( x) = lim+
x →3
x →3
x −3
= 1;
x −3
lim− g ( x) = lim−
x→3
x →3
− ( x − 3)
= −1
x−3
lim g ( x) ∃/
x →3
 x / | x | se x ≠ 0
6 – Seja h( x) = 
se x = 0
 0
Mostrar que h(x) não tem limite no ponto 0.
Temos que:
x

=1 
x →0
x →0 x

h( x) , pois lim+ h( x) ≠ lim− h( x) .
 ⇒ ∃/ lim
x→0
x→0
x →0
x
lim− h( x) = lim−
= −1

x →0
x →0 − x
lim+ h( x) = lim+
7 – Determinar os limites à direita e à esquerda da função f ( x) = arcx tg
Temos que:
1 π
=
x →0
x 2
1
π
lim = arc tg = −
x→0−
x
2
lim+ = arc tg
O gráfico que segue ilustra esse exercício.
1
quando x → 0 .
x
162
y
π/2
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-π/2
1
existe.
x −1
O gráfico que segue auxilia na visualização:
8 – Verifique se lim
x →1
y
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
Temos que:
1
= +∞
lim+
x →1 x − 1
lim−
x →1
1
= −∞
x −1
Segue que não existe o lim
x →1
1
.
x −1
1
x , x < 0
 2
9 – Dada f ( x) =  x , 0 ≤ x < 1 .
2 , x = 1

2 − x , x > 1
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados, se existirem:
4
163
Segue o gráfico
y
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
= −1
x
 lim+ f ( x) = lim+ (2 − x) = 1
 x →1

x →1
(b) lim f ( x) = 
 =1
2
x →1
f
x
x
lim
(
)
=
lim
=
1
 x →1−

x →1−
(a) lim f ( x) = lim
x → −1
x → −1
(c) lim+ f ( x) = 0
(f) lim+ f ( x) = 0
(d) lim− f ( x) = −∞
(g) lim− f ( x) = 0
(e) lim f ( x) ∃/
(h) lim f ( x) = 0
x→0
x→0
x →0
x→ 2
x→ 2
x→2
x 2 − 25
.
x−5
Calcule os limites indicados, se existirem:
x 2 − 25
( x − 5)( x + 5)
= lim
=5
(a) lim
x →0 x − 5
x→0
( x − 5)
10 – Seja f ( x) =
(b)
(d) lim f ( x) = 10
( x − 5)( x + 5)
lim+ f ( x) = lim+
= 10
x →5
x →5
( x − 5)
x →5
(e) lim f ( x) = 0
x → −5
(c) lim− f ( x) = 0
x → −5