04/05/2015
ENERGIA POTENCIAL
Bacharelado em Engenharia Civil
Física III
Profa.: Drd. Mariana de Faria Gardingo Diniz
A Lei da Força Eletrostática é muito
semelhante à lei da Força Gravitacional.
F = 1/4πɛ0 q1.q2/r2
Eletrostática
F = G m1.m2/r2
A energia potencial é a energia que está
relacionada a um corpo em função da posição
que ele ocupa.
Muitos fenômenos elétricos estão relacionados
com a transferência de grandes quantidades de
energia.
• As duas forças depende do inverso do
quadrado da distância de separação
entre dois objetos.
F = 1/4πɛ0 q1.q2/r2
F = G m1.m2/r2
Gravitacional
• Quando um objeto desloca-se de uma posição
para outra sob ação da força gravitacional de
outro objeto (o qual supõe-se permanecer em
repouso).
• Uma força tem essa propriedade especial
é descrita como FORÇA CONSERVATIVA
• O trabalho realizado pela força gravitacional
sobre o primeiro objeto depende apenas dos
pontos inicial e final, e não depende do
caminho percorrido entre os pontos.
FORÇA
CONSERVATIVA:
quando
seu trabalho é independente
trajetória.
o
da
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• Para uma força conservativa pode-se definir
uma energia potencial.
• A diferença de energia potencial de um
sistema ΔU à medida que um objeto move-se
de sua posição inicial para sua posição final é
igual ao trabalho com sinal negativo realizado
pela força:
• Onde Wif é o trabalho realizado pela força F
quando o objeto move-se de i para f.
A FORÇA ELETROSTÁTICA É CONSERVATIVA E,
PORTANTO, EXISTE UMA ENERGIA POTENCIAL
ASSOCIADA COM A CONFIGURAÇÃO (POSIÇÃO
RELATIVA DOS OBJETOS) DE UM SISTEMA NO
QUAL FORÇAS ELETROSTÁTICAS AGEM.
ΔU = Uf – Ui = -Wif = - F.ds
Energia Potencial Elétrica
• É a energia que determinado objeto
ou partícula eletrizado adquire
quando colocado na presença de
um campo elétrico.
• Concordando com o fato de a força
eletrostática ser conservativa, pode-se calcular
a variação na energia potencial quando a
carga q2 desloca-se do ponto a para o ponto b
submetida a uma força devida a uma outra
carga q1 em repouso. Supõe-se nesse caso,
que ambas as cargas são positivas.
• Supondo que o movimento de a para b se dá
ao longo de uma linha imaginária que une q1 a
q2.
• Escolhe-se a origem como sendo na posição
da carga q1, e r para expressar a posição de q2
relativa a essa origem.
• O vetor ds expressa um deslocamento ao
longo da direção do movimento de a para b.
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• A força F e do deslocamento ds são sempre
paralelos para esse movimento, e então, F.ds =
F.ds
• Para o movimento observado na fig 28-1, ds =
dr porque o deslocamento está sempre na
direção de r.
• Com essas considerações teremos:
• A equação 1 é válida se q2 está indo ao
encontro ou se afastando de q1.
• Se q2 move-se em direção a q1, então rb<ra e
ΔU<0; isto é, a energia potencial decresce a
medida que as cargas se aproximam.
ΔU = -F.ds = -F.dr
ΔU = - 1/4πɛ0 . q1q2 (1/rb – 1/ra)
(Equação 1)
• A equação 1 continua válida se os sinais das
cargas são positivos ou negativos.
• Se ambas as cargas são negativas, claramente
obtém-se o mesmo resultado.
• Se q2 afasta-se de q1, então rb>ra e ΔU>0; isto
é, a energia potencial decresce a medida que
as cargas se afastam.
• Se as cargas tem sinais opostos (uma positiva
e outra negativa), então a força entre elas é
atrativa. Logo teremos:
F.ds = -F.ds = -F.dr =
= - 1/4πɛ0 . q1.q2/r2
• Quando as cargas têm sinais opostos,
q1q2, é negativa, fazendo com que ΔU <
0, quando as cargas aproximam-se
mutuamente e ΔU > 0 quando as cargas
afastam-se mutuamente.
(Equação 2)
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• Considerando agora que q2 move-se em uma
direção diferente daquela ao longo de uma
linha imaginária que liga q1 e q2.
• Ao longo desse caminho F é sempre
perpendicular a ds, e portanto F.ds = 0.
• A fig 28-2 mostra q2 movendo de a para b ao
longo de um arco de círculo r centrado em q1.
• A força eletrostática não realiza trabalho
ao longo desse caminho, de forma que
ΔU = 0.
• Para mover q2 entre pontos arbitrários a e b,
como na fig. 28-3, pode-se escolher uma
variedade de caminhos possíveis.
• ΔU = 0 para os trechos tangenciais (curvas)
dos caminhos.
• Ao longo dos caminhos 1 e 2 , ΔU é dado pela
equação 1 para os trechos radiais (retas)
• Conclui-se que a equação 1 determina o valor
de ΔU para qualquer caminho entre o ponto a,
que está a uma distância ra de q1, e o ponto b,
que está a uma distância rb de q1, não
importando onde os pontos estejam
posicionados.
• Até agora discutimos a energia potencial ente
dois pontos.
• Mas podemos definir a energia potencial em
um só ponto b através da escolha de um
ponto a de referência de energia potencial e
designá-lo como um valor de referência de
energia potencial Ua neste ponto.
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• Muitas vezes é adequado escolher um ponto
de referência que corresponda a uma
separação infinita entre as cargas e,
geralmente, escolhe-se o valor de referência
Ua = 0.
• Então, fazendo-se o ponto b representar
qualquer ponto onde a separação é r, temos:
U(r) = 1/4πɛ0 . q1q2/r
(Equação 3)
Nesta expressão, U é positivo sempre que q1 e
q2 tiverem sinais iguais, o que corresponde a
uma força repulsiva, e U é negativo sempre q1
e q2 tiverem sinais contrários, o que
corresponde a uma força atrativa.
U(r) = 1/4πɛ0 . q1q2/r
(Equação 3)
• Dois prótons no núcleo de um
átomo de U238 estão separados
por uma distância de 6 x 10-15 m.
Qual
a
energia
potencial
associada com a força elétrica
que age entre essas duas
partículas?
• A energia potencial elétrica total do sistema
como um todo é:
U = 1/4πɛ0 . q1q2/r12 + 1/4πɛ0 .
q1q3/r13 +
1/4πɛ0 . q2q3/r23
Energia Potencial de um Sistema de
Cargas
• Considere que exista três cargas (q1, q2 e q3)
separadas por distâncias infinitas umas das
outras.
• Da energia cinética já estudada, sabemos que
para que um corpo adquira energia cinética é
necessário que haja uma energia potencial
armazenada de alguma forma.
• Quando esta energia está ligada à atuação de
um campo elétrico, é chamada Energia
Potencial
Elétrica
ou
Eletrostática,
simbolizada por U ou Ep.
(Equação 4)
A energia potencial é uma propriedade do sistema e
não de qualquer carga individual.
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ou
U = k . Qq/d
• Pode-se dizer que a carga geradora produz um
campo elétrico que pode ser descrito por uma
grandeza
chamada
Potencial
Elétrico (ou eletrostático).
• De forma análoga ao Campo Elétrico, o
potencial pode ser descrito como o quociente
entre a energia potencial elétrica e a carga de
prova q. Ou seja:
• Logo teremos,
• A unidade adotada, no SI para o
potencial elétrico é o volt (V), em
homenagem ao físico italiano Alessandro
Volta, e a unidade designa Joule por
coulomb (J/C).
• Quando existe mais de uma partícula
eletrizada gerando campos elétricos, em
um ponto P que está sujeito a todas estes
campos, o potencial elétrico é igual à
soma de todos os potenciais criados por
cada carga, ou seja:
Dois prótons no núcleo de um átomo de
U238 estão separados de 6 x 10-15 m.
Qual a energia potencial associada com a
força elétrica que age entre essas duas
partículas?
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Potencial Elétrico
• Defini-se a diferença de potencial elétrico
ΔV como a diferença da energia potencial
elétrica por unidade de carga teste.
ΔV = ΔU/q0
(5)
ou
• Existe no potencial a opção para a escolha do
ponto nulo ou o seu valor de referência mais
conveniente.
• Quando um potencial é escolhido para ser
nulo em pontos que estão infinitamente
distantes de q, o potencial elétrico é:
V = U/q0
(7)
Vb - Va = Ub – Ua/q0 (6)
• A unidade do SI para potencial é o JOULE
POR COULOMB. A esta combinação é
dada o nome de VOLT (V):
1 volt = 1 joule/coulomb
• ΔV é expresso em volts e q em coulombs,
então ΔU é expresso em joules.
• O elétron-volt, uma unidade de energia, segue
diretamente da definição de potencial, logo se
ΔV é expresso em volts e q em unidades de
carga elementar e, então ΔU é expresso em eV
(elétron-volts)
• Podemos calcular a diferença da energia
potencial:
ΔU = q ΔV
(8)
Esta equação mostra que quando qualquer
carga q move-se entre dois pontos cuja
diferença de potencial é ΔV, o sistema
experimenta uma mudança da energia
potencial ΔU.
Exemplo
• Uma carga pontual q, cria no vácuo, a uma
distância r, um potencial de 200 volts e um
campo elétrico de intensidade igual a 600 N/C.
Quais os valores de r e q? (k = 9 x 109
N.m2/C2).
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Calculando o Potencial a partir de um
Campo
ΔV = -Wab/q0 = - F.ds/q0=
• Pode-se querer achar o potencial em um
ponto, relativo a alguma referência de
potencial escolhida. Ao se escolher o ponto de
referência no infinito se definir V = 0 como
referência, então teremos no ponto P:
= - q0E.ds/q0
Vp = - E.ds
(10)
Ou
ΔV = Vb – Va = - E.ds
(9)
Potencial devido a cargas pontuais
• Primeiramente será considerado o potencial
devido a uma carga pontual positiva q. Deixase uma carga teste q0 se mover do ponto a
para o ponto b na vizinhança de q.
q
• A diferença de energia potencial ΔU para esta
situação já foi encontrada, tendo sido
determinado pela equação 1 para duas carga
pontuais.
Vb – Va = Ub – Ua /q0=
=q/4πɛ0 . (1/rb – 1/ra) (11)
q0
• Para se encontrar o potencial em um
único ponto a uma distância r de q,
teremos:
V = U/q0 =
= 1/4πɛ0 . q/r
• Usaremos a carga teste para encontrar a
diferença de potencial entre os pontos a e b
devido a q.
Potencial devido a um conjunto de
cargas pontuais
• Considerando um conjunto N de cargas
pontuais (q1, q2,....qN) posicionadas em vários
pontos fixos.
(12)
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• Deseja-se achar o potencial em um ponto
arbitrário P devido a este conjunto de
cargas.
V = V1 + V2 + .....VN
= 1/4πɛ0 . q1/r1 +
+ 1/4πɛ0 . q2/r2 +.......
+ 1/4πɛ0 . qN/rN
• O procedimento é calcular o potencial
em P devido a cada carga como se as
outras não estivessem presentes e, então
somar os potenciais resultantes para se
obter o potencial total.
(13)
Potencial devido a dipolos elétricos
V = 1/4πɛ0 . q+/r+ + q-/r-
• O potencial devido a dipolos elétricos pode
ser calculado diretamente pela utilização da
equação 13.
(14)
A eq 14 é a expressão exata para o
potencial devido ao dipolo.
Uma distribuição Linear de Cargas

Pode-se utilizar a geometria abaixo para se
determinar o potencial devido a uma
distribuição linear uniforme de cargas
positivas no ponto P, a uma distância y da
haste sobre o seu bissetor perpendicular.

Utilizando o elemento de caga dq=λdz (onde λ
é a densidade linear de carga) temos:
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Um Anel de Cargas
raio a e carga q
Um disco carregado
raio a e densidade σ
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