UMA EXPERIÊNCIA COM RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E AULAS
INVESTIGATIVAS NO ENSINO DE GEOMETRIA ESPACIAL
Vanessa Michele Boasczik1
[email protected]
Michele Regiane Dias Veronez2
[email protected]
RESUMO
Neste trabalho aborda-se o ensino de Geometria Espacial por meio de aulas investigativas
e partindo de um problema. Para tanto, discute-se sobre a inclusão de aulas investigativas
no contexto escolar e que tal inclusão proporciona e exige interação entre professor e aluno
e entre alunos. Também aponta-se que a investigação e a exploração da atividade podem
ser um caminho para possibilitar a aprendizagem significativa, pois o aluno pode utilizar
conhecimentos que possui para aprender um “novo conhecimento”, além de ser convidado
a assumir uma atitude participativa, podendo confirmar e/ou refletir sobre suas conjecturas
a partir de questionamentos propostos pelo professor ou pelos próprios colegas de sala.
Para finalizar, relata-se uma atividade desenvolvida com alunos da última série da
Educação Básica durante o estágio supervisionado, bem como algumas das discussões
geradas durante o envolvimento dos alunos com a atividade.
Palavras-chave: Aula Investigativa; Problema; Geometria Espacial.
1. Investigação Matemática: algumas considerações
Quando se fala em ensino talvez uma das questões que vem à tona para um
professor é: Como proporcionar que o aluno participe efetivamente na condução das
atividades sugeridas em sala, podendo inclusive alterar os caminhos previstos pelo
professor, na intenção de que o aprendizado ocorra?
Concernente ao ensino da Matemática algumas propostas de ensino que
possibilitam que haja interação entre professor e aluno e entre alunos, colocando-os como
agentes ativos no processo de ensino e aprendizagem e apontando a sala de aula como um
ambiente de comunicação de ideias tem sido discutidas, entre elas, a Investigação
Matemática.
1
Acadêmica do curso de licenciatura em matemática da FAFIUV - Faculdade Estadual de Filosofia,
Ciências e Letras de União da Vitória - PR.
2
Mestre em Educação Matemática, professora da FAFIUV - Faculdade Estadual de Filosofia,
Ciências e Letras de União da Vitória - PR.
670
Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2006):
O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-aprendizagem,
ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína,
constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a
agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na
realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e
na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor (p.23).
Nesse enfoque, as aulas investigativas como estratégia de ensino proporcionam
aos alunos um envolvimento com a matemática, possibilitando, assim, uma compreensão
dos conceitos envolvidos com o conteúdo abordado.
Ponte (2003) considera que “investigar” não é mais do que procurar conhecer,
procurar compreender, procurar encontrar soluções para os problemas com que nos
deparamos. No entanto, para que os alunos tenham interesse por se envolver com
atividades com essas características é importante que o professor valorize, a todo o
momento, as suas ideias e procure incentivá-los a refletir sobre suas respostas,
principalmente se não estiverem habituados com atividades desse tipo.
[...] incentivar os alunos a serem “pequenos exploradores” ou “partirem à
descoberta” são metáforas que transmitem o sentido de investigação e que
ajudam a marcar a diferença em relação às tarefas a que os alunos estão mais
habituados. (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2006, p. 27)
Independente da forma como os alunos são organizados, durante a realização da
atividade o professor tem de manter um diálogo com os alunos enquanto se envolvem com
a atividade proposta. No decorrer da atividade, o professor precisa criar um ambiente
propício à aprendizagem, estimular a comunicação entre os alunos e assumir uma
variedade de papéis que favoreça a aprendizagem deles. (Ponte et al. 1998).
Posteriormente, cabe a ele conduzir a discussão coletiva. Um fato importante é
fazer com que os alunos se sintam à vontade para expressar suas ideias. De acordo com
Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), o aluno deve sentir que suas ideias são valorizadas e
que se espera que ele as discuta com os colegas, não sendo necessária a validação
constante por parte do professor.
Decisivo para o êxito deste tipo de trabalho é o modo como o professor responde
às dúvidas dos alunos, dando-lhes atenção e encorajamento sem lhes dar
diretamente a resposta, e o modo como se formulam as questões, envolvendo
toda a turma e pondo os alunos a argumentar uns com os outros. (PONTE, 2003,
p. 9)
671
No início da atividade o professor deve procurar envolver os alunos no trabalho,
propondo-lhe a realização dela. Durante o desenvolvimento deve verificar se eles estão
trabalhando de forma produtiva, formulando questões, representando as informações
dadas, fazendo e testando conjecturas, bem como procurando justificá-las. Na fase final o
professor deve procurar saber a quais conclusões os alunos chegaram e como as justificam
(Ponte et. al. 1998).
De acordo com Tudella et. al. (1999), deve-se incentivar e permitir que os alunos
interajam entre eles, aprendendo a discutir e argumentar em defesa de suas opiniões, sendo
assim, ao questionarem e compararem os processos e os resultados desenvolvidos pelos
colegas, daram passos essenciais para clarificarem o seu pensamento e alcançarem uma
compreensão mais profunda de conceitos e princípios matemáticos.
A interacção aluno-aluno, tende a ser muito mais forte numa aula com
investigações. Esta interacção estimula os alunos a descobrir novas relações
entre conceitos, proporcionando-lhes mais segurança nas suas ideias
matemáticas. Por outro lado, estimula o raciocínio, a criatividade e o poder de
argumentação. (p. 8).
Considerando esse contexto de interação, por meio de aulas investigativas, é
viabilizado aos alunos que participem mais da aula, que sintam-se interessados pelo
conteúdo. Ao professor cabe agir como mediador da turma, instigando, assim, o interesse e
o senso crítico dos alunos.
As aulas investigativas também podem proporcionar ao aluno uma aprendizagem
de conceitos e não apenas uma aprendizagem de dados.
Para Pozo (2000), a aprendizagem de fatos, ou dados, consiste em cópia literal,
alcançada por repetição (aprendizagem memorística), adquirida de uma só vez e esquecida
rapidamente se não houver revisão. Já a aprendizagem de conceitos consiste na relação
com
conhecimentos
anteriores,
que
proporciona
compreensão
e
é
adquirida
gradativamente.
Uma pessoa adquire um conceito quando é capaz de dotar de significado um
material ou uma informação que lhe é apresentada, ou seja, quando
“compreende” esse material, em que compreender seria equivalente, mais ou
menos, a traduzir algo para as suas próprias palavras. (p. 25)
Num contexto onde se prioriza a aprendizagem de conceitos o aluno tem a
oportunidade de trabalhar de forma a utilizar o conhecimento que possui para avançar em
outros conhecimentos.
672
Nesse sentido, é possível compreender que aulas investigativas podem
proporcionar uma aprendizagem significativa, pois, a partir do conhecimento que o aluno
possui é que novos conceitos são introduzidos, gerando novos conhecimentos ou
conhecimento mais amplo sobre determinado assunto. Ausubel (1978) afirma que:
o aprendizado significativo acontece quando uma informação nova é adquirida
mediante um esforço deliberado por parte do aprendiz em ligar a informação
nova com conceitos ou proposições relevantes preexistentes em sua estrutura
cognitiva. (p. 159)
Numa mesma ótica, Moreira (1988) enfatiza que:
à medida que o conhecimento prévio serve de base para a atribuição de
significados à nova informação, ele também se modifica, ou seja, os subsunçores
vão adquirindo novos significados, se tornando mais diferenciados, mais
estáveis. Novos subsunçores vão se formando; subsunçores vão interagindo entre
si. A estrutura cognitiva está constantemente se reestruturando durante a
aprendizagem significativa. O processo é dinâmico; o conhecimento vai sendo
construído. (p. 7)
É nesse sentido que apoiamos as aulas investigativas, pois o aluno vai construindo
o conhecimento com base nos que já possui e gradativamente vai aumentando ou
aprimorando esse conhecimento.
2. Resolução de Problemas: algumas considerações
A Resolução de Problemas como estratégia de ensino tem como objetivo
despertar o interesse do aluno pela Matemática, fazendo com que ele possa relacionar os
conteúdos que são ensinados na escola com a realidade vivenciada. É uma metodologia
caracterizada por investigação e exploração de novos conceitos, onde os problemas
envolvem a criação de procedimentos para chegar à solução.
Ao emergir o problema, durante a aula investigativa, por parte do aluno ou do
professor, é fundamental que na medida em que os alunos vão tentando resolver, o
professor assuma a responsabilidade de instigá-los a pensar, proporcionando, assim, o
desenvolvimento do senso crítico.
Segundo Onuchic (1999), vale destacar a importância da Resolução de Problemas
principalmente ao se introduzir um novo conceito dos conteúdos matemáticos trabalhados
em sala de aula.
673
Podermos começar um tópico matemático com uma situação-problema que
expressa aspectos-chave desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas
como respostas razoáveis para problemas. [...] O aprendizado, deste modo, pode
ser visto como um movimento concreto (um problema do mundo real que serve
como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma
representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar com
esses símbolos) (ONUCHIC, 1999, p. 207).
Introduzir um novo conceito por meio de Resolução de Problemas possibilita
incentivar o aluno a interagir com o conhecimento matemático, proporcionando relações
entre o conhecimento prévio e o novo conhecimento. A busca por estratégias para resolver
a situação proposta pode tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras.
As investigações viabilizadas durante a resolução de um problema favorecem a
participação dos alunos, uma vez que eles são incentivados a se envolverem ativamente no
processo de aprendizagem. Ao se envolverem, os alunos podem desenvolver seu
raciocínio, bem como desenvolver sua capacidade crítica e matemática, o que possibilita
aprender a lidar com situações novas e com aplicações matemáticas.
O processo de analisar e discutir as respostas dos alunos durante a resolução do
problema é entendido como uma possibilidade de proporcionar que a aprendizagem ocorra.
Para Onuchic e Allevato (2004) esse processo deve ser realizado no final da atividade, com
vistas a formalizar os conceitos envolvidos.
A atividade descrita abaixo seguiu as orientações de desenvolvimento de aulas
investigativas, partindo de um problema, com vistas a atingir uma aprendizagem de
conceitos na visão de Pozo ou na perspectiva de Ausubel, uma aprendizagem significativa.
Tal atividade inscreve-se num conjunto de atividades desenvolvidas durante o estágio
supervisionado realizado em uma turma da última série da Educação Básica, com vinte e
sete alunos.
3. Descrição e análise de uma atividade desenvolvida
Durante as aulas de Metodologia e Prática de Ensino, na graduação, tive contato
com a Educação Matemática e com algumas estratégias de ensino, muito embora maior
ênfase tenha sido dada à Resolução de Problemas e à Investigação Matemática.
Ao iniciar o conteúdo de Geometria Espacial numa turma da última série do
Ensino Médio, propus um problema que considerei a partir dele ser possível realizar um
processo de exploração e investigação.
674
A atividade que selecionei para descrever foi desenvolvida nas primeiras aulas do
estágio. Tal escolha justifica-se pelo fato de poder retratar que os alunos sentiam-se
inseguros em fazer conjecturas, pois não estavam acostumados a se manifestar de forma a
comunicarem suas ideias enquanto se envolviam com as atividades propostas. Talvez isso
esteja relacionado com a ideia, imposta pelo ensino durante muitas décadas, de que o
professor é quem detém a verdade absoluta e inquestionável, é ele a única pessoa que pode
dizer se algo está certo ou errado.
Gostaria de salientar que durante as 12 aulas destinadas ao estágio tive a
preocupação em propor atividades que exigissem, a cada dia, conhecimentos anteriormente
trabalhados. Isso na tentativa de incentivar os alunos a relacionarem esses conhecimentos.
Para iniciar então a primeira atividade com os alunos, na qual o meu interesse era
introduzir conceitos de Geometria Espacial, disponibilizei a eles vários sólidos
geométricos (poliedros, poliedros regulares, prismas retos, prismas oblíquos, pirâmides e
também os corpos redondos), todos construídos com papel cartão. Em seguida pedi para os
alunos pegarem estes sólidos e analisarem suas formas. Foram trocando os sólidos entre
eles (dei um tempo para manusearem os sólidos).
Na sequência, expliquei que estes representavam sólidos geométricos e aproveitei
para perguntar à turma se eles conseguiriam relacionar esses sólidos com algum objeto do
cotidiano. Os alunos os relacionaram com várias coisas, como prédios, caixas, casquinha
de sorvete, telhado, casa, bola, latas, pirâmides do Egito, entre outros.
Posteriormente, prossegui pedindo para que os alunos, observando os sólidos,
tentassem separá-los em dois grupos, seguindo algum critério. A ideia era que eles
separassem os poliedros dos corpos redondos.
Procurando motivá-los, perguntei se alguém teria alguma sugestão e logo um dos
alunos sugeriu que separasse os “pontudos” dos “não pontudos”. Então questionei a turma,
para saber se alguém teria mais alguma sugestão ou se concordavam com a separação
sugerida pelo aluno A. Alguns alunos concordaram e outros não se manifestaram.
Nesse momento, lembrei-me das palavras de Ponte, Brocardo e Oliveira (2006)
quando colocam que:
no acompanhamento que o professor faz do trabalho dos alunos, ele deve
procurar atingir um equilíbrio entre dois pólos. Por um lado, dar-lhes a
autonomia que é necessária para compreender a sua autonomia que é necessária
para não comprometer a sua autoria da investigação e, por outro lado, garantir
que o trabalho dos alunos vá fluindo e seja significativo do ponto de vista da
disciplina Matemática. [...] (p. 47).
675
Devido a isso, pedi para que o aluno A fosse até a mesa e separasse os sólidos. Ele
separou as pirâmides do restante dos sólidos, e, quando terminou, outro aluno sugeriu que
o “preto” (cone) também deveria ficar com as pirâmides, porque segundo ele o cone
também é “pontudo” (quando falavam que os sólidos são “pontudos”, estavam se referindo
aos vértices).
Nesse momento procurei assumir o que Pais (2002) pontua sobre a “linguagem”
utilizada pelos alunos.
Para a análise dos saberes escolares é necessário que se coloque o problema da
linguagem. Se, por um lado, o saber científico é registrado por uma linguagem
codificada, o saber escolar não deve ser ensinado nessa forma, tal como se
encontram redigidos nos textos e relatórios técnicos. A desconsideração desse
aspecto favorece a transformação da linguagem em uma dificuldade adicional.
Assim, a linguagem é considerada como um elemento que interfere diretamente
no sistema didático, pois guarda uma relação direta com o fenômeno cognitivo.
A formalização precipitada do saber escolar, por vezes, através de uma
linguagem carregada de símbolos e códigos, se constitui em uma possível fonte
de dificuldade para a aprendizagem. (p. 21)
Como nessa atividade, nesse primeiro momento, não interessava os nomes dos
sólidos, deixei que os alunos se referissem a eles utilizando as cores do papel cartão e o
termo “pontudos” para se referirem aos vértices.
Procurei fazer com que eles sentissem que podiam fazer conjecturas e que eu não
os condenaria se falassem algo errado ou não utilizassem as palavras de cunho matemático
para explicarem suas conjecturas.
Voltando à sugestão do aluno A e à forma como os alunos reagiram a essa
primeira sugestão, coube reportar-me ao que Ponte, Brocardo e Oliveira (2006) evidenciam
durante o desenvolvimento de uma atividade investigativa:
[...] existe alguma tendência dos alunos para aceitarem as conjecturas depois de
as terem verificado apenas num número reduzido de casos. Essa forma de
encarar o teste de conjecturas pode ser combatido pelo professor, quer no apoio
que concede aos grupos, quer na fase de discussão em que os alunos podem ser
estimulados a procurar contra-exemplos. (p. 33-34).
Com base nesses dizeres, propus aos alunos que analisassem o que havia sido
feito. A ideia era fazer com que percebessem que ao separar os sólidos, em um grupo, onde
todos são “pontudos”, característica que todos desse grupo possuíam, o outro grupo
formado, ficou composto por sólidos que não possuíam características em comum.
676
Quando os questionei sobre esse fato, ficaram em silêncio por alguns instantes até
que alguns alunos disseram que a característica em comum entre eles é que esses sólidos
não são “pontudos”.
Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2006) é importante procurar compreender o
pensamento dos alunos, fazendo perguntas e pedindo explicações, evitando ajuizar
apressadamente sobre seu trabalho, percebendo, assim, aonde os alunos querem chegar.
Sendo assim, procurando fazer com que os alunos realizassem testes e
justificassem suas conjecturas, peguei o octaedro na mão e perguntei se este sólido não era
“pontudo”, da mesma forma os questionei sobre o paralelepípedo. Alguns admitiam que
sim e outros não, mas também tiveram alunos que não se manifestaram.
Pedi então que observassem todos os sólidos geométricos, a fim de ver se
haveriam mais sólidos que possuem pontas (vértices). Como os alunos ficaram em silêncio,
os questionei: Será que teríamos que modificar esses grupos? Ou deixaremos assim
mesmo? Logo o aluno B se manifestou dizendo que deveríamos deixar assim.
Aqui é adequado mencionar Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), pois eles
defendem a importância de justificar as conjecturas. “Os alunos devem compreender que o
teste, só por si, não confere o estatuto de conclusão aos seus resultados, portanto o professor
deve instigar os alunos, a esclarecerem suas conjecturas, baseando-se num raciocínio plausível
e nos conhecimentos que já possuem”.
Procurando fazer com que o aluno B justificasse sua conjectura, perguntei porque
ele acreditava que tinha que deixar assim e isso gerou diferentes opiniões entre a turma:
Aluno C: é que é assim professora, ali naquele grupo estão todos os sólidos
“pontudos”, mas eles são “pontudos” só em cima e os outros não, são “pontudos” em
todos os lugares.
Aluno D: nada haver, o preto (cone), ele é o único que é pontudo só em cima, os
outros são pontudos em baixo também (pirâmides).
Aluno C: é mas esses sólidos são bem mais pontudos do que o resto.
Aluno D: mas eu acho que isso não tem nada haver, nós temos que tirar o preto
(cone) dali.
Após alguns instantes de silêncio, os questionei sobre o que deveríamos fazer: se
teríamos que tirar ou não o preto (cone). Os alunos discutiram e resolveram tirar o cone.
Aproveitei para lembrá-los, sobre o fato que ainda fica a questão do outro grupo: O que
eles possuem em comum? E um dos alunos se manifestou, sugerindo fazer outro grupo,
677
porque, segundo ele, a bola (esfera) não possui nenhuma característica em comum com o
restante dos sólidos.
Perguntei então à turma se todos concordavam com o aluno E. Os alunos se
questionaram e chegaram à conclusão que o aluno E tinha razão e resolveram tirar a esfera
do grupo. Foi então que comentei: Lembram que temos que organizar apenas dois grupos,
então a bola (esfera) vai para o outro grupo? Os alunos discutiram novamente e chegaram à
conclusão de que deveriam dividir novamente todos os sólidos e que esses grupos, da
forma que estavam organizados, não satisfaziam o que fora solicitado.
Pedi então para os alunos que viessem até a mesa e dividissem novamente os
sólidos geométricos. Alguns alunos levantaram, outros ficaram dando sugestões da carteira
mesmo, as primeiras sugestões aprovadas pela turma eram que a bola (esfera) deveria ficar
em um grupo sozinha e o restante dos sólidos formaria o outro grupo.
Após concluírem a separação, tentei provocá-los a refletir sobre o que tinham
feito, fazendo o seguinte comentário: então a esfera ficou em um grupo sozinha, tudo bem.
Agora vamos analisar o outro grupo. O que eles têm em comum? Após alguns instantes de
silêncio:
Aluno D: é que assim professora, todos tem pontas.
Perguntei para turma toda se concordavam com o aluno D, todos ficaram em
silêncio. Foi então que eu peguei o cilindro na mão e questionei os alunos se ele também
possuía pontas (vértices).
Aluno F: Não professora, ele tem que ficar no mesmo grupo da esfera.
Logo, perguntei ao aluno F o porquê disso e ele me respondeu que era porque esse
sólido não possui ponta (vértice), assim como a esfera.
Tentei provocar os alunos a pensassem sobre a sugestão do colega: Todos
concordam? Mesmo alguns não se manifestando, resolveram colocar o cilindro no mesmo
grupo que a esfera.
Na tentativa de dar uma pista, quando fui colocar o cilindro sobre a mesa, o
coloquei de forma que assim como a esfera, ele não parasse na carteira, ou seja, de forma
que ele rolasse. Foi quase que imediato que um aluno fez a seguinte observação: esse
grupo seria o grupo dos rolantes.
Embora o termo utilizado pelo aluno não fosse o mais correto, valorizei o que ele
havia dito: muito bem você percebeu uma característica que esses sólidos possuem em
comum e o aluno ficou todo contente. Logo aproveitei para discutir sobre o fato de termos
678
então, dois grupos: o grupo dos que rolam e o grupo dos que não rolam. Meus
questionamentos agora se referiam sobre a existência ou não de outros sólidos nesse grupo.
Não demorou muito para a turma perceber que o cone também rolava e deveria ficar no
mesmo grupo que o cilindro e a esfera. Dessa forma, finalizamos o problema.
Partimos agora para um processo relevante na aula investigativa, que é a reflexão
sobre a atividade realizada, realizar uma atividade e não refletir sobre ela é perder uma das
suas grandes potencialidades. (TUDELLA et al, 1999, p. 8)
Sendo assim, refleti juntamente com os alunos sobre tudo o que foi feito e
formalizamos os conceitos envolvidos, comentando que o grupo ao qual chamamos de
grupo dos que rolam, são na verdade denominados de corpos redondos e o outro grupo
(dos “pontudos”) são denominados de poliedros. Também aproveitei para comentar sobre
os vértices, faces e arestas, elementos de um sólido geométrico.
Para finalizar a atividade também pedi aos alunos um registro escrito, sobre as
conclusões obtidas após a resolução do problema, a fim de proporcionar um
desenvolvimento na escrita matemática.
Considerações finais
Ao trabalhar Geometria Espacial durante o estágio minha maior preocupação era
de que forma poderia introduzir os conceitos envolvidos neste conteúdo, a fim de fazer
com que os alunos compreendessem o que estavam fazendo, proporcionando, assim, uma
aprendizagem significativa.
Sendo assim, fiz a opção de trabalhar atividades, num primeiro momento, com
toda a turma. Nos momentos subsequentes realizamos atividades que foram desenvolvidas
em grupos menores.
As aulas investigativas proporcionaram aos alunos a oportunidade de se
comunicarem matematicamente. Isso pode ser notado porque os alunos começaram a
melhorar seu desempenho, passaram a ser mais participativos, ficaram mais confiantes e
justificavam as coisas sem me perguntar se estava certo ou errado. Também puderam
desenvolver algumas capacidades como a formulação de expressões algébricas e a
habilidade em lidar com elas.
Outro ponto a destacar é que os alunos sempre relacionavam o que estavam
aprendendo com as coisas trabalhadas em aulas anteriores. Claro que alguns alunos
679
possuíam uma dificuldade maior em fazer isso, mas uma boa parte deles conseguiu
desenvolver a oralidade e a escrita matemática, bem como o senso crítico e a capacidade de
relacionar os conceitos abordados.
Após a conclusão do estágio, posso afirmar que houve mudanças significativas em
relação às atitudes e envolvimento dos alunos nas aulas. Nas duas primeiras a maioria dos
alunos se sentiam inseguros com relação a fazer conjecturas, vários momentos de silêncio
eram percebidos quando surgia alguma pergunta.
Esse quadro se modificou depois da quarta aula, quando eles perceberam que
estávamos num ambiente favorável às conjecturas e que era importante que eles se
posicionassem a respeito dos questionamentos, mesmo que não tivessem certeza do que
comentavam. Por esse motivo, foi possível percorrer os processos de exploração e
investigação.
Acredita-se também que os alunos tiveram uma aprendizagem significativa, pois
passaram a ficar mais confiantes, sentindo-se mais a vontade para discutir o que pensavam
com o restante da turma e, em diversas vezes, estabeleciam relações com os conceitos
anteriormente abordados.
Dessa forma, a Resolução de Problemas e as aulas investigativas viabilizaram que
os alunos realmente se envolvessem com a Matemática, compreendendo assim os
conceitos envolvidos na Geometria Espacial.
Referências.
AUSUBEL, D.P., NOVAK, J.D. e HANESIAN, H. Educational Psycology: A cognitive
view. New York: Holt, Rinehart & Winston, 1978.
MOREIRA, M.A. Mapas Conceituais e Aprendizagem Significativa O Ensino, Revista
Galáico Portuguesa de Sócio-Pedagogia e Sócio-Linguística, Pontevedra/Galícia/Espanha e
Braga/Portugal, N° 23 5a 28: 87-95, 1988.
OIVEIRA, H. M. SEGURADO, M. I. PONTE, J. P. Tarefas de investigação em
matemática: Histórias da sala de aula. In: ABRANTES, P. PONTE, J. P. FONSECA, H.
BRUNHEIRA, L. (Eds.). Investigações matemáticas na aula e no currículo (p. 189206). Lisboa: Projecto MPT e APM, 1999.
ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução
de problemas. In: BICUDO, Maria A. V. Pesquisa em Educação Matemática:
concepções & perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999. cap. 3. p. 199-218.
680
ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. ALLEVATO, Norma S. G. Novas reflexões sobre o
ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO,
Maria A. V.; BORBA, Marcelo de C. Educação Matemática: pesquisa em movimento.
São Paulo: Cortez, 2004. p. 213-231.
PAIS, Luis Carlos. Didática da Matemática: Uma análise da influência francesa. Belo
Horizonte: Autêntica, 2001.
PONTE, J. P. Investigar, ensinar e aprender. Actas do ProfMat 2003 (CD-ROM, p. 2539). Lisboa: APM, 2003.
PONTE, João Pedro da. BROCARDO, Joana. OLIVEIRA, Hélia. Investigações
Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
PONTE, J. P. OLIVEIRA, H. BRUNHEIRA, L. VARANDAS, J. M. FERREIRA, C. O
trabalho do professor numa aula de investigação matemática. Quadrante, 7(2), 41-70.
1998.
POZO, Juan Ignácio. A aprendizagem e o Ensino de Fatos e Conceitos. In: COLL, César.
POZO, Juan Ignácio. SARABIA, Bernabé. VALLS, Enric. Os conteúdos na reforma:
Ensino e aprendizagem de conceitos, procedimentos e atitudes. Porto Alegre: Artes
Médicas, 2000. p 17-71.
TUDELLA, A., FERREIRA, C., BERNARDO, C. PIREA, F. FONSECA, H.
SEGURADO, I. VARANDAS, J. Dinâmica de uma aula com investigações. In:
ABRANTES, P. PONTE, J. P. FONSECA, H. BRUNHEIRA, L. (Eds.). Investigações
matemáticas na aula e no currículo (p. 87-96). Lisboa: Projecto MPT e APM, 1999.
681