PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Estruturas Algébricas
Respostas da Lista 1: Lógica das Proposições
1)
(a) Gosto de viajar se e somente visitei o Chile.
(b) Se não visitei o Chile, então não gosto de viajar.
(c) Se gosto de viajar e não visitei o Chile, então não gosto de viajar.
(d) Visitei o Chile e não gosto de viajar.
(e) Não é verdade que: gosto de viajar e visitei o Chile.
(f)
Se visitei o Chile, então gosto de viajar.
(g) Não gosto de viajar ou não visitei o Chile.
(h) Se gosto e viajar ou não visitei o Chile, e, se não gosto de viajar, então visitei o Chile.
2)
(a) p: elefantes podem subir em árvores
q: 3 é um número irracional
(b) p: fumar cigarro
q: fumar charuto
(c) p: 0
q: 1
(d) p: as laranjas são amarelas
q: os morangos são vermelhos
(e) p: Montreal é a capital do Canadá
q: a próxima copa será realizada no Brasil
(f) p: Montreal é a capital do Canadá
q: a próxima copa será realizada no Brasil
frase: p  q
frase:  ( p  q )
frase:
¬p↔q
frase:
pq
frase:  (p  q)
frase:  p  q
3)
(a) Verdadeira, pois p é falsa uma vez que elefantes não podem subir em árvores.
(b) Assumindo-se que esta proibição esteja sendo feita em algum lugar, teremos uma proposição
verdadeira, pois será proibido fumar cigarro (p será verdadeira) e será proibido fumar charuto (q será
verdadeira).
(c)
Falsa, pois
¬ p é falsa e q é verdadeira.
(d) Verdadeira, pois p é falsa.
(e) Falsa, pois a proposição p  q é verdadeira visto que p é falsa.
(f)
Falsa, pois Montreal não é a capital do Canadá e a próxima copa não será realizada no Brasil, ou seja,
¬ p é verdadeira e q é falsa.
4)
(a) proposição: x  1  x  -1  x 2 - 1  0
recíproca: x 2 - 1  0  x  1  x  -1
(b) proposição: x  1  x 2 - 1  0
recíproca: x 2 - 1  0  x  1
(c)
proposição: x  1  x  -1  x 2  1  0
recíproca: x 2−10 −1 x1
[email protected], [email protected], [email protected]
(d) Impossível encontrar uma proposição condicional verdadeira cuja contrapositiva seja falsa, visto que toda
proposição condicional e sua contrapositiva são equivalentes.
5)
(a) recíproca:
Se os vampiros saem de casa à noite, então a lua está cheia.
contrapositiva: Se os vampiros não saem de casa à noite, então a lua não está cheia.
(b) recíproca:
contrapositiva:
(c) recíproca:
contrapositiva:
(d) recíproca:
contrapositiva:
(e) recíproca:
contrapositiva:
Se uma girafa não faz gargarejo, então ela tem dor de garganta.
Se uma girafa faz gargarejo, então ela não tem dor de garganta.
Se vou morar na lua, então vão construir uma estação espacial lá.
Se não construírem uma estação espacial na lua, então não vou morar lá.
Se a recíproca de uma proposição é verdadeira, então ela é uma definição.
Se a recíproca de uma proposição não é verdadeira, então ela não é uma definição.
Se é uma função é contínua, então ela é derivável.
Se uma função não é contínua, então ela não é derivável.
6)
(a)
p
q
r
s
 r
s
 r  s
pq
V
V
F
F
V
V
V
V
( r   s )  ( p  q )
V
q
r  q
( r  s  p  q)  r   q
F
F
F
(b)
p
q
r
s
V
V
F
F


pq
p  q
pq
( p  q )
F
F
V
F
F
V
p
q
( p  q )  ( p  q )  (p  q )  (( p  q ))
V
r s
F
(( p  q )  ( p  q )  (p  q )  (  ( p   q )))  (r  s )
F
7)
(a)
(( p  q )  r ) 
p
q
r
pq
(p  q)  r
pr
qr
( p  r )  (q  r )
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
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F
F
V
F
F
V
F
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V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
www.pucrs.br/famat/demat/facin
(( p  r )  ( q  r ))
[email protected], [email protected], [email protected]
Como a proposição (( p  q )  r )  (( p  r )  (q  r )) é uma tautologia, podemos concluir que as
proposições ( p  q )  r e ( p  r )  (q  r ) são equivalentes.
(b)
(( p  ( q  r )) 
p
q
r
qr
p  (q  r )
pq
pr
(p  q)  (p  r )
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
(( p  q )  ( p  r ))
Como a proposição ( p  (q  r ))  (( p  q )  ( p  r )) é uma tautologia, podemos concluir que as
proposições p  (q  r ) e ( p  q )  ( p  r ) são equivalentes.
8)
tautologias: b, c, d.
nem tautologia nem contradição: a
www.pucrs.br/famat/demat/facin
[email protected], [email protected], [email protected]