Trabalho de Matemática Computacional
MEQ e LEMat - 1o Semestre 2007/2008
1a Parte
1. Escreva um programa em MATLAB para resolver a equação f (x) = 0 pelo método da secante. Os
dados são a função f, duas iteradas iniciais x−1 e x0 , uma tolerância de erro ε e o número máximo
de iterações nmax. O resultado pretendido é a lista das iteradas do método. O critério de paragem
que envolve ε é
|xk+1 − xk |
< ε.
|xk+1 |
2. Considere o sistema linear Ax = b, em que A é uma matriz tridiagonal, ou seja, aij = 0, se |i−j| > 1.
(a) Mostre que na factorização de Doolittle de A as matrizes L e U são bidiagonais e o algoritmo
da factorização se reduz a
l11 = 1, l21 = a21 /a11 , u11 = a11 , u12 = a12 ,
Para k = 2, ..., n
lkk = 1, ukk = akk − lk,k−1 uk−1,k ,
lk+1,k = ak+1,k /ukk , uk,k+1 = ak,k+1 , se k + 1 ≤ n,
sendo os restantes elementos de L e U nulos.
(b) Escreva um programa em MATLAB que receba uma matriz tridiagonal A e devolva a sua
factorização de Doolittle.
(c) Escreva um programa em MATLAB que receba uma matriz tridiagonal A e um vector b e
forneça a solução do sistema Ax = b recorrendo ao programa da alı́nea anterior.
3. Escreva um programa em MATLAB que, recebendo uma lista com pontos a ajustar e uma lista
com funções de base, retorne a função que melhor se ajusta a esses pontos no sentido dos mı́nimos
quadrados.
4. Considere o problema de valor inicial
(
y 0 (t) = f (t, y(t)), t ∈ [a, b]
y(a) = α
e o método do ponto médio

 y0 = α,
 yi+1 = yi + hf (ti + h , yi + h f (ti , yi )), i = 0, ..., N − 1, h = b − a ,
2
2
N
que fornece aproximações da função y nos pontos ti = a + ih, i = 1, ..., N,
y(ti ) ' yi ,
i = 1, ..., N.
Escreva um programa em MATLAB que, recebendo a, b ∈ R, uma função f : [a, b] × R → R, α ∈ R e
N ∈ N, retorne a lista com os valores y0 , y1 , ..., yN , produzidos pelo método do ponto médio.
1
2a Parte - Aplicação dos métodos implementados
1. A concentração de saturação de oxigénio dissolvido em água doce pode ser calculada através da
equação
ln osf = −139.34411 +
1.575701 × 105
1.243800 × 1010
8.621949 × 1011
6.642308 × 107
+
−
(1)
−
2
3
Ta
Ta
Ta
Ta4
onde
• osf = concentração de saturação de oxigénio a 1 atm (mg/L),
• Ta = temperatura absoluta (K). Recordamos que Ta = T + 273.15, com T = temperatura (◦ C).
Para a maioria das águas naturais em climas temperados, a equação (1) pode ser usada para determinar concentrações de oxigénio entre 14.621 mg/L a 0◦ C e 6.949 mg/L a 35◦ C.
Determine os valores da temperatura (◦ C) correspondentes a osf = 8, 10 e 14 mg/L. Considere como
tolerância de erro 0.05◦ C.
2. A distribuição de momento flector M numa viga de comprimento l com os extremos simplesmente
apoiados e sob acção de uma carga externa w, pode ser aproximada nos pontos xi = ih, i = 1, 2, ..., n−
1, com h = l/n, resolvendo o sistema linear
Mi+1 − 2Mi + Mi−1 = h2 wi , i = 1, ..., n − 1,
M0 = Mn = 0,
onde Mi = M (xi ), i = 0, ..., n, e wi = w(xi ), i = 1, ..., n − 1.
Usando a factorização de Doolittle para matrizes tridiagonais, determine o momento flector em cada
ponto xi , i = 1, ..., 39, de uma viga de comprimento 5 quando a carga externa é definida por w(x) =
cos(πx).
3. Os dados representados na tabela
Dia
Quantidade × 106
0
67.38
2
70.93
4
74.67
6
78.60
8
82.74
10
87.10
12
91.69
14
92.51
16
101.60
18
106.95
20
112.58
referem-se ao crescimento de uma bactéria num meio de cultura lı́quido ao longo de vários dias.
Obtenha previsões da quantidade de bactérias ao fim de 30 dias, através de ajustamentos destes dados
por funções de tipo polinomial, logarı́tmico e exponencial.
4. Um balanço de massa para um composto quı́mico num reactor de mistura pode ser descrito como
V
dc
= F − Qc − kV c2
dt
(2)
onde V é o volume (12 m3 ), c é a concentração (g/m3 ), F é a taxa de alimentação (175 g/min), Q é
a vazão (1 m3 /min) e k é uma taxa de reacção de segunda ordem (0.15 m3 /g/min).
(a) Determine a concentração estacionária para a equação (2), ou seja, o valor da concentração que
satisfaz dc
dt = 0.
(b) Se c(0) = 0, resolva a equação (2) até que a concentração atinja um nı́vel estável. Use o método
do ponto médio com h = 0.5 e faça o gráfico dos seus resultados.
2