CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
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CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
Maceió, julho de 2006
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Governador
Luis Abilio de Sousa Neto
Secretário Executivo de Educação
José Marcio Malta Lessa
Secretário Adjunto de Educação
Roberto Jorge Vasconcelos dos Santos
Coordenador de Educação
José Neilton Nunes Alves
Gerente do Projeto Avaliação e Estudos Educacionais
Maria de Fátima Santos de Lima
Representante da UNESCO no Brasil
Vicent Defourny
Consultores
Adna de Almeida Lopes
Benedito Carvalho
Cleyton Hércules Gontijo
Eraldo de Souza Ferraz
Eduardo de São Paulo
Fátima Lúcia Soares Ribeiro
Iracema Campos Cusati
Jeanne Amália de Andrade Tavares
Julio Jacobo Waiselfisz
Maria José de Oliveira Maciel
Wellington Rodrigues de Araújo
Parceria
Secretarias Municipais de Educação
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Equipe técnica do PROAEE
Ademir da Silva Oliveira
Leni Gladis de Carvalho Brito Franco
Maria de Fátima Santos de Lima
Equipe de Apoio do PROAEE
Irailda Santos Albuquerque
Lúcia Maria Rocha Sanches
Elaboração
Cleyton Hércules Gontijo
Revisores
Ademir da Silva Oliveira
Leni Gladis de Carvalho Brito Franco
Maria de Fátima Santos de Lima
Arte
Benedito Carvalho
Este Caderno foi produzido no contexto da Cooperação UNESCO/SEE, Projeto
914BRA1096. As opiniões expressas são de responsabilidade dos autores e não refletem,
necessariamente, a visão da UNESCO sobre o assunto.
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Aula de Matemática
Antonio Carlos Jobim e Marino Pinto (1958)
Pra que dividir sem raciocinar
Na vida é sempre bom multiplicar
E por A mais B
Eu quero demonstrar
Que gosto imensamente de você
Por uma fração infinitesimal,
Você criou um caso de cálculo integral
E para resolver este problema
Eu tenho um teorema banal
Quando dois meios se encontram desaparece a fração
E se achamos a unidade
Está resolvida a questão
Prá finalizar, vamos recordar
Que menos por menos dá mais amor
Se vão as paralelas
Ao infinito se encontrar
Por que demoram tanto os corações a se integrar?
Se infinitamente, incomensuravelmente,
Eu estou perdidamente apaixonado por você.
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Sumário
APRESENTAÇÃO..............................................................................................................................................8
INTRODUÇÃO.................................................................................................................................................11
1. A AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA REALIZADA PELO SAVEAL..................................................... 15
2. A MATRIZ DE REFERÊNCIA DE MATEMÁTICA..................................................................................17
3. A MATRIZ DE REFERÊNCIA E OS ITENS DO TESTE DO SAVEAL 2005..........................................19
3.1 TEMA I – Espaço e Forma......................................................................................................................19
3.1.1 D1 – Identificar a localização / movimentação de pessoas ou objetos em mapas, croquis e outras
representações gráficas.............................................................................................................................. 19
3.1.2D2 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre poliedros e corpos redondos................... 22
3.1.3 D3 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais pelo número de
lados, pelos tipos de ângulos..................................................................................................................... 22
Percentual de respostas às alternativas.................................................................................................. 23
3.1.4 D4 – Identificar quadriláteros observando as posições relativas entre seus lados (paralelos,
concorrentes, perpendiculares).................................................................................................................. 24
3.1.5 D5 – Identificar num objeto isolado suas vistas (superior e lateral)................................................ 24
Percentual de respostas às alternativas.................................................................................................. 25
3.1.6 D6 – Reconhecer um mapa ou uma planta baixa como sendo uma vista superior...........................26
3.2 TEMA II – Grandezas e Medidas............................................................................................................27
3.2.1 D7 – Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencionais ou não.......... 27
GABARITO...........................................................................................................................................28
3.2.2 D8 – Resolver problemas significativos utilizando unidades de medida padronizadas como
Km/m/cm/mm, Kg/g/mg, l/ml................................................................................................................... 28
GABARITO...........................................................................................................................................29
3.2.3 D9 – Estabelecer relações entre unidades de medida de tempo (século, década, ano, mês, quinzena,
semana, dia, hora e minuto).......................................................................................................................30
GABARITO...........................................................................................................................................31
3.2.4 D10 – Estabelecer relações entre o horário de início e término e/ou o intervalo da duração de um
evento ou acontecimento........................................................................................................................... 32
3.2.5 D11 – Ler e interpretar horas em relógios digitais e/ou de ponteiros...............................................32
GABARITO...........................................................................................................................................33
3.2.6 D12 – Estabelecer trocas de cédulas por moedas do sistema monetário brasileiro, ou vice-versa,
em função de seus valores......................................................................................................................... 34
3.2.7 D13 – Resolver problema envolvendo o cálculo do perímetro de figuras planas, desenhadas em
malhas quadriculadas.................................................................................................................................35
3.2.8 D14 – Resolver problema envolvendo o cálculo ou estimativa de áreas de figuras planas,
desenhadas em malhas quadriculadas........................................................................................................36
GABARITO...........................................................................................................................................37
3.3 TEMA III – Números E Operações.........................................................................................................38
3.3.1 D15 – Reconhecer e utilizar características do sistema de numeração decimal, tais como
agrupamentos e trocas na base 10 e princípio do valor posicional............................................................38
3.3.2 D16 – Identificar a localização de números naturais na reta numérica............................................ 39
3.3.3 D17 – Reconhecer a decomposição de números naturais nas suas diversas ordens.........................39
GABARITO...........................................................................................................................................40
3.3.4 D18 – Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais................................ 40
3.3.5 D19 – Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais......................... 41
GABARITO...........................................................................................................................................42
3.3.6 D20 – Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da adição ou
subtração: juntar, retirar, completar e comparar........................................................................................43
GABARITO...........................................................................................................................................44
3.3.7 D21 – Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da
multiplicação ou divisão: multiplicação comparativa, idéia de proporcionalidade, configuração
retangular e combinatória.......................................................................................................................... 46
GABARITO...........................................................................................................................................47
GABARITO...........................................................................................................................................47
GABARITO...........................................................................................................................................48
3.3.8 D22 – Identificar diferentes representações de um mesmo número racional...................................50
GABARITO...........................................................................................................................................52
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3.3.9 D23 – Identificar a localização de números racionais representados na forma decimal na reta
numérica.................................................................................................................................................... 52
3.3.10 D24 – Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados 54
GABARITO...........................................................................................................................................54
3.3.11 D25 – Resolver problema com números racionais expressos na forma decimal envolvendo
diferentes significados da adição ou subtração..........................................................................................56
GABARITO...........................................................................................................................................56
3.3.12 D26 – Resolver problema envolvendo noções de porcentagem (25%, 50%, 100%)..................... 57
3.4 TEMA IV – Tratamento da Informação................................................................................................. 57
3.4.1 D27 – Ler informações e dados apresentados em tabelas................................................................ 58
GABARITO...........................................................................................................................................58
GABARITO...........................................................................................................................................59
3.4.2 D28 – Ler informações e dados apresentados em gráficos de colunas............................................ 60
GABARITO...........................................................................................................................................60
GABARITO...........................................................................................................................................61
CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................................................................ 62
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................................................. 65
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APRESENTAÇÃO
A Secretaria Executiva de Educação de Alagoas, por intermédio de sua
Coordenadoria de Educação e do Projeto Avaliação e Estudos Educacionais,
decidiu implantar seu sistema de avaliação educacional em 2001. Tal sistema tem
como finalidade, entre outras, desenhar o perfil da realidade educacional no
Estado, produzindo indicadores básicos de qualidade, capazes de direcionar
políticas para o fortalecimento de escolas do sistema educacional como um todo.
Uma escola fortalecida é aquela que dá conta de todos os alunos que nela
entram, permitindo que esses se apropriem de um saber mais elaborado, de um
conhecimento que é produzido pela humanidade e materializado nos currículos
escolares. Somente de posse desse bem cultural é que esses alunos poderão
utilizá-lo como ferramenta fundamental para usufruir os bens produzidos na
materialidade da prática social.
Na tentativa de construir uma escola desse tipo, esta Secretaria vem
desenvolvendo algumas ações direcionadas para atingir o foco principal da
reprovação e abandono. Partiu-se, inicialmente, para resolver a questão do aluno
fora da escola. Foram construídas 17 e reformadas 256 escolas. Com essa
medida, houve um avanço significativo no número de matrículas, com destaque
para o Ensino Médio, que cresceu 325% nesses oito anos de governo.
Outra ação significativa foi a expansão da avaliação do sistema
educacional no Estado, com o intuito de conhecer os principais entraves que vêm
causando o baixo desempenho dos alunos na educação básica. Para fortalecer
essa ação, foram firmadas parcerias com a Organização das Nações Unidas para
a Educação, a Ciência e a Cultura – UNESCO e com Secretarias Municipais de
Educação, na tentativa de realizar um diagnóstico mais abrangente da realidade
educacional no Estado, ou seja, dos sistemas educativos estadual e municipais
de ensino.
Com base nos resultados diagnosticados, é possível planejar ações
governamentais e pedagógicas significativas para a melhoria da qualidade do
ensino. Entre outras ações resultantes da pesquisa, há de se destacar o
programa de formação continuada de professores, planejado com ênfase nos
problemas de ensino e aprendizagem detectados na pesquisa.
Esses resultados estão sintetizados em relatórios, contendo a realidade
educacional de cada município e região, e cadernos pedagógicos, contendo
alguns princípios que orientam a prática docente, de modo que a sua leitura
possibilite uma reflexão sobre o processo de desenvolvimento cognitivo dos
alunos. Eles vêm sendo utilizados pelos professores e educadores em geral com
o objetivo de contribuir para que os alunos evoluam do estágio de conhecimento
em que se encontram para um estágio mais elevado de conhecimento.
É nesse sentido que se considera de relevante importância o uso dos
resultados dessa avaliação, pois não basta constatar ou conhecer a realidade
como ela é, mas utilizar esses resultados no redimensionamento de práticas que
não estão dando certo para outras ações que produzam os resultados desejados.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
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Trata-se, portanto, de transformar os resultados dessa avaliação em ações
significativas de intervenção para que se possam atingir os objetivos da
construção de uma escola fortalecida e com qualidade.
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INTRODUÇÃO
O marco inicial do Sistema de Avaliação Educacional de Alagoas – Saveal
foi em 2001. Numa postura ousada desta Secretaria Executiva de Educação,
construímos as Matrizes Curriculares de Referência em Língua Portuguesa e em
Matemática. Essas Matrizes são o referencial curricular mínimo a ser avaliado em
cada disciplina e série, informando os conhecimentos esperados e as
competências e habilidades de cada aluno. Nelas estão contidos os descritores
que orientam a elaboração de itens e expressam o desempenho discente.
Naquele momento, foram avaliadas as 4ªs séries do Ensino Fundamental das
escolas estaduais da capital e da 10ª Coordenadoria Regional de Ensino,
compreendendo-se 86 escolas, 6.432 alunos, 209 professores, 80 diretores, 79
coordenadores pedagógicos e 2.232 pais de alunos.
Em todo o processo de realização da pesquisa, contou-se com a
participação efetiva de professores de todas as Coordenadorias Regionais de
Ensino - CRE, desde a elaboração das matrizes e dos itens até a discussão
pedagógica dos resultados, demonstrando, assim, a postura democrática que
esta Secretaria mantém na execução de suas ações.
O Saveal cresceu. Em dezembro de 2003, foi firmado um convênio de
cooperação técnica com a Organização das Nações Unidas para a Educação, a
Ciência e a Cultura – UNESCO, que permitiu otimizar as ações do Saveal, tendo
em vista a equipe multidisciplinar de que ela dispõe para atuar na orientação e
supervisão da pesquisa. As atividades principais que caracterizam essa
cooperação são o apoio técnico-gerencial que responde satisfatoriamente às
demandas da pesquisa, agregando-lhe conhecimento e valor com eficiência e
agilidade.
Em 2004, as Matrizes Curriculares foram ampliadas para a 8ª série do
Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio, dentro dessa mesma postura
democrática de participação docente, garantindo-se a transparência do processo
de avaliação do Saveal. Todos os descritores de Língua Portuguesa indicam o
nível de desempenho dos alunos no que se refere à leitura. Já os de Matemática
dividem-se em quatro tópicos: I – Espaço e Forma; II – Grandezas e Medidas; III –
Números e Operações; IV – Tratamento da informação.
A partir dessas Matrizes, foram realizadas várias oficinas para elaboração
de itens de Língua Portuguesa e Matemática com o objetivo de aproximar o
conteúdo e a linguagem dos testes ao cotidiano da sala de aula, contemplando
estágios de construção em níveis crescentes de competências e habilidades.
Foram construídos 163 itens de Língua Portuguesa, sendo 64 da 4ª e 75 da 8ª
série do Ensino Fundamental e 24 do Ensino Médio, e 251 itens de Matemática,
sendo 105 da 4ª e 95 da 8ª série do Ensino Fundamental e 51 da 3ª série do
Ensino Médio.
A fim de garantir a qualidade dos itens elaborados, procedeu-se a uma
análise, observando-se a relevância do conteúdo abordado e a adequação dos
mesmos aos critérios utilizados na avaliação em larga escala, além da
observação de sua compatibilidade com os descritores e de sua qualidade
técnica.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
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Para que fosse garantido o sigilo e que os alunos pesquisados não
tivessem acesso, esses itens foram pré-testados em 108 turmas, distribuídos em
17 escolas das redes estadual e municipal de Pernambuco, envolvendo 4.278
alunos, cujo objetivo foi a validação dos mesmos. Saliente-se, porém, que os itens
da 3ª série do Ensino Médio não foram pré-testados, tendo em vista que não
foram produzidos em quantidade suficiente. Os resultados obtidos foram
analisados e interpretados à luz de duas teorias: Teoria Clássica do Teste – TCT
e Teoria de Resposta ao Item – TRI. Os modelos que fundamentam as duas
análises se apóiam em modelos estatísticos que buscam analisar o desempenho
dos alunos resultante da aplicação dos testes considerando-se os níveis de
dificuldade, de discriminação e de acerto ao acaso dos itens.
A TCT se apóia nas respostas dadas por todos os alunos aos itens do
teste, independentemente da habilidade possuída por cada um para responder a
um determinado item. A TRI, considerada uma teoria mais moderna, se apóia
também nas respostas dadas pelos alunos, mas considerando que o desempenho
do aluno em um teste só pode ser explicado por um conjunto de habilidades
possuídas por cada um deles. Esta última permite que seja feita a análise
comparativa do desempenho dos alunos entre os anos e entre as séries para se
avaliar a evolução do desempenho dos alunos. Observando-se, também, que esta
teoria apresenta o poder de discriminação e a dificuldade de cada item.
Concluído todo o processo de análise estatística dos itens, passou-se à
etapa de organização dos mesmos para implantação do Banco de Itens de
Alagoas – BIAL.
Em 2005, o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica – Saeb,
do Ministério da Educação - MEC, criou a Avaliação Nacional do Rendimento
Escolar – ANRESC, que avaliou as escolas públicas urbanas de 4ª e 8ª séries do
Ensino Fundamental, atendendo o critério de possuir mais de trinta alunos por
série.
Conseqüentemente, para que fosse atingido o universo das escolas
públicas de Alagoas, o SAVEAL realizou uma pesquisa complementar à da
ANRESC, avaliando 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental das escolas estaduais
urbanas com mais de cinco e menos de trinta alunos por série, assim como em
todas as escolas rurais. Ampliou-se essa pesquisa para as escolas de 60
municípios cujos secretários de educação aderiram ao SAVEAL, mediante Termo
de Adesão, avaliando as escolas que atendessem aos referidos critérios.
Foram confeccionados 08 cadernos de teste para a 4ª série, sendo
04 de Língua Portuguesa e 04 de matemática, e 12 cadernos para a 8ª série,
sendo 06 de Língua Portuguesa e 06 de Matemática. Em cada um deles havia 25
itens do Banco de Itens de Alagoas – BIAL e 05 do Banco Nacional de Itens – BNI
do SAEB.
Concomitante à confecção desses cadernos, foram elaborados itens para
questionários socioeducacionais a serem aplicados a alunos, professores,
diretores, coordenadores pedagógicos e pais de alunos, destinados a investigar
alguns fatores associados ao desempenho dos alunos e às políticas públicas
voltadas para a Educação Básica.
Para concretização da pesquisa, houve, previamente, treinamento da
equipe que trabalharia na aplicação da pesquisa, a fim de que os mesmos
operacionalizassem, com eficiência, todos os procedimentos pertinentes à
referida pesquisa. Foram criadas as funções de coordenadores estaduais,
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
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indicados pelas Coordenadorias Regionais de Ensino – CRE, e coordenadores
municipais, indicados pelas Secretarias Municipais de Educação dos municípios
participantes da pesquisa, todos sob a supervisão do PROAEE. Esses
coordenadores estiveram responsáveis pela seleção e treinamento das pessoas
que trabalharam na aplicação da pesquisa, intitulados coordenadores de escola e
coordenadores de turma.
A avaliação do Sistema Educacional de Alagoas ocorreu no dia 05 de
outubro. Foi atingido o quantitativo de 17.237 alunos, sendo 13.896 da 4ª série e
3.341 da 8ª série em 821 escolas. Do total de alunos, 905 são da rede estadual
urbana, 1.182 da estadual rural, 1.057 da municipal urbana, 14.093 da municipal
rural. Percebe-se, assim, que essa avaliação atingiu, predominantemente, escolas
municipais rurais e urbanas de pequeno porte.
Já os questionários foram aplicados a 17.237 alunos, 1.090 professores,
676 coordenadores pedagógicos, 581 diretores e 3.361 pais de alunos. A partir
deles, foram observadas questões referentes ao nível socioeconômico, esforço
acadêmico, apoio familiar, controle da trajetória escolar do aluno; formação inicial
e continuada, experiência e condições de trabalho do professor; estilo de gestão,
clima organizacional, disciplinar e acadêmico da escola.
Para caracterização do sistema educacional de Alagoas, foram utilizados,
além dos resultados dos testes e questionários, dados do censo escolar, como o
movimento da matrícula e indicadores de eficiência: taxas de aprovação,
reprovação, abandono, evasão, distorção idade/série, fluxo escolar e indicadores
de produtividade.
Foram elaborados Cadernos Pedagógicos de Língua Portuguesa e
Matemática, nos quais estão contidas as análises dos descritores das Matrizes
Curriculares de Referência para avaliação e análises de itens das provas
aplicadas pelo SAVEAL em 2005, seguidas de sugestões pedagógicas para os
professores, subsidiarão as escolas na reflexão sobre o ensino das disciplinas
avaliadas.
As Coordenadorias Regionais de Ensino – CREs e os municípios que
aderiram ao SAVEAL, receberão relatórios sintético e analítico, onde estão
contidos: a – os índices de desempenho dos alunos de 1ª a 4ª e de 5ª a 8ª séries
do Ensino Fundamental; b – índices de eficiência, no que se refere à taxa de
aprovação (relacionando-se esses índices de desempenho e eficiência às médias
das escolas municipais, estaduais e federais); c – pontuação da escola com sua
representação em relação à média estadual; d – percentual de acertos por
descritor curricular em Língua Portuguesa e Matemática nas duas séries
avaliadas, que servirão de instrumento gerencial aos gestores públicos.
Esses instrumentos, resultantes da Avaliação do Sistema Educacional de
Alagoas permitem, que os gestores identifiquem as principais dificuldades e
desafios para a operacionalização das políticas públicas educacionais com base
nos resultados da pesquisa, utilizando-os no planejamento das ações
governamentais para a melhoria institucional, como também no planejamento das
ações pedagógicas para a melhoria na qualidade do ensino.
Todavia, a adoção dessa avaliação por parte desta SEE não significa que
haja alguma intenção de julgamento individual de docentes ou discentes. Não são
as pessoas que são avaliadas, mas sim as estruturas, as práticas, as relações, os
processos, os produtos e os recursos que constituem o saber/fazer da escola, em
função dos objetivos desejados. Ela busca, sim, identificar pontos fortes e pontos
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
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fracos do sistema de ensino, com vistas respectivamente ao seu aprofundamento
ou superação, sempre almejando o incremento da qualidade.
Ressalta-se, ainda, que esta avaliação não se reduz ao simples
levantamento de dados, sua análise e a produção de um relatório final. Ela é um
processo permanente de conhecimento do sistema, a fim de alimentar o
planejamento para a melhoria da qualidade. Este processo requer continuidade e
regularidade, para que possibilite a comparação de dimensões e indicadores em
diferentes momentos e de maneira constante.
No entanto, a avaliação de sistema somente se converte em instrumento
para o planejamento da melhoria da qualidade, se for desenvolvida com
competência técnica, correção ética e fidedignidade dos dados e evidências
utilizados. E este é o compromisso desta Secretaria e da Unesco.
Quanto a este Caderno Pedagógico de Matemática para a 4ª série do
Ensino Fundamental, ele está constituído da seguinte forma: (1) a avaliação de
matemática realizada pelo Saveal (2) a Matriz de Referência, indicando de forma
abrangente seu processo de elaboração e seu papel na elaboração dos itens para
a avaliação, (3) apresentação da matriz de referência para a 4ª série com os seus
respectivos descritores e alguns itens da avaliação realizada pelo Saveal em
2005.
Espera-se que este trabalho possa colaborar para o entendimento do que
é a avaliação do Saveal em Matemática, bem como possibilitar uma reflexão
acerca dos procedimentos utilizados no processo de avaliação realizado e refletir
sobre estratégias de ensino que podem favorecer o desenvolvimento adequado
das competências matemáticas.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
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1. A AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA REALIZADA PELO SAVEAL
A avaliação de matemática realizada pelo Saveal tem por objetivo
identificar o nível de proficiência dos estudantes nesta área do conhecimento, isto
é, avaliar o que eles sabem e o que são capazes de fazer, verificando as
competências e as habilidades que construíram ao longo do processo de
escolarização.
Assim, o Saveal quer avaliar as competências dos estudantes, isto é, a sua
“capacidade de mobilizar diversos recursos cognitivos para enfrentar um tipo de
situações” (Perrenoud, 2000, p. 15).
Segundo Perrenoud,
1. As competências não são elas mesmas saberes, savoir-faire ou
atitudes, mas mobilizam, integram e orquestram tais recursos.
2. Essa mobilização só é pertinente em situação, sendo cada situação
singular, mesmo que se possa tratá-la em analogia com outras, já
encontradas.
3. O exercício da competência passa por operações mentais
complexas, subentendidas por esquemas de pensamento, que
permitem determinar (mais ou menos consciente e rapidamente) e
realizar (de modo mais ou menos eficaz) uma ação relativamente
adaptada à situação. (op. cit. p. 15)
Considerando os aspectos acima, podemos dizer que ser
matematicamente competente na realização de uma dada tarefa implica não só
ter os conhecimentos necessários para realizá-la, mas a capacidade de identificar
e mobilizar esses conhecimentos em uma situação concreta, isto é, em situaçõesproblema.
Associadas à competência, as habilidades referem-se ao plano da ação, do
exercício prático de resolução de problemas, da transposição do pensamento
para a prática.
Assim, para avaliar competências e habilidades em matemática torna-se
necessário estabelecer como eixo norteador da avaliação a proposição de
situações-problema, nas quais o aluno deve aplicar os conhecimentos adquiridos,
demonstrando em que medida essas competências e habilidades foram
construídas. Destaca-se que o conhecimento matemático ganha significado
quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para
desenvolver estratégias de resolução.
Esta opção por resolução de situações-problema não exclui a possibilidade
da proposição de outros tipos de situações com o objetivo de avaliar se o aluno
tem domínio de determinadas técnicas, que servirão para a resolução de
problemas.
O uso dessas duas estratégias, resolução de situações-problema e
aplicação técnicas matemáticas, possibilita investigar as competências que os
alunos já desenvolveram e aquelas que ainda precisam ser mais bem trabalhadas
no contexto escolar.
Ressalta-se que para a avaliação de competências e habilidades
matemáticas, as situações propostas devem refletir o universo vivenciado pelos
estudantes, isto é, devem ser significativas e corresponder ao contexto social,
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
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econômico e cultural dos mesmos, uma vez que aprendizagem da matemática
deve contribuir para a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar a
realidade e para desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo da
vida social e profissional.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
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2. A MATRIZ DE REFERÊNCIA DE MATEMÁTICA
A Matriz de Referência de Matemática é o documento que contém as
competências e habilidades matemáticas que serão avaliadas no teste do Saveal.
A Matriz de Referência de Matemática contempla 04 temas, que são os
mesmos para as 4ª e 8ª séries do Ensino fundamental e para a 3ª série do Ensino
Médio, e estão de acordo com as recomendações estabelecidas nos Parâmetros
Curriculares Nacionais para o ensino de matemática. Os temas variam em
complexidade e abrangência de acordo com a realidade de cada série avaliada.
Os temas que compõem a Matriz de Referencia em Matemática são: I – Espaço e
Forma; II – Grandezas e Medidas; III – Números e Operações; IV – Tratamento da
informação.
Cada tema da matriz é constituído por um conjunto de descritores. Os
descritores descrevem competências relacionadas a diferentes operações de
natureza cognitiva, e se traduzem basicamente em três tipos habilidades
possíveis de serem medidas pelo Saveal. Dessa forma, os descritores foram
selecionados de modo que se possa refletir sobre a natureza das operações
mentais que caracterizam cada uma das competências e habilidades definidas
como relevantes.
As habilidades descritas pelos descritores referem-se à:
a) Compreensão de conceitos: refere-se a habilidades como identificar,
reconhecer e associar conceitos e relações matemáticas em situações
diversas.
b) Utilização de procedimentos: refere-se às habilidades de fazer cálculos,
estimativas, execução de algoritmos e manipulações algébricas.
c) Resolução de problemas: refere-se à seleção e ao uso de estratégias e
procedimentos matemáticos adequados para resolver situações-problema.
Destaca-se que cada descritor descreve apenas uma competência ou
habilidade a ser avaliada. Assim, cada item do teste, elaborado a partir de um
descritor, avalia uma única competência. A isto denominados unidimensionalidade
do item.
Os itens propostos na avaliação são construídos observando as
competências descritas na matriz de referência de matemática e as normas
técnicas para esta construção.
As normas técnicas indicam dois tipos de itens. Em um dos tipos, o aluno
resolve uma situação problema e identifica a alternativa que contém a resposta
certa. No outro tipo, o aluno analisa cada alternativa de acordo com o enunciado e
identifica a correta. Dessa forma, o enunciado de cada item poderá ser uma
pergunta ou uma frase a ser completada.
Outro importante aspecto a ser considerado refere-se à construção das
alternativas que compõem cada item. Dentre elas, uma é a correta, denominada
de gabarito e as outras, incorretas, são denominadas distratores. Os distratores,
preferencialmente, devem ser elaborados de maneira que não apresentem
valores arbitrários, devendo cada um deles corresponder ao resultado de uma
estratégia possível de ter sido utilizada pelo estudante e que produziu resultado
incorreto. Dessa forma, é possível identificar as principais dificuldades
encontradas pelos estudantes na resolução dos itens, indicando assim, mudanças
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
17
que poderão ser implantadas nas salas de aula de modo a propiciar o
desenvolvimento das competências avaliadas.
A seguir, apresentaremos a matriz de referência da 4ª série do Ensino
Fundamental, mostrando de forma sucinta o que cada tema desta matriz quer
avaliar e os descritores relativos a esses temas. Destaca-se que ao tratarmos dos
descritores, apresentaremos alguns itens do teste do Saveal aplicado em 2005,
analisando os resultados dos estudantes e sugerindo algumas atividades que
podem ser desenvolvidas em sala de aula para favorecer o desenvolvimento das
competências matemáticas.
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3. A MATRIZ DE REFERÊNCIA E OS ITENS DO TESTE DO SAVEAL
2005
3.1 TEMA I – Espaço e Forma
O tema “Espaço e Forma” refere-se ao trabalho com a Geometria. De
acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, “os conceitos geométricos
constituem parte importante do currículo de Matemática porque, por meio deles, o
aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender,
descrever e representar, de forma organizada e concisa, o mundo em que vive”
(Brasil, Matemática, 2001, p. 55). O trabalho com noções geométricas contribui
para a aprendizagem de números e medidas, estimulando o aluno a observar,
perceber semelhanças, diferenças e identificar regularidades.
A Matriz de Referência para a 4ª série do Ensino Fundamental elegeu,
para a avaliação, competências relacionadas à identificação propriedades comuns
e diferenças entre poliedros e corpos redondos, relacionando figuras
tridimensionais com suas planificações; identificar propriedades comuns e
diferenças entre figuras bidimensionais e também a identificação de quadriláteros
observando as posições relativas entre seus lados. A Matriz descreve, ainda,
competências para identificar uma localização ou deslocamento, a percepção de
relações dos objetos no espaço, em representações gráficas, em mapas ou
croquis, destaca, ainda, o reconhecimento da conservação ou modificação de
medidas dos lados, perímetro, área em ampliações e/ou reduções de figuras
poligonais usando necessariamente malhas quadriculadas.
3.1.1 D1 – Identificar a localização / movimentação de pessoas ou
objetos em mapas, croquis e outras representações gráficas
Este descritor tem por objetivo avaliar habilidades referentes à
capacidade de identificar a localização e/ou movimentação de pessoas ou objetos
no espaço, sob diferentes pontos de vista.
Para avaliar essa habilidade, os itens devem abordar noções de
localização ou movimentação tendo como referência um ponto específico em
croquis, itinerários, desenhos de mapas ou representações gráficas, utilizando um
único comando ou uma combinação de comandos (esquerda, direita, giro, acima,
abaixo, ao lado, à frente, atrás, perto etc.). Por exemplo, é solicitado ao aluno que
identifique a posição de pessoas em uma figura (próxima a, à direita de, à
esquerda de etc.) dada uma referência; ou que reconheça e indique qual é o
trajeto mais curto para ir a um determinado lugar, tendo um ponto de partida
definido. É importante destacar que, ao ver uma pessoa ou um objeto, podemos
defini-los em relação a quem o observa, em relação ao meio ou a sua própria
estrutura. Cada uma dessas situações requer o uso de um referencial espacial
específico. Assim, sugerimos que, nas situações apresentadas aos alunos, sejam
utilizados diferentes pontos de referência, para que eles possam desenvolver
essa habilidade, utilizando-a em diferentes contextos e situações.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
19
Os itens que avaliam essa habilidade devem, prioritariamente, ser
elaborados a partir de uma situação-problema relacionada ao contexto real do
cotidiano do aluno.
A seguir, comentamos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005 que
avaliou esta habilidade.
Márcio desenhou o mapa abaixo representando a sua cidade.
1-Biblioteca Municipal
2-Padaria
3-Farmácia
4-Prédios
5-Praça
6-Escola
7-Casas
Olhando para o mapa, responda: O que fica mais perto da escola?
(A) Biblioteca Municipal
(B) Farmácia
(C) Padaria
(D) Prédios
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
A
49,2
B
14,3
C
16,9
D
16,0
Não
respondeu
3,5
O resultado sugere que aproximadamente metade dos alunos avaliados
(49,2%) consegue observar mapas simples e se direcionam corretamente em
relação ao espaço observado e aos locais propostos. Provavelmente os alunos
que escolheram as alternativas “B”, “C” e “D”, que representam 47,2% dos
respondentes, não conseguiram responder corretamente ao item por alguns
fatores, tais como:
• Por não conseguirem relacionar corretamente as representações com a
respectiva legenda;
• Por marcarem aleatoriamente os itens sem se preocupar com as
representações indicadas e as propostas.
As noções geométricas podem ser desenvolvidas progressivamente, a
partir das experiências intuitivas dos alunos. Para tanto, é importante gerar
situações de aprendizagem em que os próprios alunos coloquem problemas
relativos ao espaço e tentem resolvê-los apoiados em suas concepções
espontâneas como, por exemplo, descrever a sua posição na sala de aula,
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
20
desenhar a sala ou representar o caminho que percorrem para chegar até a
escola.
É fundamental que eles vivenciem experiências de localização e
movimentação de si próprios ou de objetos no espaço, procurando descrevê-las e
representá-las. Inicialmente, as representações serão construções simples como
desenhos e esboços, a partir das quais podem ser trabalhadas representações
mais precisas como plantas, até se chegar à interpretação de mapas mais
complexos, como o planisfério.
Para desenvolver essas habilidades, o professor poderá realizar algumas
atividades, tais como:
• Fazer um esboço de planta baixa da sala da aula e explorar com os alunos a
posição que estes ocupam em relação a elementos do espaço físico (janela,
porta, quadro de giz, mesa do professor etc.) e em relação aos próprios
colegas.
• Pedir aos alunos que descrevam o percurso realizado de um ponto a outro da
sala de aula por um colega e que façam a representação deste trajeto.
• Realizar uma caminhada pela escola para o reconhecimento do espaço
ocupado pelas salas de aula, pelo pátio, pelas árvores e por outros elementos
presentes. Após esta atividade, solicitar aos alunos a confecção de uma
maquete ou um esboço de planta baixa da escola.
• Percorrer um trajeto da sala de aula até um determinado ponto da escola,
solicitando aos alunos que descrevam a trajetória realizada e discutam outras
possibilidades de fazê-la, indicando, dentre outros elementos, o menor
percurso, as linhas percorridas e mudanças de direção efetuadas.
• Solicitar aos alunos a descrição e a representação do percurso que fazem da
escola às suas casas ou a outros pontos do bairro, destacando pontos
presentes e indicando distâncias percorridas e os sentidos da movimentação
realizada.
• Propor atividades nas quais personagens ou objetos que estão em posições
diferentes em relação ao referencial considerado realizem percursos ou
deslocamentos mais elaborados, por meio dos quais possam ser explorados
os seguintes conceitos:
- em relação ao dimensionamento (maior, menor, mais curto, mais comprido,
mais alto, mais baixo, mais largo, mais estreito etc.);
-em relação à posição (em cima, embaixo, entre, na frente de, atrás de,
direita, esquerda etc.);
- em relação à direção e sentido (para frente, para trás, para a direita, para a
esquerda, em sentido contrário, no mesmo sentido, meia volta etc.).
• Descrever a posição de objetos no espaço a partir da observação de
maquetes, croquis, fotografias, gravuras, desenhos, guias do bairro e da
cidade, mapas, globo terrestre e planisfério, empregando a terminologia
referente às noções de grandeza, posição, direção e sentido.
• Ocupar espaços percebendo as relações de tamanho e forma. Representar a
posição de objetos no espaço através da construção de maquetes, desenhos,
itinerários, plantas baixas.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
21
3.1.2 D2 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre
poliedros e corpos redondos
Este descritor tem a finalidade de avaliar habilidades relacionadas à
capacidade de diferenciar um sólido com faces, arestas e vértices (poliedro) de
corpos redondos (cilindro, cones e esferas) pelas suas características. Essa
distinção é feita a partir da visualização dos objetos que os representam, com
base no reconhecimento de cada um de seus componentes.
Para trabalhar com essas habilidades, devem ser realizadas atividades que
favoreçam o desenvolvimento da percepção espacial (discriminação visual,
memória visual, decomposição de campo, conservação de forma e tamanho,
coordenação visual-motora e equivalência por movimento), destacando o
reconhecimento dos sólidos geométricos a partir da observação dos mesmos no
contexto de vivência dos alunos, propiciando a manipulação destes objetos a fim
de que possam identificar e explorar as propriedades que possuem,
estabelecendo comparações e extraindo suas próprias conclusões sobre as
particularidades e semelhanças que apresentam.
Para que se alcance esse objetivo, pode-se realizar, dentre outras, as
seguintes atividades:
• Manipulação de materiais concretos para que os alunos consigam perceber
tamanhos, diferenças, semelhanças e demais regularidades entre os
objetos manipulados. Podem ser utilizados materiais reciclados, como
embalagens de produtos em geral e de materiais que fazem parte da
realidade do aluno;
• Construção de figuras espaciais, explorando nessa construção as
propriedades dos sólidos geométricos, diferenciando-os em corpos
redondos e poliedros.
• Utilização de jogos, favorecendo a criatividade e a imaginação, de modo
que o aluno busque identificar as propriedades comuns e diferenças entre
poliedros e corpos redondo de forma prazerosa e dinâmica, questionando
essas propriedades e elaborando problemas para explorá-las.
3.1.3 D3 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras
bidimensionais pelo número de lados, pelos tipos de ângulos
Este descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno identificar
entre figuras bidimensionais, propriedades comuns e diferenças, observando o
número de lados e os tipos de ângulos que estas apresentam. Para a avaliação
destas habilidades, deve-se, prioritariamente, utilizar situações-problema
contextualizadas.
A seguir, comentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005
para avaliar essa habilidade.
Observe as figuras e assinale a alternativa verdadeira.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
quadrado
retângulo
(A)
(B)
(C)
(D)
22
Os ângulos do retângulo e do quadrado são diferentes.
Somente o quadrado é um quadrilátero.
O retângulo e o quadrado são quadriláteros.
O retângulo tem todos os lados com a mesma medida.
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
C
A
38,7
B
16,6
C
19,6
D
20,3
Não
respondeu
4,8
A compreensão das propriedades e a percepção de semelhanças entre
figuras bidimensionais se tornam complexas dependendo da situação e do
contexto em que o problema é proposto. No caso deste item, consideramos que o
mesmo apresenta baixo grau de complexidade.
O quadro de respostas nos mostra que apenas 19,6% dos alunos
souberam identificar corretamente as propriedades e diferenças entre as figuras
bidimensionais em questão, escolhendo a alternativa “C”.
Dentre os alunos que responderam incorretamente ao item, 38,7%
escolheram a alternativa “A”, indicando que os ângulos do retângulo e do
quadrado são diferentes, provavelmente confundindo a relação entre as medidas
dos ângulos com as medidas dos lados destes dois quadriláteros.
A alternativa “B” foi escolhida por 16,6% dos alunos. Provavelmente esta
escolha deve ter acontecido pelo fato de os alunos considerarem o nome
quadrilátero como sinônimo de quadrado, desconsiderando que, além deste,
existem outros quadriláteros (retângulo, losango etc.). Os alunos que escolheram
a alternativa “D” o fizeram possivelmente por falta de domínio em relação às
características de um retângulo, confundindo o tamanho das medidas dos lados
com o tamanho das medidas dos ângulos.
Para o reconhecimento de figuras bidimensionais, bem como suas
propriedades e diferenças pode-se organizar atividades a serem desenvolvidas a
partir de manipulação de materiais concreto, além de atividades relacionadas à
dobraduras, cartazes e confecção de figuras geométricas relacionando as
propriedades existentes em cada figura trabalhada.
Assim, o professor deve estimular os alunos para uma atitude reflexiva em
relação ao estudo de figuras bidimensionais, destacando as definições de cada
uma delas.
Além do trabalho com os conceitos que definem as figuras bidimensionais,
o professor pode organizar atividades envolvendo o uso do TANGRAN, que pode
auxiliar no reconhecimento e diferenciação das principais figuras geométricas,
favorecendo o desenvolvimento da criatividade dos alunos na criação de formas
de pessoas, animais, objetos etc.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
23
3.1.4 D4 – Identificar quadriláteros observando as posições relativas
entre seus lados (paralelos, concorrentes, perpendiculares)
O trabalho com esse descritor pode ser realizado a partir da construção de
figuras bidimensionais utilizando-se régua, compasso e demais materiais com os
quais professor pode orientar os alunos a descobrirem relações, como a distância
entre um segmento de reta e outro, ou semelhanças entre os ângulos de cada
figura. A partir de comparações e manipulação, o aluno pode observar a
existência de lados paralelos, concorrentes e perpendiculares e fazer a correta
diferenciação entre cada conceito.
É importante que o aluno construa diferentes quadriláteros e observe, de
forma espontânea e intuitiva, quais são as diferenças existentes e o que as
constitui, além de analisar as posições relativas entre seus lados, identificando as
semelhanças e as diferenças. Após o trabalho com essas construções,
recomenda-se um trabalho sistemático com as definições dos quadriláteros, de
modo que o aluno seja capaz de reconhecê-las e utilizá-las para resolver
situações-problema. Dessa forma, os alunos devem saber que:
a) Paralelogramo: é um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Alguns
paralelogramos têm características especiais. São eles:
• Retângulo: é um paralelogramo que tem quatro ângulos retos e diagonais
de medidas iguais.
• Losango: é um paralelogramo que tem quatro lados de medidas iguais e
diagonais perpendiculares.
• Quadrado: é um paralelogramo que reúne características do retângulo e do
losango. Dessa forma, apresenta quatro ângulos retos, quatro lados de
medidas iguais, diagonais de medidas iguais e perpendiculares.
b) Trapézio: é um quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos.
Encontramos três tipos de trapézios:
• Trapézio escaleno: possui lados transversais de medidas diferentes.
• Trapézio retângulo: possui dois ângulos retos.
• Trapézio isósceles: possui lados transversais de medidas iguais.
c) Trapezóides: é um quadrilátero cuja forma lembra um trapézio, sendo formado
por 3 segmentos retilíneos dos quais dois são paralelos entre si e de uma
quarta linha de forma qualquer.
Uma forma descontraída para trabalhar com os quadriláteros pode ser
desenvolvida fazendo construções de mosaicos, que envolvem aspectos visuais e
artísticos.
3.1.5 D5 – Identificar num objeto isolado suas vistas (superior e
lateral)
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de identificar num
objeto isolado suas vistas (superior e lateral). Para avaliar essa habilidade,
recomenda-se a elaboração de situações-problema que envolvam objetos de uso
cotidiano dos alunos, favorecendo a representação mental dos mesmos.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
24
A seguir comentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005
para avaliar esta habilidade.
Maria pintou algumas caixas e apoiou-as sobre uma folha de jornal.
As marcas deixadas pelas caixas sobre o jornal são
(A)
(B)
(C)
(D)
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
A
49,9
B
15,0
C
13,6
D
13,6
Não
respondeu
8,0
Os alunos que optaram pelas alternativas “B”, “C” e “D” (42,2% dos
respondentes) demonstraram dificuldades para responder o item, que podem
estar relacionadas à dificuldade em observar a seqüência dos objetos ou em
distinguir as vistas destes. Alguns alunos podem ter escolhido essas alternativas
aleatoriamente, sem se preocupar com a questão proposta. Destacamos que
algumas dessas alternativas não apresentam semelhanças com as formas
geométricas propostas e que muitos dos alunos não conseguiram observar esse
fato e, portanto, não responderam corretamente ao item.
Entretanto, observamos que um número significativo de alunos (49,9%)
conseguiu identificar corretamente as vistas dos objetos apresentados no
enunciado do item, analisando-os coerentemente.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
25
Para desenvolver as habilidades referentes à identificação, num objeto
isolado, de suas vistas (superior e lateral), o professor pode propor aos seus
alunos atividades de observação de alguns objetos de uso cotidiano, estimulando
os alunos a explorarem esses objetos, sob diferentes pontos de vista. Essas
atividades podem incluir:
• Observação de embalagens de produtos de uso geral e analisar a vista
destas embalagens, representando-as por meio de desenhos, tendo como
referência cada visualização encontrada;
• Identificação da planificação de sólidos geométricos fazendo associações
dos polígonos selecionados com as possíveis vistas do objeto em questão;
• Trabalhar dinâmicas que incentivem os alunos a buscarem formas
diferenciadas de olhar um objeto e fazer esboços dessas visualizações
comparando com o objeto real.
3.1.6 D6 – Reconhecer um mapa ou uma planta baixa como sendo
uma vista superior
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de reconhecer um
mapa ou uma planta baixa como sendo uma vista superior. Essa habilidade pode
ser desenvolvida a partir do trabalho com mapas e plantas de lugares
diferenciados, fazendo observações e análises de cada situação proposta.
Atividades como as apresentadas a seguir podem favorecer o desenvolvimento
dessa habilidade.
• Solicitar que cada aluno desenhe a planta da casa em que mora e mostrar
para os colegas a parte interior da casa como se estivesse passeando por
cima da mesma.
• Analisar mapas do bairro da escola ou da casa e identificar que a
visualização de um mapa é diferente da visualização que se tem quando se
está nesse bairro.
• Desenhar o mapa do caminho seguido pelos alunos de casa até a escola,
indicando o caminho mais curto, mais longo e demais variações para se
alcançar os mesmos objetivos;
• Desenhar a vista superior de vários prédios, bem como da escola e partir
para ambientes maiores até chegar ao mapa da cidade em que mora e
comparar com a vista de dentro desse espaço, observando relações entre
eles.
O trabalho com mapas auxilia os alunos a adquirirem a noção de espaço e
direção, fazendo com que estes consigam analisar, discutir e se movimentar
no ambiente em que vivem, além de ter a capacidade de interpretar problemas
que envolvam localização.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
26
3.2 TEMA II – Grandezas e Medidas
Os aspectos considerados nesse tema têm grande aplicação na vida
cotidiana da população, pois tudo o que existe na natureza é, de alguma forma,
medido pelo homem.
As competências que são esperadas de um aluno da 4ª série do Ensino
Fundamental, dizem respeito à compreensão de como podem ser utilizadas
medidas convencionais ou não para estimar grandezas, do uso de sistemas
convencionais para o cálculo de perímetros e áreas, do estabelecimento de
relações entre unidades de medidas padronizadas e entre unidades de medida de
tempo e, do estabelecimento de relações entre valores monetários e trocas de
moedas e cédulas.
3.2.1 D7 – Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de
medida convencionais ou não
Esse descritor tem a finalidade de avaliar habilidades relativas à
capacidade de fazer estimativas de medidas de grandeza, utilizando unidades
não convencionais, como, por exemplo, usar um lápis como unidade de
comprimento, ou um azulejo, como unidade de área e, utilizar unidades de
medidas convencionais como metro, quilo, litro etc.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema
contextualizadas que requeiram do aluno identificar grandezas mensuráveis que
ocorrem no seu dia-a-dia, utilizando unidades de medida convencionais ou não,
relacionadas a comprimento, massa, capacidade, superfície etc. Por exemplo,
solicita-se ao aluno que, considerando-se a medida de um lápis em cm e que
determinado objeto mede tantos lápis, que ele indique, em cm a medida do
objeto.
A seguir comentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005
para avaliar essa habilidade.
A diferença entre a altura de Clarice e a altura de Carlos pode ser observada na
figura.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
27
Simone tem a mesma altura de Carlos e Renata é mais alta que Clarice. Quem é
Maior?
(A)
(B)
(C)
(D)
Carlos
Clarice
Renata
Simone
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
C
A
9,5
B
31,7
C
43,5
D
12,8
Não
respondeu
2,4
Observando o quadro com os percentuais de respostas, pode-se notar que
grande parte dos alunos (43,5%) conseguiu interpretar corretamente o problema
utilizando as comparações de medidas adequadas relacionadas na situaçãoproblema proposta. Os que optaram pela alternativa “B” (31,7%) podem tê-lo feito
analisando apenas o desenho sem se preocupar com o problema em si, e os
demais (22,3%), o fizeram por não saber distinguir diferenças entre medidas ou
relações que envolvam comparações como maior que e menor que ou por não se
preocuparem com a resolução do problema em questão.
É no contexto das experiências intuitivas e informais com a medição que
o aluno constrói representações mentais que lhe permitem, por exemplo, saber
que comprimentos como 10, 20 ou 30 centímetros são possíveis de se visualizar
numa régua, que 1 quilo é equivalente a um pacote pequeno de açúcar ou que 2
litros correspondem a uma garrafa de refrigerante grande. Essas representações
mentais estimulam as estimativas e o cálculo. O professor pode iniciar com
medidas exatas de coisas próximas do aluno e chegar a desafios de cálculos de
medidas inexatas, como é o caso do problema apresentado.
3.2.2 D8 – Resolver problemas significativos utilizando unidades de
medida padronizadas como Km/m/cm/mm, Kg/g/mg, l/ml
Este descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno solucionar
problemas por meio do reconhecimento de unidades de medidas padronizadas
usuais (metro, centímetro, grama, quilograma etc.). Ele deve resolver problemas
envolvendo transformações de unidades de medida de uma mesma grandeza,
sem, no entanto, exagerar no trabalho com conversões desprovidas de significado
prático (quilômetro para milímetro, por exemplo).
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema
contextualizadas que requeiram do aluno a compreensão da ordem de grandeza
das unidades de medida, e o reconhecimento da base dez como fundamento das
transformações de unidades.
A seguir comentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005
para avaliar essa habilidade.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
28
Sr. Jacinto é um pescador que usa rede para pescar. Quando Sr. Jacinto recolhe
a rede, junto com os peixes vêm também algumas pedras, algas e conchas. Logo
que sua rede foi recolhida ela pesava 30 Kg sendo que de pedras, algas e
conchas, Sr. Jacinto recolheu 13 Kg. Quantos quilos de peixe ele pescou?
(A) 13 Kg.
(B) 17 Kg.
(C) 27 Kg.
(D) 30 Kg.
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
B
A
24,2
B
25,3
C
20,5
D
26,8
Não
respondeu
3,2
Este item mostra um tipo de situação-problema que podemos encontrar em
nosso cotidiano, como comparar quantidades e retirar uma quantia de outra, por
exemplo.
Entretanto, apesar de utilizar um tipo de situação comum, apenas 25,3%
dos respondentes acertaram o item, escolhendo a alternativa “B”. Esses alunos
demonstraram que conseguem, em uma situação-problema, compreender a sua
enunciação, escolhendo corretamente as operações aritméticas que deverão
utilizar para resolvê-la. Destaca-se que a situação apresentada não exigia a
transformação de unidades de medida, tornando o item pouco complexo.
Quanto aos alunos que escolheram os distratores do item, podemos supor
que aqueles que optaram pela alternativa “A” (24,2%) tiveram dificuldades para
interpretar a situação-problema, considerando que o personagem, o Sr. Jacinto,
havia pescado 30 Kg de pedras, algas e conchas e 13 kg de peixes.
Os alunos que escolheram a alternativa “C” (20,5% dos respondentes)
possivelmente conseguiram interpretar corretamente o problema, mas não
conseguiram efetuar a operação de subtração, utilizando o recurso
(desagrupamento) adequadamente, esquecendo-se que transformaram uma
dezena em unidades. Os alunos que escolheram a alternativa “D” (26,8%)
possivelmente não conseguiram identificar que, na quantidade pescada, havia
uma parte que não representava os peixes e que deveria ser desconsiderada.
Para desenvolver a habilidade descrita por esse descritor, o professor deve
apresentar aos alunos problemas práticos que se apresentam a todo o momento,
como estimar distâncias entre dois pontos, escolher quantidades de produtos
comercializados em supermercados e farmácias, dentre outros. Como as medidas
são amplamente utilizadas no cotidiano das pessoas, o tratamento desse tema na
escola pode ser realizado buscando destacar o emprego de cada tipo de medida
e da unidade utilizada, e não apenas apoiar-se em relações abstratas da própria
matemática. É importante que os alunos conheçam as relações entre as unidades
de medida em cada tipo de grandeza, assim, devem ser capazes de:
• Identificar as relações entre medidas de comprimento: 1m = 100cm, 1cm =
10mm, 1m = 1000mm.
• Identificar as relações entre medidas de massa: 1kg = 1000g e 1g =
1000mg.
• Identificar as relações entre medidas de capacidade: 1l = 1000ml.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
29
Para desenvolver essas habilidades, o professor poderá realizar algumas
atividades, tais como:
• Propor aos alunos que façam a comparação do comprimento de um metro
em relação à sua própria altura, de um centímetro em relação a um dedo, e
de um milímetro em relação à espessura de uma unha.
• Recortar barbantes com comprimentos de 1m e distribuir para cada aluno.
Usá-los para medir comprimentos na sala e no pátio.
• Explorar a fita métrica padrão, observando que seu comprimento
corresponde a um metro e meio; reconhecer que o metro corresponde a
100cm e identificar divisões na fita métrica e na régua.
• Dar aos alunos alguns objetos com massa próxima a 1 quilograma e de
massas bem maiores ou menores, e propor que eles as tomem em sua
mão, um de cada vez, a fim de possibilitar a percepção dessas
quantidades.
• Comparar a massa de 1kg de algum produto com a massa de 10 pacotes
de 100g do mesmo ou de outro produto.
• Identificar objetos que pesam alguns gramas (clips, grampos, agulhas, etc).
• Identificar objetos que pesam alguns miligramas (selos e gotas).
• Levar para sala de aula água, copos de 200ml e jarra de 1l. Fazer a
verificação da equivalência entre 5 copos e uma litro.
• Usar copinhos ou colheres para medir remédio (10ml) e tampa de caneta
esferográfica comum (1ml) para a percepção de unidades para medir
pequenas quantidades.
3.2.3 D9 – Estabelecer relações entre unidades de medida de tempo
(século, década, ano, mês, quinzena, semana, dia, hora e minuto)
Este descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno
estabelecer relações entre unidades de medida de tempo, realizando conversões
simples, como, por exemplo, horas para minutos e minutos para segundos ou de
ano para meses e de meses para dias.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema
contextualizadas que requeiram do aluno utilizar medidas de tempo encontradas
nos calendários (como milênio, século, década, ano, mês, quinzena, semana, dia)
ou em relógios e quadros de horários (como hora, minuto e segundo).
A seguir comentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005
para avaliar essa habilidade.
Marina fará uma prova no dia 27 de Fevereiro. Hoje é sábado, 12 de Fevereiro.
Quantas semanas Marinas têm para estudar, antes do dia da prova?
(A) 1 semana
(B) 2 semanas
(C) 3 semanas
(D) 4 semanas
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
B
A
17,1
B
34,9
C
24,2
D
21,5
Não
respondeu
2,3
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
30
O quadro com o percentual de respostas às alternativas nos mostra que
34,9% dos estudantes acertaram o item, escolhendo a alternativa “B”. Esses
alunos conseguiram interpretar corretamente e utilizar as comparações e
operações necessárias para a resolução do problema. Observa-se que não era
necessário o uso de estratégias padronizadas de cálculo para resolver o
problema. Os alunos poderiam tê-lo resolvido utilizando processo de contagem,
encontrando o número de dias compreendidos entre o dia 12 e o dia 27,
convertendo em seguida este número em semanas.
Dentre os alunos que responderam incorretamente ao item, podemos supor
que aqueles que escolheram a alternativa “C” (24,2% dos respondentes)
consideraram apenas os dias úteis da semana como momentos de aula e de
estudo, de modo que, ao identificarem que entre 12 e 27 temos 15 dias, dividiram
essa quantidade por 5, encontrando 3 semanas como resposta.
Os alunos que optaram pela alternativa “D” possivelmente se distraíram
durante a leitura do problema, não observando que o prazo considerado se
iniciava a partir do dia 12. Supomos que esses alunos consideraram do dia
primeiro até o dia 27, assim, ao realizarem a divisão de 27 por 7 encontraram um
valor muito próximo de 4 (logo, optaram pela alternativa 4 semanas).
Os que optaram pela alternativa “A”, 17,1% dos alunos provavelmente o
fizeram por não conseguirem interpretar o problema ou simplesmente realizaram
uma escolha aleatória, não se preocupando com a resolução do mesmo.
Para desenvolver essa habilidade, o professor pode organizar atividades a
partir da manipulação de calendários, propondo aos alunos que observem as
divisões existentes entre os dias, as semanas e os meses do ano. O professor
pode criar problemas que envolvam, por exemplo, a quantidade de dias que
faltam para terminar a semana ou descobrir quantas semanas existem em um
determinado mês e continuar o trabalho até envolver os conceitos de ano,
década, século e milênio, utilizando também para essas comparações, situaçõesproblema encontradas no cotidiano dos alunos.
Pode-se desenvolver, também, atividades que envolvam a noção de tempo,
nas quais o aluno, a partir de observações e operações simples, consiga
determinar o intervalo de tempo entre um acontecimento e outro, seja ele em
horas, minutos ou segundos ou em dias, quinzenas, meses etc.
3.2.4 D10 – Estabelecer relações entre o horário de início e término e/ou
o intervalo da duração de um evento ou acontecimento
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema
contextualizadas que requeiram do aluno calcular estimativas do tempo de
duração de, por exemplo, um jogo de futebol, um filme ou uma novela. Devem ser
exploradas as relações entre a hora e partes da hora em relógios e em tabelas de
horários de aulas, recreios, ônibus etc.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
31
O descritor relaciona três informações: início de um acontecimento, o
término e a duração do intervalo de tempo entre eles. Conhecendo-se duas
dessas informações deve-se determinar a terceira. Logo, três tipos de atividades
podem ser propostas para avaliar a habilidade envolvida nesse descritor:
1. Dados o início e o término de um acontecimento, determinar a sua duração;
2. Dados o início e a duração de um acontecimento, determinar o seu término;
3. Dados a duração e o término de um acontecimento, determinar o seu início.
Para desenvolver essas habilidades o professor pode propor atividades
como:
(a) registrar o horário de início e do término das aulas e calcular a duração da
permanência na escola (ou registrar o horário de dormir e de acordar);
(b) explorar relógio analógico e digital, verificando: quantos minutos faltam para
chegar a uma hora exata;
(c) calcular um intervalo de tempo composto de uma parte antes e outra após
certa hora exata;
(d) verificar que, partindo-se de certo horário, por exemplo, 8h10min, o avanço ou
o retrocesso de certo número inteiro de horas resulta em alteração na hora mas
não nos minutos do horário inicial;
(e) identificar o horário em que uma tarefa deve ser iniciada sabendo-se que ela
deve estar pronta em certo horário e conhecendo-se o tempo necessário para sua
realização.
3.2.5 D11 – Ler e interpretar horas em relógios digitais e/ou de
ponteiros
Este descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de leitura e
interpretação de horas em relógios digitais e/ou de ponteiros. Para avaliar esta
habilidade, podem ser propostas situações-problema contextualizadas, que fazem
referência às rotinas vivenciadas pelos alunos, explorando o controle e/ou
marcação do tempo utilizando diferentes tipos de relógios.
A seguir comentamos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005 para
avaliar essa habilidade.
A professora mostrou o seguinte cartaz:
A hora e a data marcada no cartaz são
(A)
(B)
(C)
(D)
2 horas e 4 minutos do dia 10 de abril de 1997.
2 horas e 10 minutos do dia 10 de abril de 1997.
2 horas e 20 minutos do dia 10 de abril de 1997.
2 horas e 30 minutos do dia 10 de abril de 1997.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
32
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
D
A
24,7
B
24,6
C
12,7
D
34,3
Não
respondeu
3,8
O quadro com o percentual de respostas às alternativas mostra-nos que
34,3% dos alunos conseguiram identificar corretamente o horário em um relógio
de ponteiros juntamente com a data especificada no calendário, escolhendo a
alternativa “D”. Destaca-se que a identificação da data não constitui um obstáculo
para os alunos, pois, em todas as alternativas, esta data era a mesma.
Os que escolheram as alternativas “A”, “B” e “C”, que correspondem
respectivamente a 24,7%, 24,6% e 12,7% dos alunos (62% do total de
respondentes), demonstraram dificuldades em fazer a leitura de horas em relógios
de ponteiros. Isso pode estar relacionado à pouca utilização desse tipo de relógio
no cotidiano, uma vez que relógios digitais se fazem presentes em diversos
aparelhos eletrônicos e mesmo naqueles que são portáteis de uso individual.
Para se trabalhar a leitura e interpretação de horários em relógios é
importante que o professor utilize materiais concretos, levando para sala de aula
diferentes tipos de relógios (digitais e/ou de ponteiros) e propor atividades
diferenciadas para a visualização do horário em questão. Assim, pode-se propor
aos alunos:
• Criar uma tabela com horários mostrando as atividades que os alunos
realizam durante o dia, ou criar uma tabela mostrando como gostariam de
passar um dia muito legal. Depois disso, identificar no relógio, tanto no
digital como no de ponteiros, os horários em que as atividades ocorrerão.
• Desenhar relógios de ponteiros (sem os ponteiros), para que marquem
momentos específicos da aula, registrando o seu momento de início e o
momento de término (inserindo os ponteiros nos desenhos). Assim,
poderão fazer a leitura das horas e perceber a duração das atividades
realizadas.
As atividades sugeridas acima também podem ser desenvolvidas utilizando
relógios digitais.
Gostaríamos de ressaltar uma particularidade do sistema de medida de
tempo, que difere dos demais sistemas de medidas (comprimento, massa,
capacidade etc.). Nesse sistema não utilizamos a base 10. Assim, o professor
deve organizar as atividades de modo que os alunos construam a representação
desse sistema de medida. Outro aspecto que devemos ter cuidado é com o
registro das horas, de modo que todos possam representar, por exemplo, cinco
horas e 27 minutos por 5h27min e não 5,27h, pois, como dissemos, esta última
forma de representação refere-se ao sistema decimal e o tempo não obedece a
esse sistema.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
33
3.2.6 D12 – Estabelecer trocas de cédulas por moedas do sistema
monetário brasileiro, ou vice-versa, em função de seus valores
Este descritor tem a finalidade de avaliar a habilidade de o aluno
estabelecer trocas de cédulas por moedas do sistema monetário brasileiro, ou
vice-versa, em função de seus valores, podendo também avaliar a habilidade de
realizar a troca de uma ou mais cédulas por outras cédulas menores ou a troca de
uma moeda por moedas de valores menores, considerando-se os seus valores.
O desenvolvimento dessa habilidade traz ao aluno a noção de convenção
de valores que é atribuída a certos objetos. Como exemplo, a compreensão de
que uma nota de dez reais equivale a duas notas de cinco, ou a cinco notas de
dois reais, ou ainda a 10 notas de um real. Essa diferença entre a quantidade de
cédulas é devido a uma convenção e à relação entre os valores de uma com os
de outra sendo estabelecida pelas operações matemáticas. Nesse processo,
deve-se explorar as vantagens e desvantagens de se realizar essas trocas.
A seguir comentamos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005 para
avaliar essa habilidade.
Ângela vai pagar a conta da farmácia que é de R$17,00 em moedas de R$0,25. O
número de moedas que corresponde a esse valor é
(A)
(B)
(C)
(D)
45
55
68
78
Percentual de respostas às alternativas
Não
GABAR
A
B
C
D
responde
ITO
u
C
36,5 21,0 19,0 19,5
4,1
Podemos observar que 19,0% dos alunos conseguiram interpretar e
realizar a operação necessária para encontrar a solução do problema: divisão de
um número natural por um número racional na forma decimal. Esse procedimento
resulta no valor expresso na alternativa “C”. Porém, considerando que o uso do
sistema monetário se faz presente em vários momentos de nossa vida, seja no
contexto do comércio, das relações trabalhistas ou no pagamento de serviços,
outras estratégias podem ser utilizadas para resolver o problema. Podemos citar,
dentre outras, a seguinte estratégia: observando que R$ 1,00 equivale a 4
moedas de R$ 0,25 centavos, o aluno poderia multiplicar 17 x 4, encontrando a
quantidade de moedas que representa a equivalência entre esses valores.
Podemos supor que os alunos que optaram pela alternativa “D” (19,5% dos
respondentes) também demonstraram a compreensão do processo de resolução
do problema, mas ao efetuarem a divisão, não conseguiram fazê-la com êxito, em
função da manipulação incorreta dos números no momento de resolução da
operação.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
34
Os alunos que escolheram as alternativas “A” e “B”, possivelmente não
conseguiram interpretar corretamente o problema ou tiveram dificuldades em
efetuar a operação correta para a resolução do mesmo. Destacamos que esses
alunos representam 57,5% dos respondentes.
Para o desenvolvimento dessa habilidade, o professor poderá utilizar
diversas atividades em sala de aula. Por exemplo, por meio de representações de
supermercado, livraria, sorveteria etc., os alunos podem dramatizar situações de
compras e de vendas. Outra estratégia é a solicitação de orçamentos,
considerando-se uma determinada quantia em dinheiro, distribuída em cédulas
com determinados valores; dessa forma, eles deverão indicar a quantidade de
materiais que podem comprar e quais cédulas eles utilizariam para o pagamento.
O importante é que o professor possibilite a construção dessa competência de
forma natural, pois isso faz parte do cotidiano de qualquer cidadão.
Apresentamos, a seguir, outras sugestões de atividades para favorecer o
desenvolvimento das habilidades relacionadas a esse descritor:
(1) apresentar situações em que os alunos manipulem valores (imitação de
dinheiro) refletindo sobre os procedimentos que fazem, de forma a possibilitar a
compreensão de quais podem ser as operações envolvidas;
(2) levar para a sala de aula folhetos de propaganda de produtos de
supermercado ou de móveis e de eletrodomésticos para simular situações reais
de compra, venda, troco, exercício de escolha de objetos para compra,
obedecendo a limites e critérios para os valores envolvidos.
3.2.7 D13 – Resolver problema envolvendo o cálculo do perímetro de
figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de resolver problema
envolvendo o cálculo do perímetro (soma das medidas dos lados) de figuras
planas, desenhadas em malhas quadriculadas.
O trabalho com esse descritor pode ser realizado por meio de desenhos
feitos pelos alunos em malhas quadriculadas, fazendo com que se sintam
motivados a contar a quantidade de espaços que foram contornados. Pode ser
trabalhado também a partir de situações problemas como:
• Enfeitar o contorno de uma figura desenhada em uma malha quadriculada
com pedacinhos de papel, fitas ou barbantes, sendo que todos os
pedacinhos destes materiais possuem o mesmo tamanho de cada espaço
da malha, para saber quantos pedaços serão utilizados para a confecção
do enfeite;
• Identificar quantos quadradinhos de uma malha quadriculada serão
utilizados para formar o contorno do desenho já estabelecido nela.
• Fazer uso do geoplano, que consiste em uma prancha de madeira (ou de
outro material) na qual são fixados pequenos pregos (ou pinos), formando
um reticulado. A distância entre esses pregos devem ser a mesma, tanto
entre as linhas como entre as colunas. Para criar as figuras, pode-se
utilizar elásticos como os que são utilizados para separar dinheiro. A
imagem a seguir, ilustra figuras construídas em um geoplano:
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
35
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Para
encontrar o perímetro de cada
figura, o aluno deverá contar o
número de segmentos que
ligam os pontos de cada uma delas. Observa-se que as três figuras têm o
mesmo perímetro de 14 unidades. É importante que o professor estimule
os alunos a criarem diversas figuras e observar que, mesmo tendo formas
diferentes, algumas poderão possuir o mesmo perímetro.
O trabalho com a malha quadriculada é importante para que o aluno
perceba a diferença entre perímetro e área, mas é importante que o aluno
observe conceitos e aos poucos consiga absorver e transferir esse conhecimento
para figuras mais complexas sem a necessidade da utilização da malha
quadriculada.
3.2.8 D14 – Resolver problema envolvendo o cálculo ou estimativa de
áreas de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno resolver
problema envolvendo o cálculo ou estimativa de áreas de figuras planas,
desenhadas em malhas quadriculadas.
Essa habilidade também é avaliada por meio de situações-problema
contextualizadas que requeiram do aluno comparar a unidade estabelecida na
malha com a figura plana apresentada, para então poder calcular ou estimar o
valor de sua área. As figuras podem conter apenas quadradinhos completos ou
utilizar quadradinhos completos e quadradinhos divididos ao meio, de modo que o
aluno tenha que perceber que a junção de dois quadradinhos repartidos ao meio
equivale a um inteiro para encontrar a área total da figura que está sendo
considerada.
A seguir comentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005
para avaliar essa habilidade.
A área da casa representada pela planta abaixo é
→ 1 m2
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
(A)
(B)
(C)
(D)
36
77 m2
59 m2
44 m2
35 m2
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
B
A
25,7
B
25,5
C
21,5
D
21,5
Não
respondeu
5,8
Para se encontrar a resposta correta podem ser utilizadas várias maneiras,
como, por exemplo, fazer a contagem direta do número de quadradinhos que
correspondem à área da casa, fazer o cálculo da área de cada parte da casa e
em seguida fazer a soma de todas elas ou, ainda, dividir a casa em dois
quadriláteros para que se encontre a área de cada um deles para depois somálas. Enfim, há diversas maneiras de obtermos a resposta para esse problema.
O resultado nos sugere que 25,5% dos alunos desenvolveram a habilidade
de encontrar a área de uma figura desenhada em malha quadriculada,
escolhendo a alternativa “B”.
A análise dos erros cometidos pelos alunos na resolução desse problema
nos leva a algumas hipóteses. Em relação aos que escolheram a alternativa “A”
(25,7% dos respondentes), possivelmente buscaram uma definição formal para o
cálculo de área, realizando o produto das dimensões (largura x comprimento),
porém não consideraram que a planta da casa não era um retângulo, mas a
composição de várias figuras. Os alunos que escolheram a alternativa “C” (21,5%
dos respondentes) encontraram a área de apenas uma parte da planta da casa,
não considerando a parte da cozinha. Os alunos que escolheram a alternativa “D”
(21,5%) confundiram o conceito de área com o de perímetro, realizando a
contagem do número de segmentos que constituem o contorno da planta da casa
apresentada.
Para desenvolver a habilidade descrita nesse descritor, é importante que o
aluno possa construir figuras que representem diversos objetos e/ou espaços
(casas, quadras de esporte, jardins etc.) em malhas quadriculadas e/ou no
geoplano.
A utilização de plantas desenhadas nessas malhas facilita a visualização,
possibilitando a proposição de situações nas quais os alunos possam descobrir o
valor da área de cada parte da casa e da casa como um todo.
Também pode-se propor para os alunos situações-problema como azulejar
partes da casa e identificar a área a ser ocupada por esses azulejos em cada
espaço, além de descobrir a quantidade de azulejos necessária para revestir cada
um deles.
Outra atividade que pode ser desenvolvida é o trabalho com mosaicos,
utilizando peças de cores diferentes a fim de se verificar qual a área representada
por cada cor. Essa atividade, além de favorecer o desenvolvimento da habilidade
em questão, também favorece o desenvolvimento do senso estético e artístico,
pois envolve a composição de figuras e revestimentos que podem servir para
decorar espaços e produzir peças de artesanato.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
37
3.3 TEMA III – Números E Operações
Esse é o tema de maior prioridade para a avaliação do SAVEAL, pois
descreve um conjunto de competências que são fundamentais para o
desenvolvimento em todas as áreas da matemática.
Na 4ª série de Ensino do Fundamental, a matriz aborda competências
relacionadas a resolução de situações-problema que envolvam (1) contagem,
medidas, e significados das operações utilizando estratégias pessoais de
resolução e selecionando procedimentos de cálculo; (2) leitura e escrita de
números naturais e racionais; (3) ordenação de números naturais e racionais na
forma decimal, pela interpretação do valor posicional de cada uma das ordens; (4)
realização de cálculos, por escrito, envolvendo números naturais e racionais
(apenas na representação decimal) e noções de porcentagem (25%, 50% e
100%); (5) comprovação dos resultados por meio de estratégias de verificação.
A seguir, apresentaremos os descritores que fazem parte desse tema e,
em alguns casos, comentaremos itens que compuseram o teste aplicado pelo
Saveal em 2005.
3.3.1 D15 – Reconhecer e utilizar características do sistema de
numeração decimal, tais como agrupamentos e trocas na base 10 e
princípio do valor posicional
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de reconhecer e
utilizar características do sistema de numeração decimal, tais como
agrupamentos e trocas na base 10 e princípio do valor posicional.
Para desenvolver essa habilidade, o aluno deve ser capaz de diferenciar o
conceito de valor absoluto do conceito de valor relativo de um algarismo; em
seguida, ele deverá ser capaz de compreender que qualquer dos algarismos do
sistema de numeração de base 10, em posições distintas em um mesmo número,
possui valores diferentes. E, a partir da construção desses conhecimentos, o
aluno poderá desenvolver a habilidades de separar os algarismos de um número
com seus respectivos valores relativos e juntá-los novamente para consolidar o
entendimento do sistema decimal de numeração.
É importante que o aluno também compreenda que o sistema de
numeração decimal é composto por classes de números e que cada classe reúne
três ordens. A união das três primeiras ordens – unidades simples, dezenas e
centenas – forma a primeira classe, das unidades simples. A união das três
próximas ordens – unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar –
forma a classe dos milhares, e assim sucessivamente.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
38
3.3.2 D16 – Identificar a localização de números naturais na reta
numérica
Esse descritor descreve a habilidade do aluno em perceber a necessidade
de representação, em intervalos iguais, dos números naturais em uma reta como
uma representação geométrica e como um conjunto ordenado de elementos,
desenvolvendo o conceito de seqüência crescente, partindo de um primeiro
elemento e indo para o infinito.
Essa habilidade é avaliada por meio de problemas contextualizados em
que se requer que o aluno complete na reta numérica a seqüência correta dos
números apresentados.
3.3.3 D17 – Reconhecer a decomposição de números naturais nas
suas diversas ordens
Esse descritor tem por finalidade avaliar as habilidades de reconhecer a
decomposição de números naturais em suas diversas ordens. Dessa forma, as
situações-problema propostas podem contemplar:
(a) a decomposição dos números nas diversas ordens – por exemplo, solicitar aos
alunos que façam a decomposição do número 7.056. Essa decomposição
poderá ser realizada de maneiras diferentes, de acordo com os objetivos que
se quer avaliar, de forma que podemos representá-la por: 7 unidades de
milhar, 5 dezenas e 6 unidades simples; 7.000 + 50 + 6 ou ainda, 7 x 1000 + 5
x 10 + 6.
(b) a composição de números conhecidas as suas ordens – por exemplo, solicitar
aos alunos que escrevam o número representado pela decomposição 5 x
1000 + 3 x 100 + 8 x 10 + 1.
(c) comparação entre números, colocando-os em ordem crescente ou
decrescente a partir das ordens e classes que há em cada um deles – por
exemplo, apresentar aos alunos números decompostos e solicitar alunos que
os coloquem em ordem crescente. Assim, poder-se-ia apresentar os números:
8 X 100 + 5; 8 centenas, 4 dezenas e 7 unidades e, 800 + 40 + 9 e pedir para
que os colocassem em ordem crescente.
A seguir comentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005 para
avaliar a habilidade descrita nesse descritor. Ele refere-se ao tipo de situação
ilustrada acima, no item (b).
O número composto de 1 unidade de milhar e uma centena é
(A)
(B)
(C)
(D)
1 010
1 001
110
1 100
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
D
A
17,5
B
20,2
C
28,9
D
29,4
Não
respondeu
4,0
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
39
O quadro com o percentual de respostas às alternativas nos mostra que
apenas 29,4% dos alunos acertaram o item, identificando que 1 unidade de milhar
e uma centena corresponde a 1100 (alternativa “D”). Considerando que o nosso
sistema de numeração usa a base dez (ou seja, é decimal) e que será utilizado
para realizar as diversas operações matemáticas, devemos estimular os alunos,
promovendo uma diversidade de situações em sala de aula, para que
compreendam esse sistema e possam utilizá-lo com plena consciência.
Destacamos que 66,6% dos respondentes escolheram alternativas que
apresentavam representações incorretas para o valor 1 unidade de milhar e uma
centena. Isso pode estar relacionado ao fato de que esse número não contém
valores nas ordens das dezenas e das unidades, devendo o aluno saber
representá-las utilizando o zero. Em outras situações, o aluno também deverá
fazer representações intercalando zeros entre as diversas ordens.
Para o desenvolvimento das habilidades envolvidas neste descritor,
recomenda-se utilizar situações contextualizadas para que os alunos possam
perceber o uso de termos como unidade, dezena, centena etc. em situações do
cotidiano, pois é comum, por exemplo, em feiras livres, comprar frutas e verduras
por unidades, bem como comprar alguns produtos em centenas (muitas vezes as
pessoas usam expressões como “comprei um cento de milho” ou “encomendei
um cento de salgadinhos para a festa”). O uso destas situações pode favorecer a
compreensão do sistema decimal e das formas de expressar os números
utilizando as diversas ordens e classes desse sistema.
3.3.4 D18 – Calcular o resultado de uma adição ou subtração de
números naturais
As habilidades que podem ser avaliadas relacionam-se à resolução, pelo
aluno, de operações de adição e subtração com números naturais de mesma
ordem ou de ordens diferentes, variando a quantidade de ordens, intercalando
zeros e com zeros finais, usando estratégias pessoais e técnicas operatórias
convencionais, com compreensão dos processos nelas envolvidos.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações em que se requer que
o aluno simplesmente efetue operações de adição e subtração com números
naturais. A contextualização apenas ilustra as operações, não se constituindo em
problemas para serem interpretados pelos alunos.
Nessas situações, dentre os erros mais freqüentes, destaca-se o não
estabelecimento da correspondência entre as unidades das diversas ordens no
registro da técnica operatória. É provável que esse tipo de erro ocorra devido à
não compreensão das regras do sistema de numeração. É comum, infelizmente,
encontrarmos alunos que ao serem solicitados que resolvam uma operação de
adição entre os números 873 e 62, não saibam fazê-lo, pois não compreenderam
que na técnica operatória devemos registrar esses números fazendo a
correspondência entre unidades, dezenas e centenas. A colocação desses
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
40
valores em posições diferentes produz resultados incorretos. A escrita
decomposta dos números é um dos recursos que pode auxiliar na compreensão
da escrita posicional.
Percebe-se também que o educando opera com os dígitos e não com os
números, apresentando dificuldade em compreender a estratégia do
“agrupamento e transporte” na adição ou do “recurso” na subtração. Isso também
pode levar a subtrair o dígito menor do maior, em cada uma das ordens,
desconsiderando a relação entre o primeiro e o segundo termo da subtração.
Neste caso, a leitura dos números pode favorecer a reflexão, evidenciar o
equívoco e auxiliar a busca de outra solução, assim como a verificação do
resultado por meio do cálculo mental ou da calculadora. Pode-se também recorrer
a materiais auxiliares, tais como material dourado, ábaco, quadro valor de lugar,
dentre outros, para ilustrar as etapas da técnica.
3.3.5 D19 – Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de
números naturais
As habilidades que podem ser avaliadas por meio desse descritor referemse à realização pelos alunos, dos mais diferentes tipos de cálculos de
multiplicação ou divisão, ou seja, multiplicar ou dividir números de quatro ou mais
algarismos com números de um, dois ou três algarismos, com a presença de
zeros, em cada ordem separadamente.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações em que se requer que o
aluno simplesmente calcule o resultado de operações de multiplicação ou divisão
(exatas ou inexatas).
A seguir, apresentamos um item do teste do Saveal aplicado em 2005 que
avaliou uma habilidade relacionada a esse descritor.
O resultado de 18 x 7 é
(A)
(B)
(C)
(D)
104
106
116
126
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
D
A
22,1
B
16,2
C
16,8
D
41,0
Não
respondeu
3,9
Apesar de ser uma habilidade que os alunos deveriam ter desenvolvido
até o final da 4ª série, apenas 41% dos alunos marcaram a alternativa correta "D".
A respeito dos 55,1% de alunos que não acertaram, podemos inferir que
utilizaram procedimentos incorretos para assinalar alternativas que são
distratores, tais como:
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
•
•
41
Os alunos que marcaram as alternativas "A" e “B” (38,3%), possivelmente
fizeram uma escolha aleatória sem realizar nenhum procedimento de
cálculo.
Os alunos que marcaram a alternativa "C" (16,8%) possivelmente iniciaram
o cálculo da forma certa, multiplicando 7 por 8, encontrando 56, registrando
o 6 corretamente na “casa” das unidades. Porém, cometeram um erro no
momento após multiplicar o 7 pelo 1, fazendo a soma errada entre o
resultado dessa operação e a soma com as 5 dezenas que haviam sido
transportadas para serem adicionadas ao produto das dezenas,
registrando 11 ao invés de 12.
Para calcular corretamente uma multiplicação ou uma divisão, é importante
que o aluno não só memorize passos que deve seguir, agindo mecanicamente,
mas compreenda a finalidade dessas operações e possa encontrar
procedimentos para chegar aos resultados. Isso dará aos alunos um certo
controle sobre o que devem fazer e a possibilidade de analisarem o resultado,
tendo meios para checar se está correto.
Para atender as necessidades dos alunos, o estudo do cálculo não deve se
restringir apenas à aprendizagem das técnicas operatórias, mas sim orientar-se
no sentido de possibilitar a análise de diferentes formas de calcular, favorecendo
o desenvolvimento de estratégias de pensamento e o reconhecimento da
importância de se comprovarem os resultados. Nessa perspectiva, aprendizagem
do cálculo mental exato ou aproximado e do cálculo escrito se revestem de igual
importância.
Para desenvolver essas habilidades o professor pode propor as seguintes
atividades:
• Trabalhar estratégias para cálculo mental usando, na multiplicação,
aproximação e compensação:
7 x 18 → aproximar para
7 x 20 = 140
compensar retirando 7 x 2 =
14
140 - 14 = 126
7 x 18 = 7 x 10 = 70
+ 7 x 8 = 56
126
• Trabalhar multiplicação por decomposição (7 x 18)
18
7x
→
7 x 18 =
10 + 8
7x →
70 + 56
18
7x
= 126
7 x 9 = 63
7 x 9 = 63 +
126
Produtos ou divisões parciais incorretas, devido à falta de domínio dos
fatos fundamentais, é um tipo de erro freqüente no cálculo de multiplicações e
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
42
divisões. O cálculo mental aproximado e as estimativas, na medida em permitem
a verificação dos resultados, podem evidenciar os erros para os alunos. Em todos
os casos, é importante que os alunos superem o uso puramente mecanizado das
técnicas operatórias, apoiando-se na análise do processo e na avaliação e
adequação dos resultados.
3.3.6 D20 – Resolver problema com números naturais, envolvendo
diferentes significados da adição ou subtração: juntar, retirar,
completar e comparar
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de resolver problema
com números naturais, envolvendo diferentes significados da adição ou
subtração, que remetem a ações de: juntar, ou seja, situações associadas à idéia
de combinar dois estados para obter um terceiro; de alterar um estado inicial, ou
seja, situações ligadas à idéia de transformação, que pode ser positiva ou
negativa; de comparar, ou seja, situações ligadas à idéia de comparação; operar
com mais de uma transformação, ou seja, situações que supõem a compreensão
de mais de uma transformação (positiva ou negativa).
A seguir apresentaremos dois itens do teste aplicado pelo Saveal em 2005
que para avaliar habilidades relativas a este descritor.
A diferença entre dois números é 628. O menor deles é 2.236. O outro número é
(A) 1.608
(B) 1.618
(C) 2.608
(D) 2.864
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
D
A
29,7
B
16,6
C
21,8
D
28,3
Não
respondeu
3,6
Os percentuais de respostas dados às alternativas “A”, “B” e “C”, que
representam as respostas de 68,1% dos alunos, indicam que eles ainda não
conseguiram desenvolver a habilidade para resolver problemas que exijam a
interpretação da situação apresentada para decidir qual a operação que deverão
utilizar: se adição ou subtração.
Em parte, essa dificuldade pode estar associada ao uso de palavras-chave
no contexto da sala de aula. O professor, preocupado em ajudar seus alunos a
entender o enunciado do problema, lança mão de uma palavra do enunciado que
acredita ser a chave para a interpretação do mesmo. Dessa forma, indica que a
presença das palavras “diferença”, “doação”, “perda”, “venda” etc se referem a
situações que envolvem subtrações. Porém, o enunciado pode apresentar certa
ambigüidade lingüística e, conseqüentemente, induzir o aluno ao erro. Foi isso
que provavelmente aconteceu com os alunos que assinalaram as alternativas
consideradas acima. A palavra “diferença” no enunciado levou os alunos a
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
43
realizarem uma subtração entre os valores apresentados, porém, a interpretação
correta do problema exige que se realize uma adição.
Destaca-se que os alunos que escolheram a alternativa “A”, apesar de
demonstrarem dificuldades para resolver situações-problema, conseguem realizar
uma operação de subtração em que se exige o uso de recurso e na qual os
valores apresentados não têm o mesmo número de ordem. Quanto aos alunos
que escolheram as alternativas “B” e “C”, podemos supor que têm a compreensão
do processo da subtração, porém ainda não conseguem utilizar adequadamente a
estratégia do “recurso” para realizar essa operação.
Os dados nos mostram que apenas 28,3% dos alunos escolheram a
alternativa correta (“D”), interpretando e realizando corretamente a adição
solicitada no problema. Isto é um fato preocupante, pois nesta etapa do processo
de escolarização, os alunos já deveriam demonstrar o desenvolvimento de
habilidades para resolver problemas envolvendo os diferentes significados da
adição e da subtração.
O circo chegou na cidade e a fila se formou para os primeiros espetáculos da
noite. Já entraram 540 pessoas e ainda há na fila 932 pessoas. Quantas pessoas
não conseguirão assistir ao primeiro espetáculo, se o circo só tem 1200 lugares?
(A)
(B)
(C)
(D)
268
272
1472
2 672
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
B
21,5
26,5
29,8
18,8
Não
respondeu
3,4
Nesse problema os alunos também demonstraram dificuldades quanto à
compreensão do que estava sendo solicitado.
Destaca-se que apenas 26,5% dos alunos escolheram a alternativa “B”,
que representa a resposta correta do problema. Quanto aos que escolheram a
alternativa “A”, também podemos inferir que conseguiram interpretar corretamente
a situação apresentada, porém manipularam incorretamente os números durante
a execução da operação de subtração cometendo, assim, erros na resolução.
Quanto aos que escolheram as alternativas “C” (29,8%) e “D” (18,8%),
podemos supor que não compreenderam a situação apresentada realizando uma
soma entre os valores, ao invés de uma subtração como era exigido para a
solução do problema. Os que optaram pela alternativa “C”, somaram o número de
pessoas que já haviam entrado no circo com aquelas que ainda estavam na fila, e
os que assinalaram a alternativa “D” realizaram a soma de todos os valores
apresentados no problema.
Para desenvolver a habilidade de resolver problemas com números
naturais, envolvendo diferentes significados da adição ou subtração, o professor
deve apresentar aos alunos uma diversidade de situações que envolvam esses
significados.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
44
Essas situações devem trabalhar com as idéias de1:
Mudança - quando em um problema a situação inicial será alterada,
trabalha-se com a idéia de mudança (transformação) que pode ser tanto a
positiva quanto a negativa.
a) Maria tinha R$ 50,00 e ganhou R$ 26, 00 de presente. Qual a quantia
que ela tem agora?
Neste caso, será feita uma adição, ocorrendo uma mudança positiva, pois
Maria tinha determinada quantia e ficou com uma quantia maior ao final.
b) Cláudio tinha alguma quantia guardada no cofrinho. Ganhou R$ 35,00
de seu avô e ficou com R$ 67,00. Quanto tinha no cofrinho?
Neste caso ganhei e fiquei levam à idéia de mudança positiva (adição),
mas para solucioná-lo será feita uma subtração para saber qual era a
quantia inicial.
c) Tinha uma quantia guardada no cofrinho. Gastei R$ 15,00 e ainda tenho
R$ 27,00. Quanto eu tinha no cofrinho?
Gastei leva à idéia de mudança negativa (subtração), mas será feita uma
adição para saber-se quanto havia no cofrinho inicialmente.
d) José tinha várias figurinhas. Durante um jogo ele perdeu 40 figurinhas e
ganhou 15. O que aconteceu com as figurinhas de José no final do jogo?
Perdeu e ganhou levam à idéia de mais de uma transformação. No mesmo
enunciado temos a idéia de duas operações, mas a pergunta nos remete à
subtração, pois ele ficou com 25 figurinhas a menos.
Combinação - trabalha-se com a idéia de juntar quantidades; estaremos
combinando duas situações para obter uma terceira.
a) Em um auditório há 25 homens e 32 mulheres. Quantas pessoas há ao
todo no auditório?
b)Em uma caixa há 14 livros de Matemática e 21 de Português. Quantos
livros há ao todo?
Ao todo remete à idéia de adição, pois nesse caso junta as quantidades.
Mas, partindo-se dessa mesma situação, pode-se trabalhar com a idéia
subtrativa, separar, tirar.
c) Em uma caixa há ao todo 35 livros, sendo que 14 são de Matemática.
Quantos livros são de Português?
d) Em um auditório há um total de 57 pessoas das quais 32 são mulheres.
Quantos são homens?
Ao todo dá a idéia aditiva, mas será feita uma subtração para separar ou
tirar os livros de Português e as mulheres.
Comparação -quando em um problema está possibilitando a comparação
entre duas situações:
a) Lucas tem 15 anos e Juca tem 8 anos a mais que Lucas. Quantos anos
tem Juca?
A mais remete à idéia da adição, uma comparação positiva e para calcular
a idade de Juca será feita uma adição. Mas se mudar o enunciado,
1
As orientações apresentadas para trabalhar os diversos significados da adição e subtração foram retiradas
da obra: Carvalho, M. Problemas? Mas que problemas?! Estratégias de resolução de problemas
matemáticos em sala de aula. Petrópolis, RJ: Editora Vozes, 2005, p. 25-27.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
45
b) Lucas tem 15 anos e Juca tem 23 anos. Quantos anos Juca tem a mais
que Lucas?
Neste caso a mais remete à idéia de comparação negativa e terá que ser
feita uma subtração para calcular-se a diferença de idade entre Lucas e
Juca.
Igualamento -quando em um problema há comparação entre duas
situações e uma delas sofre alteração para se igualar à outra. Pode ser
tanto negativa quanto positiva.
a) Joana leu 18 páginas de um livro. Maria leu 23. Quantas páginas Joana
deve ler para igualar a Maria?
b) Carol guardou R$ 6, 00. Camila guardou R$ 9, 00. Quanto Carol deve
economizar para ficar com a mesma quantia de Camila?
Com certeza, não há necessidade de o professor ensinar aos seus alunos
essa classificação, muito menos hierarquizar as idéias das operações matemáti­
cas. Mas é importante o professor saber classificar os problemas com os quais
está trabalhando para que possa propor diferentes situações aos seus alunos.
3.3.7 D21 – Resolver problema com números naturais, envolvendo
diferentes
significados
da
multiplicação ou divisão:
multiplicação comparativa, idéia de proporcionalidade,
configuração retangular e combinatória
Por meio desse descritor podem ser avaliadas habilidades que se referem
à resolução, pelo aluno, de problemas que envolvam operações de multiplicação
e divisão, relacionadas a situações associadas à multiplicação comparativa;
associadas à comparação entre razões, isto é, envolvendo a idéia de
proporcionalidade; associadas à configuração retangular e associadas à idéia de
análise combinatória.
Essas habilidades são avaliadas por meio de situações-problema
contextualizadas, nas quais são exigidas as habilidades descritas no descritor.
A seguir comentaremos 3 itens do teste aplicado pelo Saveal em 2005 para
avaliar habilidades relacionadas a esse descritor.
Juca tem 4 calções de cores diferentes: verde, vermelho, azul e amarelo e 3
camisetas também de cores diferentes: branca, bege e marrom. De quantas
maneiras diferentes Juca pode se vestir?
(A)
3
(B)
4
(C)
7
(D) 12
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
D
A
23,4
B
19,6
C
36,4
D
17,5
Não
respondeu
3,1
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
46
Esse problema refere-se a uma situação de combinatória, na qual deve-se
compor diferentes formas de usar calções e camisetas, possibilitando ao
personagem do problema vestir-se de formas diferentes. É importante destacar
que problemas que envolvem combinações normalmente se apresentam como
complexos, pois exemplos dessa natureza não têm sido trabalhados em sala de
aula, ainda que estejam presentes em várias situações do cotidiano.
A análise das respostas às alternativas do problema nos mostra que a
maioria dos alunos tem dificuldades na resolução de problemas dessa natureza,
ou não se preocuparam em interpretar o enunciado, escolhendo aleatoriamente
uma alternativa como resposta. Os que assinalaram as alternativas “A” e “B”, que
representam respectivamente 23,4% e 19,6% dos alunos, provavelmente fizeram
suas escolhas em função dos valores apresentados nessas alternativas fazerem
parte do enunciado. Quanto aos que escolheram a alternativa “C” (36,4%)
simplesmente procederam a soma entre os valores apresentados no enunciado.
A alternativa “D”, que é a resposta correta, foi que a teve o menor
percentual de escolha (17,5%). Após a apresentação do próximo item, algumas
considerações serão feitas para ilustrar situações que podem ser desenvolvidas
em sala de aula para favorecer o desenvolvimento da compreensão das
combinações possíveis entre elementos, conforme solicitado neste problema.
O pintor está diluindo uma tinta e segundo as indicações do fabricante, para cada
litro de tinta ele precisa colocar 2 litros de água. Como ele tem 3 litros de tinta a
diluir, ele gastará quantos litros de água?
(A) 3
(B) 5
(C) 6
(D) 9
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
C
A
20,2
B
33,1
C
30,6
D
13,0
Não
respondeu
3,0
Esse item envolve a noção de proporcionalidade, que tem sido considerada
como algo bastante complexo, de difícil compreensão e como conseqüência, é
um conteúdo que deve ser trabalhado de forma mais detalhada na 4ª série. O
tratamento dado pela escola a esse tipo de situação geralmente consiste em
desconsiderar estratégias informais para resolução das situações-problema,
remetendo o estudo da proporcionalidade à compreensão da regra de três, que é
uma representação formal muito distante das estratégias informais.
Destaca-se que o conceito de proporcionalidade também está relacionado
a conceitos como os de fração e porcentagem, entre outros. Assim, algumas
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
47
estratégias podem ter sido usadas pelos alunos que escolheram a alternativa “C”,
que é correta, para resolverem o problema. Vejamos algumas delas:
• Os alunos podem ter estabelecido a seguinte relação:
1 lata de tinta → 2 latas de água
2 latas de tinta → 4 latas de água
3 latas de tinta → 6 latas de água
Isto é, para cada lata de tinta que ele acrescentasse, ele deveria somar
duas latas de água.
• Os alunos também poderiam recorrer a representação fracionária para
expressar uma razão, utilizando equivalências entre as frações, assim:
1 lata de tinta
2 latas de tinta
3 latas de tinta
2 latas de água
4 latas de água
6 latas de água
Os alunos que escolheram a alternativa “A” provavelmente o fizeram por
ser um dado presente no enunciado, não se preocupando em buscar a resposta
adequada para o problema. Os que escolheram a alternativa “B” buscaram
estabelecer uma relação entre dados do enunciado, somando 2 + 3 e em seguida
marcaram sua resposta. Os que escolheram a alternativa “D” possivelmente o
fizeram de forma aleatória, pois também não tinham noção de como resolver o
problema proposto.
Num sítio há 3 fileiras com 6 pinheiros em cada uma. Quantos pinheiros há no
total?
(A) 15
(B) 16
(C) 18
(D) 19
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
C
A
19,0
B
14,0
C
46,8
D
16,3
Não
respondeu
3,9
Esse item apresenta uma situação-problema que está associada a uma
configuração retangular, na qual os pinheiros foram dispostos em linhas (fileiras) e
colunas. Este tipo de disposição permite que calculemos o total de árvores
realizando o produto 3 x 6. Assim, os alunos que escolheram a alternativa “C”
(48,8%) acertaram a resposta do problema.
Em relação aos alunos que responderam as alternativas “A” (19,0%), “B”
(14,0%) e D (16,3%), podemos supor que provavelmente não compreenderam o
tipo de situação envolvida no problema, escolhendo aleatoriamente uma dessas
respostas. Destaca-se que o percentual dos que erraram a resposta e que não
responderam ao item totaliza 53,2% dos alunos. Isso é preocupante, pois
situações como esta estão presentes no nosso cotidiano, podendo ser
trabalhadas na própria sala de aula, como, por exemplo, verificando o número
possível de alunos que poderiam estudar naquele espaço quando todas as
carteiras da sala estão dispostas em linhas e colunas.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
48
Para desenvolver a habilidade de resolver problemas com números
naturais, envolvendo diferentes significados da multiplicação e da divisão, o
professor deve apresentar aos alunos uma diversidade de situações que
envolvam esses significados. A seguir, citamos uma parte das orientações de
Mercedes Carvalho para trabalhar com as diferentes idéias que envolvem
operações de multiplicação e divisão2:
Geralmente, quando o professor apresenta a multiplicação para
seus alunos, ele trabalha com a idéia de que a multiplicação é uma forma
mais simples de trabalhar a adição. O que é verdade. Uma das idéias da
multiplicação é a soma consecutiva de parcelas iguais, mas há outras
situações que nos remetem ao raciocínio multiplicativo. Os parâmetros
curriculares de matemática organizam os problemas de multiplicação e
divisão trabalhando com diferentes idéias organizadas em quatro grupos:
Comparação - como nos problemas de adição, também nos problemas
que envolvam a multiplicação há a comparação entre duas situações.
a) Eu tenho R$ 50,00. Meu irmão tem o dobro da minha quantia. Qual
quantia meu irmão tem?
b) Cássia tem 5 bombons e Lucas tem 4 vezes a mais que essa
quantidade. Quantos bombons tem Lucas?
Nos dois problemas estão sendo trabalhadas as idéias comparativas da
multiplicação, mas podem ser variadas para trabalhar a divisão.
c) Quantos ovos são necessários para fazer um bolo se em uma bandeja
há duas dúzias, o dobro da quantidade necessária?
A palavra dobro leva à operação de multiplicação, mas para resolver o
problema usaremos uma divisão.
Comparação entre razões - quando se estabelece a relação entre
parte/todo ou todo/parte estamos trabalhando "situações associadas à
comparação entre razões, que, portanto, envolvem a idéia de
proporcionalidade" (Brasil, 1997, p. 110).
Relação parte/todo.
a) Um chocolate custa R$ 0,50. Quanto gastarei para comprar 7
chocolates ?
b) Preciso de 8m de tecido. Cada metro custa R$ 12,50. Quanto irei
gastar?
Nos exemplos acima, a multiplicação está sendo trabalhada com a idéia de
1 está para R$ 0,50, assim como 7 está para R$ 3,50; 1está para R$ 12,50
assim como 8 está para R$ 100,00.
Relação todo/parte.
a) Paguei R$ 3,50 por 5 chocolates. Quanto custou cada um?
b) Paguei R$ 100, 00 por vários metros de tecido. Se cada metro custa R$
12,50, quantos metros comprei?
Com as mesmas situações e dados se trabalhou a idéia da
proporcionalidade usando a divisão, que pode remeter tanto à idéia de
repartir (igualar) e quantos cabem. Nesses exemplos a divisão está sendo
2
As orientações apresentadas para trabalhar os diversos significados da adição e subtração foram retiradas
da obra: Carvalho, M. Problemas? Mas que problemas?! Estratégias de resolução de problemas
matemáticos em sala de aula. Petrópolis, RJ: Editora Vozes, 2005, p. 27-29.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
49
trabalhada considerando que 7 está para R$ 3,50 assim como 1 está
paraR$ 0,50; 8 está para R$ 100,00 assim como 1 está para R$ 12,50.
Configuração retangular
a) Quantos alunos há ao todo em uma sala organizada em 7 fileiras com 8
alunos em cada ?
b) Quantas cadeiras há na fileira de um auditório com capacidade para 240
pessoas com 12 fileiras?
Quando estamos ensinando tabuada geralmente dizemos que 3 x 2 é igual
a 2 x 3. Com certeza o produto é o mesmo, pois temos de considerar a
propriedade comutativa da multiplicação "a ordem dos fatores não altera o
produto". Mas são situações diferentes.
Combinação - esse é um tipo de problema mais complexo. Os alunos
para resolvê-lo podem montar diagramas, esquemas, até esgotarem todas
as hipóteses para fazer as combinações possíveis com os elementos
apresentados.
a) Uma sorveteria vende sorvete de casquinha. Os sabores são:
chocolate, morango e creme. As coberturas são chocolate e caramelo.
Quantas combinações são possíveis fazer com um sabor de sorvete e
uma cobertura?
b) Carmem tem três saias, preta, azul e branca, e duas blusas, vermelha e
amarela. Quais combinações ela pode fazer?
A escolha da estratégia a ser utilizada dependerá da natureza do
problema e da habilidade do aluno para resolver problemas como os citados.
Em relação à divisão, o aluno deve ser capaz de perceber situações
distintas que podem ser resolvidas, tais como: partilha e medida ou formação de
grupos.
3.3.8 D22 – Identificar diferentes representações de um mesmo
número racional
Para resolver ou representar alguns tipos de situações que encontramos no
nosso cotidiano necessitamos do uso de um tipo de número que serve para
realizarmos medições, tais como a identificação da medida da estatura de uma
pessoa ou a quantidade de energia elétrica consumida por mês em uma casa.
Para essas situações precisamos dos números racionais, que expressam
unidades e/ou partes de uma unidade. Estes números podem ser escritos na
1 1 3
, e
forma fracionária, como 2 4 5 , ou, respectivamente, na forma decimal como 0,5,
0,25 e 0,6. Lembramos que as porcentagens também representam números
racionais, pois quando nos referimos, por exemplo a 25% de um determinado
1
valor, podemos dizer que estamos nos referindo a
do valor, ou ainda, que essa
4
porcentagem corresponde a vinte e cinco centésimos (0,25) do valor considerado.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
50
Considerando que muitas das situações que vivenciamos no dia a dia
demandam o uso de números racionais, este descritor tem por finalidade verificar
em que medida os alunos da 4ª série do Ensino Fundamental conseguem
identificar as diferentes representações que um mesmo número racional pode
apresentar.
A seguir analisaremos dois itens do teste aplicado pelo Saveal em 2005
que têm a finalidade de avaliar essa habilidade.
A fração
1
corresponde a
10
(A) 0,001
(B) 0,01
(C) 0,1
(D) 1,01
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
C
A
14,0
B
15,3
C
26,9
D
39,8
Não
respondeu
4,0
Os percentuais de respostas de cada alternativa nos indica que apenas
1
26,9% dos alunos conseguiram identificar a representação decimal da fração
,
10
escolhendo a alternativa “C”. Uma das formas de resolver este problema é usar o
conceito de número racional, no contexto matemática da 4ª série do Ensino
Fundamental, como resultado da divisão de dois números naturais. Assim, a
1
fração
= 1 ÷ 10 = 0,1.
10
Os erros cometidos em situações como a proposta nesse item, podem
estar relacionados, dentre outros, aos seguintes fatores: falta de domínio do
conceito de número fracionário e de suas possíveis representações, dificuldades
em realizar operações de divisão e pela falha de manejo no conceito de zero.
Esses fatores podem ter contribuído para que 69,1% dos estudantes não
conseguissem chegar ao resultado correto.
Chamamos a atenção para uma prática ensinada nas escolas: comumente
o professor enfatiza que em situações nas quais têm-se que realizar divisões por
10, o aluno deve “caminhar” com a vírgula uma casa para a esquerda, quando
dividi-se por 100, caminha-se com a vírgula duas casas para a esquerda, e assim
por diante. Apesar da praticidade desta forma de ensinar, muitas vezes ela retira
do aluno a compreensão do processo de divisão, de modo que, se ele esquecer
essas “regrinhas”, não conseguirá resolver problemas dessa natureza.
A fração que representa 75% é
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
51
1
4
2
(B)
4
3
(C)
4
4
(D)
4
(A)
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
C
A
13,2
B
17,8
C
31,7
D
28,8
Não
respondeu
8,5
Esse item explora uma outra forma de representar um número racional. Ele
avalia a habilidade do aluno de identificar uma fração que representa um valor
expresso em percentual.
Nesse item, 31,7% dos alunos acertaram a resposta, escolhendo a
alternativa “C”. Para chegar ao resultado correto, os alunos poderiam representar
75
75% como
. A partir daí, buscar determinar a forma irredutível dessa fração,
100
3
isto é, realizar todas as simplificações necessárias até encontrar a fração
que
4
75
é equivalente à
.
100
Esse item foi considerado relativamente fácil, pois os distratores não
possuem forte plausibilidade. Sugerimos observar os comentários que serão
apresentados nos descritores a seguir para realizar atividades com os alunos de
modo a desenvolver habilidades para trabalhar com números racionais
3.3.9
D23 – Identificar a localização de números
representados na forma decimal na reta numérica
racionais
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno identificar
a localização de números racionais positivos, representados na forma decimal, na
reta numérica. Para que o aluno desenvolva essa habilidade, o professor deverá
estimulá-lo para que reconheça algumas características desses números. A
seguir, destacamos duas características apresentadas nos Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática (p. 101):
• se o tamanho da escrita numérica, no caso dos naturais, é um bom indicador
da ordem de grandeza (8345 > 83), a comparação entre 2,3 e 2,125 já não
obedece ao mesmo critério;
• se a seqüência dos números naturais permite estabelecer sucessor e
antecessor, para os racionais isso não faz sentido, uma vez que entre dois
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
52
números racionais quaisquer é sempre possível encontrar outro racional;
assim, o aluno deverá perceber que entre 0,8 e 0,9 estão números como 0,81,
0,815 ou 0,87.
Para essa avaliação, pode-se propor tanto situações em que os números
deverão ser representados diretamente sobre uma reta numérica como também
propor situações-problema nas quais os alunos devam ordenar números racionais
na forma decimal ou identificar o posicionamento de um determinado número
entre números dados.
A seguir apresentamos exemplos das situações acima mencionadas:
1º) Representação sobre uma reta numérica.
Dada a reta numérica abaixo com seus respectivos pontos.
O número 1,5 está associado ao ponto
(A)
(B)
(C)
(D)
K.
L.
M.
N.
2º) Situação-problema contextualizada para ordenar números decimais.
O pediatra, acompanhando o desenvolvimento das crianças,
constantemente a altura delas. Ele registrou os seguintes valores:
Ana
- 1,20.m
Bruna - 1,33 m
César - 1,36 m
Isabela - 1,25 m
Para colocar em ordem crescente as medidas registradas, teremos
(A)
1,20m, 1, 25m, 1, 33m e 1,36m.
(B)
1,36m, 1, 33m, 1, 25m e 1,20m.
(C)
1,20m, 1, 33m, 1, 25m e 1,36m .
(D)
1,36m, 1, 20m, 1, 33m e 1,25m.
mede
3.3.10 D24 – Identificar fração como representação que pode estar
associada a diferentes significados
Identificar vários significados que uma fração pode ter é relevante para a
compreensão de fatos da vida cotidiana e da própria matemática, como, por
exemplo, em medidas (1/2 kg, um quarto de hora), em culinária, escalas de
mapas, probabilidade.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
53
A seguir comentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005
para avaliar esta habilidade.
Marize comeu duas fatias de uma pizza que tem 6 pedaços. Quanto sobrou da
pizza?
1
6
2
(B)
6
3
(C)
6
4
(D)
6
(A)
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
D
A
18,7
B
26,5
C
13,0
D
37,3
Não
respondeu
4,5
Este item pode ser considerado de baixa complexidade, especialmente por
apresentar em todas as alternativas uma fração de denominador 6 e por não
exigir do aluno a busca pela fração irredutível que pudesse representar a solução
do problema.
O quadro com o percentual de respostas nos indica que alguns alunos,
apesar de não terem acertado ao item, sabem representar a fração, porém, não
têm clareza do que está sendo solicitado. Assim, podemos observar de 26,5 dos
alunos escolheram a alternativa “B” que representa a parte da pizza consumida
por Marize, porém, o problema solicitava o contrário, queria saber quanto sobrou
da pizza. Aqueles que escolheram as alternativas “A” (18,7%) e a alternativa “C”
(13,0) possivelmente o fizeram de forma aleatória.
A seguir, constam algumas orientações didáticas retiradas dos
Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (páginas 102 e 103) – que
poderão colaborar no planejamento das atividades que serão desenvolvidas em
sala de aula, de modo a favorecer aos alunos a compreensão dos diferentes
significados que um número racional pode apresentar.
Os racionais assumem diferentes significados nos diversos contextos:
relação parte/todo, divisão (quociente) e razão.
A relação parte/todo se apresenta quando um todo (unidade) se divide
em partes equivalentes. A fração, por exemplo, indica a relação que existe entre
um número de partes e o total de partes, é o caso das tradicionais divisões de
uma figura geométrica em partes iguais com algumas delas pintadas.
Infelizmente, esse recurso didático tem sido praticamente o único usado quando
se quer construir o conceito de número fracionário. Porém, a interpretação da
fração como relação parte/todo supõe que o aluno seja capaz de identificar a
unidade que representa o todo (grandeza contínua ou discreta), compreenda a
inclusão de classes e saiba realizar divisões operando com grandezas discretas
ou contínuas.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
54
Algumas situações-problema que envolvem a representação dos racionais
como uma relação entre parte/todo são apresentadas a seguir.
• Luís comeu metade do bolo e Ana comeu metade do que ele deixou.
Quanto sobrou do bolo?
1
• Para fazer um creme de frutas, foram misturados dois litros de leite,
de
4
1
litro de suco de laranja e de litro de suco de acerola. Qual a quantidade
4
de creme de frutas feito?
• Mamãe dividiu o bolo inteiro em 10 fatias iguais. Depois do lanche, sobrou
meio bolo. Quantas fatias de bolo foram comidas?
Uma outra interpretação do número racional como quociente de um inteiro
a
por outro (a: b = ; b≠0). Para o aluno, ela se diferencia da interpretação anterior,
b
pois dividir uma unidade em 3 partes e tomar 2 dessas partes é uma situação
diferente daquela em que é preciso dividir 2 unidades em 3 partes iguais. No
entanto, nos dois casos, o resultado é representado pelo mesmo número:
2
3
.
Algumas situações-problema que ilustram o significado de número
racional como quociente são apresentadas a seguir.
• Propor que os alunos dividam igualmente 12 doces para 4 crianças e
verifiquem quanto cada um vai receber.
• Propor que os alunos dividam igualmente 5 pães para 10 crianças e
verifiquem que fração do pão dá para cada um
Em cada caso, dar a resposta e explicá-la, sem uso de regras.
Uma interpretação diferente das anteriores é aquela em que o número
racional é usado como um índice comparativo entre duas quantidades, ou seja,
quando é interpretado como razão. Isso ocorre, por exemplo, quando se lida com
situações do tipo: 2 de cada 3 habitantes de uma cidade são imigrantes e se
conclui que
2
3
da população da cidade é de imigrantes. Outro exemplo para
explorar essa forma de representação pode ser realizada considerando um
conjunto de frutas tal que, em cada grupo de 5 frutas, duas sejam, por exemplo,
2
laranjas. Separar as laranjas e verificar que elas representam do total das frutas
5
2
da cesta (a razão entre as laranjas e o total de frutas é igual a ).
5
3.3.11 D25 – Resolver problema com números racionais expressos na
forma decimal envolvendo diferentes significados da adição ou
subtração
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de resolver problema
com números racionais expressos na forma decimal envolvendo diferentes
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
55
significados da adição ou subtração, que já foram citados anteriormente, para os
números naturais.
Essa habilidade é avaliada por meio de problemas contextualizados em
que a adição e subtração são exploradas em situações de transformação, de
combinação e de comparação.
A seguir comentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005
para avaliar essa habilidade.
Para fazer um passeio em Fortaleza pagarei pela passagem 5 parcelas de R$
241,65. A passagem custará
(A)
(B)
(C)
(D)
R$ 1.205,25
R$ 1.208,05
R$ 1.208,25
R$ 1.218,25
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
C
A
23,9
B
22,0
C
26,9
D
22,5
Não
respondeu
4,7
O descritor desse item explicita que o aluno deve demonstrar a capacidade
de resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal
envolvendo diferentes significados da adição ou subtração, porém, para
solucionar o problema, o aluno também poderia fazer uso de outra operação, uma
vez que a situação apresentada, que trata da soma de 5 parcelas de mesmo
valor, também pode ser expressa por meio de uma multiplicação.
Assim, independente da operação escolhida para resolver o problema, as
respostas indicam que os alunos compreenderam o que estava sendo solicitado,
utilizando estratégias válidas para obter a solução, isto é, se de fato tentaram
resolvê-lo, não escolhendo aleatoriamente uma resposta. Todavia, cabe destacar
que os erros cometidos por aqueles que optaram pelas alternativas “A” (23,9%),
“B” (22,0%) e “D” (22,5%) referem-se ao fato de que não utilizaram o
reagrupamento adequadamente, incorrendo em erro. A alternativa “C”, que é a
correta, foi escolhida por 26,9% dos alunos.
Resolver problemas de adição ou de subtração envolvendo números
expressos na forma decimal é uma habilidade solicitada constantemente em
nosso cotidiano, presente em atividades de compras em panificadoras,
supermercados e lojas em geral, bem como para realizar pagamentos de contas e
impostos, como as tarifas de água, energia elétrica e telefone. Dessa forma,
pode-se utilizar essas situações para desenvolver atividades com os alunos,
possibilitando o desenvolvimento da habilidade descrita por este descritor.
Lembramos que os números decimais não se fazem presentes apenas
nas atividades que envolvem dinheiro. Nós encontramos esses números quando
fazemos medições de terrenos, compramos tecidos e medimos nossa estatura,
dentre outras situações do nosso cotidiano. Assim, problemas que envolvem
essas situações também devem ser levados para a sala de aula a fim de que
possam ser explorados possibilitando ao aluno a percepção dos números
racionais na forma decimal nos mais diferentes contextos.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
56
3.3.12 D26 – Resolver problema envolvendo noções de porcentagem
(25%, 50%, 100%)
Por meio desse descritor pode-se avaliar a habilidade de o aluno resolver
problemas utilizando a noção de porcentagem (25%, 50% e 100%).
Ao realizar atividades para desenvolver esta habilidade, faz-se necessário
enfatizar o sentido do símbolo utilizado para indicar porcentagens, pois muitos
alunos, ao lerem um problema, não consideram esse símbolo (%) e tratam o valor
percentual apresentado como um número natural, desconsiderando o seu
significado. É comum encontrarmos situações como esta:
Ao comprar um aparelho de TV que custa R$ 440,00 (quatrocentos e
quarenta reais), Maria foi contemplada com um desconto de 25%, pois resolveu
fazer o pagamento à vista. Quanto Maria pagou pela TV?
Em situações como essa, muitos alunos costumam considerar 25% como
R$ 25,00, indicando que Maria pagaria R$ 415,00 pela TV. Assim, é importante
enfatizar que 25% significa ¼ do valor.
É oportuno considerar aqui os conceitos de desconto e lucro, e explorá-los.
Assim, o professor pode utilizar anúncios de lojas que indicam descontos
promocionais na venda de seus produtos para mostrar aos alunos como descobrir
o valor a ser pago com o desconto.
3.4 TEMA IV – Tratamento da Informação
O tema “Tratamento da Informação” busca avaliar habilidades relativas à
compreensão de informações comunicadas na forma de tabelas e gráficos, tão
presentes no cotidiano dos alunos, podendo ser encontradas freqüentemente em
revistas, jornais e meios televisivos. Assim, a capacidade de fazer a leitura e a
interpretação desses instrumentos de informação possibilita fazer previsões e
tomar decisões quanto a aspectos do nosso cotidiano.
Para a 4ª série do Ensino Fundamental avalia-se a capacidade de leitura e
interpretação de dados apresentados de maneira organizada em tabelas e
gráficos (particularmente em gráficos de colunas).
3.4.1 D27 – Ler informações e dados apresentados em tabelas
Dentre os itens que compuseram o teste do Saveal em 2005 e que avaliam
a habilidade relacionada a esse descritor, isto é, a habilidade de ler informações e
dados em uma tabela, foram selecionados dois itens para análise, destacando
que o primeiro solicita a identificação imediata de uma informação apresentada
em uma tabela, não exigindo o uso de operações matemáticas. O segundo item
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
57
que será apresentado solicita que o aluno encontre o número total de
entrevistados a partir de informações presentes em uma tabela, tornando, assim,
o item mais complexo que o anterior, pois o aluno deverá ler as informações e
realizar cálculos envolvendo-as.
Quatro crianças comparavam as quantias que possuíam no final de um passeio.
Selma
Josué
Vânia
Zélia
R$ 1,77
R$ 2,70
R$ 7,17
R$ 7,70
Quem tem mais dinheiro?
(A) Josué
(B) Selma
(C) Vânia
(D) Zélia
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
D
A
10,9
B
9,0
C
9,2
D
68,9
Não
respondeu
2,0
Os resultados indicam que a maioria dos estudantes, 68,9%, desenvolveu a
habilidade avaliada, escolhendo corretamente a alternativa “D”. Em relação aos
alunos que escolheram as alternativas “A”, “B” e “C”, podemos supor fizeram suas
escolhas de forma aleatória, pois o problema é de baixíssima complexidade, não
exigindo esforços para solucioná-lo.
Os alunos da 4ª série da escola estadual “Estudar e vencer” fizeram uma
pesquisa com os professores dessa escola. A pergunta era a seguinte: qual é o
seu esporte preferido? Só era permitida uma única resposta. Os resultados estão
na tabela.
Esporte
Total
votos
Futebol de campo 15
Vôlei
12
Natação
8
Futebol de salão 5
Handebol
3
Basquete
1
de
Qual foi o número de professores que foram entrevistados?
(A) 15
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
58
(B) 27
(C) 35
(D) 44
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
D
A
51,1
B
13,1
C
10,7
D
21,9
Não
respondeu
3,2
Os resultados nos levam a supor que os alunos não fizeram uma leitura
adequada e cuidadosa do problema, não compreendendo que deveriam somar
todos os valores apresentados na tabela.
È preocupante observar que 51,1% dos estudantes escolheram a
alternativa “A”, que representa o valor expresso na primeira linha da tabela,
indicando que não entenderam o enunciado ou que simplesmente fizeram sua
escolha de forma aleatória.
Os que escolheram as alternativas “B” e “C” optaram por valores que
representavam o somatório parcial do número de professores. Nesses casos,
também podemos supor que escolheram suas respostas de forma aleatória, pois
não deixariam de finalizar as somas exigidas se tivessem consciência do que
estava sendo solicitado.
Todavia, podemos também supor que os estudantes que escolheram as
alternativas com as respostas erradas, de fato, ainda não desenvolveram a
habilidade de buscar informações em uma tabela e manipulá-las de forma correta.
Para desenvolver essas habilidades o professor pode sugerir aos alunos a
elaboração de tabelas sobre a preferência em relação a times de futebol ou em
relação a outro esporte. Pode, ainda, organizar tabelas com dados dos alunos,
incluindo: idade, massa, estatura etc. para que as crianças possam acompanhar o
próprio desenvolvimento durante o ano letivo. Pode também trazer para sala de
aula dados publicados em jornais e solicitar a interpretação deles.
3.4.2 D28 – Ler informações e dados apresentados em gráficos de
colunas
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de ler informações e
dados apresentados em gráficos de colunas, usando para isso, situaçõesproblema contextualizadas.
A seguir comentaremos dois itens do teste aplicado pelo Saveal em 2005
para avaliar essa habilidade.
Ao fazer uma pesquisa escolar sobre as preferências pelos estilos de música, um
grupo de alunos constatou as seguintes informações apresentadas no gráfico
abaixo:
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
59
Podemos concluir que o estilo de música que as pessoas mais gostam é
(A) Axé
(B) Balada
(C) MPB
(D) Rock
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
A
52,0
B
25,7
C
6,7
D
13,4
Não
respondeu
2,2
Nesse item observa-se que 52% dos alunos identificaram o estilo de
música que as pessoas mais gostam, que está expresso na alternativa “A”.
Aqueles que optaram pelas demais alternativas demonstram não terem, de
fato, desenvolvido essa habilidade, pois nenhum tipo de raciocínio parece
justificar essas opções. Todavia, por não terem desenvolvido a habilidade de ler
informações e dados em gráficos de coluna, os alunos podem ter desprezado a
representação gráfica apresentada, buscando expressar o estilo de música que
eles, pessoalmente, mais gostam.
A pesquisa sobre preferências das crianças pelos sabores de sorvete mostra esse
resultado:
100
80
60
Sorvete (sabores)
40
20
0
Coco
Morango Ameixa Abacaxi
Podemos afirmar que
(A) As crianças preferem sorvete de ameixa e abacaxi.
(B) As crianças preferem sorvete de morango e abacaxi.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
60
(C) As crianças preferem sorvete de ameixa e morango.
(D) As crianças preferem sorvete de morango e coco.
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
C
A
17,6
B
15,5
C
37,3
D
25,1
Não
respondeu
4,5
Esse item avalia a mesma habilidade já comentada no exemplo anterior,
porém, tem um grau de complexidade superior, pois avalia a capacidade de ler
dados e informações apresentados em gráfico de colunas, associando esses
dados para apresentar uma solução para o problema proposto. Este fato
possivelmente fez com que o percentual de acerto nesse item fosse menor do que
no anterior.
Nesse item, muitos alunos que escolheram uma das alternativas erradas,
também podem ter agido no sentido de expressar suas preferências pessoais em
relação ao sabor dos sorvetes, não atentando para o fato de que estavam
analisando uma situação específica, fora do contexto de cada um deles.
Mesmo levando em consideração o que expusemos acima, supomos que
aqueles que optaram pelas alternativas incorretas (“A”, “B” e “D”) demonstram não
terem, de fato, desenvolvido essa habilidade, pois nenhum tipo de raciocínio
parece justificar essas opções.
Para desenvolver as habilidades referentes aos descritores que compõem
o Tema Tratamento da Informação, buscamos algumas informações contidas nos
Parâmetros Curriculares Nacionais (p. 132) para orientar o planejamento de
atividades relacionadas a esses descritores.
É cada vez mais freqüente a necessidade de se compreender as
informações veiculadas, especialmente pelos meios de comunicação, para tomar
decisões e fazer previsões que terão influência não apenas na vida pessoal, como
na de toda a comunidade.
Estar alfabetizado supõe saber ler e interpretar dados apresentados de
maneira organizada e construir representações, para formular e resolver
problemas que impliquem o recolhimento de dados e a análise de informações.
Essa característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática
uma demanda em abordar elementos da estatística, da combinatória e da
probabilidade, desde os ciclos iniciais.
Nos dois primeiros ciclos, as atividades podem estar relacionadas a
assuntos de interesse das crianças. Assim, por exemplo, trabalhando com datas
de aniversário pode-se propor a organização de uma lista com as informações
sobre o assunto. Um critério para organizar essa lista de nomes precisa ser
definido: ordem alfabética, meninos e meninas etc. Quando a lista estiver pronta,
as crianças a analisam e avaliam se as informações podem ser encontradas
facilmente. O professor pode então propor a elaboração de uma outra forma de
comunicar os aniversariantes de cada mês, orientando-as, por exemplo, a
construir um gráfico de barras.
Na construção de gráficos, é importante verificar se os alunos conseguem
ler as informações neles representadas. Para tanto, deve-se solicitar que dêem
sua interpretação sobre gráficos e propor que pensem em perguntas que possam
ser respondidas a partir deles.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
61
Outros dados referentes aos alunos, como peso, altura, nacionalidade dos
avós, times de futebol de sua preferência, podem ser trabalhados e apresentados
graficamente. A construção de tabelas e gráficos que mostram o comportamento
do tempo durante um período (dias ensolarados, chuvosos, nublados) e o
acompanhamento das previsões do tempo pelos meios de comunicação indicam
a possibilidade de se fazer algumas previsões pela observação de
acontecimentos. Pela observação da freqüência de ocorrência de um dado
acontecimento, e um número razoável de experiências, pode-se desenvolver
algumas noções de probabilidade.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Para conseguirmos a melhoria da qualidade do processo de ensinoaprendizagem em relação à matemática, torna-se necessário, dentre outros
aspectos, a adoção de novas posturas pedagógicas em sala de aula.
Nesse sentido, a contextualização no ensino da Matemática é uma aliada
para o processo de ensino-aprendizagem. Grande parte dos conteúdos pode ser
relacionada com situações do cotidiano em que os alunos estejam familiarizados,
para que eles possam desenvolver as habilidades necessárias para o ciclo em
que se encontram e, favorecendo aos alunos deixar de simplesmente resolver
contas de forma mecanizada, para dar sentido ao que estudam, tendo prazer em
fazê-lo (Brasil, 1998).
É importante observarmos, também, o uso de recursos lúdicos como jogos
e materiais concretos que chamem a atenção dos alunos e que os levem a
compreender o sentido das atividades matemáticas propostas. Esses recursos
potencialmente podem agir como mediadores no processo de construção das
competências matemáticas. De acordo com os PCN (1998), os jogos são formas
interessantes e diferentes de resolver problemas; favorecem o trabalho em grupo,
a criatividade, o planejamento de ações para a busca de soluções, além de
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
62
facilitar a compreensão, construção de estratégia vencedora e a capacidade de
comparação de estratégias a serem utilizadas.
Outro fator importante de ser considerado é a contextualização histórica
dos conhecimentos matemáticos. Assim, deve-se ter a preocupação de incluir
tópicos da História da Matemática quando se trabalham os conteúdos, pois
estaremos fornecendo informações sobre o contexto no qual cada conteúdo foi
desenvolvido, percebendo-o como produção humana para a resolução de
situações-problema e indicando as aplicações atuais e possibilidades futuras do
uso desses conteúdos para o desenvolvimento científico e para a continuidade da
pesquisa matemática. Além disso,
o recurso à História da Matemática pode esclarecer idéias matemáticas
que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar
respostas a alguns “porquês” e, desse modo, contribuir para a
constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento
(Brasil, 1998, p. 43).
Destacamos, entretanto, que a estratégia fundamental para uma mudança
na construção de competências matemáticas pode estar na adoção da resolução
de problemas como estratégia metodológica. Essa competência não se
desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e
técnicas matemáticos, pois, nesse caso, o que está em ação é uma simples
transposição analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e
desenvolve passos análogos aos daquela situação, o que não garante que seja
capaz de utilizar seus conhecimentos em situações diferentes ou mais complexas.
A adoção da resolução de problemas como estratégia de organização do
trabalho pedagógico possibilita o desenvolvimento de capacidades como:
observação, estabelecimento de relações, comunicação, argumentação e
validação de processos, além de estimular formas de raciocínio como intuição,
indução, dedução e estimativa. Estas capacidades são requeridas nas situações
práticas do cotidiano dos estudantes, nas quais os problemas requerem um
conjunto de competências para solucioná-las. Essa opção traz implícita a
convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os
alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver
estratégias de resolução.
Nesse contexto, um problema, ainda que simples, poderá despertar o
interesse pela atividade matemática se ele proporcionar ao aluno o gosto pela
descoberta da resolução, estimulando, assim, a curiosidade, a criatividade e o
aprimoramento do raciocínio, ampliando o conhecimento matemático.
Os problemas, para que possam motivar o aluno, não podem se
caracterizar como aplicação direta de algum algoritmo ou fórmula, mas devem
envolver invenção e/ou criação de alguma estratégia particular de resolução. O
ensino de matemática torna-se mais interessante à medida em que se utilizam
bons problemas ao invés de se basear apenas em exercícios que remetem a
reprodução de fórmulas em situações que se distanciam do contexto do aluno.
A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores
matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e
desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão a
seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus
conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
63
como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do
mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança. (Brasil, Matemática
5ª a 8ª séries, p. 40)
Os Parâmetros Curriculares Nacionais consideram que a resolução de
problemas, como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de
Matemática, pode ser fundamentada nos seguintes princípios:
• a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a
definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e
métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de
problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver
algum tipo de estratégia para resolvê-las;
• o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma
quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema
se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta
e a estruturar a situação que lhe é apresentada;
• aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver um
certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu
para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas,
segundo um processo análogo ao que se pode observar na História da
Matemática;
• um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por
meio de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se
afirmar que o aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido num
campo de problemas, e não um conceito isolado em resposta a um
problema particular;
• a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em
paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a
aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender
conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.
As estratégias indicadas – ensino contextualizado, resolução de problemas,
uso de recursos lúdicos e da história da matemática – associadas a mudanças em
outros fatores intervenientes na organização do trabalho pedagógico, poderão
favorecer o desenvolvimento de competências e habilidades em matemática,
favorecendo não só o sucesso escolar, mas principalmente a formação do
cidadão capaz de aplicar em sua prática social os conhecimentos apreendidos,
possibilitando-lhe exercer os seus direitos e orientado-o no cumprimento de seus
deveres.
Todavia, as estratégias indicadas, para serem implementadas, requerem
que os professores desenvolvam competências docentes para propiciar um
ambiente adequado para o aprendizado da matemática. Para o desenvolvimento
dessas competências, destacamos o papel que a formação inicial e a formação
continuada devem exercer em sua conduta em sala de aula. Assim, esperamos
que este caderno possa servir para você, colega professor, como um instrumento
de estudo e reflexão, contribuindo para o seu crescimento profissional e
auxiliando-o no planejamento de suas atividades docentes.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 4ª SÉRIE
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. (1997) Parâmetros Curriculares
Nacionais: Matemática. Brasília: MEC / SEF.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. (1998) Parâmetros Curriculares
Nacionais: Matemática. Brasília: MEC / SEF.
PERRENOUD, P., (2000). Dez novas competências para ensinar. 2ª ed. Porto Alegre:
Artes Médicas Sul. Tradução Patrícia Chittoni Ramos.
POLYA, G., (1994). A arte de resolver problemas: um novo enfoque do método
matemático. 2ª reimpressão. Rio de Janeiro: Interciência. Tradução e adaptação de
Heitor Lisboa de Araújo.