PROPOSIÇÕES DE DAVÝDOV E COLABORADORES
PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Josélia Euzébio da Rosa∗
Ademir Damazio**
Cristina Felipe de Matos∗∗∗
Ediséia Suethe Faust Hobold∗∗∗∗
Gisele Mezzari Silveira∗∗∗∗∗
Josiane Cruz Goularte Dorigon∗∗∗∗∗∗
Sandra Crestani*******
RESUMO: Nesta investigação de natureza teórica, analisamos os resultados obtidos em trabalhos
desenvolvidos por integrantes do Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma Abordagem HistóricoCultural. Nosso objetivo, no presente trabalho, consiste em investigar o movimento entre as significações
aritméticas, algébricas e geométricas adotado por Davýdov e colaboradores no que se refere à resolução de
problemas, sistema de numeração, divisão, tabuada e equação. Uma das peculiaridades da proposição
Davydoviana para o ensino de Matemática consiste na ênfase aos conceitos teóricos. O movimento conceitual
adotado segue do geral para o singular, no qual as significações aritméticas, algébricas e geométricas são
inter-relacionadas desde o primeiro ano do Ensino Fundamental.
PALAVRAS-CHAVE: Davýdov. Proposições de Ensino. Matemática.
Doutora em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Professora do Programa de Pós-Graduação
em Educação da Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL). Endereço para correspondência: Mestrado
em Educação. Avenida José Acácio Moreira, 787. Bairro Dehon. CEP: 88.704 900. Tubarão - SC. E-mail:
[email protected].
**
Doutor em Educação pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Professor da Universidade do
Extremo Sul Catarinense (UNESC). Endereço para correspondência: Avenida Universitária, 1105, Bloco P, sala
30. Bairro Universitário. CEP. 88806000. Criciúma – SC. E-mail: [email protected]
∗∗∗
Especialista em Educação Matemática pelo Programa de Pós-Graduação Latu Sensu da Universidade do
Extremo Sul Catarinense (UNESC). Endereço para correspondência: Programa de Pós-Graduação em Educação.
Avenida Universitária, 1105. Bairro Universitário. CEP. 88806000. Criciúma – SC. E-mail:
[email protected]
∗∗∗∗
Mestranda no Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Sul de Santa Catarina
(UNISUL), linha de pesquisa Educação em Ciências. Endereço para correspondência: Mestrado em Educação.
Avenida José Acácio Moreira, 787. Bairro Dehon. CEP: 88.704 900. Tubarão – SC. E-mail:
[email protected]
∗∗∗∗∗
Mestranda no Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Sul de Santa Catarina
(UNISUL), linha de pesquisa Educação em Ciências. Endereço para correspondência: Mestrado em Educação.
Avenida José Acácio Moreira, 787. Bairro Dehon. CEP: 88.704 900. Tubarão – SC. E-mail:
[email protected].
∗∗∗∗∗∗
Especialista em Educação Matemática pelo Programa de Pós-Graduação Latu Sensu da Universidade do
Extremo Sul Catarinense (UNESC). Endereço para correspondência: Programa de Pós-Graduação em Educação.
Avenida Universitária, 1105. Bairro Universitário. CEP. 88806000. Criciúma – SC. E-mail:
[email protected].
*******
Mestranda no Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Sul de Santa Catarina
(UNISUL), linha de pesquisa Educação em Ciências. Endereço para correspondência: Mestrado em Educação.
Avenida José Acácio Moreira, 787. Bairro Dehon. CEP: 88.704 900. Tubarão – SC. E-mail:
[email protected]
∗
2
Introdução
Elaboramos o presente trabalho com base nos resultados obtidos a partir de cinco
pesquisas sobre as proposições de Davýdov e colaboradores, Gorbov, Mikulina e Savieliev,
para o Ensino de Matemática (MATOS, 2013; SILVEIRA, 2013; CRESTANI, 2013;
HOBOLD, 2013; DORIGON, 2013), mais especificamente sobre resolução de problemas,
sistema de numeração, divisão, tabuada e equação. As pesquisas foram desenvolvidas por
integrantes do GPEMAHC (Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma Abordagem
Histórico-Cultural) e do GEPAPe (Grupo de Estudos e Pesquisa sobre Atividades
Pedagógicas).
Davýdov e os colaboradores elaboraram e desenvolveram em sala de aula na
Rússia, em caráter investigativo, uma proposta para o ensino de Matemática durante mais de
vinte e cinco anos. Com base no ensino experimental, Davýdov e colaboradores publicaram
livros didáticos, manuais de orientação ao professor referente a cada livro didático, cadernos
do aluno, além de uma vasta bibliografia na qual são apresentados os princípios da Teoria
Histórico-Cultural, que fundamentaram a elaboração da proposição de ensino. Esse material
constituiu a fonte da presente investigação.
A finalidade da proposta davydoviana consiste em desenvolver, nos estudantes, o
pensamento teórico. Para tanto, a sugestão, no ensino, é “reproduzir a essência desenvolvida
do objeto” (DAVÝDOV, 1982, p. 360). De acordo com Rosa (2012, p. 31), “as proposições
davydovianas para o ensino do conceito de número contemplam de forma inter-relacionada”
as significações aritméticas, algébricas e geométricas. A partir dessa constatação,
questionamos: Davýdov e colaboradores contemplam tais significações nas proposições para
o ensino de outros conceitos, ou só para o conceito de número?
Dada a amplitude dos conceitos contemplados na proposição davydoviana,
delimitamos nosso objetivo para o presente trabalho em investigar o movimento entre as
significações aritméticas, algébricas e geométricas adotado por Davýdov e colaboradores no
que se refere à resolução de problemas, sistema de numeração, divisão, tabuada e equação.
Nossa hipótese é que os referidos autores adotam, em sua proposição de ensino, o movimento
do geral para o singular, no qual as significações aritméticas, algébricas e geométricas são
inter-relacionadas desde o primeiro ano do Ensino Fundamental, conforme defende Rosa
(2012) e preconiza a Teoria Histórico-Cultural.
Para o presente texto adotamos os seguintes procedimentos metodológicos:
inicialmente selecionamos uma tarefa de cada pesquisa, tomamos o cuidado de eleger aquela
que expressa a síntese do objeto investigado. Logo após, prosseguimos o estudo da base
teórico-metodológica para revelar o movimento conceitual. Sustentamos nossa análise nos
fundamentos matemáticos (CARAÇA, 1951; COSTA, 1866 e IFRAH, 1997), como também
na tese de doutorado de Rosa (2012), cujo objeto de estudo foi a introdução do conceito de
número em Davýdov.
A análise possibilitou revelar que a proposição de Davýdov e colaboradores para
o ensino de resolução de problemas, sistema de numeração, divisão, tabuada e equação,
contemplam a inter-relação das significações aritméticas, algébricas e geométricas no
movimento orientado do geral para o singular, conforme apresentamos na sequência.
Resolução de problemas
De acordo com algumas pesquisas desenvolvidas no Brasil (ROSA, 2006;
BRUNELLI, 2012; EUZÉBIO, 2011; ROSA, 2012; DAMAZIO, ROSA, EUZÉBIO, 2012;
MADEIRA, 2012), a proposição davydoviana é a que mais expressa os princípios da Teoria
Histórico-Cultural.
3
Conforme Damazio (2006, p. 4):
A teoria histórico-cultural advoga por uma abordagem metodológica com ênfase aos
aspectos qualitativos em detrimento dos quantitativos, preocupando-se em ir além da
simples descrição da realidade estudada. O interesse é para o modo de manifestação
do problema e, ao mesmo tempo, numa ação dialética, priorizar: a transformação
quantidade/qualidade, a interligação todo/partes, explicação/compreensão e
análise/síntese.
Neste sentido, a proposição davydoviana propicia a reprodução, pelo estudante,
do procedimento universal de resolução de problemas, produzido historicamente pela
humanidade, a partir da relação todo-partes, de qualquer problema singular por meio de
esquemas representados geometricamente. Ou seja, há um modo universal que permite ao
sujeito resolver qualquer problema, independentemente da situação envolvida. Tais
proposições contemplam as significações aritméticas, algébricas e geométricas desde o
primeiro ano do Ensino Fundamental I (ROSA, 2012).
Davýdov (1982) enfatiza a importância, para a educação escolar, de promover o
desenvolvimento do pensamento teórico por meio da apropriação dos conceitos científicos.
Para tanto, este autor alerta sobre a necessidade de considerar, no ensino, um movimento
conceitual de outra qualidade, o que se reflete tanto nos métodos quanto nos conteúdos
(DAVÝDOV, 1982).
Matos (2013) investigou o movimento conceitual adotado por Davýdov e seus
colaboradores em suas proposições de ensino para introdução de resolução de problemas
sobre adição e subtração no primeiro ano do Ensino Fundamental. Para tanto, considerou
algumas tarefas1 que Davýdov e colaboradores propõem. Na sequência, apresentamos uma
tarefa que expressa asíntese desse sistema.
Vale mencionar que as tarefas anteriores, apresentadas na proposta davydoviana,
são desenvolvidas com base na análise da ação objetal e/ou do registro no esquema.
Gradativamente, a ação objetal é superada e o desenvolvimento da tarefa passa a ser mediado
pela representação abstrata (o esquema) no plano teórico. O esquema é essencial à
interpretação do enunciado do problema, no sentido de determinar rapidamente a operação a
ser realizada a partir da relação todo-partes (MATOS, 2013).
Tarefa 1: Yuri tinha 13 nozes. Quando ele comeu 8 nozes, restaram 5. Quantas
nozes Yuri tinha inicialmente? A presente tarefa consiste em que as crianças formulem, a
partir deste relato, três problemas diferentes e os resolvam por meio do esquema.
Davýdov e colaboradores orientam para que o professor chame a atenção para o
fato de não haver um valor desconhecido no enunciado, todos os valores estão dados. Trata-se
de uma história e não de um problema. A sugestão é que o enunciado seja reformulado em
três problemas (Ilustração 1), e direciona as ações dos estudantes para que estes detectem, no
processo de formulação das perguntas, a necessidade de escolher o valor cujo significado será
desconhecido. Para a representação do valor desconhecido no esquema, será utilizado o sinal
de interrogação (ГОРБОВ, МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2008; ДАВЫДОВ et al, 2012).
1
Vale esclarecer que o termo tarefa em Davydov não deve ser interpretado como comumente adotado no
contexto escolar brasileiro: dever de casa ou lição de casa, atividade, exercícios, entre outros. Em Davydov, as
tarefas são interpretadas no contexto da teoria da atividade (ROSA, 2012).
4
Ilustração 1- Composição da história em três problemas
Fonte: Rosa (2012, p. 222-223).
A análise da localização do ponto de interrogação no esquema auxilia os
estudantes na formulação da pergunta, no enunciado do problema (ГОРБОВ, МИКУЛИНА e
САВЕЛЬЕВА, 2008; ДАВЫДОВ et al, 2012).
O desenvolvimento da tarefa possibilita a modelação, orientada pelo professor, da
relação fundamental, universal para a resolução de problemas sobre adição e subtração, a
partir da análise das relações entre grandezas (Ilustração 2).
Ilustração 2- Modelo universal de resolução de problemas sobre adição e subtração
Fonte: Rosa (2012, p. 224).
5
O esquema representa as seguintes inter-relações: a partir da soma das partes
determina-se o todo (x + p = c), e a subtração do todo por uma parte conhecida determina a
outra parte desconhecida (c – x = p e/ou c – p = x). Conforme Rosa (2012, p. 214), “Desse
modo, desenvolve-se o método geral de análise das condições do problema, da produção do
esquema e do plano de resolução. Os problemas de adição e subtração aparecem de forma
interconectada na relação todo-partes”.
A variedade de representações adotadas (aritméticas, geométricas e algébricas)
não permite a generalização empírica (DAVÝDOV, 1982). A tarefa envolvea revelação da
gênese de resolução de problemas a partir da decomposição do todo em partes e da relação
entre as partes que compõe o todo.
Tal orientação vai ao encontro do que propõe Kalmykova (1991, p. 10) em relação
à análise a ser realizada na interpretação de um problema:
No caso de um problema, [...], o valor procurado, a informação dada no conteúdo do
problema e a relação entre eles não podem ser determinados através da análise
separada dos diversos elementos, mas apenas através da sua combinação (que
constitui um determinado conjunto); por outras palavras, para resolver bem um
problema, têm que existir sínteses a nível de análise complexa [sic].
A análise complexa em Davýdov implica a relação universal. Esta possibilita a
resolução de qualquer problema de adição e subtração no primeiro ano do Ensino
Fundamental, e é revelada a partir do estudo com as grandezas discretas e contínuas (geral). O
processo de construção da representação da relação universal, ou seja, do modelo, ocorre
inicialmente na reta numérica e culmina com a construção do esquema. Este é composto por
segmento de reta, arcos e letras. Em outras palavras, trata-se de um modelo cuja representação
envolve as significações geométricas e algébricas (MATOS, 2013).
A essência da relação interna, expressa no modelo, é fundamentada no movimento
inverso das operações de adição e subtração. Deste modo, se as partes são conhecidas, para
determinar o todo, adicionam-se as partes. Caso o todo seja conhecido e também uma das
partes, para determinar o valor da outra parte desconhecida, subtrai-se a parte conhecida do
todo (MATOS, 2013).
A partir da revelação da essência referente à resolução de problemas, são
apresentadas algumas tarefas particulares que podem ser desenvolvidas partindo de um
modelo universal, o esquema (MATOS, 2013).
No esquema davydoviano para resolução de problemas de adição e subtração, a
análise é mediada pela objetivação da situação, idealizada ou desenhada, mas no
plano teórico. Não há uma representação direta, esta é mediada pelo esquema, que
reflete as relações essenciais e suficientes para que o problema seja resolvido. Tratase de uma expressão concreta, em imagem, das relações essenciais, mas que não
captadas de forma elementar e primariamente sensorial (ROSA, 2012, p. 221).
Melhor dizendo, inicia-se a partir das ações objetais com as grandezas, passa pela
modelação e, finalmente, o esquema constitui o elemento mediador para a resolução de novas
tarefas, já não mais no plano objetal, mas no plano abstrato. Este movimento envolve as
significações aritméticas (expressão numérica do valor das partes e do todo), geométricas
(esquema) e algébricas (letras).
Sistema de numeração
O sistema de numeração é introduzido, na proposição davydoviana, pelas
diferentes bases numéricas que o compõem. A base dez, de acordo com Silveira (2013), é
6
abordada como mais uma base do sistema de numeração, depois do desenvolvimento de uma
série de tarefas que revelam a lógica que possibilita o trânsito entre as diferentes bases.
“Inicialmente, o desenvolvimento das tarefas que revelam a lógica dos agrupamentos é com
base nas ações objetais. Posteriormente esta é elevada ao plano mental” (SILVEIRA, 2013, p.
106). Ou seja, inicia no plano objetal (agrupamentos) e se eleva ao plano mental (registro dos
números em diferentes bases, na reta numérica e em linha). Explicitaremos esse movimento,
por meio de uma síntese apresentada por Silveira (2013) na tarefa 2.
Tarefa 2: Realize a contagem dos objetos e registre o resultado nas bases
quaternária e hexanária no quadro valor de lugar, conforme a ilustração 2 (ДАВЫДОВ et al,
2012b).
Ilustração 3 - Tarefa 2, objetos para contagem
II
I
(4)
(6)
Fonte: Давыдовet al (2012).
A unidade de medida de primeira ordem é formada por uma unidade discreta e
representada pelo ponto (Ilustração 2). Construímos a unidade de medida de segunda ordem
para cada base numérica, estas foram compostas por quatro e seis unidades, respectivamente
(Ilustração 3). Realizamos a contagem e registramos o resultado no quadro valor de lugar,
conforme apresentaremos na ilustração 3 (ГОРБОВ, МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2009;
ДАВЫДОВ et al, 2012b).
Ilustração 4 - Tarefa 2, contagem e registro na bases numéricas, quaternária e hexanária
II
I
2
2
(4)
1
4
(6)
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
Agrupamos os objetos na base numérica quaternária (Ilustração 3) e obtivemos,
como resultado,dois grupos com quatro unidades (duas unidades de medida de segunda
ordem) e sobraram outras duas unidades sem serem agrupadas (duas unidades de medida de
primeira ordem). Quando a referência foi a base hexanária (Ilustração 3), o resultado obtido
foi um agrupamento com seis unidades (uma unidade de medida de segunda ordem) e
sobraram quatro unidades.
A partir de tal constatação, Davýdov e colaboradores orientam para que o
professor faça os seguintes questionamentos: por que os registros no quadro valor de lugar
foram diferentes se representam a mesma quantidade de objetos? Qual desses valores é o
correto? Conclui-se que os dois registros estão corretos e são diferentes porque a contagem foi
7
realizada a partir de bases numéricas diferentes (ГОРБОВ, МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА,
2009).
Na proposição davydoviana, o sistema de numeração é introduzido a partir da
lógica que possibilita o trânsito entre as diferentes bases. Tal lógica, segundo Ifrah (1997),
consiste em “repartir os números e seus diversos símbolos segundo estágios sucessivos, aos
quais se pode dar os respectivos nomes: unidades de primeira ordem, unidades de segunda
ordem, unidades de terceira ordem, e assim sucessivamente” (IFRAH, 1997, p. 48, grifos do
autor). E, para Costa (1866, p. 18), “cada unidade de ordem é contida tantas vezes na da
ordem seguinte quantas são a unidade da base”, por exemplo, no caso particular da base
quatro, cada unidade de ordem é contida quatro vezes na ordem seguinte. Ou seja, uma
unidade de primeira ordem está contida quatrovezes na segunda ordem, assim como uma
unidade de segunda ordem está contida quatro vezes na terceira ordem. Portanto, uma
unidade de segunda ordem é composta por quatro unidades de primeira, e uma de terceira por
quatro de segunda ordem, e assim sucessivamente. Desse modo, a base numérica, “nada mais
é do que o número de unidades que é necessário agrupar no interior de uma ordem dada para
formar uma unidade de ordem imediatamente superior” (IFRAH, 1997, p. 48).
A partir desta lógica, agrupamos os objetos apresentado na tarefa (2) na base
numérica decimal, e obtivemos como resultado uma unidade de segunda ordem e nenhuma de
primeira (Ilustração 4):
Ilustração 5 - Tarefa 2, contagem na base decimal
10
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
Registramos o resultado fora do quadro valor. Para isso, utilizamos o algarismo
zero (0), conforme a ilustração 4. Na proposição davydoviana, o algarismo zero (0) indica que
as unidades de determinada ordem estão agrupadas na ordem seguinte (SILVEIRA, 2013).
Este, na escrita, é fundamental quanto à posição das ordens. Já no quadro valor é
desnecessário, pois o espaço vazio do quadro indica que as unidades daquela ordem foram
agrupadas em ordem superior.
A seguir, registraremos os números dos sistemas de numeração quaternário,
hexanário e decimal na reta numérica (Ilustração 5). Para Silveira (2013, p. 78), “cada sistema
numérico particular é composto sempre pelo algarismo zero (0) e contém a quantidade de
algarismos igual ao valor da base numérica”. Por exemplo, no sistema numérico quaternário,
os algarismos utilizados são quatro (0, 1, 2, e 3), mesma quantidade da base.
8
Ilustração 6 – Tarefa 2, registro na reta dos números quaternário, hexanário e decimal
2(4)
0
3(4)
1(4)
2(6)
0
1(6)
1
11(4)
3(6)
4
3
13(4)
5 (6)
21(4)
11(6)
23(4)
13(6)
8
7
30(4)
14(6)
12(6)
6
5
22(4)
20(4)
10 (6)
4 (6)
2
0
12(4)
10(4)
20(6)
15(6)
10
9
12
11
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
Na proposição davydoviana, segundo Silveira (2013, p. 88), “a localização dos
números formados a partir de diferentes bases, na reta numérica, pressupõe a compreensão
prévia da lógica interna do sistema de numeração desenvolvida a partir da ação objetal”. Os
conhecimentos teóricos emergem, segundo Davídov (1988, p. 154, destaque do autor), “sobre
a base da transformação mental dos objetos, refletem suas relações e conexões internas
‘saindo’ assim dos limites das representações”. Desse modo, a proposição davydoviana para o
ensino do sistema de numeração sai dos limites das representações empíricas, diretamente
observáveis. O desenvolvimento da tarefa foi realizado, inicialmente, por meio das ações
objetais (agrupamentos) e, posteriormente, foi elevado ao plano mental (registro numérico em
linha e na reta numérica, expressão geométrica). Esse movimento ocorreu do geral (relação
entre as grandezas) para o singular (diferentes expressões aritméticas), mediado pela
particularidade (diferentes bases numéricas).
Divisão
Crestani (2013) analisou o teor conceitual adotado por Davýdov e seus
colaboradores ao proporem a introdução do conceito de divisão no segundo ano do Ensino
Fundamental. A referida autora afirma que a essência do conceito de divisão é revelada, em
Davýdov, nas tarefas que envolvem agrupamentos, na conexão entre o conceito de divisão,
nas relações entre as grandezas e suas respectivas medidas. “O esquema abstrato, revelado
durante o desenvolvimento das tarefas davydovianas para o ensino de divisão é a objetivação
das propriedades teóricas deste conceito” (CRESTANI, 2013, p. 4).
Na tarefa a seguir, o conceito de divisão emerge, de acordo com Davýdov e
colaboradores, por meio de situações nas quais os estudantes revelam o conceito ao serem
colocados em ação investigativa (ГОРБОВ, МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2009). Em
outras palavras, o conhecimento não é apresentado por meio de definições gerais, mas
revelado durante ações de estudo.
Tarefa 3: O professor apresenta dois recipientes de mesma forma e tamanho, um
com líquido (volume K) e outro vazio (Ilustração 6). Ambos estão sobre duas mesas distantes
9
uma da outra. A tarefa consiste em transferir o líquido de um recipiente ao outro (ГОРБОВ,
МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2009).
Ilustração 7 - Tarefa 3, dois recipientes
K
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
Para a transferência são apresentados outros dois recipientes vazios (Ilustração 7).
Estes são de mesma forma que os anteriores, porém menores e com volumes diferentes um do
outro (ГОРБОВ, МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2009).
Ilustração 8 - Tarefa 3, unidades de medida
C
A
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
Na transferência do líquido utilizando o recipiente de volume A, o procedimento é
repetido por 24 vezes: o volume A cabe 24 vezes no volume K (Ilustração 8).
Ilustração 9 - Tarefa 3, total de unidades básicas no esquema
24
A
K
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
Os dois recipientes (volumes A e C) serão tomados como unidades de medidas. A
unidade de medida com volume A será considerada a unidade de medida básica, e a unidade
de medida com volume C, a unidade de medida intermediária. Quantas vezes o volume da
unidade de medida básica (A) cabe na unidade de medida intermediária (C)? A constatação
será que, paraC (Ilustração 9), o volume A cabe quatro vezes.
Ilustração 10 - Tarefa 3, relação quantitativa entre as unidades
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
10
Quantas vezes o volume C cabe em K? Como proceder para determinar a
quantidade de medidas intermediárias que compõem o volume K? A partir do esquema inicial
(Ilustração 8) que representava a quantidade de medidas básicas, o professor traça uma seta da
esquerda para baixo e registra o número 4, que representa a unidade de medida intermediária
(Ilustração 10). Na sequência, acrescenta uma seta à direita e escreve um ponto de
interrogação, que representa o valor desconhecido (ГОРБОВ, МИКУЛИНА e
САВЕЛЬЕВА, 2009).
Ilustração 11 - Tarefa 3, operação da divisão no esquema
24
A
4
K
?
C
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
A resolução da tarefa ocorre na reta numérica (Ilustração 11). Como a medida
intermediária é quatro (4) unidades básicas, na reta, os agrupamentos (delimitados pelos
arcos) serão compostos por quatro unidades até atingir o total de 24 unidades de medidas
básicas. E, finalmente, verifica-se a quantidade de arcos que se formaram. A conclusão a ser
obtida nesta etapa é que são 24 unidades básicas ao todo, agrupadas de quatro em quatro. O
resultado consiste em seis (6) agrupamentos compostos por quatro (4) unidades cada
(ГОРБОВ, МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2009).
Ilustração 12 - Tarefa 3, operação de divisão na reta numérica
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
A tarefa foi resolvida, teoricamente, na reta numérica, ou seja, no contexto
geométrico dos números reais (ROSA, 2012). Para finalizar, o professor conduz, com base na
análise de todo o desenvolvimento da tarefa, a elaboração da seguinte síntese: o procedimento
de determinar a quantidade de unidades de medidas intermediárias chama-se divisão
(ГОРБОВ, МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2009). Ao dividir vinte e quatro (24) por quatro
(4), obteve-se seis (6), ou seja, 24 ÷ 4 = 6. Segundo Bézout (1849, p. 45), “Repartir ou dividir
um número por outro, não é outra coisa mais do que buscar quantas vezes o primeiro deles
contém o segundo; e a operação com que se busca chama-se [...] divisão”.
A essência do conceito de divisão é revelada, em Davýdov, nas tarefas que
envolvem agrupamentos (unidade de medida intermediária), ou seja, quantas unidades de
medida intermediária cabem no total de unidades de medida básicas. A tarefa é objetivada a
partir das significações geométricas (esquema e reta numérica), algébricas (representação da
medida da grandeza por meio de letras) e aritméticas (representação dos valores por meio de
algarismos).
11
Tabuada
A tabuada em Davýdov é objeto de estudo de Hobold (2013). De acordo com esta
autora, o desenvolvimento das tarefas referentes à tabuada, apresentadas na proposição
davydoviana, ocorre por meio de ações objetais, esquemas e reta numérica. Estas
representações se constituem em elemento mediador que possibilita a elevação das ações
objetais ao plano mental. Contemplam as relações entre grandezas discretas e contínuas na
inter-relação das significações aritméticas, algébricas e geométricas.
A tabuada inicialmente é desenvolvida na reta numérica. Nela, é reproduzida a
relação genética, essencial a todas as tabuadas. A essência “é a conexão interna que, como
fonte única, como base genética, determina todas as outras especificidades particulares do
todo” (DAVÍDOV, 1988, p. 147). A essência constitui a conexão objetiva que assegura a
unidade de todas as tabuadas, dando a elas o caráter concreto, e consiste nas unidades de
medida básica e intermediária, e o total de unidades básicas e intermediárias, conforme
apresentaremos a seguir na tarefa 4.
Tarefa 4: Introdução à tabuada do número dois(ДАВЫДОВ et al, 2012b).
Ilustração 13 - Tarefa 4, tabela de multiplicação pelo número dois (2)
2x2=4
2x6=
2x3=
2x7=
2x4=
2x8=
2x5=
2x9=
2 x 10 = 20
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
O professor informa aos estudantes que muitas pessoas adultas têm registrado na
memória o resultado de algumas multiplicações sem precisar calculá-las, procedimentos que
elas também aprenderão. Inicia-se com a leitura do quadro (Ilustração 12): dois (2), tomados
por duas vezes é igual a quatro (4); dois (2), tomados por três (3) vezes; dois (2), tomados por
quatro (4) vezes; dois (2), tomados por cinco (5) vezes; dois (2), tomados por seis (6) vezes;
dois (2), tomados por sete (7) vezes, dois (2), tomados por oito (8) vezes; dois (2), tomados
por nove (9) vezes, e dois (2), tomados por dez (10) vezes é igual a vinte (20).
Na sequência, os resultados desconhecidos são obtidos (um por um) com o auxílio
da reta numérica (ГОРБОВ, МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2009). O professor lê o registro:
2 x 2 (dois, tomados por duas vezes), e informa o nome dos termos na operação de
multiplicação: o primeiro número ou termo é denominado multiplicando e o segundo
multiplicador (Ilustração 13).
Ilustração 14 - Tarefa 4, representação na reta numérica de 2 x 2 = 4
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
O próximo registro, 2 x 3, tem seu produto determinado com o auxílio da reta
numérica (Ilustração 14).
12
Ilustração 15 - Tarefa 4, representação na reta numérica de 2 x 3 = 6
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
Os demais resultados são determinados por procedimento análogo (Ilustração 15).
Ilustração 16 - Tarefa 4, continuidade da representação, na reta numérica, da tabuada do
número dois
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
Para finalizar a tarefa, a tabuada é sintetizada e registrada do seguinte modo
(Ilustração 16):
Ilustração 17 - Tarefa 4, síntese da tabuada do número dois (2) na reta numérica
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
13
A tarefa envolve significações geométricas e algébricas. Um “segmento de reta é
uma grandeza geométrica” (CARAÇA, 1984, p. 53). O cálculo não mais leva como referência
a ação objetal como, por exemplo, a medição do líquido dos recipientes (Ilustração 9),
contagem de objetos discretos (Ilustração 3), mas o plano teórico por meio da reta numérica.
Os fatores que compõe a tabuada, os símbolos aritméticos, são expressos na reta
numérica, que é uma grandeza geométrica (Ilustração 16).
A representação dos fatores na reta numérica expressa a síntese do processo
realizado durante a resolução da tarefa (unidade de medida básica, unidade de medida
intermediária, e total de unidades básica e intermediária). Em outras palavras, são esses dados
que compõem a essência do conceito de tabuada e permeiam todas as tarefas particulares.
Salientamos que o movimento apresentado para a introdução do conceito de
tabuada na reta numérica é válido para as particularidades da tabuada do número dois e três,
no contexto da proposição davydoviana. As demais tabuadas são desenvolvidas por meio das
propriedades comutativa e distributiva da multiplicação na relação com as significações
algébricas (HOBOLD, 2013).
Equação
A introdução do conceito de equação do primeiro grau com as operações de
adição e subtração ocorre a partir da relação do todo com suas partes (DORIGON, 2013). Nas
tarefas davydovianas não são apresentadas equações prontas para o cálculo do valor
aritmético da incógnita, elas são construídas a partir de situações de análise. Na tarefa a seguir
(Tarefa 5), Davýdov e colaboradores contemplam a relação de equação na sua forma
algébrica, inter-relacionada com a geométrica e aritmética. Tais representações são
organizadas em um movimento que segue do geral para o singular.
Tarefa 5: Reescreva as equações (x – k = p, a + x = c) com os valores aritméticos
treze (13) e seis (6).
O professor faz o seguinte questionamento: a primeira igualdade x – k = p, é uma
equação? (ГОРБОВ, МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2009). Para ser uma equação é
necessário possuir o símbolo de igualdade e a incógnita. Assim, x – k = p é uma equação.
Por se tratar da operação de subtração, ao diminuir uma parte do todo, o resultado
será igual a outra parte, ou seja, de x subtrai-se k para obter o resultado p. Com base no
movimento inverso, as partes juntas resultam no todo, assim, k e p são partes e x é o todo.
Como nos ensina Caraça (1951, p. 20), “dado o resultado da operação e um dos dados” é
possível “determinar o outro dado.” A incógnita (x) já é apresentada no primeiro termo desta
equação (o todo), serão representados, aritmeticamente, o segundo e terceiro termo (Ilustração
17).
Para reescrever a equação genérica em sua forma particular, a representação da
incógnita se mantém.
Ilustração 18 - Tarefa 5, equação com a operação de subtração
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
14
Há duas formas de representá-la, com os valores aritméticos treze (13) e seis (6).
A primeira delas é representar k e pcom valores treze (13) e seis (6). Assim, por opção
aleatória, inicialmente atribuiremos os seguintes valores: k = 13 ep = 6:
x–k=p
x – 13 = 6
Para o cálculo do valor aritmético da incógnita x, Davýdov e colaboradores
sugerem que o professor pergunte: Qual o valor que, subtraído de treze (13), resulta em seis
(6)? Sabe-se que as partes juntas compõem o valor do todo, logo o todoé
desconhecido?(ГОРБОВ, МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2009).
x–k=p
x – 13 = 6
x = 13 + 6
x = 19
O todo é maior que suas partes. Deste modo, para calcular o valor desconhecido
do todo (x), faz-se necessário juntar as partestreze (13) e seis (6). Por meio da operação
inversa (de subtração para adição), o minuendo (13) é adicionado ao valor da diferença ou
resto (6). Estes compõem o valor do todo desconhecido, dezenove (19). Assim, o valor
aritmético, singular, de x, para k = 13 ep = 6, é dezenove.
Para k = 6 e p = 13, qual seria valor aritmético do todo (x) na equação? Qual o
valor que se subtrai seis e resulta em treze?
x–k=p
x – 6 = 13
x = 6 + 13
x = 19
Como k e p são partes, não importa a ordem em que eles são apresentados; juntos,
esses valores compõem o todo.
A segunda igualdade (a + x = c), representada pelo valor algébrico de a,
adicionado um valor desconhecido (a incógnitax), resulta em c, é uma equação? (ГОРБОВ,
МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2009). Sim, pois possui incógnita e igualdade.
Na relação todo-partes, neste caso contemplado pela operação de adição, sabe-se
que o todoé maior que a parte e, por representar tal operação, otodo é apresentado após a
igualdade (ГОРБОВ, МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2009). Se as partes juntas resultam no
valor do todo, uma das delas é o valor desconhecido x. Para determiná-la, tem-se a outra parte
(a) e o todo (c). Assim, se o todo e uma das partes são conhecidos, para determinar a outra
parte faz-se necessário subtrair a parte conhecida do todo (DORIGON, 2013).
Para utilizar os valores aritméticos treze (13) e seis (6), na igualdade em
referência, faz-se necessário uma análise cuidadosa da relação todo-partes (Ilustração 18).
Pois, nesta situação, os valores aritméticos não podem ser posicionados aleatoriamente em
qualquer um dos termos da equação. Para manter-se a igualdade, tem-se um valor (a), que
adicionado a x, resulta no outro, valor (c).
15
Ilustração 19 - Tarefa 5, equação com a operação de adição
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
Para a = 13 e c = 6, tem-se o valor aritmético treze que, adicionado a um valor
desconhecido (x), resulta em seis. Como é possível, nos limites dos números Naturais,
resolver a equação 13 + x = 6?
Qualquer valor, no campo dos Naturais, adicionado a treze (13), não resultará em
seis (6). Assim, o valor aritmético seis deve ser considerado como parte (a) e treze como o
todo (c).
a+x=c
6 + x = 13
Para resultar no número treze, seis deverá ser adicionado a quanto? Do todo treze
(13) subtrai-se a parteseis (6) para resultar em quanto?
a+x=c
6 + x = 13
x = 13 - 6
x=7
A uma das partes, seis, adiciona-se a outra parte, sete, para atingir o todo, treze.
Ou ainda, do todotreze subtrai-se a parteseis para resultar na outra parte, sete.
Em síntese, na primeira equação (x – 6 = 13 ou x – 13 = 6), o valor aritmético
obtido para a incógnita foi dezenove, e na segunda equação (6 + x = 13) o valor foi sete. Cabe
aqui o seguinte questionamento: por que os valores obtidos foram diferentes para incógnita, se
os números considerados, nas duas equações, foram os mesmos (13 e 6)? (ГОРБОВ,
МИКУЛИНА e САВЕЛЬЕВА, 2009). A resposta para esta questão pode ser fundamentada
com base nos esquemas referentes às equações em análise (DORIGON, 2013).
O esquema para a primeira equação x – 13 = 6 é demonstrado pela ilustração 19:
Ilustração 20 - Tarefa 5, esquema todo e partes da equação subtração
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
O valor do todo era desconhecido: x, e as partes eramtreze e seis. Juntas
resultavam no valor aritmético do todo (dezenove). Quanto o esquema referente à segunda
equação (6 + x = 13), temos (Ilustração 20):
16
Ilustração 21 - Tarefa 5, esquema todo e partes da equação adição
Fonte: Elaboração nossa com base na proposição davydoviana.
O valor aritmético do todo é treze. Logo, uma das partes menores já foi definida
previamente pelo valor aritmético seis (6), e a outra tinha seu valor desconhecido (x). Por
meio do cálculo, obtivemos o número sete (7).
Aanálise das equações representadas no esquema geométrico, desenvolvidas na
forma algébrica e aritmética, permitiu revelar o movimento interno do todo com suas partes.
Ambas possuem os mesmos termos, porém, para cada equação representada em sua forma
particular, obtivemos valores aritméticos singulares diferentes para a incógnita. Isso porque,
com base na relaçãotodo-partes e mediados pelas particularidades, em uma das equações o
valor da incógnita era o todo, e na outra equação, o valor era a parte.
Considerações Finais
Uma das peculiaridades da proposição davydoviana para o ensino de Matemática
consiste na ênfase aos conceitos teóricos. O movimento conceitual adotado por Davýdov e
colaboradores segue do geral para o singular, no qual as significações aritméticas, algébricas e
geométricas são inter-relacionadas desde o primeiro ano do Ensino Fundamental.
Os autores em referência propõem o desenvolvimento do pensamento teórico por
meio da apropriação dos conceitos científicos sob um método investigativo de aprendizagem
(ROSA, 2012). Os resultados obtidos indicam que Davýdov e seus colaboradores, em sua
proposição de ensino para introdução de resolução de problemas sobre adição e subtração,
consideram o movimento que envolve as seguintes dimensões conceituais: geral (relações
entre grandezas), universal (o modelo), particular (as inter-relações entre adição e subtração),
e singular (problemas aritméticos). Em outras palavras, em um movimento orientado do geral
para o singular, mediado pela particularidade.
No sistema de numeração, as ações objetais (agrupamentos) são elevadas ao plano
mental (registro numérico em linha e na reta numérica). Tal movimento ocorre do geral
(relação entre as grandezas) para o singular (diferentes expressões aritméticas), mediado pela
particularidade (diferentes bases numéricas).
A proposição davydoviana para o ensino do conceito de divisão está fortemente
fundamentada nas significações geométricas e suas relações com as significações aritméticas,
com gênese nas relações entre grandezas. O ponto de partida, no desenvolvimento da tarefa, é
a relação entre grandezas (volumes com volumes e comprimentos com comprimentos). A
tarefa não é dada em sua forma pronta, mas emerge da discussão entre professor e estudante,
onde o primeiro tem o papel de instigar os alunos a pensarem e se posicionarem. Segundo
Rosa (2012, p. 40), “Estabelecer uma tarefa para um indivíduo é determinar uma meta a ser
atingida em condições específicas”, ou seja, a tarefa promove o desenvolvimento da
necessidade de estudo e, consequentemente, da capacidade para realizá-la.
Na tabuada, especificamente na do número dois, o movimento não parte das
representações objetais, mas das significações aritméticas (unidade de medida básica e
intermediária e o total dessas medidas) e geométricas (reta numérica). Na introdução de
equação, o movimento é expresso com base na relação universal do todo-partes, que se
estabelece na operação de adição e subtração, onde uma das partes, subtraída do todo, resulta
na outra parte e, com base no movimento inverso, as partes juntas compõem o todo. Após
17
esta relação, é possível identificar os termos que representam a equação na sua forma
algébrica particular, sempre inter-relacionado pela representação geométrica para desenvolver
o valor aritmético singular da incógnita.
Enfim, a análise dos resultados obtidos nas cinco investigações leva a confirmar a
hipótese de pesquisa: Davýdov e colaboradores adotam, em sua proposição para o ensino
deresolução de problemas, sistema de numeração, divisão, tabuada e equação, o movimento
do geral para o singular, no qual as significações aritméticas, algébricas e geométricas são
inter-relacionadas.
Porém, vale ressaltar que apresentamos, no decorrer deste, uma síntese da
proposição davydoviana. Aos leitores interessados em aprofundá-las, sugerimos a leitura das
produções desenvolvidas pelos integrantes do Grupo de Pesquisa em Educação Matemática:
uma Abordagem Histórico-Cultural (GPEMAHC) e do Grupo de Estudos e Pesquisa Sobre
Atividades Pedagógicas (GEPAPe)∗.
Agradecimentos
CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
FUMDES - Fundo de Apoio à Manutenção e ao Desenvolvimento da Educação Superior
CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
GPEMAHC - Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma Abordagem HistóricoCultural
GEPAPe - Grupo de Estudos e Pesquisa sobre Atividades Pedagógicas
Referências
ALVES, E. de S. B. Proposições Brasileiras e davydovianas: limites e possibilidades. 2013.
119 f. Monografia (Especialização em Educação Matemática) - Universidade do Extremo Sul
Catarinense, Criciúma.
BÉZOUT, E. M. Elementos de arithmetica. Coimbra: Livraria Portuguesa, 1849. Disponível
em:http://almamater.uc.pt/wrapper.asp?t=Elementos+de+aritm%E9tica&d=http%3A%2F%2F
bdigital%2Esib%2Euc%2Ept%2Fbduc%2FBiblioteca%5FDigital%5FUCBG%2Fdigicult%2F
UCBG%2D4A%2D16%2D12%2D10%2FglobalItems%2Ehtml Acesso em: 25 ago. 2012.
BRUNELLI, Josiani Barbosa. Projeto ou atividade de ensino e de aprendizagem?
Expressões da implantação da Proposta Curricular do Estado de Santa Catarina. 2012. 128 f.
Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Extremo Sul Catarinense, Criciúma.
CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Livraria Sá da Costa,
1984.
COSTA, J. M. Couceiro. Tratado de Arithimetica. Lisboa: Imprensa Nacional. 1866. 376 p.
CRESTANI, S. Análise conceitual das proposições de Davydov e seus colaboradores para
o ensino do conceito de divisão. 2013. 70 f. Monografia (Especialização em Educação
Matemática) - Universidade do Extremo Sul Catarinense, Criciúma.
DAMAZIO, A. Elaboração de Conceitos Matemáticos: Abordagem Histórico-Cultural. In:
29a Reunião Anual - Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação, 2006,
Caxambu. Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação. Caxambu:
Anped, 2006. p. 1-19.
DAMAZIO, A.; ROSA, J. E.; EUZÉBIO, J. S. O ensino do conceito de número em
diferentes perspectivas. Educação Matemática Investigação, v. v. 14, p. 209-231, 2012.
Por exemplo: Rosa (2012), Madeira (2012), Alves (2013), Matos (2013), Dorigon (2013), Silveira (2013),
Crestani (2013), Souza (2013) e Rosa, Damazio e Alves (2013), Silveira, Rosa e Damazio (2013).
∗
18
DAVÍDOV, V. V. La enseñanza escolar y eldesarrollo psíquico: investigación teórica y
experimental. Trad. Marta ShuareMoscú: Editorial Progreso, 1988.
DAVÝDOV, V.V. Tipos de generalización en la enseñanza. 3ª. ed. Habana: Editorial
Pueblo y Educación, 1982.
DORIGON, J. C. G. Proposições de Davydov para introdução ao conceito de equação.
2013. 90 f. Monografia (Especialização em Educação Matemática) - Universidade do
Extremo Sul Catarinense, Criciúma.
EUZÉBIO, Juliana da Silva. Ensino do conceito de número: Proposta de ensino Davýdov e
as proposições tradicionais. 2011. 64f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em
Pedagogia) - Universidade do Extremo Sul Catarinense, Criciúma.
HOBOLD, E.S. F. Proposições para o ensino de tabuada com base nas lógica formal e
dialética.2013. Relatório de qualificação de dissertação (Mestrado em Educação) Universidade do Sul de Santa Catarina, Tubarão, 2013.
IFRAH, G. História universal dos algarismos. Volume 1: a inteligência dos homens contada
pelos números e pelo cálculo; tradução de Alberto Muñoz e Ana Beatriz Katinsky. Rio de
Janeiro: Nova Fronteira, 1997-2v.
KALMYKOVA, Z. I. Pressupostos psicológicos para uma melhor aprendizagem da resolução
de problemas aritméticos. In: LÚRIA; LEONTIEV, VYGOTSKI, et al. Pedagogia e
Psicologia II. Lisboa: Estampa, p. 9 - 26,1991.
MADEIRA, S. C. “Prática”: Uma leitura Histórico-Crítica e proposições davydovianas para
o conceito de multiplicação. 2012. 165 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade
do Extremo Sul Catarinense, Criciúma.
MATOS, C. F. Resolução de problemas davydovianos sobre adição e subtração por
estudantes brasileiros do sexto ano do ensino fundamental. 2013. 168 f. Monografia
(Especialização em Educação Matemática) - Universidade do Extremo Sul Catarinense,
Criciúma.
ROSA, J. E. O desenvolvimento de conceitos na proposta curricular de matemática do
Estado de Santa Catarina e na abordagem Histórico-Cultural. Dissertação (Mestrado em
Educação: linha de pesquisa Educação Matemática). Universidade Federal do Paraná,
Curitiba, 2006.
ROSA, J. E. Proposições de Davýdov para o ensino de Matemática no primeiro ano
escolar: inter-relações dos sistemas de significações numéricas. Tese (Doutorado em
Educação). Universidade Federal do Paraná, 2012. 244f.
ROSA, J. E.; DAMAZIO, A.; ALVES, E. S. B. Adição e subtração em Davydov. Boletim
GEPEM / Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática, Rio de Janeiro, n. 63,
p. 61-75, Jul./Dez. 2013.
SILVEIRA, G. M. Proposições para o ensino do sistema de numeração em Davýdov.
2013. 111 f. Monografia (Especialização em Educação Matemática) – Universidade do
Extremo Sul Catarinense, Criciúma.
SOUZA, M.B. O ensino do conceito de número: objetivações nas proposições
davydovianas e formalista moderna. 2013. 237 f. Dissertação (Mestrado em Educação).
Universidade do Extremo Sul Catarinense, Criciúma.
ГОРБОВ С. Ф. : МИКУЛИНА Г. Г. : САВЕЛЬЕВА О. В. Обучениематематике. 2º класс:
Пособиедляучителейначальнойшколы(Система Д. Б. Эльконина – В.В. Давыдова). 2-е
ида, перераб. - М.:ВИТА-ПРЕССб 2009. 128p. [GORBOV, S.F.; MIKULINA, G.G.;
SAVIELIEV, O.V. Ensino de Matemática. 2º ano: livro do professor do Ensino Fundamental
(Sistema do D.B. Elkonin – V.V. Davýdov). 2ª edição redigida, Moscou, Vita-Press, 2009].
ГОРБОВ С. Ф.; МИКУЛИНА Г. Г. : САВЕЛЬЕВА О. В. Обучениематематике. 1º класс:
Пособиедляучителейначальнойшколы(Система Д. Б. Эльконина – В.В. Давыдова). 2-е
ида, перераб. – М. : ВИТА-ПРЕССб 2008. 128p. [GORBOV, S.F.; MIKULINA, G.G.;
19
SAVIELIEV, O.V. Ensino de Matemática. 1º ano: livro do professor do ensino fundamental
(Sistema do D.B. Elkonin – V.V. Davýdov). 2ª edição redigida, Moscou, Vita-Press, 2008].
ДАВЫДОВ, В. В. О. et al. Математика, 1-Kjiacc. Mockba: Mnpoc - Аргус, 2012.
Davýdov, V.V. Matemática, 1º ano. Livro didático e de exercícios para os estudantes da
primeira série. Moscou: MIROS, Argus, 2012a.
ДАВЫДОВ, В. В. О. et al. Математика, 2-Kjiacc. Mockba: Mnpoc - Аргус, 2012.
Davýdov, V.V. Matemática, 2º ano. Livro didático e de exercícios para os estudantes da
primeira série. Moscou: MIROS, Argus, 2012b.