Derivadas
1 DEFINIÇÃO
A partir das noções de limite, é possível chegarmos a uma definição importantíssima para o
Cálculo, esta é a derivada. Por definição:
“A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada
curva, essa reta é obtida a partir de um limite.”
Temos duas notações usadas para ela, a derivada de uma função f(x) é representa como f’(x),
mais usual, ou como
, conhecida como notação de Leibniz e mais usada na Física.
Se pegarmos dois pontos de uma curva, obteremos uma reta que passa por eles. A reta
tangente a um determinado ponto é simplesmente a escolha de dois pontos infinitamente
próximos, é como se chegássemos o ponto Q da figura abaixo, o mais próximo possível do
ponto P. Assim, ΔXo tende a zero, obtendo, então, o limite que define a derivada.
Podemos definir derivada, também, como a taxa de variação de uma função em determinado
valor, essa definição perde um pouco o sentido geométrico e ganha um sentido mais usual.
Um exemplo maneiro disso é a velocidade. Pensemos que a velocidade é a taxa de variação da
distância em função do tempo, em outras palavras, a velocidade é a derivada da distância em
relação ao tempo, ou ainda...
2 DIFERENCIABILIDADE
“Dizemos que uma função é diferenciável (ou derivável) em um ponto ou intervalo,
se existir derivada nesse ponto ou em todos os pontos desse intervalo.”
A partir daí, podemos relacionar continuidade com diferenciabilidade. Se uma função é
diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto, mas nem toda função contínua
é diferenciável!!
Se pensarmos no gráfico da função, essa definição fica mais fácil e intuitiva; ora, se uma função
tem reta tangente num ponto, podemos concluir que ela não tem bicos ou descontinuidades, e
sim que (pelo menos, dentro de um intervalo) ela “foi desenhada sem tirar o lápis do papel”
Outra forma que podemos dizer do teorema é que uma função descontínua num ponto, não é
diferenciável nesse ponto.
As funções ao lado exemplificam o
teorema, é tranquilo de ver que no
ponto a, elas não podem ter reta
tangente.
É importante ressaltar que o contrário não é válido;

Uma função contínua não implica uma função diferenciável.
Um exemplo é quando a função possui uma reta
tangente vertical; a função é contínua, porém não
possui derivada em “a”, pois, como a derivada é a
tangente do ângulo entre a reta vertical e a
horizontal, e o ângulo entre elas é 90°,
.
Indeterminação!
Obs: Derivadas de ordens superiores
Se um função derivada f’ também for derivável, significa que ela tem uma derivada, esta é
chamada de derivada segunda ( f’’ ou
).
Um bom exemplo é a aceleração, que é a derivada da velocidade; por sua vez, a velocidade é a
derivada da posição. Portanto, a aceleração é a derivada segunda da posição.
Além da derivada segunda, temos derivadas terceiras, quartas... e assim por diante, que
seguem a mesma ideia da derivada segunda e são denotadas por
3 REGRAS DE DERIVAÇÃO
3.1 SE F(X) É UMA CONSTANTE, SUA DERIVADA É ZERO.
(O gráfico é uma constante, portanto, não há inclinação)
- Exemplo:
f(x) = 2
f’(x) = 0
3.2 REGRA DA POTÊNCIA (POLINÔMIOS):
f(x) =
, então f’(x) =
- Exemplo:
f(x) =
.
f’(x) = 2x
OBS: vale lembrar que em funções com raízes, usamos essa mesma regra, escrevendo a
raiz na forma de potência.
, escrevemos como
e derivamos usando a regra da potência, o que
nos trará como resposta
3.3 REGRA DA CONSTANTE MULTIPLICATIVA:
(c é uma constante); [c . f(x)] ’ = c . f‘(x)
- Exemplo:
f(x) = 2
f’(x) = 2 . 3
f’(x) = 6
3.4 REGRA DA SOMA:
[ f(x) ± g(x) ] ’ = f’(x) ± g’(x)
- Exemplo:
f(x) =
f’(x) =
3.5 REGRA DO PRODUTO:
É! Infelizmente (rs) a derivada do produto não é o produto das derivadas. Aqui a gente vai utilizar a
Regra do Produto, que é simples! Cuidado pra não se confundir. O produto das derivadas nada mais é
que (a derivada da primeira função * a segunda função + a derivada da segunda função * a primeira
função), como mostrado abaixo.
- Exemplo:
3.6 REGRA DO QUOCIENTE:
Essa regrinha vem da regra anterior e ambas vêm do conceito de derivada!!
- Exemplo:
3.7 NÚMERO NATURAL E:
A derivada da função
é sempre ela mesma, ou seja,
Bora Exercitar?
1.
Resposta:
Pela regra potência...
2.
Resposta:
Podemos escrever f(x) como
3.
Resposta:
e depois usar a regra da potência...
Pela regra da constante multiplicativa...
Aplicamos a regra da soma também...
Usando a regra da constante e a da potência, obtemos o resultado final...
4.
Resposta:
Pela regra do produto...
Aplicando a regra da soma e potência nas derivadas...
Fazendo as distributivas e organizando, temos...
5.
Resposta:
Pela regra do quociente...
Aplicando a regra da soma e a da potência...
6.
Resposta:
Pela regra do produto...
Usando a regra do número natural e escrevendo
como
...
4 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Apesar de serem muito importantes, as funções trigonométricas têm derivadas com
demonstrações e provas não muito práticas na hora de se calcular. Então, fica mais fácil
“decorá-las”, porém é importante dizer que simplesmente decorar não é o aconselhado, afinal,
ao fazer exercícios, naturalmente acaba se “decorando” cada derivada.
As derivadas de funções trigonométricas mais importantes são, naturalmente, as funções seno
e cosseno.
Além destas duas, podemos destacar outras duas muito usadas em provas e mais pra frente,
em integrais; as funções tangente e secante.
Pra provar é só utilizar a regra do quociente:
Tente fazer o mesmo para a secante.
As outras funções são menos utilizadas, porém são relativamente análogas às outras funções:
5 DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
É importante, antes de tudo, a gente definir que se uma função f(x) é diferenciável num ponto
“a” e f’(a)≠0, sua função inversa g(x) também será diferenciável no “b”, tal que b = f(a). Além
disso, a derivada da inversa será definida como
. A partir dessa definição,
conseguimos encontrar as derivadas de funções trigonométricas inversas.
É importante lembrar que
;
. Isso é
confusão feita por alguns alunos, então fique atento na hora de usá-las.
Tá, sabendo disso, vamos tentar demonstrar as duas principais derivadas de arcos
trigonométricos.
Pela definição,
...
Cara, não saquei a última igualdade!
O Arco seno de x é qual o ângulo em que o seno é x. Por exemplo:
na mesma que eu escrever
igualdade!!
, que dá
. Daí, dá no mesmo fazer aquela última
Paro o arco tangente, a gente tem:
Porém, as três principais, aquelas que são necessárias saber e que se perderia muito tempo
numa prova se derivássemos implicitamente, são arco seno, arco cosseno e arco tangente.
6 REGRA DA CADEIA
A regra da cadeia é umas das regras mais importantes da derivação; trata-se da derivação de
funções compostas.
Ao pegarmos uma função composta (fog (x) do ensino médio), não só derivamos essa função,
pois, como seu nome já diz, ela é composta por outra função. Assim, precisamos derivar a
função (f(x)) e “a função dentro da função” (aquela compõe, g(x)).
Se você ainda não entendeu, pense no conceito de taxa de variação. Uma função composta
possui sua taxa de variação total (sua derivada); porém, para se chegar nessa taxa de variação,
precisamos calcular como a função que compõe (g(x)) varia e como a função (f(x)) varia para ter
a taxa de variação, como um todo, da função.
Fórmula
Se g é diferenciável em x e f diferenciável em g(x), temos que a derivada de
é:
Na notação de Leibniz, podemos escrever na forma:
Um exemplo é:
Primeiro derivamos o que ta fora:
Depois derivamos o que ta dentro.
Daí é só multiplicar:
:}
[UFRJ-2014.2] Derive
Aqui, é essencial verificar quem está composto em quem.
Nesse caso Temos três funções atreladas entre si, são:
.
Ou seja, vamos ter aqui a função composta
dada por:
. Sua derivada, pela regra da cadeia, é
Logo:
Agora multiplicando tudo...
7 DERIVAÇÃO ÍMPLICITA
A princípio, esse método pode parecer bastante complicado e “assustador”; porém, veremos
que ele não é esse monstro.
O método da derivação implícita é usado para funções que não estão explicitamente em função
de uma variável, por exemplo:
ou
. Em funções como essas, fica
muito difícil explicitar uma variável em função da outra (“separar o x do y”) e depois derivar.
Exemplo 1
Para derivarmos essa função, precisaríamos considerar os dois possíveis sinais e depois derivar
cada um deles. Não é errado, porém, muito mais trabalhoso e perderíamos muito tempo, o que
é precioso numa prova.
Exemplo 2
Quando pegamos esta função já não conseguimos nem separar as variáveis, sendo assim mais
trabalhoso ainda derivar.
A partir de exemplos como esses que surge o método da derivação implícita. O Método
consiste em derivarmos, em relação a x, ambos os lados da igualdade de uma função e depois
explicitarmos y’. (Lembre-se que y é uma função de x, portanto devemos usar a regra da cadeia).
Exemplo 1 - Resposta
Mas como
Exemplo 2 - Resposta
(Aqui não tem como isolar o y, então fica assim mesmo)
Assim, conseguimos obter a derivada dessas funções em qualquer ponto. Além disso, uma
vantagem do método é podermos analisar possíveis pontos críticos para as derivadas, como,
por exemplo, o denominador ou numerador darem zero.
8 DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Para encontrarmos e provarmos as derivadas de funções logarítmicas, usaremos a definição de
derivada da inversa. Vejamos um caso genérico:
Com isso, provamos um tipo de derivada que será muito útil para chegarmos a derivada do
logaritmo;
. Esse resultado explica a derivada da função
ser ela mesma,
afinal
.
A partir desses resultados, podemos prosseguir. A inversa da função exponencial apresentada
no exemplo acima é a função logarítmica, aplicando a definição de derivada da inversa, temos:
Nas funções com logaritmo na base natural (ln), que são a maioria nas provas e exercícios, a
fórmula se torna:
9 DIFERENCIAÇÃO LOGARÍTMICA
Essa técnica é uma aplicação do que acabamos de aprender, ela é usada quando lidamos com
funções envolvendo muitos produtos, quocientes, potências. Nesses casos, é útil “passar o log”
e depois derivar, pois podemos usar a propriedades de logaritmos. Se você ainda não entendeu,
fique calmo, vamos ver um exemplo:
-Passando o log dos dois lados...
-Aplicando a propriedades de logaritmo...
-Derivando...
Cara! Já aprendemos tudo sobre como derivar! Basta agora saber como aplicá-las! Isso será tema da
nossa próxima apostila. Mas antes disso, vamos exercitar um pouco!!
Exercícios Recomendados:
1- [UFRJ-2013.2]Calcule
2- [UFRJ-2012.2] Calcule a derivada f’(x) se
3- [Rumo ao ITA] Encontre a equação da reta tangente à elipse x² + 2y² = 2 no ponto (0,1)
pertencente à curva.
4- Derive:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
,
Gabarito: 1)
.
|2)
4) a.
|3) y’=0
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.