Conceitos Básicos de Matemática
Aula 1
ISCTE - IUL, Mestrados de Continuidade
Diana Aldea Mendes
[email protected]
12 de Setembro de 2011
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected])
Matemática
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Conceitos Básicos de Matemática
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Tópicos
Funções reais com 1 e 2 variáveis reais
Função exponencial, logaritmica e potência
Derivação e diferenciação
Extremos livres e condicionados
Matrizes e Determinantes
Operações com matrizes
Cálculo de um determinante
Inversão de matrizes
Valores e vectores próprios
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
Uma função real de uma variável real denota-se por f : D
é dada por uma expresão
y = f (x)
onde
R!Re
x variável independente
y variável dependente
Uma função real de duas variáveis reais denota-se por
f : D R2 ! R e é dada por uma expresão
z = f (x, y)
onde
x, y variáveis independentes
z variável dependente
Example
Função de produção de Cobb-Douglas f : R2+ ! R+ , f (k, l) = kα lβ ,onde
k (capital), l (labour) são variáveis independentes e z = f (k, l) é a variável
dependente.
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
alpha=1.2, beta=1.5
alpha=0.4, beta=0.5
8
600
500
6
400
4
300
200
2
100
0
0
0
30
20
0
30
20
10
40
0
20
20
10
0
l
k
40
l
k
alpha=1.2, beta=0.5
alpha=0.2, beta=1.5
60
60
50
40
40
30
20
20
0
30
10
0
20
10
10
20
0
k
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30
0
30
0
20
10
l
k
Matemática
20
0
40
l
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
Função convexa: uma função f : [a, b] R ! R é convexa se a
região sobre (acima) o seu grá…co for um conjunto convexo. Isto é:
para quaisquer x e y pertencentes a [a, b] e para todo t 2 [0, 1], tem-se
f (tx + (1
t)y)
tf (x) + (1
t)f (y)
Função concava: uma função f : [a, b] R ! R é concava se a
região sob (abaixo) o seu grá…co for um conjunto convexo.
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Função convexa
5
4
y
3
2
1
0
-5
0
5
10
15
20
x
25
30
35
40
45
Função côncava
4
2
y
0
-2
-4
-6
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
x
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
Função exponencial f : R ! R+
f (x) = ex e f (x) = ax , a > 0
Propriedades
eA
= eA B , ax = ex ln a
eB
= (ab)x , e0 = 1, e ∞ = 0, e+∞ = +∞
eA eB = eA+B ,
ax bx
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
y=exp(x)
y=exp(-x)
2.5
8
2
6
y
y
1.5
4
1
2
0.5
0
0
10
20
0
30
0
10
x
4
y=exp(2x)
50
5
40
4
20
x
30
40
y=2exp(5x)
x 10
30
y
y
3
20
2
10
1
0
-10
0
0
10
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20
x
30
40
0
10
20
30
40
x
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
Função logarítmica: f : R+ ! R
f (x) = loga x, a > 0, a 6= 1
a = e ! log natural ln
Propriedades
ln A + ln B = ln (AB) , ln A
ln B = ln
A
B
A ln B = ln BA , ln 1 = 0, ln e = 1
ln 0+ =
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∞, ln(+∞) = +∞
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
y=log(x)
y=-log(x)
1
4
0
3
-1
2
y
5
y
2
-2
1
-3
0
-4
-1
-5
0
10
20
x
30
40
-2
50
0
10
y=log(ex)
20
x
30
40
50
40
50
y=2log(2x+1)
3
5
2
4
1
3
y
y
0
-1
2
-2
1
-3
-4
0
10
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20
x
30
40
50
0
Matemática
0
10
20
x
30
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
Função potência: f : R ! R
f (x) = axk , a, k 2 R
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
y=x 2
y=x 3
10
30
20
8
10
0
y
y
6
4
-10
2
0
-20
0
10
20
30
x
40
50
-30
60
0
10
20
y=x 5
30
x
40
50
60
y=x -1
300
10
200
5
0
0
y
y
100
-100
-5
-200
-300
0
10
20
30
x
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40
50
60
-10
-10
Matemática
0
10
20
30
x
40
50
60
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Derivação de funções reais de uma variável real
A derivada representa a taxa de variação de uma função
Uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada
ponto do seu domínio, a função f (x) f (a) se comportar
aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu grá…co
for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a
derivada da função f no ponto a e representa-se por
f 0 (a) ou
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df
(a)
dx
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8
6
tangente
4
y
inclinação = f'(x)
f(x)
2
0
-2
0
10
20
30
x
40
50
60
3
y
2
1
função não derivável em a
0
a
-1
0
10
20
30
40
50
60
70
x
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Derivação de funções reais de uma variável real
Em tudo que segue k representa um número real e u, v representam
funções reais de uma variável real.
Regras de derivação
(u + v ) 0 = u0 + v0
0
uk = kuk 1 u0
u 0
u0 v uv0
=
(uv)0 = u0 v + uv0
v
v2
0
0
x
x
u
(e ) = e
( e ) = u 0 eu
0
0
x
x
u
(a ) = a ln a, a > 0 (a ) = u0 au ln a, a > 0
u0
1
(ln u)0 =
(ln x)0 =
x
u
(ku)0 = ku0
0
xk = kxk 1
Derivando a derivada de primeira ordem obtém-se a derivada de
segunda ordem e assim sucessivamente derivadas de ordem superior
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Exemplos - derivação
1
2
3
4
5
00
f (x) = 4x3 =) f 0 (x) = 12x2 =) f (x) = 24x
00
f (x) = (x 1)2 =) f 0 (x) = 2 (x 1) =) f (x) = 2
2
4
f (x) = 2 =) f (x) = 2 x 2 =) f 0 (x) =
x
x3
f (x) = x3 ex =) f 0 (x) = x2 ex (3 + x)
f (x) = (ln x)4 =) f 0 (x) =
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4 ln3 x
x
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Derivadas parciais e diferenciais de funções reais de duas
variáveis reais
A derivada parcial (de primeira ordem) de f (x, y) em ordem a variável
x designa-se por
∂f
(x, y)
∂x
e signi…que derivar a função f em ordem a x considerando y como
sendo constante
A derivada parcial (de primeira ordem) de f (x, y) em ordem a variável
y designa-se por
∂f
(x, y)
∂y
e signi…que derivar a função f em ordem a y considerando x como
sendo constante
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Se a função f (x, y) for diferenciável no ponto (a, b) é porque admite
derivadas parciais …nitas e contínuas numa vizinhança desse ponto.
Neste caso o Diferencial de 1a ordem da função f no ponto (a, b)
de…ne-se por
df (a, b) =
∂f
∂x
(a, b) dx +
∂f
∂y
(a, b) dy
onde dx e dy designam-se por acréscimos (são numeros reais
pequenos).
Quando a função for diferenciável, para o cálculo de valores
aproximados, podemos utilizar a seguinte expressão de
diferenciabilidade:
f (a + h, b + k)
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f (a, b) + dx
Matemática
∂f
∂x
+ dy
(a,b)
∂f
∂y
(a,b)
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Derivadas parciais e diferenciais de funções reais de duas
variáveis reais
Derivando as duas derivadas parciais de primeira ordem mais uma vez
em relação a cada uma das duas variáveis x, y obtemos as 4 derivadas
parciais de segunda ordem de f (x, y) , isto é
∂f
∂x
∂f
∂y
0
x
0
x
=
=
∂
∂x
∂
∂x
∂f
∂x
=
∂f
∂y
=
∂2 f
;
∂x2
∂2 f
∂y∂x
∂f
∂x
;
∂f
∂y
0
=
y
0
∂
∂y
=
y
∂
∂y
∂f
∂x
∂f
∂y
=
∂2 f
∂x∂y
=
∂2 f
∂y2
O diferencial de segunda ordem da função f no ponto (a, b) de…ne-se
por
∂2 f
∂x2
d2 f (a, b) =
+
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(a, b) dx2 + 2
∂2 f
(a, b) dy2
∂y2Matemática
∂2 f
∂y∂x
(a, b) dxdy
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Derivadas parciais e diferenciais de funções reais de duas
variáveis reais
Example
Para f (x, y) = x3 + 2y2 temos as seguintes derivadas parciais de primeira
e segunda ordem:
∂f
(x, y) = 3x2
∂x
∂f
(x, y) = 4y
∂y
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∂2 f
(x, y) =
∂x2
∂f
∂x
∂2 f
(x, y) =
∂y∂x
∂f
∂x
∂2 f
(x, y) =
∂y2
([email protected])
0
x
0
y
0
= 3x2
= 3x2
0
x
0
y
= 6x
=0
∂f
= (4y)y0 = 4
∂y
Matemáticay
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Os diferenciais de primeira e segunda ordem no ponto (a, b) = (1, 2) são
dados por
df (a, b) =
=
d2 f (a, b) =
+
∂2 f
∂y2
∂f
∂x
(1, 2) dx +
∂f
∂y
(1, 2) dy
3x2 (1, 2) dx + (4y) (1, 2) dy = 3dx + 8dy
∂2 f
∂x2
(a, b) dx2 + 2
∂2 f
∂y∂x
(a, b) dxdy
(a, b) dy2 = (6x) (1, 2) dx2 + 2 (0) (1, 2) dxdy + 4 (1, 2) dy2
= 6dx2 + 4dy2
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Example
Para f (x, y) = 3xy + 2 ln xy + x2 y2 , temos as seguintes derivadas
parciais de primeira ordem:
∂f
(x, y) = 2xy2 +
∂x
∂f
(x, y) = 2x2 y
∂y
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Matemática
2
+ 3xy y ln 3
x
2
+ 3xy x ln 3
y
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Extremos Livres (Relativos)
De…nição: Sejam f : A
R ! R e a 2 IntA.
a é um ponto de mínimo local (global) para a função f se e só se
numa vizinhança V do ponto dado se tem
f (x)
f (a) , 8x 2 V (8x 2 A)
O número real f (a) representa o valor mínimo que a função f assume
na vizinhança V.
a é um ponto de máximo local (global) para a função f se e só se
numa vizinhança V do ponto dado se tem
f (x)
f (a) , 8x 2 V (8x 2 A)
O número real f (a) representa o valor máximo que a função f assume
na vizinhança V
Os mínimos e os máximos designam-se por extremos.
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Extremos Livres (Relativos)
De…nição: Seja f (x) uma função diferenciável de…nida em A R e com
valores em R É condição necessária (condição de primeira ordem) para a
existência de um extremo no ponto a 2 A, que f 0 (a) = 0.
Sendo assim, resolvendo a equação f 0 (a) = 0 obtém-se os possíveis
candidados ao extremo, ou seja os pontos estacionários (de
estacionariedade) do problema.
De…nição: A condição su…ciente (condições de segunda ordem) consta na
caracterização do ponto de estacionariedade a como máximo ou mínimo e
depende do signal da derivada de segunda ordem, isto é
se f 00 (a) > 0 então a é um mínimo
se f 00 (a) < 0 então a é um máximo
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Extremos Livres (Relativos)
Example
Determine, caso existem, os extremos livres da seguinte função: f (x) = x2 .
Condição necessária: f 0 (x) = 2x = 0 ! x = 0 é o único ponto
estacionário da função dada.
Condição su…ciente: f 00 (x) = 2 > 0 ! logo o ponto x = 0 é um
mínimo.
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Extremos Livres (Relativos)
Sejam f : A R2 ! R e (a, b) 2 IntA.
(a, b) é um ponto de mínimo local (global) para a função f se e só se
numa vizinhança V do ponto dado se tem
f (x, y)
f (a, b) , 8 (x, y) 2 V, (8 (x, y) 2 A)
O número real f (a, b) representa o valor mínimo que a função f assume
na vizinhança V.
O número real f (a, b) representa o valor mínimo da função f .
(a, b) é um ponto de máximo local (global) para a função f se e só se
numa vizinhança V do ponto dado se tem
f (x, y)
f (a, b) , 8 (x, y) 2 V, (8 (x, y) 2 A)
O número real f (a, b) representa o valor máximo que a função f
assume na vizinhança V
O número real f (a, b) representa o valor máximo que a função f
assume na vizinhança V
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Extremos Livres (Relativos)
É condição necessária (condição de primeira ordem) para a existência
∂f
∂f
de um extremo no ponto (a, b) 2 A, que
(a, b) = 0 e
(a, b) = 0.
∂x
∂y
Isto é, resolvendo o sistema de 2 equações e 2 incógnitas de…nido por
8
∂f
>
>
< ∂x (x, y) = 0
>
∂f
>
:
(x, y) = 0
∂y
obtém-se os possíveis candidados ao extremo, ou seja os pontos
estacionários (de estacionariedade) do problema.
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Extremos Livres (Relativos)
As condições su…cientes (condições de segunda ordem) constam na
caracterização do ponto de estacionariedade (a, b) como máximo ou
mínimo relativo, ou ainda como ponto de sela, e dependem dos
valores da matriz Hessiana H da função no ponto (caso exista).
Relembramos que no caso de funções reais de duas varáveis reais a
matriz Hessiana é de…nido por
2 2
3
∂ f
∂2 f
6 ∂x2
∂x∂y 7
7
H (x, y) = 6
2
4 ∂ f
∂2 f 5
∂x∂y ∂y2
(x,y)
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Extremos Livres (Relativos)
O ponto de estacionariedade (a, b) é um mínimo se e só se
D1 =
=
∂2 f
∂x2
(a,b)
∂2 f
∂x2
> 0 e D2 = jH (a, b)j
(a,b)
∂2 f
∂y2
(a,b)
∂2 f
∂x∂y
(a,b)
∂2 f
∂x∂y
>0
(a,b)
O ponto de estacionariedade (a, b) é um máximo se e só se
D1 =
=
∂2 f
∂x2
(a,b)
∂2 f
∂x2
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< 0 e D2 = jH (a, b)j
(a,b)
∂2 f
∂y2
(a,b)
Matemática
∂2 f
∂x∂y
(a,b)
∂2 f
∂x∂y
>0
(a,b)
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Extremos Livres (Relativos)
10
5
0
-5
-10
50
40
50
30
40
30
20
20
10
10
0
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0
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Extremos Livres (Relativos)
Example
Determine, casa existem, os extremos livres da seguinte função
f (x, y) =
x3 + 4xy
y2 .
Condição necessária: cálculo dos pontos estacionários (os possíveis
pontos de extremo)
fx0 (x, y) = 0
fy0 (x, y) = 0
3x2 + 4y = 0
4x 2y = 0
3x2 + 4 (2x) = 0
y = 2x
3x2 + 4y = 0
y = 2x
3x2 + 8x = 0
y = 2x
x = 0 ou x = 8/3
y = 0 ou y = 16/3
Portanto existam dois pontos de estacionariedade (x, y) = (0, 0) e
(x, y) = (8/3, 16/3) .
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Extremos Livres (Relativos)
Condição su…ciente:averiguar quais dos pontos de estacionariedade
são pontos de extremo. Por isso é precisso determinar a matriz
Hessiana da função f (x, y) , isto é
" 0
#
00 (x, y)
fx02 (x, y)
fxy
6x 4
0
H (x, y) =
=
00 (x, y)
4
2
fxy
fy02 (x, y)
Para o ponto estacionário (x, y) = (0, 0) obtem-se
H (0, 0) =
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6x
4
4
2
=
(0,0)
Matemática
0
4
4
2
=
2
4
4
0
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Extremos Livres (Relativos)
de onde
D1 = j
D2 =
2j =
2 4
4 0
2<0
=
16 < 0
e portanto o ponto (0, 0) não é um extremi (é um ponto de sela).
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34 / 69
Extremos Livres (Relativos)
Para o ponto estacionário (x, y) = (8/3, 16/3) obtem-se
H (8/3, 16/3) =
6x
4
4
2
=
(8/3,16/3)
48/3
4
4
2
!
de onde
D1 = j
D2 =
48/3j = 48/3 < 0
48/3 4
= 48/3 > 0
4
2
e portanto o ponto (8/3, 16/3) é um ponto de máximo.
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Extremos Condicionados
De…nição: Um problema de extremos condicionados consiste de uma
função real f : A R2 ! R (função objectivo) cujas 2 variáveis estão
ligadas por 1 condição ou seja a função f (x, y) é sujeita à 1 restrição
g(x, y) = 0
Calcular os extremos condicionados do problema é equivalente ao calcular
os extremos livres da seguinte função
L (x, y; λ) = f (x, y) + λg(x, y)
designada por função Lagrangeana. A variável auxiliare λ designa-se por
multiplicador de Lagrange.
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Extremos Condicionados
Apos da construcção da função Lagrangeana precede-se ao calculo dos
pontos estacionários (condição necessária). O sistema de estacionariedade
é um sistema de 3 equações e 3 incógnitas de…nido por
8
∂L
>
>
(x, y; λ) = 0
>
>
>
∂x
>
< ∂L
(x, y; λ) = 0
>
∂y
>
>
>
∂L
>
>
(x, y; λ) = 0
:
∂λ
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Extremos Condicionados
Como no caso dos extremos livre,a caracterização dos possíveis extremos,
dependem de condições de segunda ordem, nomeadamente do sinal do
Hessiano orlado (de tipo ((3) (3)), isto é
0
H2 a, b; λ0 =
∂g
∂x
∂g
∂y
∂g
∂x
∂2 L
∂x2
∂2 L
∂x∂y
∂g
∂y
∂2 L
∂x∂y
∂2 L
∂y2 (a,b,λ0 )
sendo a, b, λ0 um ponto de estacionariedade.
Se H2 a, b; λ0 > 0, então o ponto (a, b) é um máximo condicionado
Se H2 a, b; λ0 < 0, então o ponto (a, b) é um mínimo condicionado
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Extremos Condicionados
Example
Determine, caso existem, os extremos condicionados da função
f (x, y) = x2 + y2 sujeita à restrição g (x, y) = x + y 2 = 0
Passo 1: construção da função Lagrangeana
L (x, y, λ) = f (x, y) + λg (x, y) = x2 + y2 + λ (x + y
Passo 2: condições de primeira ordem (determinar os pontos
estacionários)
8
∂L
>
>
(x, y; λ) = 0 8
>
>
>
∂x
>
< ∂L
< 2x + λ = 0
2y + λ = 0
(x, y; λ) = 0
>
:
∂y
>
x+y 2 = 0
>
>
∂L
>
>
(x, y; λ) = 0
:
∂λ
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2)
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Extremos Condicionados
Portanto (1, 1,
8
< x=
y=
:
x=2
8
< x=
y=
:
λ=
8
λ/2 < x = λ/2
λ/2
y = λ/2
:
y
λ/2 = 2 + λ/2
8
λ/2 < x = 1
λ/2
y=1
:
2
λ= 2
2) é o único ponto estacionário da Lagrangeana.
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Extremos Condicionados
Passo 3: condições de segunda ordem (veri…car se o ponto
estacionário é um extremo)
0
H2 (1, 1,
2) =
=
∂g
∂x
∂g
∂y
∂g
∂x
∂2 L
∂x2
∂2 L
∂x∂y
0 1 1
1 2 0
1 0 2
∂g
∂y
∂2 L
∂x∂y
∂2 L
∂y2
=
(1,1, 2)
4<0
(1,1, 2)
logo (1, 1) é um mínimo condicionado.
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Matrizes e Determinantes
Uma matriz é um quadro de números ordenados por linhas (…las
horizontais) e colunas (…las verticais) que se apresenta cercado por
parênteses ou parênteses rectos, sendo normalmente representada por uma
letra maiúscula.
Por exemplo, qualquer dos quadros seguintes representa uma matriz:
A=
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2
2
3
1
B=
Matemática
3
2
2
1
1
1
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Matrizes e Determinantes
De…nição
Designa-se por matriz de números reais de elemento genérico aij , em que
o primeiro índice (i = 1, 2, ...., m) indica a linha e o segundo índice
(j = 1, 2, ...., n) indica a coluna, a um quadro do tipo:
2
6
6
6
4
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
a1n
a2n
..
.
am1 am2 ... amn
De…nição
Diz-se que uma matriz é do tipo m
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...
...
3
7
7
7
5
n se tem m linhas e n colunas.
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Matrizes e Determinantes
Casos particulares de matrizes:
A uma matriz do tipo n n dá-se o nome de matriz quadrada de
ordem n.
A uma matriz do tipo m n , em que m 6= n dá-se o nome de matriz
rectangular.
Dada uma matriz quadrada, dá-se o nome de diagonal principal à
diagonal formada pelos elementos aij , em que i = j. Aos elementos
da diagonal principal dá-se o nome de elementos principais.
A uma matriz quadrada cujos elementos não principais são nulos
dá-se o nome de matriz diagonal.
Se todos os elementos principais de uma matriz quadrada diagonal
são unitários, então trata-se da matriz identidade: In (onde n é a
ordema da matriz)
A uma matriz quadrada cujos elementos abaixo (acima) da diagonal
principal são nulos dá-se o nome de matriz triangular superior
(inferior).
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Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
A adição de duas matrizes consiste na adição dos elementos
homólogos de cada uma das matrizes.
C = A + B ) cij = aij + bij
A adição de matrizes só é possível se elas forem da mesma ordem,
obtendo-se como resultado uma matriz da mesma ordem.
Example
Considerando as matrizes A, B, C e D
A =
2
2
C =
1 0
2 5
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3
1
, B=
D=
Matemática
3
2
0 3
4 5
2
1
1
1
1
1
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Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
Vejamos, em dois casos em que a adição é possível, como se materializa
esta operação:
A+C =
2
2
3
1
=
3
4
3
6
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+
1 0
2 5
Matemática
=
2+1
2+2
3+0
1+5
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Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
B+D =
=
3
2
2
1
3+0
2+4
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1
1
2+3
1+5
0 3
4 5
1
1
1+1
1 1
=
+
Matemática
3 1
6 6
2
2
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Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
A multiplicação de uma matriz por um escalar é feita mediante a
multiplicação de cada um dos elementos da matriz por esse escalar.
B = λA ) bij = λaij
8λ 2 <
Example
Sendo dados o número real e a matriz abaixo indicadas
λ=3 ;
A=
3
2
2
1
temos que
λA = 3
3
2
2
1
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=
3
3
3 3 ( 2)
2
3 1
Matemática
=
9
6
6
3
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Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
O produto de duas matrizes consiste na multiplicação das linhas do
primeiro factor pelas colunas do segundo. A multiplicação de duas
matrizes só é possível quando o número de colunas da primeira matriz é
igual ao número de linhas da segunda matriz.
De…nição
A multiplicação de uma matriz A do tipo m n por uma matriz B do tipo
p q é possível sempre que n = p, e o seu resultado é uma matriz C, do
tipo m p, cujo elemento genérico é :
n
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj =
∑ aik bkj
k =1
onde
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i = 1, 2,
j = 1, 2,
Matemática
,m
,p
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Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
Example
Determine o produto das matrizes A e B, onde
A(2
3)
=
1
2
1 0
0 3
, B(3
2)
2
2
=4 1
0
3
1
1 5
5
Resolução: Como a matriz A é de tipo (2 3) e a matriz B é de
tipo (3 2) , a operação A B é possível (número de colunas da
primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz) e o
resultado vai ser uma matriz de tipo (2 2) . A operação B A não
é possível, de onde concluímos que A B 6= B A.
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Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
A
B =
=
=
1
2
1
1 0
0 3
2
2
4 1
0
3
1
1 5
5
2 + ( 1) 1 + 0 0
2 2+0 1+3 0
2 1+0
4+0+0
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1+1+0
2 + 0 + 15
Matemática
1
=
1 + ( 1) ( 1) + 0 5
2 1 + 0 ( 1) + 3 5
1
4
2
17
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Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
Transposição de matrizes. Matrizes simétricas.
Chama-se matriz transposta de uma matriz A e representa-se por AT , a
uma matriz cujas colunas são as linhas de A (pela mesma ordem) sendo,
consequentemente, as suas linhas as colunas de A.
Example
Transposta de uma matriz
A=
2 4 2
1 3 5
2
3
2 1
, AT = 4 4 3 5
2 5
Matriz simétrica é uma matriz que coincide com a sua transposta:
A = AT . Se A = AT diz-se que A é anti-simétrica.
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Matrizes e Determinantes
Álgebra das matrizes
São permitidas as seguintes operações entre as …las paralelas de uma
matriz (designadas por operações elementares):
1
Troca entre si de duas …las paralelas da matriz;
2
Multiplicação de uma …la por um número real diferente de zero;
3
Substituição de uma …la pela que se obtém somando outra,
multiplicada por um número real qualquer (Operação de Jacobi).
A característica de uma matriz A, r (A), corresponde ao número máximo
de …las paralelas não-nulas e obtém-se condensando a matriz, isto é,
transformando a matriz inicial ,aplicando as operações elementares, numa
matriz triangular superior de elementos principais signi…cativos de maior
ordem possível (condensação vertical).
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53 / 69
Matrizes e Determinantes
Determinantes
A toda a matriz quadrada A de ordem n, se faz associar um número
real, designado por determinante. Utilizamos a notação det (A) ou
jAj
A = [aij ]i,j=1,...,n
! det (A) = jAj
O determinante de uma matriz que contém apenas um elemento (de
ordem 1) é o próprio elemento
A = [12]
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! jAj = j12j = 12
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54 / 69
Matrizes e Determinantes
Determinantes
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 calcula-se pela
seguinte regra:
A=
a11 a12
a21 a22
! jAj =
a11 a12
a21 a22
= a11 a22
a12 a21
Mais precisamente, é a diferença entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária
jAj =
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1 4
2 9
= ( 1) 9
Matemática
2 4=
17
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55 / 69
Matrizes e Determinantes
Determinantes
Cálculo de um Determinante de matrizes quadradas de ordem 3:
Regra de Sarrus
Considere uma matriz quadrada de
2
a11
4
A = a21
a31
ordem 3
3
a12 a13
a22 a23 5
a32 a33
Em primeiro lugar, vamos repetir as duas primeiras linhas de A por
baixo da matriz, em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal
principal da matriz e os elementos das duas diagonais paralelas a
principal, somando os resultados. A seguir, multiplicamos os
elementos da diagonal secundária da matriz e os elementos das duas
diagonais paralelas a secundária, subtraindo os resultados, isto é
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56 / 69
Matrizes e Determinantes
Determinantes
3
a11 a12 a13
A = 4 a21 a22 a23 5
a31 a32 a33
2
a11 a12 a13
a21 a22 a23
jAj = (a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 )
(a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21 )
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Matrizes e Determinantes
Determinantes
Em esquema
* * *
* * *
* * *
à
*
*
*
*
*
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*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
=(\+\+\)-(/+/+/)
Matemática
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58 / 69
Matrizes e Determinantes
Determinantes
Example
Calcule o seguinte determinante:
2
3
1 3 4
A = 4 2 1 5 5
1 0 2
1 3 4
2 1 5
jAj = (1 1 2 + 2 0 4 + 1 3 5)
(4 1 1 + 5 0 1 + 2 3 2)
= (2 + 0 + 15) (4 + 0 + 12) = 17
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Matemática
16 = 1
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59 / 69
Matrizes e Determinantes
Determinantes
Menor complementar
Considere uma matriz A = aij i,j=1,...,n , quadrada de ordem n: O menor
complementar Dij , relativo ao elemento aij , e o determinante da
submatriz quadrada, de ordem (n 1), que se obtém de A retirando-se a
linha i e a coluna j.
Exemplo:
2
3
1 0
2
2
1
1 5 , D12 =
A = 4 2 1
= 2 0 ( 1) ( 1) =
1 0
1 1 0
D33 =
1 0
2 1
=1 1
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(0) (2) = 1
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60 / 69
1
Matrizes e Determinantes
Determinantes
Complemento algébrico
Dada a matriz quadrada de ordem n, A = aij
i,j=1,...,n
, o complemento
algébrico de aij é o número Aij que se obtém multiplicando-se ( 1)i+j pelo
menor complementar de aij , isto é
Aij = ( 1)i+j Dij
Exemplo
2
1 0
A = 4 2 1
1 1
3
2
1 5 , D12 =
0
2
1
1
0
=2 0
( 1) ( 1) =
A12 = ( 1)1+2 D12 = ( 1)3 ( 1) = 1
A33 = ( 1)3+3 D33 = ( 1)6 (1) = 1
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61 / 69
1
Matrizes e Determinantes
Determinantes: matriz inversa
Cálculo da inversa de uma matriz A: Uma matriz inversa de A
(neste caso denominada por B) tem de veri…car a seguinte igualdade:
AB = BA = I. Quando B existe designa-se por A 1 e a igualdade
anterior assume o seguinte aspecto:
AA
1
= A 1A = I
Em suma, para se poder obter a inversa, a matriz A tem de ser
quadrada e regular (isto é a característica é igual à ordem, ou seja
jAj 6 = 0).
A sua fórmula de cálculo pela teoria dos determinantes é a seguinte
A
1
=
ÂT
jAj
sendo ÂT a matriz dos complementos algébricos transposta.
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Matrizes e Determinantes
Determinantes: matriz inversa
Example
Calcule, caso possível, a inversa da seguinte matriz
2
5
A=
3
1
Como a matriz A é quadrada e regular (pois jAj = 17 6= 0), é possível
determinar a sua inversa A 1 aplicando a fórmula
A
1
=
ÂT
jAj
Primeira vez obtemos a matriz dos complementos algébricos, isto é
 =
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1
3
5
2
! ÂT =
Matemática
1 3
5 2
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Matrizes e Determinantes
Determinantes: matriz inversa
Logo
A
1
=
=
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ÂT
1
=
17
jAj
1 3
5 2
1/17 3/17
5/17 2/17
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Matrizes e Determinantes
Determinantes
Propriedades dos determinantes
1
2
3
Se uma matriz quadrada A tem uma …la nula, então jAj = 0
j A j = AT , A 1 = j A j 1
Um determinante muda de sinal quando se trocam entre si duas …las
paralelas.
1 3
3 1
C1 $C2
!
jAj =
5
2
2 5
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Matrizes e Determinantes
Valores próprios
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então um valor próprio de A é
um escalar λ tal que det (A λIn ) = 0, isto é, os valores próprios de A
são as raízes da equação det (A λIn ) = 0. A matriz A tem no mínimo
um valor próprio e no máximo n valores próprios distintos.
A equação det (A λIn ) = 0 designa-se por equação característica da
matriz A e é uma equação polinomial de grau n na variável λ. O
polinómio de grau n na variável λ,
det (A
λIn ) = λn + cn
1λ
n 1
+ cn 2 λn
2
+
+ c1 λ + c0 ,
tem o nome de polinómio característico da matriz A.
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Matrizes e Determinantes
Valores próprios
No caso particular em que n = 2, isto é,
A=
a11 a12
a21 a22
,
o determinante característico assume a expressão
det (A
a11
a21
λI2 ) =
2
λ a12
a22
= λ + ( a11
λ
a22 )λ + (a11 a22
a12 a21 ) = 0
Os valores próprios da matriz A correspondem às raízes do seu polinómio
característico. Atendendo a que o polinómio característico de A é de grau
2, a matriz A tem no máximo 2 valores próprios.
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67 / 69
Matrizes e Determinantes
Valores próprios
Example
Determinação de valores próprios. Seja A uma matriz de ordem 2
de…nida por
5 2
A=
.
2
2
Para determinar os valores próprios de A há que determinar o polinómio
característico de A, isto é
det (A
λI2 ) = det
= det
5
2
5
2
2
2
λ
2
= (λ + 5)(λ + 2)
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λ 0
0 λ
Matemática
2
λ
4 = λ2 + 7λ + 6
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68 / 69
Matrizes e Determinantes
Valores próprios
Resolver a equação característica de A
det (A
λI2 )
que tem como soluções λ1 =
da matriz A).
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= 0 , λ2 + 7λ + 6 = 0
, (λ + 1)(λ + 6) = 0
1 ou λ2 =
Matemática
6 (ou seja os valores próprios
12 de Setembro de 2011
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