Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Programa de Pós-graduação em Engenharia de Sistemas
Dinâmicos e Energéticos
Tema da Aula:
Estabilidade de Sistemas
Lineares com Realimentação
Prof. Dr. Carlos Henrique Farias dos Santos
1
Estrutura da aula
1 Introdução
2 Estabilidade BIBO;
3 Estabilidade assintótica;
4 Critério de estabilidade de Routh;
5 Estabilidade no espaço de estados;
6 Estabilidade em sistemas com atraso.
2
1 Introdução
Um sistema estável é um sistema dinâmico com uma resposta
limitada para uma entrada limitada. Uma ilustração do conceito de
estabilidade é exposta a seguir.
a) Se o cone está em repouso sobre sua base e um pequeno
empurrão é aplicado, ele retorna a sua posição original de
equilíbrio.
3
1 Introdução
b) Se o cone repousa sobre sua lateral e aplica-se outro pequeno
empurrão, o cone começa a deslizar sem tender a abandonar a
posição lateral.
c) Se o cone é ligeiramente empurrado, ele cai.
4
1 Introdução
A estabilidade de um sistema dinâmico é definida de maneira
similar. A resposta ao deslocamento, ou a condição inicial, resulta
num decaimento, neutralidade ou crescimento da resposta como
ilustrado a seguir.
5
1 Introdução
Como exemplo, a resposta ao
degrau unitário do sistema
estável mostrado na figura (a) é
comparada com a do sistema
instável mostrado na figura (b).
As respostas, mostram que
enquanto as oscilações nos
sistemas estáveis diminuem, nos
instáveis elas aumentam sem
limite. Observe também que,
neste caso, a resposta do sistema
estável, em estado estacionário,
tende ao valor um.
6
1 Introdução
Um exemplo de sistema instável é
exposto na figura ao lado. A
primeira ponte sobre o estreito de
Tacoma em Puget Sound,
Washington, foi aberta ao tráfego
no dia 1 de julho de 1940.
Descobriu-se que a ponte oscilava
sempre que ventava. Depois de
quatro meses, uma ventania
produziu uma oscilação que
cresceu em amplitude até que a
ponte se rompeu. A figura (a)
mostra o início da oscilação e a (b)
o colapso catastrófico.
7
1 Introdução
Métodos para determinarem a estabilidade dos sistemas
lineares contínuos invariantes no tempo sem a necessidade de
resolução da equação característica:
1. O critério de Routh-Hurwitz. Este critério é um método
algébrico que fornece informação sobre a estabilidade
absoluta de um sistema linear invariante no tempo que possui
uma equação característica com coeficientes constantes. O
critério testa quando qualquer uma das raízes da equação
característica encontra-se no semi-plano direito do plano-s. O
número de raízes sobre o eixo jw e no semi-plano esquerdo.
2. O critério de Nyquist. Este critério é um método semigráfico
que fornece informação sobre a diferença entre o número de
pólos e zeros da função de transferência que estão no semiplano direito do plano-s através da observação do gráfico de 8
Nyquist da função de transferência.
1 Introdução
3. Diagrama de Bode. Este diagrama é um gráfico da magnitude da
função de transferência de malha G(jw)H(jw) em dB e da fase de
G(jw)H(jw) em graus, todos versus a freqüência. A estabilidade
do sistema de malha fechada pode ser determinada pela
observação destes gráficos.
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2 Estabilidade BIBO
Sejam u(t), y(t)e g(t) a entrada, a saída e a resposta ao impulso de
um sistema linear invariante no tempo, respectivamente. Com
condições iniciais nulas, um sistema é dito BIBO (bounded-input
bouded-output) estável, ou simplesmente estável, se para toda
entrada limitada u(t) resultar uma saída limitada y(t).
Matematicamente, se y(t) é a saída e u(t) é a entrada de um sistema
linear monovariável,
u ( t ) ≤ N < ∞ para t ≥ t 0
então
y( t ) ≤ M < ∞ para
t ≥ t0
10
2 Estabilidade BIBO
PROVA
Expressando a relação entre u(t), y(t) e g(t) através da integral de
convolução:
+∞
y( t ) = ∫ u ( t − τ)g (τ)dτ
−∞
Tomando os valores absolutos em ambos os membros da integral
de convolução, tem-se
+∞
y( t ) =
∫ u (t − τ)g(τ)dτ
−∞
11
2 Estabilidade BIBO
Sabendo que o valor absoluto da integral não é superior ao valor
absoluto do integrando, reescreve-se
+∞
y( t ) =
∫ u(t − τ) g(τ) dτ
−∞
Se u(t) é limitada,
u(t) ≤ N
onde N é uma constante positiva finita. Então,
+∞
y( t ) ≤ N ∫ g(τ) dτ < ∞
−∞
12
2 Estabilidade BIBO
Logo, se y(t) é limitado, ou seja,
y( t ) ≤ M < ∞
onde M é uma constante positiva finita. Então, a seguinte condição
deve ser atendida:
+∞
N ∫ g (τ) dτ ≤ M < ∞
−∞
Portanto, a saída será limitada se a seguinte integral for limitada.
+∞
∫ g(τ) dτ
−∞
Caso contrário, o sistema não é estável.
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2 Estabilidade BIBO
EXEMPLO
Considere o capacitor alimentado por uma fonte de corrente; a
tensão no capacitor é a saída. Seja g(t) = 1(t). Assim,
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ g(τ) dτ = ∫ dτ
A qual não é limitada. A função de transferência é Y(s)/U(s) =
1/s. Fisicamente, uma entrada de corrente constante causará um
crescimento indefinido da tensão e assim, o sistema não é BIBO
estável.
14
2 Estabilidade BIBO
qi
EXEMPLO
h
q
Considere o sistema de armazenamento de líquido. Mostre que este
processo não é auto-regulável, considerando a resposta ao degrau da
vazão de entrada qi.
A função de transferência que relaciona o nível do líquido com a
vazão de entrada qi é dada por:
H(s)
1
=
Q i (s) As
onde: A – área transversal
do tanque.
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2 Estabilidade BIBO
Para uma entrada ao degrau, de magnitude M0,
M0
Q i (s) =
s
Logo,
M0
H(s) = 2
As
Obtendo a transformada de Laplace inversa,
M0
h(t) =
t
A
Portanto, a resposta é ilimitada e assim, o sistema é de malha
aberta instável (ou não auto-regulável), desde que uma entrada
limitada produz uma saída ilimitada.
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3 Estabilidade assintótica
O conceito de estabilidade devido a Lyapunov consiste em a saída e
todas as variáveis internas jamais tornarem-se ilimitadas e devem
tender ao zero quando o tempo tender ao infinito, para condições
iniciais suficientemente pequenas.
Considere o sistema linear constante cuja equação característica seja,
s n + a1s n −1 + a 2s n − 2 + L + a n = 0 (1)
Assuma que as raízes {pi} da equação característica sejam reais ou
complexas, mas distintas. Observa-se que a equação (1) é o
denominador da função de transferência do sistema,
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3 Estabilidade assintótica
Y(s) b 0s m + b1s m −1 + b 2s m − 2 + L + a m
= n
T(s) =
R (s)
s + a1s n −1 + a 2s n − 2 + L + a n
m
=
K ∏ (s − z i )
i =1
n
∏ (s − p )
, m≤n
(2)
i
i =1
A solução da equação diferencial cuja equação característica é
dada anteriormente pode ser escrita como,
n
y( t ) = ∑ K i e p i t
i =1
(3)
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3 Estabilidade assintótica
Onde {pi} são as raízes da equação característica (2) e {Ki}depende
das condições iniciais.
O sistema é estável se e somente se todo termo de (3) tender para
zero, quando o tempo tende para o infinito.
e
pi t
→ 0 ∀p i
Isto acontece se todos os pólos do sistema estiverem no lado
esquerdo do plano complexo, ou seja, Re{pi} < 0. Desta forma,
todos os coeficientes da equação característica {ai} precisam ser
positivos. Esta condição determina a estabilidade assintótica
interna do sistema.
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4 Critério de estabilidade de Routh
Considere a equação característica de um sistema de n-ésima
ordem,
a (s) = s n + a1s n −1 + a 2s n − 2 + L + a n
A condição necessária para estabilidade de Routh diz que todas as
raízes da equação característica devem ter partes reais negativas, o
que requer que todos os coeficientes {ai} sejam positivos.
PROVA: a equação característica pode ser escrita na forma:
(s − p1 )(s − p 2 )(s − p3 )L (s − p n ) = 0
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4 Critério de estabilidade de Routh
Se esta equação é multiplicada, tem-se:
a n s n + a n −1s n −1 + L + a 0 = 0
a0
a n −1 n −1
s +
s +L+
=0
an
an
n
21
4 Critério de estabilidade de Routh
Pela teoria das equações, pode-se relacionar as raízes {pi} e os
coeficientes:
n
a n −1
= −∑ p i ;
an
i =1
n
n
a n −2
= ∑∑ p i p j , i ≠ j
an
i =1 j=1
n
n
n
a n −3
= −∑∑∑ p i p jp k , i ≠ j ≠ k
an
k =1 i =1 j=1
M
a0
= (−1) n p1p 2 L p n
an
22
4 Critério de estabilidade de Routh
Conclusões:
(1) Os coeficientes an-1, ..., a0 têm todos o mesmo sinal e são todos não
nulos, se todas as raízes p1, ..., pn tiverem partes reais negativas.
(2) A única maneira para qualquer dos coeficientes diferir no sinal de
an é que uma ou mais das raízes tenha uma parte real positiva.
Assim, o sistema é necessariamente instável se outros coeficientes
não tiverem o mesmo sinal.
Todavia, esta condição não é suficiente, pois um sistema não é
necessariamente estável se todos os coeficientes tiverem o mesmo
sinal.
Exemplo: q(s) = (s +2)(s2 – s + 4) = s3 + s2 + 2s +8, é instável mesmo
com os coeficientes positivos.
23
4 Critério de estabilidade de Routh
Para contornar esta limitação, os cientistas Routh e Hurwitz
criaram no final do século 19 uma metodologia que estabelece uma
condição necessária e suficiente de estabilidade. Esta metodologia
é baseada num arranjo triangular.
Condição Necessária e Suficiente: Todos os elementos da
primeira coluna do arranjo devem ser positivos.
Esta metodologia é explicada em detalhes a seguir.
24
4 Critério de estabilidade de Routh
Este método pode dizer quantos pólos do sistema em malha fechada
estão no semiplano da esquerda, no semiplano da direita e sobre o
eixo jw. O número de pólos em cada seção de plano pode ser
determinado, porém sas coordenadas não podem ser obtidas.
O método é denominado critério de Routh-Hurwitz e é constituído de
duas etapas: (1) gerar uma tabela de dados denominada de tabela de
Routh e (2) interpretar a tabela par definir quantos pólos de sistema
em malha fechada se situam no semiplano esquerdo, direito e sobre o
eixo jw.
A grande vantagem deste método está em sua utilização no projeto.
Por exemplo, é difícil determinar por meio de uma calculadora a faixa
de valores de um parâmetro que propicia a estabilidade. Neste
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sentido, o método permite determinar tal faixa.
4 Critério de estabilidade de Routh
Observe a função de transferência do diagrama de blocos a seguir.
Uma vez que há interesse na determinação dos pólos, a atenção é
concentrada no denominador.
26
4 Critério de estabilidade de Routh
Inicialmente, gera-se a tabela de Routh a seguir, começando por nomear
as linhas com potências de s a partir da potência mais alta no
denominador da função de transferência em malha fechada até s0.
Em seguida, inicia-se com o coeficiente de potência mais alta de s no
denominador e lista-se, horizontalmente, na primeira linha, cada um dos
demais coeficientes. Na segunda linha lista-se, horizontalmente,
começando-se com a próxima potência mais alta em s, cada coeficiente
que foi pulado na primeira linha.
27
4 Critério de estabilidade de Routh
As entradas remanescentes são preenchidas da seguinte forma: cada
entrada é igual ao valor negativo dos determinantes formados com os
elementos das duas linhas anteriores dividido pelo elemento da
primeira coluna diretamente acima da linha que está sendo calculada.
A coluna à esquerda
do determinante é
sempre a primeira
coluna das duas
linhas anteriores, e a
coluna à direita é
constituída dos
elementos da coluna
acima e à direita.
A tabela se completa quando todas as linhas estiverem concluídas
28
até s0.
4 Critério de estabilidade de Routh
EXEMPLO: Construa a tabela de Routh para o sistema da figura (a).
SOLUÇÃO:
a primeira etapa é obter o sistema em malha fechada equivalente,
como mostrado na figura (b). O critério de Routh será aplicado ao
denominador desta função de transferência em malha fechada.
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4 Critério de estabilidade de Routh
Inicialmente nomeia-se as linhas com potências de s desde s3 a s0 em
uma coluna vertical. Em seguida forme a primeira linha da tabela
utilizando os coeficientes do denominador da função de transferência
de malha fechada, começando com o de mais alta potência e salte
todas as demais potências de s. Forme a segunda linha com os
coeficientes do denominador saltados na etapa anterior. As linhas
subsequentes são formadas com determinantes, conforme a figura a
seguir.
30
4 Critério de estabilidade de Routh
Interpretação da tabela de Routh básica: “O critério de RouthHurwitz estabelece que o número de raízes do polinômio que se
situam no semiplano direito é igual ao número de mudanças de sinal
na primeira coluna.”
Logo, de acordo com o exemplo anterior, ocorre de 1 na linha s2 para
–72 na linha de s1. A segunda ocorre de –72 na linha de s1 para 103 na
linha de s0. Assim, o sistema é instável, uma vez que existem dois
pólos no semiplano da direita.
31
4 Critério de Estabilidade de Routh: casos especiais
ZERO APENAS NA PRIMEIRA COLUNA:
Se o primeiro elemento de uma linha é igual a zero, seria necessário
uma divisão por zero para formar a próxima linha. Para evitar essa
ocorrência atribui-se um valor épsilon, ε, em substituição ao zero na
primeira coluna. Faz-se então este valor tender a zero por valores
positivos ou negativos, após o que o sinais dos elementos na primeira
coluna podem ser determinados.
Admita o exemplo a seguir.
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4 Critério de Estabilidade de Routh: casos especiais
EXEMPLO: Determine a estabilidade da função de transferência em
malha fechada.
10
T (s) = 5
s + 2s 4 + 3s 3 + 6s 2 + 5s + 3
Comece definindo a tabela de
Routh abaixo da linha onde
aparece um zero apenas na
primeira coluna (a linha de s3). Em
seguida, substitua por um número
pequeno ε, e complete a tabela.
33
4 Critério de Estabilidade de Routh: casos especiais
Sendo ε escolhido como positivo, a tabela a seguir indicará uma mudança
de sinal da linha s3 para a linha s2, e haverá uma outra mudança de sinal
da linha s2 para a linha s1. Assim, o sistema é instável e possui dois pólos
no semiplano da direita. De modo alternativo, ε poderia ser escolhido
como negativo, de acordo com a última coluna da tabela abaixo.
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4 Critério de Estabilidade de Routh: casos especiais
LINHA COMPLETA COM ZEROS:
EXEMPLO: Determine o número de pólos no semiplano da direita
referente à função de transferência.
10
T (s) = 5
s + 7s 4 + 6s 3 + 42s 2 + 8s + 56
Inicia-se pela formação da tabela de Routh para o denominador da
função de transferência T(s) (ver tabela a seguir). Por
conveniência, na segunda linha todos os termos são multiplicados
por 1/7. Este processo é interrompido na terceira linha, uma vez
que toda a linha é formada por zeros, e utiliza-se o procedimento
descrito a seguir.
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4 Critério de Estabilidade de Routh: casos especiais
Inicialmente, retorna-se à linha imediatamente acima da linha de zeros e
forma-se um polinômio auxiliar utilizando os elementos desta linha
como coeficientes. O polinômio começa com a potência de s
correspondente à linha imediatamente acima da linha de zeros e continua
salteando, alternadamente, as demais potências de s. Assim, o polinômio
formado por este exemplo é
P(s) = s 4 + 6s 2 + 8
Em seguida, o polinômio é derivado em relação a s, e obtém-se
dP(s)
= 4s 3 + 12s + 0
ds
Finalmente, os coeficientes desta última equação são utilizados em
substituição à linha de zeros. Novamente, por conveniência, a terceira
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linha é multiplicada por ¼ após a substituição dos zeros.
4 Critério de Estabilidade de Routh: casos especiais
O restante da tabela é formado de modo direto seguindo-se a formapadrão. Observa-se que todos os elementos da primeira coluna são
positivos. Assim, não existem pólos no semiplano da direita.
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4 Critério de estabilidade de Routh: exemplos
EXEMPLO: Encontre os intervalos dos ganhos de controle (K, KI)
tal que o sistema de controle PI da figura a seguir seja estável.
Solução: a equação característica do sistema de malha fechada é
dada por,
KI ⎞
1
⎛
1 + G (s)H(s) = 1 + ⎜ K +
⎟
s ⎠ (s + 1)(s + 2)
⎝
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4 Critério de estabilidade de Routh: exemplos
que pode ser reescrita como,
s 3 + 3s 2 + (2 + K )s + K I = 0
O arranjo de Routh correspondente é dado por,
s3 :
1
s2 :
3
s : (6 + 3K − K I ) 3
s0 :
2+K
KI
KI
39
4 Critério de estabilidade de Routh: exemplos
Para a estabilidade assintótica, devemos ter
1
K I > 0, K > K I − 2
3
A região de estabilidade no plano (KI, K) é destacada na figura a
seguir.
40
4 Critério de estabilidade de Routh: exemplos
EXEMPLO: O projeto de um controle de direção para um veículo
com esteiras envolve a escolha de dois parâmetros. Na figura (a), o
sistema mostrado tem o modelo mostrado na figura (b). As duas
esteiras são operadas com velocidades diferentes para virar o
veículo.
41
4 Critério de estabilidade de Routh: exemplos
Deve-se escolher K e a de modo que o sistema seja estável.
A equação característica do sistema com realimentação é
1 + G (s)H(s) = 0
ou
K (s + a )
1+
=0
s(s + 1)(s + 2)(s + 5)
Portanto, tem-se
s(s + 1)(s + 2)(s + 5) + K (s + a ) = 0
s 4 + 8s 3 + 17s 2 + (K + 10)s + Ka = 0
42
4 Critério de estabilidade de Routh: exemplos
Para determinar-se a região estável para K e a, constrói-se a tabela
de Routh:
s4 :
s3 :
1
8
s2 :
b3
17
Ka
K + 10 0
Ka
s1 : c 3
s 0 : Ka
onde
126 − K
b3 =
8
b 3 (K + 10) − 8Ka
c3 =
b3
43
4 Critério de estabilidade de Routh: exemplos
Para que os elementos da
primeira coluna serem positivos,
é necessário que Ka, b3 e c3
serem positivos. Portanto, requerse que:
K < 126
Ka > 0
(K + 10)(126 - K) – 64Ka > 0
A região para estabilidade é
mostrada na figura ao lado.
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5 Estabilidade no espaço de estados
Nesta seção, a estabilidade será vista pela perspectiva do espaço de
estados.
Sabe-se que os valores dos pólos do sistema são iguais aos
autovalores da matriz de sistema, A, os quais são soluções da
equação det(sI - A) = 0, que também conduz aos pólos da função de
transferência.
PROVA:
O vetor de equações diferenciais sem sinais de entrada é dado por:
x& = Ax
onde x é o vetor de estados.
45
5 Estabilidade no espaço de estados
A solução é do tipo exponencial, e podemos definir uma constante λ
tal que a solução do sistema para um estado seja:
x i (t) = k ie
λi t
onde λi é a raiz característica ou autovalor do sistema.
Considerando x = keλt e substituindo em x& = Ax , tem-se
λt
λke = Ake
ou
Reescrevendo:
λt
λx = Ax
(λI − A ) x = 0
46
5 Estabilidade no espaço de estados
A solução da equação anterior é não trivial, se só se o determinante
for:
det(λI − A) = 0
Portanto, a equação de n-ésima ordem em λ, resultante do
desenvolvimento do determinante é a equação característica e a
estabilidade do sistema pode ser facilmente obtida.
47
5 Estabilidade no espaço de estados
EXEMPLO: Dado o sistema
3
1⎤
⎡10⎤
⎡ 0
x& = ⎢⎢ 2
8
1 ⎥⎥ x + ⎢⎢ 0 ⎥⎥ u
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣− 10 − 5 − 2⎥⎦
y = [1 0 0]x
Determine a quantidade de pólos no semiplano da esquerda, no
semiplano da direita e sobre o eixo jw.
48
5 Estabilidade no espaço de estados
SOLUÇÃO: Inicialmente forme a matriz (sI - A):
3
1⎤ ⎡ s
−3
−1 ⎤
⎡ s 0 0⎤ ⎡ 0
(sI − A) = ⎢⎢0 s 0⎥⎥ − ⎢⎢ 2
8
1 ⎥⎥ = ⎢⎢− 2 s − 8 − 1 ⎥⎥
⎢⎣0 0 s ⎥⎦ ⎢⎣− 10 − 5 − 2⎥⎦ ⎢⎣ 10
5
s + 2⎥⎦
Obtenha agora det(sI – A):
det(sI − A) = s 3 − 6s 2 − 7s − 52
Utilizando este polinômio, forme a tabela de Routh.
49
5 Estabilidade no espaço de estados
Como ocorre uma mudança de sinal na primeira coluna, o sistema
possui um pólo no semiplano da direita e dois pólos no semiplano
da esquerda. Portanto, o sistema é instável.
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6 Estabilidade de sistemas com atraso
Pode o critério de estabilidade apresentado neste capítulo ser aplicado a
sistemas que contenham retardamentos de tempo ?
Não, eles não podem ser diretamente aplicados porque os sistemas que
contém retardamento de tempo não tem equações características da
forma exigida, isto é, polinômios finitos em s.
Por exemplo, a seguinte equação característica representa um sistema
que contém um retardamento de tempo:
s +s+e
2
− sT
=0
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6 Estabilidade de sistemas com atraso
Falando estritamente, esta equação tem um número infinito de raízes,
pois:
2
3
x
x
ex = 1 + x +
+ + ...
2! 3!
Entretanto, em alguns casos, uma aproximação pode ser empregada
para e-sT para dar uma informação útil, entretanto imprecisa em relação
a estabilidade do sistema.
Para exemplificar, seja e-sT, na equação anterior, substituída pelos dois
primeiros termos da série de Taylor. A equação se torna,
s 2 + s + 1 − sT = 0
52
6 Estabilidade de sistemas com atraso
Ou,
s 2 + (1 − T)s + 1 = 0
Para ser estável, um dos requisitos que o polinômio característico deve
ter é que seus coeficientes sejam positivos. Portanto, tem-se que
T<1
Outra aproximação possível para o retardo e-sT seria a de Padé.
53
OBRIGADO
54