Introdução
Estivemos, até aqui, analisando o movimento translacional dos corpos. Isso porque os corpos que estudamos
eram pontos materiais, e estes não são dotados de movimentos de rotação. Caso desejemos avaliar os possíveis movimentos de um corpo extenso, precisaremos de uma análise um pouco mais detalhada. Observe as figuras a seguir.
Como devem ser dispostos os pesos extras para que a balança fique em equilíbrio na horizontal? Aceite o desafio....
Você deve ter percebido ao analisar as figuras acima, que há uma relação entre a massa colocada em cada prato e o comprimento dos braços da balança. Caso a balança fosse simétrica, cada prato deveria receber a mesma
massa para que o sistema ficasse em equilíbrio com o braço da balança na horizontal. Como os braços possuem
comprimentos diferentes, cada prato deve receber uma massa diferente a fim de se colocar a balança em equilíbrio. Veja que, como dissemos antes, o equilíbrio de corpos que podem girar em torno de um eixo é diferente do
equilíbrio de pontos materiais. Para que possamos entender de fato como se comporta esse equilíbrio, é necessário que antes conheçamos a fundo o torque ou momento de uma força.
1
Momento ou torque de uma força
Uma força pode ser capaz de provocar dois tipos de movimento em um corpo extenso. Pode fazer com que ele
translade ou pode fazer com que ele gire, dependendo da forma como for aplicada. O primeiro passo para descobrir qual será o efeito de uma força aplicada sobre um corpo é avaliar
se ele está livre para girar em torno de algum ponto (caso esteja, a este ponto daremos
o nome de polo de giro). Por exemplo: se analisarmos a porta de nossas casas, ela está,
quando aberta, livre para girar em torno de suas dobradiças; a linha formada por essas
dobradiças pode ser entendida como uma linha formada pelos polos de giro da porta.
Caso o corpo esteja completamente livre, o ponto preferencial em torno do qual
ele deveria girar seria seu centro de massa. Mas o que é exatamente o centro de
massa de um corpo?
Centro de massa é o
ponto onde se pode considerar
com efeito, para certas situações, que toda a massa do corpo está concentrada. É o ponto
que melhor representa a distribuição de massa do corpo. No
caso de corpos dotados de uma
certa simetria, é bem fácil de se
fazer essa estimativa; por exemplo, para uma esfera maciça e homogênea, o centro de massa deve ser o centro. No caso do corpo
humano, ele deve se posicionar dentro do corpo, no plano do umbigo, aproximadamente. Para corpos assimétricos, no entanto, o
centro de massa pode não se localizar em posições tão previsíveis
e uma forma bastante segura de determiná-lo pode ser por meio
de alguns procedimentos simples. Veja a foto acima.
134
Capítulo 8
A distância entre o ponto de aplicação da força e o polo de giro é fundamental para a capacidade que essa
força tem de fazer o corpo girar. Essa capacidade é o momento ou torque exercido por essa força e o vetor que
nasce no polo de giro e morre no ponto de aplicação da força é chamado braço da força – note que o módulo
desse vetor é justamente a distância de que tratávamos inicialmente. O momento ou torque de uma força é o
produto vetorial entre a força e seu braço. Assim:
M=Fxb
Neste capítulo, para sermos coerentes com o conteúdo a ser trabalhado no Ensino Médio, iremos nos preocupar apenas com a determinação do módulo do momento, que pode ser calculado, simplesmente, por meio desta
expressão matemática:
M = b.F. sen θ ,
onde M é o módulo do momento da força, b é o braço (ou a distância entre o ponto de aplicação da força e o
polo de giro) e Θ, o ângulo entre a força e seu braço. Note, por meio dessa expressão, que apenas forças perpendiculares ao braço podem provocar o giro do corpo e que forças aplicadas diretamente sobre o polo de giro (b=0)
nunca farão o copo girar. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 1
Qual o valor do momento de uma força de 10 N aplicada perpendicularmente a uma porta 1,2 m das dobradiças?
M=10.1,2 . sen90º
M=10.1,2.1
M=12N.m
Resolução:
Note que, caso a força fosse aplicada com um braço menor, exerceria um momento
também menor e seria mais difícil abrir a porta com essa mesma força. É essa a razão
pela qual a maioria das maçanetas é posicionada no extremo oposto da porta com
relação às dobradiças. Nessa situação, seria necessária uma força menor para gerar o
mesmo torque. Note, ainda, que a unidade de momento no Sistema Internacional é
o N.m, obedecendo assim à relação entre as grandezas.
Importante
A unidade de momento (ou torque) no Sistema Internacional de Unidades é o newton vezes metro (N.m),
acompanhando a relação entre as grandezas braço e força aplicada.
Apesar de talvez nunca ter sido apresentado ao conceito de torque, você já o utiliza, intuitivamente, pelo simples fato de conseguir ficar de pé. O centro de gravidade dos corpos é o local onde melhor avaliamos a atuação
da força peso sobre o corpo. Quando a força peso atua de maneira a aplicar um torque no corpo, nós nos desequilibramos e podemos cair. Para garantir nosso equilíbrio na posição vertical, é interessante que o nosso centro
de gravidade esteja sempre verticalmente sobre a base, dessa forma, o torque gerado por ele com relação a um
polo de giro próximo ao chão seria nulo, e o equilíbrio estaria garantido. É essa a razão pela qual as mulheres grávidas inclinam-se para trás, e você consegue inclinar seu corpo muito mais para frente que para trás, e ainda conEquilíbrio estatístico de um corpo em movimento
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segue permanecer de pé. É por isso que, quando você carrega uma mochila muito pesada, naturalmente inclina
seu corpo para frente: para que a força peso aplicada sobre o centro de massa do conjunto tenha um momento
nulo e não o faça desequilibrar. Faça o teste! É muito mais fácil permanecer de pé quando nossas pernas estão
separadas que quando estamos sobre um pé só. A base é maior e a chance de que o peso exerça um torque nulo
é maior quando nossa base é menor (um pé só).
Exemplo 2
Suponha uma chave inglesa qualquer será posta a girar em torno de um parafuso a que foi acoplada. Em qual
das posições abaixo e em que direção devemos aplicar a força a fim de que seja necessário o menor esforço possível para girar a chave?
Veja que a melhor forma de girarmos a chave é na posição mais distante possível do polo de giro e
aplicando uma força perpendicular ao braço, pois é nessa situação que poderemos maximizar o momento
de uma força qualquer: quando o braço é máximo, e o seno do ângulo entre a força e o braço é 1, já que
M = b.F.senq.
HORA DE PRATICAR
1. Por que geralmente a maçaneta das portas localiza-se no extremo oposto ao das dobradiças?
2. Qual a melhor forma de aplicarmos uma força numa chave de roda para conseguirmos torcer os parafusos?
Em que local devemos aplicar essa força e em que direção? Cite pelo menos um motivo que justifique o fato de
ser mais fácil girar a chave com a perna sob a óptica do momento de uma força.
3. Analise as formas como podemos aplicar forças em uma barra rígida que pode girar em torno de seu centro
a fim de fazê-la girar nos sentidos horário e anti-horário. Como devem ser aplicadas essas forças? É possível que
duas forças idênticas façam a barra girar em sentidos opostos?
4. É possível que uma única força seja aplicada sobre um corpo e não o faça girar? Em que condições isso pode
acontecer?
5. Determine o módulo do momento da força aplicada sobre o braço de uma balança que mede 50 cm de comprimento por uma massa de 10 g colocada sobre seu prato em unidades do Sistema Internacional.
2
Equilíbrio de um corpo extenso
Como já discutimos na introdução, para que um corpo extenso se encontre em equilíbrio, é necessário que ele
tenha equilíbrio translacional (repouso ou MRU) e rotacional (isto é, precisamos garantir que o corpo não gira).
O equilíbrio translacional é garantido pelas mesmas condições do equilíbrio de pontos materiais, ou seja, com
uma força resultante nula (a soma de todas as forças que atuam no corpo deve ser nula).
∑F = 0
136
Capítulo 8
Para garantir que o corpo não gire, no entanto, precisamos ressaltar o fato de que, nessa situação, não há
momento resultante sobre o corpo. Quando as duas condições são obedecidas, dizemos que o corpo extenso se
encontra em equilíbrio.
∑M = 0
Note que estamos avaliando o módulo da grandeza momento (ou torque) de uma força. Ora, como módulos
de grandezas podem ser somados e resultar num valor nulo? É claro que algumas dessas parcelas devem ser
negativas. Mas quais? É certo que o sentido de giro que cada força provoca pode ser horário ou anti-horário.
Estipulemos então uma convenção de sinais: forças capazes de fazer o corpo girar no sentido anti-horário terão
como efeito um momento positivo e forças capazes de fazer o corpo girar no sentido horário terão como efeito
um momento negativo. Agora, sim, os momentos somados podem se equilibrar.
Verdadeiramente, o momento é um antigo conhecido da nossa sociedade. Basta que nos lembremos de nossos
tempos de criança, quando brincávamos de gangorra. A brincadeira era mais justa quando duas crianças de massas
semelhantes sentavam-se nos bancos da gangorra, mas não era impossível brincar caso seu amigo fosse um pouco
mais “cheinho” que você. Bastava que ele se sentasse um pouco mais à frente e você um pouco mais atrás. A diferença entre os braços dos dois lados compensaria a diferença entre os pesos exercidos sobre as duas crianças.
Conclusão
Condições de Equilíbrio de um corpo extenso:
1) força resultante nula;
2) momento
(torque) resultante nulo.
Utilizamos o momento de uma força para
construir as alavancas. Arquimedes disse algo
que se espalhou pelo mundo e que surpreendeu muita gente sobre o tema: “Se me derem
uma alavanca e um ponto de apoio, deslocarei o mundo!!”. Como seria possível utilizar o
momento de uma força a nosso favor a ponto
de conseguirmos mover grandes massas sem
precisarmos dispender grandes esforços? As
máquinas como alavancas e sistemas de polias
podem nos ajudar com isso. As alavancas, mais
associadas ao nosso estudo desse capítulo, podem ser de três tipos: interfixas, interpotentes
ou inter-resistentes. As primeiras são alavancas
que possuem o polo de giro posicionado entre
o ponto de aplicação da força e o corpo que
queremos mover. As interpotentes são aquelas
em que a força é aplicada entre o polo de giro
e o corpo que se deseja mover e, por último, as
alavancas inter-resistentes são aquelas em que
o corpo que se deseja mover é colocado entre o
polo de giro e o local em que aplicamos a força. Em cada situação, em cada montagem, cabe ao operador decidir
qual o tipo de alavanca mais adequado. É claro que sua decisão passa pela análise de como exercer o maior torque aplicando a menor força e, consequentemente, do torque gerado no sistema.
Equilíbrio estatístico de um corpo em movimento
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Exemplo 3
Uma ponte é feita com uma tábua rígida, homogênea e horizontal. Esta tábua tem massa m e comprimento L e está livremente apoiada sobre dois cutelos, 1 e 2, em suas extremidades.
Uma pessoa de massa m começa então a atravessar a ponte. Seja x a distância percorrida pela pessoa sobre a ponte.
a) Isole a tábua, mostrando em uma figura todas as forças que atuam sobre
ela e identifique essas forças por meio de uma legenda.
b) Escreva as condições de equilíbrio da tábua, explicitando-as em termos das forças e das distâncias mostradas na figura do item anterior.
Determine a expressão que mostra como varia a reação do cutelo 1 sobre a tábua com a distância x percorrida pela pessoa sobre a ponte.
Resolução:
a) N1 – reação normal do cutelo 1 sobre a tábua
N2 - reação normal do cutelo 2 sobre a tábua
P = Peso da tábua
F = Força que a pessoa faz sobre a tábua.
b) N1 + N2 = F + P (1)
N2.L – F.X – P.
L
2
= 0 (2)
c) De (1)
N1 = F + P – N2
P FX
P FX
+
N1 = F + +
2
L
2
L
mgX
Mg
N1 = mg +
+
2
L
M
mX
N1 = g(m + +
)
2
L
N1 = F + P –
De (2)
P.L


N2 =  2 + FX  ÷ L


N2 =
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Capítulo 8
P FX
+
2
L
Exercícios
6. Num posto fiscal
de pesagem, um caminhão está em repouso sobre duas balanças, uma
embaixo de suas rodas dianteiras e a outra sob suas
rodas traseiras. Ao fazer as leituras das balanças, o fiscal verifica que a primeira marca 1,0 .105N, mas percebe que a segunda está quebrada.
Sendo profundo conhecedor de caminhões, o fiscal
sabe que as distâncias entre o centro de massa C do
caminhão e os planos verticais que contêm os eixos
dianteiro e traseiro das rodas valem, respectivamente,
d1 = 2,0m e d2 = 4,0m, como ilustra a figura.
a) Calcule o peso do caminhão.
b) Determine a direção e o sentido da força que o caminhão exerce sobre a segunda balança e calcule
seu módulo.
vaso de massa total 3 kg é pendurado no ponto C do
suporte e o sistema é mantido em equilíbrio.
Sabe-se que o ângulo entre AC e AB é reto e que a
massa do suporte é desprezível. Adotando g = 10m/
s2, determine a intensidade da força com que o suporte comprime a parede no ponto B.
9. Determine os momentos escalares das forças em
relação ao polo P.
7. A figura mostra uma balança composta de uma
haste rígida com um prato em uma extremidade e
uma mola na outra extremidade. A haste rígida pode
girar em torno de um eixo sustentado por uma coluna rígida e fixa. A distância do eixo ao prato é AB = 6
x 10-1 m, e a distância do eixo à mola é AC = 1,2 x 10-1
m. Na configuração de equilíbrio, a haste rígida está
na horizontal. Colocando-se uma massa de 5 kg no
prato da balança, a extremidade B desloca-se de um
comprimento de 1 x 10-1 m, medido na vertical.
10. Duas pessoas carregam um bloco de concreto
que pesa 900 N, suspenso por uma barra AB de peso
desprezível, de 1,5 m de comprimento, cujas extremidades apoiam-se nos respectivos ombros. O bloco
está 0,5 m da extremidade A. Determine o valor da
força aplicada pela extremidade B, ao ombro do carregador.
A
B
Considerando desprezível a massa da haste rígida e
a aceleração da gravidade g = 10m/s2, calcule a força
que a mola exerce na haste.
8. Um suporte para vasos é preso a uma parede verti-
cal, como mostra a figura. Ele é fixo na parede por um
parafuso colocado no ponto A e fica apenas apoiado
na parede no ponto B, na mesma vertical de A. Um
11. Uma gangorra de parques infantis, com distri-
buição de massa homogênea, possui o eixo de rotação localizado no seu centro geométrico. Crianças de
mesma massa só poderiam se equilibrar caso estivessem sentadas cada uma num extremo da gangorra.
Equilíbrio estatístico de um corpo em movimento
139
No entanto, se o brinquedo possuísse opções para
mudança na posição das crianças, em relação ao eixo
de rotação, crianças de massas diferentes também
poderiam se equilibrar. Sendo assim, determine, em
metros, a que distância uma criança de 20 kg deveria
estar do eixo de apoio para poder equilibrar uma outra de 40 kg sentada a 1,5 m do eixo de rotação.
12. Uma barra homogênea de 100 N de peso é colocada sobre os apoios A e B, conforme a figura.
Sendo de 200 N o peso de C, determine as intensidades das reações dos apoios A e B contra a barra em
equilíbrio.
13. A barra AB é uniforme, pesa 50,0 N e tem 10,0 m
de comprimento. O bloco D pesa 30,0 N e dista 8,0 m
de A. A distância entre os pontos de apoio da barra é
AC = 7,0 m. Calcule a reação na extremidade A.
14. Um homem, cujo peso tem intensidade igual a
400 N, caminha desoladamente sobre uma prancha
homogênea de madeira, simplesmente apoiada em A
(mas não presa) e articulada no apoio B (onde pode
girar), como mostra a figura a seguir. O comprimento da prancha é de 6,0 m e seu peso tem intensidade
igual a 500 N. Determine o valor da máxima distância
medida a partir de B que o homem pode caminhar
sem que a prancha gire.
15. Um bloco de massa igual a 240 kg está suspenso
conforme é apresentado na figura. Considerando desprezível a massa da barra AB, determine a intensidade
da tração no cabo BC.
16. Apresentações de circo são cercadas de mistério e
fascínio, principalmente para as pessoas que assistem
aos shows com uma visão não científica. Entender
que os malabarismos e até mesmo as mágicas apresentadas são aplicações de várias Leis da Natureza (da
Física, da Química etc.) pode tornar o espetáculo menos impressionante, porém mais seguro. Um número
bastante interessante, do ponto de vista do equilíbrio,
é aquele em que um equilibrista percorre uma distância de cerca de 12 m ao longo de uma corda esticada
a mais de 15 m de altura, sem a proteção de uma rede
que o proteja no caso de uma queda. Mais importante
que a rede é a longa barra de metal (supostamente
homogênea) que o artista segura em suas mãos, mantida na posição horizontal enquanto ele percorre a
corda.
A partir das informações acima e em conformidade
com os princípios da estática, julgue os itens seguintes.
(1) No caso do equilibrista sobre a corda, é importante
que ele segure a barra de metal em um ponto
próximo ao centro de massa da mesma.
(2) O centro de massa da barra está necessariamente
no seu centro geométrico (no meio dela).
(3) Caso o equilibrista, acidentalmente, se incline
para a esquerda, bastaria que ele movesse,
adequadamente, a barra para o lado contrário para
que o seu equilíbrio estático se restabeleça.
17. Além do aspecto estético, as cadeiras devem ser
construídas de tal forma que possam oferecer conforto e segurança. O material escolhido e o desenho
devem ser tais que suportem as forças que irão agir
sobre cada parte. As pessoas também devem sentarse de modo a evitar quedas. Observe na figura abaixo
uma situação muito comum: uma pessoa está lendo
distraída e inclina-se para trás, então surgirão torques
sobre a cadeira: um torque devido à força aplicada
pelas costas da pessoa, outro, em sentido contrário,
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Capítulo 8