Emerson Marcos Furtado
Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado
em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino
Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 1992. Professor do Curso Positivo de
Curitiba desde 1996. Professor da Universidade
Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos
destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico
e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a
2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teorema – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde
2005. Autor de material didático para sistemas de
ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC)
desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática
financeira. Consultor da Empresa Result – Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.
Consultor em Estatística Aplicada com projetos de
pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições
desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de
Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde
2008. Autor de questões para concursos públicos
no estado do Paraná desde 2003.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A.,
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Sequências numéricas
Termo geral de uma sequência
Observe a sequência:
(1, 3, 5, ..., )
Qual é o próximo termo?
A sequência apresentada é a de números ímpares positivos. O próximo
termo é igual a 7, em seguida, vem o 9, e assim por diante:
(1, 3, 5, 7, 9, ..., )
É costume se representar os termos de uma sequência pela letra a provida
de um índice que indica a posição do termo na correspondente sequência.
Por exemplo, na sequência mostrada anteriormente, podemos escrever:
a1 = 1 → o 1.º termo é igual a 1.
a2 = 3 → o 2.º termo é igual a 3.
a3 = 5 → o 3.º termo é igual a 5.
a4 = 7 → o 4.º termo é igual a 7.
a5 = 9 → o 5.º termo é igual a 9.
Como poderíamos descobrir, por exemplo, o décimo termo dessa
sequência?
Poderíamos continuar escrevendo os números ímpares consecutivamente até atingirmos o 10.º termo. Talvez não seja uma tarefa tão trabalhosa.
Mas, e se quiséssemos o centésimo termo, valeria a pena construir a sequência até se obter o centésimo número ímpar positivo?
Nessas situações, não compensa escrever tantos números e fazer tantas
contas.
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Sequências numéricas
O ideal é se compreender a lei de formação dos termos da sequência.
Se a sequência é de números ímpares, um novo número é o anterior adicionado a duas unidades. Assim, começando com o número 1, o termo geral
da sequência é dado por:
Termo geral da sequência: an = 2 . n – 1
Para n = 1 → a1 = 2 . 1 – 1 = 1
Para n = 2 → a2 = 2 . 2 – 1 = 3
Para n = 3 → a3 = 2 . 3 – 1 = 5
Para n = 4 → a4 = 2 . 4 – 1 = 7
O centésimo termo da sequência seria obtido substituindo-se n = 100 na
expressão do termo geral:
an = 2 . n – 1
Para n = 100 → a100 = 2 . 100 – 1 = 199
Fica claro que para respondermos questões sobre sequências numéricas,
tudo fica muito mais fácil quando conhecemos o termo geral da sequência.
Existem sequências que têm características importantes e, por isso,
ocupam lugar de destaque na Matemática. As principais são a progressão
aritmética e a progressão geométrica.
Progressão aritmética
Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números em que
cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante.
Essa constante é denominada razão da PA e será representada pela letra r.
Exemplo 1:
A sequência (1, 4, 7, 10, ...) é uma PA cuja razão é r = 3 (r > 0).
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Sequências numéricas
a1 = 1
a2 = a1 + 3 = 1 + 3 = 4
a3 = a2 + 3 = 4 + 3 = 7
Cada termo é igual
ao anterior mais 3.
a4 = a3 + 3 = 7 + 3 = 10
Exemplo 2:
A sequência (10, 8, 6, 4, ...) é uma PA cuja razão é r = –2 (r < 0).
a1 = 10
a2 = a1 – 2 = 10 – 2 = 8
a3 = a2 – 2 = 8 – 2 = 6
Cada termo é igual
ao anterior menos 2.
a4 = a3 – 2 = 6 – 2 = 4
Exemplo 3:
A sequência (5, 5, 5, 5, ...) é uma PA cuja razão é r = 0.
a1 = 5
a2 = a1 + 0 = 5 + 0 = 5
a3 = a2 + 0 = 5 + 0 = 5
Cada termo é igual
ao anterior.
a4 = a3 + 0 = 5 + 0 = 5
De acordo com a razão, existem três tipos de PA:
r > 0 → a PA é crescente.
r < 0 → a PA é decrescente.
r = 0 → a PA é constante.
Exemplo:
Vamos verificar se a sequência definida pela fórmula an+1 = an + 4 e a1 = 1
é uma Progressão Aritmética.
a1 = 1
an+1 = an + 4
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Sequências numéricas
n = 1 → a1+1 = a1 + 4 → a2 = 1 + 4 = 5
n = 2 → a2+1 = a2 + 4 → a3 = 5 + 4 = 9
n = 3 → a3+1 = a3 + 4 → a4 = 9 + 4 = 13
Cada termo é igual ao anterior adicionado à constante 4. Logo, podemos
afirmar que a sequência (1, 5, 9, 13, ...) é uma PA.
Termo geral da PA
Para descobrir um termo qualquer de uma PA, não é necessário escrever todos os termos precedentes para encontrá-lo. Com a fórmula do termo
geral, podemos obter qualquer termo de uma sequência conhecendo a sua
posição.
Considere uma progressão aritmética (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) de razão r. A
partir do segundo, qualquer termo é igual ao anterior adicionado à razão,
logo:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a4 = a3 + r
a5 = a4 + r
an = an-1 + r
Essa última fórmula permite obter um termo qualquer de ordem n em
função do termo anterior, de ordem n – 1. Para relacionar um termo de
ordem n em função do 1.º termo a1, temos:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4r
an = an-1 + r = [a1 + (n – 2).r] + r = a1 + (n – 1) . r
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Sequências numéricas
A fórmula do termo geral da PA é dada por:
an = a1 + (n – 1) . r
Quando conhecemos a fórmula do termo geral, podemos representar
qualquer termo de uma sequência em função do primeiro termo e da razão.
Exemplos:
8.º termo : n = 8 → a8 = a1 + 7r
16.º termo : n = 16 → a16 = a1 + 15r
30.º termo : n = 30 → a30 = a1 + 29r
Soma dos termos de uma PA
Há uma história curiosa ocorrida em uma pequena escola de uma cidade
do interior da Alemanha, no século XVIII, que passou a fazer parte da história
do desenvolvimento da Matemática.
Um professor de Matemática solicitou aos próprios alunos que somassem
os cem primeiros números inteiros positivos. O professor imaginava que os
alunos levariam um bom tempo para encontrar a soma dos elementos dessa
sequência.
Passados alguns instantes, um aluno levanta-se e crava a resposta: 5 050.
O professor, acreditando que se tratava de uma brincadeira, repreende-o e
pede para que tentasse realmente fazer as contas.
O precoce aluno explica ao professor que a soma é igual a 50 vezes a
soma do primeiro com o último termo, ou seja, 50 . 101 = 5 050.
Acompanhe um possível raciocínio do aluno:
S = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100
reescrevendo em ordem contrária:
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1
Adicionando membro a membro as igualdades:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (99 + 2) + (100 + 1)
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Sequências numéricas
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101
2S = 101 . 100
2S = 10 100
S = 5 050
O espantado professor, que nem sequer havia feito a conta, compreende a explicação e parabeniza o aluno pelo raciocínio magistral. Alguns anos
depois, inclusive, presenteia-o com um livro sobre cálculos.
O humilde aluno, que na época tinha cerca de oito anos, era filho de jardineiros e chamava-se Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Anos mais tarde,
dedicou-se à Matemática e à Física, desenvolvendo trabalhos nos campos
da teoria dos números, geometria diferencial, magnetismo, astronomia,
geodésia e ótica. Para muitos é considerado, incontestavelmente, o maior
matemático de toda a história, sendo conhecido como o “Príncipe dos
Matemáticos”.
O desenvolvimento utilizado por Gauss pode ser generalizado da seguinte maneira:
Se (a1, a2, a3, ..., an-1, an) é uma progressão aritmética, então:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an (I)
Sn = an + an-1 + an-2 + ... + a2 + a1 (II)
Fazendo (I) + (II), temos:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ... + (an-1 + a2) + (an + a1)
A soma dos dois termos extremos é igual à soma de dois termos equidistantes dos extremos, de modo que é possível escrever:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an)
2Sn = (a1 + an). n
Sn =
a1 + an
2
Exemplo 1
.n
Obtenha a soma dos termos da PA (–10, –5, 0, 5, 10, 15, 20), formada por
sete termos.
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Sequências numéricas
Sn =
a1 + an
2
a1 + a7
Sn =
S7 =
S7 = 35
2
.n
.7
– 10 + 20
2
.7
Exemplo 2
Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (1, 3, 5,...).
an = a1 + (n – 1) . r
a20 = 1 + 19.r
a20 = 1 + 19.2
a20 = 39
Sn =
a1 + an
2
.n
a1 + a20
S20 =
S20 =
S20 = 400
2
1 + 39
2
. 20
. 20
Progressão geométrica
Imagine que você tem duas propostas para um novo emprego. Em uma
delas, seu salário inicial será de R$3.500,00, mas sofrerá aumentos anuais de
10% em relação ao salário do ano anterior. Na outra proposta, seu salário
inicial será de R$4.000,00 e será aumentado a uma taxa de 8% ao ano, em
relação ao ano anterior.
Considerando-se apenas o valor do salário ao final do quarto ano, qual é
a melhor proposta de emprego?
Vamos verificar qual proposta é a mais vantajosa calculando os valores
salariais ano a ano, até o quarto ano:
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Sequências numéricas
Salários da proposta 1
Salários da proposta 2
Ano 0: R$3.500,00
Ano 0: R$4.000,00
Ano 1: R$3.500,00 . 1,10 = R$3.850,00
Ano 1: R$4.000,00 . 1,08 = R$4.320,00
Ano 2: R$3.850,00 . 1,10 = R$4.235,00
Ano 2: R$4.320,00 . 1,08 = R$4.665,60
Ano 3: R$4.235,00 . 1,10 = R$4.658,50
Ano 3: R$4.665,60 . 1,08 = R$5.038,85
Ano 4: R$4.658,50 . 1,10 = R$5.124,35
Ano 4: R$5.038,85 . 1,08 = R$5.441,31
Os valores dos salários de cada proposta aumentam o mesmo percentual em relação ao valor anterior, ou seja, aumentam à uma taxa constante. Por isso, ao longo do tempo, tais valores constituem uma progressão
geométrica.
Progressão Geométrica (PG) é uma sequência de números ou expressões
em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por
uma constante. Essa constante é denominada razão da PG e será representada pela letra q.
Exemplos:
Uma PG pode ser classificada em crescente, decrescente, oscilante ou
constante.
(5, 5, 5, 5, ...) → PG constante cuja razão é q = 1 (ou uma PA de razão
igual a 0).
(1, 2, 4, 8, ...) → PG crescente cuja razão é q = 2.
(27, 9, 3, 1, ...) → PG decrescente cuja razão é q =
1
3
(1, –3, 9, –27, ...) → PG oscilante cuja razão é q = –3.
.
Termo geral de uma PG
Numa PG, por meio da fórmula do termo geral, é possível encontrar qualquer termo an da sequência sem a necessidade de se calcular todos os termos
que o precedem.
Considere uma progressão geométrica (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) de razão q. A
partir do segundo termo, qualquer outro termo é igual ao anterior multiplicado pela razão, então:
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Sequências numéricas
a2 = a1. q
a3 = a2. q
a4 = a3. q
a5 = a4. q
an = an-1. q
Essa última fórmula permite obter um termo qualquer de ordem n em
função do termo anterior, de ordem n – 1. Podemos relacionar um termo
qualquer (de ordem n) com o 1.º termo de uma PG. Essa relação pode ser
representada do seguinte modo:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1.q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1.q3
a5 = a4 . q = (a1 . q3) . q = a1.q4
an = an-1 . q = (a1 . qn–2) . q = a1 . qn–1
Assim, podemos escrever:
an = a1 . qn–1
Conhecendo a fórmula do termo geral, podemos representar qualquer
termo de uma PG em função do primeiro termo e da razão. Observe alguns
exemplos:
7.º termo: n = 7 → a7 = a1. q6
13.º termo: n = 13 → a13 = a1 . q12
48.º termo: n = 48 → a48 = a1 . q47
Soma dos termos de uma PG finita
Considere a PG finita cuja razão é q = 5, formada pelos seis seguintes
números:
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Sequências numéricas
(8, 40, 200, 1 000, 5 000, 25 000)
Representando por S6 a soma dos seis primeiros termos dessa PG, podemos escrever:
S6 = 8 + 40 + 200 + 1 000 + 5 000 + 25 000
Efetuando as adições necessárias, obtemos o valor da soma correspondente:
S6 = 31 248
Entretanto, em vez de calcularmos o valor da soma adicionando termo a
termo, é possível obtê-la por meio de um procedimento simples.
Retornando à soma, observe:
S6 = 8 + 40 + 200 + 1 000 + 5 000 + 25 000 (I)
Multiplicando a equação (I), membro a membro, pela razão q = 5, obtemos:
5 . S6 = 5 . 8 + 5 . 40 + 5 . 200 + 5 . 1 000 + 5 . 5 000 + 5 . 25 000
Como os termos estão em PG, o produto de um termo qualquer pela
razão resulta no termo posterior, ou seja:
5 . S6 = 40 + 200 + 1 000+ 5 000 + 25 000 + 125 000 (II)
Subtraindo uma equação da outra, isto é, fazendo (II) – (I), obtemos:
5 . S6 – S6 = 125 000 – 8
4 . S6 = 124 992
S6 =
124 992
4
S6 = 31 248
Esse procedimento pode ser utilizado em qualquer PG, observe:
Se (a1, a2, a3, ..., an-1, an) é uma progressão geométrica de razão q ≠ 1 e Sn é
a soma destes n termos, então:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an (I)
Multiplicando membro a membro por q, temos:
Sn. q = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an-1 . q + an . q
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Sequências numéricas
Sn. q = a2 + a3 + a4 + ... + an + an. q (II)
Fazendo (II) – (I), temos:
Sn. q – Sn = an. q – a1
Sn . (q – 1) = an. q – a1
Sn =
an . q – a1
q–1
Essa última fórmula é utilizada para calcular a soma dos n primeiros
termos de uma PG finita em função do primeiro termo, do último termo e
da razão da PG.
Limite da soma dos termos de uma PG infinita
Para encontrar a expressão do valor do limite da soma dos termos de
qualquer PG infinita, podemos partir de uma soma finita e considerarmos
que o n-ésimo termo tende a zero:
an . q – a1
Sn =
an = 0 → S∞ =
q–1
0 . q – a1
q–1
=
– a1
q–1
Multiplicando por –1 o numerador e o denominador da última fração,
obtemos:
S∞ =
a1
1–q
, sendo|q| < 1
Dica de estudo
O estudo das progressões matemáticas inicia-se com o conceito de termo
geral. É necessário, antes de qualquer coisa, compreender-se a relação que
permite obter qualquer termo de uma sequência. Isso vale para progressões
aritméticas e progressões geométricas.
A partir daí, as demais fórmulas podem ser desenvolvidas com êxito. Pratique a resolução de muitos exercícios para ganhar agilidade e eficiência
nesse assunto.
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Sequências numéricas
Resolução de questões
1. (Cesgranrio) Em uma PA de 41 termos e de razão 9, a soma do termo central com o seu antecedente é igual ao último termo. Então, o termo central é:
a) 369
b) 189
c) 201
d) 171
e) 180
2. (FCC) Dispõe-se de uma caixa com 100 palitos de fósforos, todos inteiros,
com os quais pretende-se construir quadrados da seguinte forma: no primeiro, o lado deverá medir 1 palito; no segundo, 2 palitos; no terceiro, 3
palitos, e assim sucessivamente. Seguindo esse padrão, ao construir-se o
maior número possível de quadrados
a) serão usados exatamente 92 palitos da caixa.
b) sobrarão 8 palitos da caixa.
c) serão usados todos os palitos da caixa.
d) sobrarão 16 palitos da caixa.
e) serão usados exatamente 96 palitos da caixa.
3. (FCC) Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma
lei de formação.
(0, 1, 3, 4, 12, 13, ...)
Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número:
a) menor que 200.
b) compreendido entre 200 e 400.
c) compreendido entre 500 e 700.
d) compreendido entre 700 e 1 000.
e) maior que 1 000.
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Sequências numéricas
4. (Cesgranrio) Uma sequência de números (a1, a2, a3, ..., ) é tal que a soma
dos n primeiros termos é dada pela expressão Sn = 3n2 + n. O valor do 51.º
termo é:
a) 300
b) 301
c) 302
d) 303
e) 304
5. (Cesgranrio) Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e
1 000?
a) 90
b) 142
c) 220
d) 229
e) 232
6. (FGV) A sequência (3m; m + 1; 5) é uma PA. Sua razão é:
a) –3
b) 3
c) 7
d) –7
e) impossível de se determinar.
7. (Cesgranrio) Se S3 = 0 e S4 = –6 são, respectivamente, as somas dos três e
quatro primeiros termos de uma progressão aritmética, então a soma S5
dos cinco primeiros termos vale:
a) – 6
b) – 9
c) – 12
d) – 15
e) – 18
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Sequências numéricas
8. (Esaf ) Uma progressão aritmética é uma sequência de números a1, a2,
a3,...., an, cuja lei de formação de cada um dos termos dessa sequência é
dada por uma soma, conforme representação a seguir:
a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, a4 = a3 + r, ........an = an–1 + r,
onde r é uma constante, denominada razão da progressão aritmética.
Uma progressão geométrica é uma sequência de números g1, g2, g3,.......,
gn, cuja lei de formação de cada um dos termos dessa sequência é dada
por um produto, conforme representação a seguir:
g2 = g1 . q, g3 = g2 . q , g4 = g3 . q,.....gn = gn–1 . q,
onde q é uma constante, denominada razão da progressão geométrica.
Os números A, B e 10 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Os
números 1, A e B formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Com
essas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto
entre r e q é igual a:
a) –12
b) –15
c) 10
d) 12
e) 8
9. (FCC) Considere todos os números inteiros dispostos sucessivamente, em
linhas e colunas, da forma como é mostrado a seguir.
1.ª coluna 2.ª coluna 3.ª coluna 4.ª coluna 5.ª coluna 6.ª coluna 7.ª coluna
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
1.ª linha →
1
2
3
4
5
6
7
2.ª linha →
8
9
10
11
12
13
14
Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na
tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número:
a) 2 326
b) 2 418
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Sequências numéricas
c) 2 422
d) 3 452
e) 3 626
10.(FCC) Se a é um número inteiro positivo, define-se uma operação & como
a& = 3a – 2. Considere a sequência (a1, a2, a3, ..., an, ...) cujo termo geral é
an = (n&)&, para todo n = 1, 2, 3, ... . A soma do terceiro e quinto termos
dessa sequência é igual a:
a) 42
b) 46
c) 48
d) 52
e) 56
Referências
ASIMOV, Isaac. Antologia Volume 1 (1958-1973). 2. ed. Rio de Janeiro: Nova
Fronteira, 1992.
______. Antologia Volume 2 (1974-1989). 2. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira,
1992.
BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda.,
1996.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática – contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2003.
v. 1. Edição reformulada.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp,
2005.
GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blumenau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)
GARBI, G. Gilberto. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron
Books, 1997.
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121
Sequências numéricas
______. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso mundo
da Matemática. São Paulo: Livraria de Física, 2006.
IEZZI, Gelson et al. Matemática – ciência e aplicações. 4. ed. São Paulo: Atual,
2006.
LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.
LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SociedadeBrasileira de Matemática, 2001. v. 1, 2 e 3.
______. Temas e Problemas Elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, 2001.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
MORGADO, Augusto C.; CESAR, Benjamin. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Campus, 2006.
MORGADO, Augusto C. et. al. Progressões e Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.
______. Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
Gabarito
1. Se a PA possui 41 termos, o termo central é o vigésimo primeiro e, consequentemente, o seu antecedente é o vigésimo termo. Se a soma
do termo central com o seu antecedente é igual ao último, então:
122
a21 + a20 = a41
Vamos escrever tudo em função de a21, ou seja:
a20 = a21 – 1 . r
e
a41 = a21 + 20 . r
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Sequências numéricas
Logo, substituindo as expressões de a20 e a41, temos:
a21 + a20 = a41
a21 + (a21 – 1 . r) = (a21 + 20 . r)
2a21 – r = a21 + 20r
2a21 – a21 = 20r + r
a21 = 21r
Substituindo r = 9, temos:
a21 = 21 . 9
a21 = 189
Portanto, o termo central é igual a 189.
Resposta: B
2. Qualquer quadrado possui quatro lados iguais.
Logo, para a construção de um quadrado cujo lado mede 1 palito são
necessários:
4 . 1 = 4 palitos
Para o quadrado cujo lado mede 2 palitos são necessários:
4 . 2 = 8 palitos
Para o quadrado cujo lado mede 3 palitos são necessários:
4 . 3 = 12 palitos
Observe que a quantidade de palitos necessária para a construção de
cada quadrado segue uma progressão aritmética cuja razão é igual a 4:
(4, 8, 12, ...) PA
Dispondo-se de 100 palitos, deseja-se descobrir quantos palitos serão
efetivamente utilizados para a construção dos quadrados.
A quantidade de palitos utilizada é igual à soma dos termos de uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 4 e razão também igual a 4.
O termo geral dessa PA é dado por:
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123
Sequências numéricas
an = a1 + (n – 1) . r
an = 4 + (n – 1) . 4
an = 4 + 4n – 4
an = 4n
A soma dos n primeiros termos dessa PA é dada por:
Sn =
Sn =
a1 + an
2
4 + 4n
2
.n
.n
Sn = (2 + 2n) . n
Sn = 2n . (n + 1)
Para que sejam utilizados, no máximo, 100 palitos, deve-se ter Sn < 100, ou
seja:
2n . (n + 1) < 100
Dividindo ambos os membros por 2, temos:
n . (n + 1) < 50
124
Já que n é um número inteiro, pois representa a quantidade de quadrados, vamos analisar as possíveis soluções da inequação por verificação:
n = 7 → 7 . (7 + 1) = 7 . 8 = 56 > 50
Logo, sete quadrados ou mais não podem ser construídos com os 100
palitos.
n = 6 → 6 . (6 + 1) = 6 . 7 = 42 < 50
Portanto, seis é o número máximo de quadrados que podem ser construídos com os 100 palitos disponíveis. Assim, substituindo-se n = 6 na
expressão da soma dos n primeiros termos da PA, temos:
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Sequências numéricas
Sn = 2n . (n + 1)
S6 = 2 . 6 . (6 + 1)
S6 = 2 . 42
S6 = 84
Como serão utilizados 84 palitos para a construção de seis quadrados,
necessariamente sobrarão 100 – 84 = 16 palitos na caixa.
Resposta: D
3. A sequência é construída de modo que, a partir do primeiro termo, adiciona-se 1 unidade para obter o próximo termo e, em seguida, multiplica-se
por 3 para obter o próximo. Ou seja, são apenas duas operações distintas
para se construir a sucessão de termos: adicionar 1 unidade e multiplicar
por 3. Para encontrar o décimo terceiro termo, não vamos utilizar o termo
geral de uma progressão aritmética, nem o termo geral de uma progressão geométrica, pois a sucessão não satisfaz as definições de PA ou PG.
Logo, vamos obter os termos progressivamente por meio das duas operações mencionadas:
a1 = 0
a2 = a1 + 1 = 0 + 1 = 1
a3 = a2 . 3 = 1 . 3 = 3
a4 = a3 + 1 = 3 + 1 = 4
a5 = a4 . 3 = 4 . 3 = 12
a6 = a5 + 1 = 12 + 1 = 13
a7 = a6 . 3 = 13 . 3 = 39
a8 = a7 + 1 = 39 + 1 = 40
a9 = a8 . 3 = 40 . 3 = 120
a10 = a9 + 1 = 120 + 1 = 121
a11 = a10 . 3 = 121 . 3 = 363
a12 = a11 + 1 = 363 + 1 = 364
a13 = a12 . 3 = 364 . 3 = 1 092 > 1 000
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125
Sequências numéricas
Logo, o décimo terceiro termo da sucessão é maior que 1 000.
Resposta: E
4. Em qualquer sequência, a soma dos 51 primeiros termos é igual à soma
dos 50 primeiros termos adicionada ao quinquagésimo primeiro termo,
ou seja:
126
S51 = S50 + a51
Assim, o termo a51 é igual à diferença entre a soma dos 51 primeiros termos e a soma dos 50 primeiros termos:
a51 = S51 – S50
Se a soma dos n primeiros termos da sequência é dada por Sn = 3n2 + n,
para n natural não nulo, então, para se calcular a soma dos 51 primeiros
termos, basta substituir n = 51:
n = 51 → S51 = 3 . 512 + 51
E para se calcular a soma dos 50 primeiros termos, basta substituir n = 50:
n = 50 → S50 = 3 . 502 + 50
Logo, temos:
a51 = S51 – S50
Substituindo as expressões para S51 e S50, temos:
a51 = (3 . 512 + 51) – (3 . 502 + 50)
a51 = 3 . (512 – 502) + (51 – 50)
Utilizando o produto notável a2 – b2 = (a + b) . (a – b), podemos escrever:
a51 = 3 . (51 + 50) . (51 – 50) + 1
a51 = 3 . (101) . (1) + 1
a51 = 303 + 1
a51 = 304
Resposta: E
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Sequências numéricas
5. O primeiro múltiplo de 7 entre 1 e 1 000 é igual a 7, o segundo é 14, o terceiro é 21. Os múltiplos de 7 entre 1 e 1 000 constituem uma progressão
aritmética em que o primeiro termo é igual a 7, cuja razão também é igual
a 7.
Observe que, ao dividir 1 000 por 7, obtemos 1 000 = 7 . 142 + 6.
Logo, 1 000 não é divisível por 7, pois o resto é igual a 6.
Porém, 1 000 – 6 = 994 = 7 . 142, ou seja, 994 é múltiplo de 7 e é também
o último múltiplo de 7 menor que 1 000. Vamos utilizar o termo geral de
uma PA para calcular a quantidade de múltiplos de 7 entre 1 e 1 000:
an = a1 + (n – 1) . r
994 = 7 + (n – 1) . 7
994 = 7 + 7n – 7
994 = 7n
n = 142
Assim, existem, exatamente, 142 múltiplos de 7 entre 1 e 1 000.
O raciocínio é análogo para os múltiplos de 11, que formam uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 11 cuja razão é igual a 11. O
último múltiplo de 11 até 1 000 é o número 990. Logo, temos:
an = a1 + (n – 1) . r
990 = 11 + (n – 1) . 11
990 = 11 + 11n – 11
990 = 11n
n = 90
Logo, existem exatamente 90 múltiplos de 11 entre 1 e 1 000.
Porém, no conjunto dos múltiplos de 7 e no conjunto dos múltiplos de
11 existem múltiplos comuns. Tais números são múltiplos de 77. Assim, é
preciso calcular os múltiplos de 77 entre 1 e 1 000. O primeiro é igual a 77
e o último é igual a 924. Utilizando novamente a fórmula do termo geral
de uma progressão aritmética, temos:
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Sequências numéricas
an = a1 + (n – 1) . r
924 = 77 + (n – 1) . 77
924 = 77 + 77n – 77
924 = 77n
n = 12
Portanto, para se determinar a quantidade de múltiplos de 7 ou 11 entre
1 e 1 000, podemos adicionar a quantidade de múltiplos de 7 à quantidade de múltiplos de 11 e, da soma obtida, subtrair a quantidade de
múltiplos de 77, pois essa quantidade já foi contabilizada uma vez entre
os múltiplos de 7 e outra vez entre os múltiplos de 11.
Assim, temos:
142 + 90 – 12 = 220
Portanto, existem exatamente 220 números que são múltiplos de 7 ou de
11 entre 1 e 1 000.
Resposta: C
6. Se (a, b, c) formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então:
128
b–a=c–b
De forma análoga, se (3m; m + 1; 5) forma uma PA, então:
(m + 1) – 3m = 5 – (m + 1)
m + 1 – 3m = 5 – m – 1
1 – 2m = 4 – m
1 – 4 = 2m – m
m = –3
Substituindo m = –3 na sequência, temos:
(–9; –2; 5)
Logo, a razão é igual à diferença entre dois termos consecutivos, ou seja:
r = 5 – (–2) = 5 + 2 = 7
Resposta: C
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Sequências numéricas
7. A diferença entre a soma dos quatro primeiros termos e a soma dos três
primeiros termos é igual ao quarto termo, ou seja:
a4 = S4 – S3
a4 = –6 – 0
a4 = –6
Observando que a2 = a1 + r, que a3 = a2 + r e que a soma dos três primeiros
termos é igual a zero, temos:
S3 = 0
a1 + a2 + a3 = 0
(a2 – r) + a2 + (a2 + r) = 0
3a2 = 0
a2 = 0
Além disso, podemos também escrever:
a4 = a2 + 2r
–6 = 0 + 2r
r = –3
Por outro lado:
a5 = a4 + r
a5 = –6 + (–3)
a5 = –9
Se a soma dos cinco primeiros termos é igual à soma dos quatro primeiros termos mais o quinto termo, então:
S5 = S4 + a5
S5 = –6 + (–9)
S5 = –15
Resposta: D
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129
Sequências numéricas
8. Se (A, B, 10) formam, nessa ordem, uma PA, então:
B – A = 10 – B
A = 2B – 10 (I)
Se (1, A, B) formam, nessa ordem, uma PG, então:
130
A
=
B
1
A
A2 = B (II)
Substituindo (I) em (II), temos:
(2B – 10)2 = B
(2B)2 – 2 . 2B . 10 + 102 = B
4B2 – 40B + 100 – B = 0
4B2 – 41B + 100 = 0
B=
B=
B=
B1 =
B2 =
– (–41) ± (–41)2 – 4 . 4 . 100
2.4
41 ± 81
8
41 ± 9
8
41 + 9
8
41 – 9
8
=
=
50
8
32
8
= 6,25
=4
Por (I), se B = 6,25, então A = 2,50. Nesse caso, as possíveis sequências são:
(2,50; 6,25; 10) PA cuja razão é igual a r = 6,25 – 2,50 = 3,75
e
(1; 2,50; 6,25) PG cuja razão é igual a q = 2,50 / 1 = 2,50
Um valor possível para o produto entre r e q é igual a
r . q = 3,75 . 2,50 = 9,375
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Sequências numéricas
Por (I), se B = 4, então A = –2. Então:
(–2; 4; 10) PA cuja razão é igual a r = 10 – 4 = 6
e
(1; –2; 4) PG cuja razão é igual a q = –2 / 1 = –2
Um valor possível para o produto entre r e q é igual a:
r . q = 6 . (–2) = –12
Portanto, um dos valores possíveis para o produto entre r e q é igual a
–12.
Resposta: A
9. Observe que os números de qualquer coluna constituem uma progressão
aritmética cuja razão é igual a 7, pois a tabela é composta por 7 colunas
cujos números são consecutivos. A diferença substancial entre as progressões aritméticas formadas em cada coluna está no primeiro termo da
sequência, que é igual a 1 na 1.ª coluna, igual a 2 na 2.ª coluna, igual a 3
na 3.ª coluna e assim sucessivamente, até ser igual a 7 na 7.ª coluna.
A progressão aritmética desenvolvida na 3.ª coluna é dada por:
(3, 10, 17, 24, 31, ...)
A numeração da linha fornece a posição do termo na correspondente
progressão aritmética, ou seja, o número da 1.ª linha é o 1.º termo da PA,
o número da 2.ª linha é igual ao 2.º termo da PA, o número da 3.ª linha
é igual ao 3.º termo da PA, e assim sucessivamente, até o número da tricentésima quadragésima sexta linha (346.ª linha) ser o termo 346.º da PA.
Assim, deseja-se encontrar o 346.º termo da progressão aritmética (3, 10,
17, 24, 31, ...).
Logo:
a346 = a1 + 345 . r
a346 = 3 + 345 . 7
a346 = 2418
Resposta: B
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Sequências numéricas
10.Para se encontrar o terceiro termo da sequência basta considerar n = 3 no
termo geral:
132
an = (n&)&
a3 = (3&)&
Como a& = 3a – 2, temos:
a3 = (3 . 3 – 2)&
a3 = (7)&
a3 = (3 . 7 – 2)
a3 = 19
Para se encontrar o quinto termo da sequência, basta considerar n = 5 no
termo geral:
an = (n&)&
a5 = (5&)&
Observando que a& = 3a – 2, temos:
a5 = (3 . 5 – 2)&
a5 = (13)&
a5 = (3 . 13 – 2)
a5 = 37
Portanto:
a3 + a5 = 19 + 37 = 56
Resposta: E
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