FÍSICA
POLÍCIA RODOVIÁRIA
FEDERAL
Conteúdo Programático
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Conceitos Básicos de Trigonometria
Introdução à Cinemática Escalar
Movimento Uniforme (MU)
Movimento Uniformemente Variado (MUV)
Movimento Vertical no Vácuo
Diagramas Horários
Vetores
Lançamento Não Vertical
As Leis de Newton
Algumas Aplicações das Leis de Newton
11. Forças de Atrito
12. Força Elástica
13. Trabalho e Potência
14. Energia
15. Impulso e Quantidade de Movimento
16. Choques Mecânicos
17. Hidrostática
UNIDADE 1
Conceitos básicos de TRIGONOMETRIA
1. Triângulo Retângulo e Teorema de Pitágoras
Classifica-se como retângulo todo triângulo que possui um de seus ângulos internos
igual a 90º (noventa graus), também chamado ângulo reto, como indicado na figura
abaixo.
Figura 1
No triângulo ABC acima, que também pode ser representado por ΔABC, a relação
entre as medidas dos lados a, b e c é dada pela expressão a seguir, também conhecida
como Teorema de Pitágoras:
Os lados de um triângulo retângulo recebem
nomes peculiares a sua posição no triângulo. O
maior lado, a, sempre oposto ao ângulo reto, é
chamado de hipotenusa. Os outros dois, b e c,
são denominados catetos.
É por isso que o Teorema de Pitágoras assim se
enuncia:
“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos.”
2. Trigonometria no Triângulo Retângulo
Para qualquer ângulo α, valem as relações:
Exemplo 1: Dado o triângulo retângulo ABC abaixo, calcule:
a) sen ;
b) cos ;
c) tg + tg ;
d) sen + cos .
Solução
É uma boa ideia calcular o lado
temos:
do triângulo. Pelo Teorema de Pitágoras,
3. Arcos Notáveis
sen 90º = 1; cos 90º = 0;
sen 0º = 0; cos 0º = 1.
4. Ciclo Trigonométrico
Radiano (1 rad) é o ângulo definido em um círculo por um arco de circunferência com
o mesmo comprimento que o raio do referido círculo.
Na prática, estabelecemos a relação entre as medidas em graus e em
radianos de um ângulo qualquer da seguinte forma:
onde α é a medida em graus do ângulo cuja medida em radianos (x) se deseja
obter.
Assim, se quisermos, por exemplo, saber qual é a medida em radianos de um
ângulo de 65º, procedemos assim:
Logo, um ângulo de 65º corresponde a
.
Nunca é demais lembrar que π é um número irracional cujo valor aproximado
é 3,14.
Pode-se definir como ciclo trigonométrico uma circunferência de raio unitário
com centro localizado na origem do sistema cartesiano, cujos pontos podem ser
associados a ângulos de quaisquer valores.
É muito importante fazer a associação entre as medidas em graus e em radianos dos
seguintes ângulos:
π/2  90º ;
π  180º ;
3π/2  270º ;
2π  360º .
E ainda há os arcos notáveis:
π/6  30º ;
π/4  45º ;
π/3  60º .
Exemplo 2: Representar, no ciclo trigonométrico, os seguintes ângulos:
a) π / 6; b) π / 4; c) π / 3; d) 2π / 3; e) 5π / 6 f) 7π / 4.
Solução
Os ângulos pedidos no enunciado estão representados na figura acima. É fácil
perceber que:
2𝜋
𝜋
= 2 × → 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 2 × 60𝑜 = 120𝑜 ;
3
3
5𝜋
𝜋
= 5 × → 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 5 × 30𝑜 = 150𝑜 ;
6
6
7𝜋
𝜋
= 7 × → 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 5 × 45𝑜 = 315𝑜 .
4
4
•
•
Note que, percorrendo o ciclo no sentido anti-horário, obtêm-se os ângulos em
ordem crescente. Da mesma forma, quando o ciclo é percorrido no sentido
horário, os ângulos aparecem em ordem decrescente.
Isso permite concluir que também é possível representar ângulos negativos no
ciclo.
Também é possível representar
arcos de valores absolutos maiores
do que 360º no ciclo. Para isso,
basta percorrer todo o ciclo tantas
vezes quantas forem necessárias e
depois completar o percurso.
Exemplo 3: Representar, no ciclo trigonométrico, os seguintes arcos:
a) 750º ;
b) 1380º ;
c) 2270º ; d) -880º ; e) -1440º ; f) -3000º .
Solução
a) 1 volta completa no ciclo corresponde a 360º. Efetuando a divisão de 750º por
360º, verificamos que o ângulo de 750º corresponde a 2 voltas completas no ciclo
(quociente) mais um percurso de 30º (resto), ambos no sentido anti-horário, pois o
sinal é positivo.
b) Repetindo o procedimento anterior, obtemos:
c) Fazendo o mesmo, obtemos:
d) Para valores negativos, o procedimento é o mesmo, porém executando o giro no
sentido horário. Dessa forma, temos:
e) Repetindo os procedimentos anteriores, temos:
f) Mais uma vez, para finalizar:
O ciclo trigonométrico possui
outras utilidades além de
simplesmente marcar ângulos.
Ele também nos fornece os
valores do seno, do cosseno e
da tangente de um ângulo.
Na figura acima, o segmento de reta AB está situado acima do eixo das abscissas. Por
isso, o seno é positivo.
Mas o segmento AB poderia estar situado abaixo, caso em que o seno seria negativo,
como mostra a figura:
Já o cosseno é dado geometricamente pelo esquema abaixo.
Repare que o segmento de reta OB encontra-se à direita do eixo das ordenadas.
Quando isso acontece, diz-se que o cosseno é positivo.
Assim como no caso dos senos, também poderia ocorrer de o segmento OB estar
à esquerda do eixo das ordenadas, caso em que o cosseno seria negativo.
Por fim, apresentamos o raciocínio geométrico para a obtenção da tangente de
um ângulo θ qualquer.
A tangente do ângulo θ é positiva, pois o segmento AB está acima do eixo das
abscissas.
Quando o segmento AB está abaixo do eixo das abscissas, dizemos que a tangente do
ângulo considerado é negativa.
Exemplo 4: Calcule o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos pedidos.
a) π / 3;
b) 2π / 3;
c) 5π / 4;
d) 11π / 6;
e) 22π / 3.
Solução
a) O seno, o cosseno e a tangente de π/3 são notáveis e valem:
𝜋
3
𝑠𝑒𝑛 =
;
3
2
cos
𝜋 1
= ;
3 2
𝜋
𝑡𝑔 = 3 .
3
b)
Como 2𝜋/3 = 120𝑜 = 180𝑜 − 60𝑜 , fica fácil perceber
que, pela simetria do ciclo:
𝑠𝑒𝑛 2𝜋/3 = 𝑠𝑒𝑛 𝜋/3 ;
cos 2𝜋/3 = − cos 𝜋/3 ;
𝑡𝑔 2𝜋/3 = 𝑡𝑔 𝜋/3 ;
Logo,
𝑠𝑒𝑛 2𝜋/3 = 3/2
cos 2𝜋/3 = −1/2
𝑡𝑔 2𝜋/3 = 3
c)
Como 5𝜋/4 = 220𝑜 = 180𝑜 + 45𝑜 , fica fácil
perceber
que:
𝑠𝑒𝑛 5𝜋/4 = −𝑠𝑒𝑛 𝜋/4
cos 5𝜋/4 = − cos 𝜋/4
𝑡𝑔 5𝜋/4 = −𝑡𝑔 𝜋/4
Logo,
𝑠𝑒𝑛 5𝜋/4 = − 2/2
cos 5𝜋/4 = − 2/2
𝑡𝑔 5𝜋/4 = −1
d)
Como 11𝜋/6 = 330𝑜 = 360𝑜 − 30𝑜 , temos:
𝑠𝑒𝑛 11𝜋/6 = −𝑠𝑒𝑛 𝜋/6 ;
cos 11𝜋/6 = cos 𝜋/6 ;
𝑡𝑔 11𝜋/6 = −𝑡𝑔 𝜋/6 .
Logo:
𝑠𝑒𝑛 11𝜋/6 = −1/2
cos 11𝜋/6 = 3/2
𝑡𝑔 11𝜋/6 = − 3/3
e) 22/𝜋3 = 21𝜋/3 + 𝜋/3 = 7𝜋 + 𝜋/3.
A posição de 7π no ciclo trigonométrico é coincidente com a posição de π. Assim,
sabendo que π/3 = 60º, podemos representar:
•
•
•
•
•
•
•
•
O
Observa-se que:
𝑠𝑒𝑛 22𝜋/3 = −𝑠𝑒𝑛 𝜋/3 ;
cos 22𝜋/3 = − cos 𝜋/3 ;
𝑡𝑔 22𝜋/3 = −𝑡𝑔 𝜋/3 .
Logo:
L
Logo,
𝑠𝑒𝑛 22𝜋/3 = − 3/2
cos 22𝜋/3 = −1/2
𝑡𝑔 22𝜋/3 = − 3
Consideremos, agora, um triângulo retângulo genérico, como o da figura abaixo.
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 = ℎ𝑢𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 . 𝑠𝑒𝑛 𝛼 (1)
cos 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 . cos 𝛼
(2)
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 . 𝑡𝑔 𝛼 (3)
Exemplo 5: Nos triângulos a seguir, calcule as medidas dos catetos a, b e c.
Solução
𝑎) 𝑎 = 12 . 𝑠𝑒𝑛
𝑏) 𝑏 = 15
30𝑜
. cos 60𝑜
1
= 12 . = 6 cm.
2
1
= 15 . = 7,5 cm.
2
𝑐) 𝑐 = 4 . 𝑡𝑔 45𝑜 = 4 . 1 = 4 cm.
5. Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛾
Essa expressão é conhecida como Lei dos Senos, cujo enunciado poderia ser o
seguinte:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 . cos 𝑎
A expressão acima é a chamada Lei dos Cossenos.
Nunca é demais lembrar que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é
igual a 180º, ou π radianos.
ooo
Exemplo 6: Calcule as medidas dos lados a e b dos triângulos abaixo.
Solução
a) Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, o ângulo cuja medida
não foi mostrada vale 180º - (120º + 15º) = 45 º.
Assim, pela Lei dos Senos:
𝑎
14
=
∴
𝑠𝑒𝑛 45𝑜 𝑠𝑒𝑛 120𝑜
𝑎=
14 6
𝑐𝑚
3
𝑎
2
2
=
14
3
2
b) Pela Lei dos Cossenos, temos:
𝑏 2 = 32 + 102 − 2 . 3 . 10 . cos 135𝑜
𝑏2
=
32
+ 102
𝑏=
2
− 2 . 3 . 10 . −
2
109 + 30 2 𝑐𝑚
6. Seno e Cosseno da Soma e da Diferença entre dois Ângulos
As expressões para o cálculo do seno da soma e da diferença entre dois ângulos
quaisquer são dadas abaixo.
𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 . cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏 . cos 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑎 − 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 . cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑏 . cos 𝑎
E as expressões para o cálculo do cosseno da soma e da diferença entre dois ângulos
são as seguintes:
cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 . cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 . 𝑠𝑒𝑛 𝑏
cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 . cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 . 𝑠𝑒𝑛 𝑏
Exemplo 7: Calcule o seno e o cosseno dos seguintes ângulos:
a) 75º ;
b) 15º ;
c) 105º ;
d) 375º .
Solução
a)
𝑠𝑒𝑛 75𝑜 = 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 + 30𝑜 = 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 cos 30𝑜 + 𝑠𝑒𝑛 30𝑜 cos 45𝑜 =
2 3 1 2
6+ 2
=
.
+ .
=
2 2
2 2
4
cos(75𝑜 ) = cos 45𝑜 cos 30𝑜 − 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 𝑠𝑒𝑛 30𝑜 =
2 3
2 1
6− 2
.
−
. =
2 2
2 2
4
b)
𝑠𝑒𝑛 15𝑜 = 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 − 30𝑜 = 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 cos 30𝑜 − 𝑠𝑒𝑛 30𝑜 cos 45𝑜 =
2 3 1 2
6− 2
=
.
− .
=
2 2
2 2
4
cos(15𝑜 )
=
cos 45𝑜
cos 30𝑜
+ 𝑠𝑒𝑛
45𝑜
𝑠𝑒𝑛
30𝑜
2 3
2 1
6+ 2
=
.
+
. =
2 2
2 2
4
c)
𝑠𝑒𝑛 105𝑜 = 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 + 60𝑜
2
=
2
= 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 cos 60𝑜 + 𝑠𝑒𝑛 60𝑜 cos 45𝑜 =
1
3 2
6+ 2
. +
.
=
2
2 2
4
cos(105𝑜 ) = cos 45𝑜 cos 60𝑜 − 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 𝑠𝑒𝑛 60𝑜 =
2 1
2 3
2−6
. −
.
=
2 2
2 2
4
d) 375º = 360º + 15º. Logo, o seno e o cosseno para os ângulos de 15º e 375 º são os
mesmos.
UNIDADE 2
INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA ESCALAR
1. Introdução
A Cinemática é a parte da Mecânica que descreve os movimentos dos corpos
sem se preocupar com as causas que os produzem e os modificam.
Para que o estudo da Cinemática se torne viável, é imprescindível a utilização de
alguns conceitos, chamados conceitos primitivos, isto é, que não podem ser definidos,
mas que devem ter a mesma significação para todos. Para esse fim, assumiremos
como conceitos primitivos o instante e o tempo.
O instante ao qual se associa o tempo zero (t=0) recebe o nome de origem dos
tempos.
Se um determinado fenômeno iniciou-se num instante 𝑡1 e terminou num
instante 𝑡2 , dizemos que ele ocorreu num intervalo de tempo cuja duração é
𝛥𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 .
2. Localização de um Ponto Material. Referencial.
No estudo da Física, nada é absoluto. E isso vale também para a posição dos
corpos no espaço. A posição é sempre dada em relação a um referencial.
Define-se como referencial um corpo em relação ao qual um ponto P tem sua posição
determinada.
Sendo assim, para se determinar com precisão a posição de P, é necessário
conhecer as distâncias de P aos pontos do referencial R.
Uma forma de simplificar o trabalho é fixar em R um ponto, ao qual chamamos
origem, que pode coincidir perfeitamente com a origem de um sistema cartesiano tri
ortogonal.
A posição de P pode ser dada em termos das coordenadas desse ponto em relação à
origem do sistema.
A posição do ponto P é determinada em termos das coordenadas x (abscissa), y
(ordenada) e z (cota).
Se o ponto P estiver sempre em um plano, a sua posição será dada por duas
coordenadas: por exemplo, x (abscissa) e y (ordenada).
Finalmente, se o ponto P estiver sempre em cima de uma reta, sua posição será
dada por apenas uma coordenada: por exemplo, x (abscissa).
O sistema de unidades oficialmente adotado no Brasil é o Sistema Internacional de
Unidades (SI).
A unidade de tempo no SI é o segundo (s) e a de comprimento, o metro (m).
A hora (h) e o minuto (min) são múltiplos do segundo:
1 ℎ = 60 𝑚𝑖𝑛
1 𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑠
O milímetro e o centímetro são submúltiplos do metro. O quilômetro é múltiplo:
1 𝑚𝑚 = 10−3 𝑚
1 𝑐𝑚 = 10−2 𝑚
1 𝐾𝑚 = 103 𝑚
3. Repouso e Movimento
Os conceitos de repouso e movimento dependem estritamente do referencial
adotado.
•
Se, no referencial adotado, as coordenadas de um ponto não mudam com o
decorrer o tempo, dizemos que o ponto está em repouso em relação a esse
referencial.
•
Se pelo menos uma das coordenadas do ponto mudar com o passar do tempo,
esse ponto estará em movimento em relação ao referencial adotado.
4. Trajetória
Um ponto material que se move em relação a um determinado referencial ocupa
sucessivamente diversas coordenadas medidas nesse referencial. O conjunto de
pontos que ele ocupa é uma curva que recebe o nome de trajetória.
A forma da trajetória depende do referencial adotado.
5. Espaço
Considere um ponto P em movimento em relação a um determinado referencial.
Além de localizarmos o ponto P através de suas coordenadas (x,y,z), também podemos
localizá-lo diretamente na trajetória. Para isso, devemos escolher como origem da
trajetória um ponto O, a partir do qual será medido o comprimento do arco OP.
Repare, no entanto, que essa medida de arco também determina um ponto P’,
simétrico de P em relação à origem O (não dissemos se o comprimento seria medido
no sentido da direita ou da esquerda).
Daí concluímos que a medida do arco OP é igual à medida do arco OP’.
 A trajetória do ponto P deve ser orientada.
A medida do arco de trajetória OP precedida do sinal de + ou de – recebe o nome de
espaço do ponto P no instante t e é indicada pela letra s.
Dessa forma, o ponto O é denominado origem dos espaços.
Representamos a posição de um automóvel ao longo da sua trajetória em diversos
instantes.
O espaço do automóvel no instante t=0 é denominado espaço inicial e é indicado por
𝐬𝟎. Na figura acima, 𝑠0 = −30𝑚.
6. Equação Horária do Espaço
Imagine um ponto material que se movimenta em relação a certo referencial. Equação
horária do espaço é a equação que relaciona os diferentes espaços s desse ponto
material com os instantes t correspondentes.
No caso do exemplo anterior, a equação horária do espaço é
𝑠 𝑡 = −30 + 20𝑡
para s em metros e t em segundos.
Outros exemplos:
a) 𝑠 𝑡 = 10 − 4𝑡 (para s em metros e t em segundos)
t = 0  s = 10 m
t=1ss=6m
t=2ss=2m
t = 3 s  s = -2 m
t = 4s  s = -6 m
Observe que o espaço do móvel decresce com o tempo. Isso significa que o móvel
caminha no sentido oposto ao da orientação positiva da trajetória.
b) 𝑠 𝑡 = 2 + 6𝑡 − 2𝑡 2 (SI)
t=0s=2m
t=1ss=6m
t=2ss=6m
t=3ss=2m
t = 4 s  s = -6 m
Neste último caso, a posição do móvel inicialmente cresce, mas depois começa a cair
com o decorrer do tempo. Isso significa que o móvel caminha em um sentido e depois
retorna.
7. Variação de Espaço
Sendo 𝑠1 o espaço de um móvel num instante 𝑡1 e 𝑠2 o seu espaço num instante
𝑡2. Define-se a variação de espaço do móvel como a diferença entre os espaços nos
instantes 𝒕𝟐 e 𝒕𝟏 , ou seja:
𝛥𝑠 = 𝑠2 − 𝑠1
A variação de espaço pode ser positiva, quando 𝑠2 > 𝑠1 , negativa, quando
𝑠2 < 𝑠1 , ou nula, quando 𝑠2 = 𝑠1 . Quando a variação é nula, significa que o móvel
retornou à sua posição inicial.
Exemplo 1: Os espaços de um móvel variam com o tempo de acordo com a tabela:
Determine:
a) o espaço inicial;
b) os espaços do móvel nos instantes 2s e 7s;
c) a variação de espaço entre os instantes 3s e 6s.
Solução
a) O espaço inicial é o espaço do móvel no instante t = 0. Logo, 𝑠0 = −12𝑚
b) Nos instantes 2s e 7s, os espaços do móvel são, respectivamente, 𝑠 = 0𝑚 e
𝑠 = 27𝑚
c) Para t = 3s, o espaço é 𝑠1 = 4𝑚 e para t = 6s, o espaço é 𝑠2 = 21𝑚. Logo, a variação
de espaço é 𝑠2 − 𝑠1 = 21 − 4 = 17𝑚. Assim, 𝛥𝑠 = 17𝑚
Exemplo 2: A equação horária do espaço de um móvel é 𝑠 = −15 + 8𝑡, para s em
metros e t em segundos. Determine:
a) o espaço inicial;
b) os espaços do móvel nos instantes t = 1s e t = 5s;
c) a variação de espaço entre os instantes 2s e 4s;
d) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços.
Solução
a) Para t = 0, temos: 𝑠 = −15 + 8 . 0. Logo, 𝑠0 = −15𝑚
b) Para t = 1s, 𝑠 = −15 + 8 . 1. Logo, 𝑠 = −7𝑚
Para t = 5s, 𝑠 = −15 + 8 . 5. Logo, 𝑠 = 25𝑚
c) Para t = 2s, temos: 𝑠1 = −15 + 8 . 2. Logo, 𝑠1 = 1𝑚.
Para t = 4s, temos: 𝑠2 = −15 + 8 . 4. Logo, 𝑠2 = 17𝑚.
Dessa forma, 𝛥𝑠 = 𝑠2 − 𝑠1 = 17 − 1 = 16𝑚. Logo, 𝛥𝑠 = 16𝑚
d) No instante em que o móvel passa pela origem dos espaços, temos s = 0. Logo:
0 = −15 + 8𝑡
𝑡 = 15/8 𝑠
8. Velocidade Escalar Média
Seja Δs = s2 – s1 a variação de espaço de um móvel entre os instantes t1 e t2.
Define-se velocidade escalar média o quociente:
𝑣𝑚 =
𝛥𝑠
𝛥𝑡
em que Δt = t2 – t1.
Como Δt é sempre positivo (ninguém viaja para o passado!), concluímos que o
sinal de vm é o mesmo de Δs:
𝛥𝑠 > 0 → 𝑣𝑚 > 0
𝛥𝑠 < 0 → 𝑣𝑚 < 0
𝛥𝑠 = 0 → 𝑣𝑚 = 0
No SI a unidade de velocidade escalar é o metro por segundo (m/s). No entanto,
há situações em que é mais conveniente expressar a velocidade em quilômetros por
hora (km/h). A relação entre o metro por segundo e o quilômetro por hora é a
seguinte:
𝑚
𝑘𝑚
= 3,6
𝑠
ℎ
Exemplo 3: A equação horária do espaço de um móvel é 𝑠 = 2 + 6𝑡 2 para s em
metros e t em segundos. Determine a velocidade escalar média entre os instantes
𝑡1 = 1𝑠 e 𝑡2 = 4𝑠.
1
Solução
𝑡1 = 1𝑠 → 𝑠1 = 2 + 6 . 12 = 8 → 𝑠1 = 8𝑚
𝑡2 = 4𝑠 → 𝑠2 = 2 + 6 . 42 = 98 → 𝑠2 = 98𝑚
𝛥𝑠 = 𝑠2 − 𝑠1 = 98 − 8 = 90 → 𝛥𝑠 = 90𝑚
𝛥𝑡 = 4 − 1 = 3 → 𝛥𝑡 = 3𝑠
𝛥𝑠 90
𝑣𝑚 =
=
→ 𝑣𝑚 = 30𝑚/𝑠
𝛥𝑡
3
Exemplo 4: Um ônibus percorre um trajeto de 60 km em 40 min. Qual a velocidade
escalar média do ônibus ?
Solução
𝛥𝑠 = 60 𝑘𝑚 e 𝛥𝑡 = 40 𝑚𝑖𝑛.
2
60
40 𝑚𝑖𝑛 = ℎ → 𝑣𝑚 =
= 90 → 𝑣𝑚 = 90 𝑘𝑚/ℎ
2
3
3
Exemplo 5: A distância por estrada de rodagem entre Rio de Janeiro e Boa Vista é de
5159 km. Um ônibus de viagem demora dois dias e vinte e duas horas para perfazer o
percurso, incluindo dez horas de paradas para refeições, banhos, abastecimentos, etc.
Qual a velocidade escalar média desse ônibus durante os dois dias e vinte e duas
horas de viagem ?
Solução
Para o cálculo da velocidade escalar média, devemos considerar o tempo total de
viagem, incluindo as paradas.
2 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑒 22 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 2 . 24ℎ + 22ℎ = 70ℎ → 𝛥𝑡 = 70ℎ
Do enunciado: 𝛥𝑠 = 5159 𝑘𝑚
Logo,
5159
𝑣𝑚 =
= 73,7 → 𝑣𝑚 = 73,7 𝑘𝑚/ℎ
70
Exemplo 6: Um carro trafega de uma cidade A para outra cidade B, distantes 150 km,
em 2h30min. A seguir, desloca-se da cidade B para a cidade C, distantes 110 km, em
3h. Calcule a velocidade escalar média do automóvel no percurso de A a C.
Solução
O percurso total do automóvel vale 150 km + 110 km = 260 km  𝛥𝑠 = 260 𝑘𝑚.
O tempo total de percurso é 2h30min + 3h = 5h30min = 5,5 h  𝛥𝑡 = 5,5 ℎ.
𝛥𝑠 260
𝑣𝑚 =
=
≅ 47,27 → 𝑣𝑚 = 47,27 𝑘𝑚/ℎ
𝛥𝑡
5,5
Exemplo 7: Um automóvel percorre a distância entre Curitiba e Florianópolis (300 km)
com velocidade escalar média de 50 km/h e entre Florianópolis e Porto Alegre (476
km) com velocidade escalar média de 40 km/h. Qual a velocidade escalar média do
automóvel entre Curitiba e Porto Alegre ?
Solução
Entre Curitiba e Florianópolis: 𝛥𝑠1 = 300 𝑘𝑚.
Entre Florianópolis e Porto Alegre: 𝛥𝑠2 = 476 𝑘𝑚.
𝛥𝑠1 300
𝛥𝑡1 =
=
= 6 → 𝛥𝑡1 = 6ℎ
𝑣𝑚1
50
𝛥𝑡2 =
𝛥𝑠2 476
=
= 11,9 → 𝛥𝑡2 = 11,9ℎ
𝑣𝑚2
40
𝛥𝑠 = 𝛥𝑠1 + 𝛥𝑠2 = 300 + 476 → 𝛥𝑠 = 776 𝑘𝑚
𝛥𝑡 = 𝛥𝑡1 + 𝛥𝑡2 = 6 + 11,9 = 17,9ℎ
𝛥𝑠
776
De 𝑣𝑚 =
, vem: 𝑣𝑚 =
≅ 43,3 𝑘𝑚/ℎ → 𝑣𝑚 = 43,3 𝑘𝑚/ℎ
𝛥𝑡
17,9
Exemplo 8: Um móvel percorre metade de um percurso com velocidade escalar média
de 60 km/h e, imediatamente a seguir, a outra metade com velocidade escalar média
de 40 km/h. Calcule a velocidade escalar média no percurso todo.
Solução
Seja d o comprimento do percurso todo. Assim:
𝛥𝑠1 = 𝑑/2 e 𝛥𝑠2 = 𝑑/2
𝑑
𝛥𝑠1
𝑑
2
𝛥𝑡1 =
=
=
𝑣𝑚1
60
120
𝑑
𝛥𝑠2
𝑑
2
𝛥𝑡2 =
=
=
𝑣𝑚2
40
80
𝛥𝑡 = 𝛥𝑡1 + 𝛥𝑡2 =
𝑑
𝑑
2𝑑 + 3𝑑
5𝑑
+
=
→ 𝛥𝑡 =
120 80
240
240
Logo,
𝑣𝑚 =
𝑑
= 48 → 𝑣𝑚 = 48 𝑘𝑚/ℎ
5𝑑
240
Exemplo 9: Em 10 min, um móvel genérico descreveu a trajetória indicada no gráfico.
Qual foi a sua velocidade escalar média entre os pontos A e C ?
Solução
A variação de espaço entre A e B é 𝛥𝑠1 = 2 𝑘𝑚.
A variação de espaço entre B e C é 𝛥𝑠2 =
(5 − 2)2 +42 = 5 → 𝛥𝑠2 = 5 𝑘𝑚.
𝛥𝑠 = 𝛥𝑠1 + 𝛥𝑠2 = 2 + 5 = 7 → 𝛥𝑠 = 7 𝑘𝑚
𝛥𝑡 = 10 𝑚𝑖𝑛 =
1
ℎ
6
𝛥𝑠
7
Como 𝑣𝑚 =
, vem: 𝑣𝑚 =
= 42 → 𝑣𝑚 = 42 𝑘𝑚/ℎ
1
𝛥𝑡
6
9. Velocidade Escalar Instantânea
A velocidade escalar média não é um dado capaz de informar qual foi a velocidade do
veículo em cada instante do percurso.
 O dado capaz de nos fornecer essa informação chama-se velocidade escalar
instantânea.
Fisicamente, pode-se definir a velocidade escalar instantânea como o quociente entre
uma variação muito pequena de espaço, tendendo a zero (𝛥𝑠 → 0), e uma variação
muito pequena de tempo, também tendendo a zero (𝛥𝑡 → 0). Matematicamente:
𝛥𝑠
𝛥𝑡→0 𝛥𝑡
𝑣 = lim
Esse limite é chamado, na matemática superior, de derivada do espaço em
relação ao tempo.
A derivada do espaço em relação ao tempo é representada por
𝑑𝑠
.
𝑑𝑡
Exemplo 10: Dadas as equações de espaço a seguir, encontre, para cada caso, a
expressão da velocidade escalar instantânea.
a) 𝑠 = 2 + 2𝑡 − 3𝑡 2
b) 𝑠 = 4 − 10𝑡 + 5𝑡 2
c) 𝑠 = 1 − 2𝑡 + 3𝑡 2 − 2𝑡 3
d) 𝑠 = 2 + 6𝑡 − 2𝑡 3 + 𝑡 5
Solução
a) 𝑠 = 2
. 𝑡0
+2
. 𝑡1
−3
. 𝑡2
𝑑𝑠
𝑣=
= 2 . 0 . 𝑡 0−1 + 2 . 1 . 𝑡 1−1 − 3 . 2 . 𝑡 2−1
𝑑𝑡
𝑣 = 0 + 2 .1 .1 − 3 .2 .𝑡
𝑣 = 2 − 6𝑡
b) 𝑠 = 4 . 𝑡 0 − 10 . 𝑡 1 + 5 . 𝑡 2
𝑣=
𝑑𝑠
= 4 . 0 . 𝑡 0−1 − 10 . 1 . 𝑡 1−1 + 5 . 2 . 𝑡 2−1
𝑑𝑡
𝑣 = 0 − 10 . 1 . 1 + 5 . 2 . 𝑡
𝑣 = −10 + 10𝑡
c) 𝑠 = 1 . 𝑡 0 − 2 . 𝑡 1 + 3 . 𝑡 2 − 2 . 𝑡 3
𝑣=
𝑑𝑠
= 1 . 0 . 𝑡 0−1 − 2 . 1 . 𝑡 1−1 + 3 . 2 . 𝑡 2−1 − 2 . 3 . 𝑡 3−1
𝑑𝑡
𝑣 = 0 − 2 . 1 . 1 + 3 . 2 . 𝑡 − 2 . 3 . 𝑡2
𝑣 = −2 + 6𝑡 − 6𝑡 2
d) 𝑠 = 2 . 𝑡 0 + 6 . 𝑡 1 − 2 . 𝑡 3 + 𝑡 5
𝑣=
𝑑𝑠
= 2 . 0 . 𝑡 0−1 + 6 . 1 . 𝑡 1−1 − 2 . 3 . 𝑡 3−1 + 5 . 𝑡 5−1
𝑑𝑡
𝑣 = 0 + 6 . 1 . 1 − 2 . 3 . 𝑡2 + 5 . 𝑡4
𝑣 = 6 − 6𝑡 2 + 5𝑡 4
10. Movimento Progressivo e Retrógrado
Quando um móvel se desloca no sentido positivo da trajetória, dizemos que o
movimento é progressivo, o que implica que a variação de espaço é positiva.
Consequentemente, também será positiva a velocidade escalar.
De outro modo, quando o móvel se desloca no sentido negativo da trajetória, o
movimento é retrógrado. No movimento retrógrado, a variação de espaço é,
naturalmente, negativa, o que implica ser também negativa a velocidade escalar.
Exemplo 11: Considere os dois automóveis A e B mostrados na figura abaixo, que
possuem velocidades de valor absoluto 15 km/h e 25 km/h, respectivamente. Os
sentidos dos seus movimentos também estão indicados.
a) Classifique os movimentos de A e B como progressivos ou retrógrados.
b) Dê as velocidades escalares de A e B.
Solução
a) O móvel A se desloca no sentido contrário ao da orientação positiva; portanto, é
retrógrado. O móvel B se desloca no sentido da orientação positiva; portanto, é
progressivo.
b) A velocidade escalar de A é negativa, pois o seu movimento é retrógrado. Já a
velocidade escalar de B é positiva, pois o seu movimento é progressivo. Portanto, as
velocidades escalares de A e B são:
𝑘𝑚
𝑣𝐴 = −15
ℎ
e
𝑘𝑚
𝑣𝐵 = +25
ℎ
Exemplo 12: Um ponto material se desloca obedecendo à seguinte equação horária
do espaço: 𝑠 = −4 + 5𝑡 − 𝑡 2 . Determine:
a) para que valores de t o movimento é progressivo;
b) para que valores de t o movimento é retrógrado.
Solução
Antes de qualquer coisa, devemos determinar a equação horária da velocidade,
conforme aprendido no item anterior:
𝑣 = 5 − 2𝑡
a) 𝑣 = 5 − 2𝑡 > 0
2𝑡 < 5
𝑡 < 2,5 𝑠
Portanto, antes do instante 2,5 s, o movimento é progressivo.
b) 𝑣 = 5 − 2𝑡 < 0
2𝑡 > 5
𝑡 > 2,5 𝑠
Portanto, após o instante 2,5 s, o movimento torna-se retrógrado.
11. Aceleração Escalar
Assim como temos a velocidade escalar média para medir a variação do espaço
com o tempo, também temos a aceleração escalar média para medir a variação da
velocidade escalar com o tempo.
Seja 𝛥𝑣 = 𝑣2 − 𝑣1 a variação de velocidade de um móvel num intervalo de
tempo 𝛥𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 . Define-se aceleração escalar média o quociente entre a variação
de velocidade Δv e o correspondente intervalo de tempo Δt, ou seja:
𝑎𝑚 =
𝛥𝑣
𝛥𝑡
Como Δt é sempre positivo, concluímos que o sinal de 𝑎𝑚 é o mesmo de Δv.
11.2. Aceleração Escalar Instantânea
Fazendo o intervalo de tempo Δt tender a zero (𝛥𝑡 → 0), podemos definir
matematicamente a aceleração escalar instantânea como:
𝛥𝑣
𝛥𝑡→0 𝛥𝑡
𝑎𝑖 = lim
Esse resultado é exatamente a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Logo, a aceleração escalar instantânea também pode ser representada por:
𝑑𝑣
𝑎𝑖 =
𝑑𝑡
Assim, a derivada do espaço nos fornece a velocidade escalar instantânea e a
derivada da velocidade nos fornece a aceleração escalar instantânea:
𝑠
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑣
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑎
A unidade da aceleração escalar no SI é o m/s2. Mas também são possíveis outras
unidades, como, por exemplo, km/h2 ou cm/s2.
Exemplo 13: Um veículo aumenta a sua velocidade de 8 m/s para 18 m/s num
intervalo de tempo de 5,0 s. Qual foi a sua aceleração escalar média nesse intervalo de
tempo ?
Solução
𝛥𝑣 = 𝑣2 − 𝑣1 = 18 − 8 = 10
𝛥𝑣 = 10 𝑚/𝑠
𝛥𝑡 = 5,0 𝑠
𝑎𝑚
𝛥𝑣 10
=
=
=2
𝛥𝑡
5
𝑎𝑚 = 2 𝑚/𝑠 2
Exemplo 14: Acompanhando o movimento de um automóvel em uma estrada,
verificamos que às 8h da manhã, sua velocidade era de 60 km/h e às 11h da manhã,
sua velocidade era de 90 km/h. Determine a aceleração escalar média do automóvel
nesse intervalo de tempo.
Solução
𝛥𝑣 = 𝑣2 − 𝑣1 = 90 − 60 = 30
𝛥𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 = 11 − 8 = 3
𝛼𝑚 =
𝛥𝑣 30
=
= 10
𝛥𝑡
3
𝛥𝑣 = 30 𝑘𝑚/ℎ
𝛥𝑡 = 3ℎ
𝛼𝑚 = 10 𝑘𝑚/ℎ2
Exemplo 15: Um ponto material se locomove com equação horária do espaço
𝑠 = 2 + 𝑡 − 4𝑡 2 + 2𝑡 3 . Determine:
a) a equação horária da velocidade;
b) a equação horária da aceleração.
Solução
a) 𝑣 =
𝑑𝑠
= 1 − 8𝑡 + 6𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑣
b) 𝑎 =
= −8 + 12𝑡
𝑑𝑡
Exemplo 16: Uma partícula movimenta-se segundo a equação horária do espaço
𝑠 = 3 − 5𝑡 + 𝑡 2 (s em metros e t em segundos). Determine a aceleração escalar do
movimento.
Solução
𝑑𝑠
𝑣=
= −5 + 2𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑎=
=2
𝑑𝑡
𝑎 = 2 𝑚/𝑠 2
Exemplo 17: A equação escalar da velocidade de um móvel é dada por 𝑣 = 2 + 3𝑡 2
(SI). Determine a aceleração escalar desse móvel no instante t = 2 s.
Solução
𝑎=
Para t = 2s, temos: 𝑎 = 6 . 2 = 12
𝑑𝑣
= 6𝑡
𝑑𝑡
𝑎 = 12 𝑚/𝑠 2
12. Movimento Acelerado e Retardado
Quando o valor absoluto da velocidade escalar aumenta com o tempo, diz-se que
o movimento é acelerado.
Para o movimento acelerado, temos duas possibilidades:
a) movimento acelerado progressivo
Neste caso, 𝑣 > 0 e se 𝑣 aumenta com o tempo, isso significa que 𝑣 também
cresce com o tempo. Dessa forma, Δv é positivo para qualquer intervalo de tempo.
b) movimento acelerado retrógrado
Neste caso, 𝑣 < 0 e se 𝑣 aumenta com o tempo, isso significa que 𝑣 diminui
com o tempo. Dessa forma, Δv é negativo para qualquer intervalo de tempo.
Resumindo:
𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑣𝑜: 𝑣 > 0,
𝑜𝑢
𝑟𝑒𝑡𝑟ó𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜: 𝑣 < 0,
𝛼>0
𝛼<0
Concluímos que, no movimento acelerado, 𝒗 e 𝒂 têm o mesmo sinal.
Quando o valor absoluto da velocidade diminui com o tempo, diz-se que o
movimento é retardado.
Se 𝑣 diminui com o tempo, temos duas possibilidades:
a) movimento retardado progressivo
Neste caso, se 𝑣 > 0 e 𝑣 diminui com o tempo, isso significa que 𝑣 também
decresce com o tempo. Dessa forma, Δv é negativo para qualquer intervalo de tempo.
b) movimento retardado retrógrado
Neste caso, se 𝑣 < 0 e 𝑣 diminui com o tempo, isso significa 𝑣 cresce com o
tempo. Dessa forma, Δv é positivo para qualquer intervalo de tempo.
Resumindo:
𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑𝑎𝑑𝑜
𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑣𝑜: 𝑣 > 0,
𝑜𝑢
𝑟𝑒𝑡𝑟ó𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜: 𝑣 < 0,
𝛼<0
𝛼>0
Sendo assim, concluímos que, no movimento retardado, 𝒗 e 𝒂 têm sinais
contrários.
Exemplo 18: A figura mostra as posições de um móvel que se desloca sempre no
mesmo sentido.
Classifique o movimento em progressivo ou retrógrado, acelerado ou retardado.
Solução
O movimento é progressivo, pois o móvel movimenta-se sempre no sentido positivo
da trajetória.
Como, de um em um segundo, o móvel percorre distâncias cada vez maiores, isso
significa que a sua velocidade escalar cresce. Logo, o movimento é acelerado.
Exemplo 19: Um ponto material se movimenta com equação horária de velocidade
𝑣 = 𝑡 2 − 4. Classifique o movimento em progressivo ou retrógrado, acelerado ou
retardado nos instantes:
a) t = 1s;
b) t = 3s.
Solução
a) Para t = 1s, v = 12 – 4 = -3  v = -3 m/s  movimento retrógrado, pois v < 0.
𝑑𝑣
𝑎=
= 2𝑡. Se t = 1s, então 𝑎 = 2 . 1 = 2 𝑚/𝑠 2
𝑑𝑡
movimento retardado, pois 𝑣 < 0 e 𝑎 > 0.
b) Para t = 3s, v = 32 – 4 = 5  v = 5 m/s  movimento progressivo, pois v > 0.
Pelo item anterior, 𝑎 = 2𝑡. Se t = 3s, então 𝑎 = 2 . 3 = 6 𝑚/𝑠 2
movimento acelerado, pois 𝑣 > 0 e 𝑎 > 0.
Exemplo 20: Uma partícula se movimenta com equação horária do espaço 𝑠 = 6 −
5𝑡 + 𝑡 2 (SI). Determine:
a) a equação horária da velocidade;
b) o instante em que a velocidade escalar se anula;
c) a aceleração escalar;
d) o intervalo de tempo para o qual o movimento é acelerado;
e) o intervalo de tempo para o qual o movimento é retardado.
Solução
𝑑𝑠
a) 𝑣 =
= −5 + 2𝑡
𝑑𝑡
b) −5 + 2𝑡 = 0
𝑡 = 2,5 𝑠
𝑑𝑣
c) 𝑎 =
=2
𝑑𝑡
𝑎 = 2 𝑚/𝑠 2
d) Como 𝑎 > 0, para que o movimento seja acelerado, devemos ter 𝑣 > 0. Logo:
−5 + 2𝑡 > 0
𝑡 > 2,5 𝑠
e) Pelo mesmo motivo, devemos ter 𝑣 < 0. Logo:
−5 + 2𝑡 < 0
𝑡 < 2,5 𝑠
UNIDADE 3
MOVIMENTO UNIFORME (MU)
1. Definição
Movimento uniforme (MU) é aquele que possui velocidade escalar instantânea
constante.
 Consequentemente, a velocidade escalar média é também constante para
qualquer intervalo de tempo.
Assim, podemos escrever:
𝛥𝑠
𝑣𝑚 = 𝑣 =
(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ≠ 0)
𝛥𝑡
Então: 𝛥𝑠 = 𝑣 . 𝛥𝑡.
Essa última igualdade nos mostra que, para intervalos de tempo iguais, temos
deslocamentos iguais, já que a velocidade é constante.
2. Equação Horária do Espaço
Sendo 𝑠0 o espaço inicial correspondente ao instante t = 0, a equação horária do
espaço para o MU é:
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣 . 𝑡
Percebemos, assim, que a equação horária do espaço para o movimento
uniforme é do 1º grau em t.
Veja a tabela abaixo.
Como no movimento uniforme a velocidade é constante, conclui-se que a
aceleração escalar é nula.
Esquematicamente, temos três formas de reconhecer um movimento como
sendo uniforme:
a) a velocidade escalar instantânea é constante;
b) a aceleração escalar instantânea é nula, o que implica aceleração escalar média
também nula;
c) o espaço obedece a uma equação horária do primeiro grau em t.
3. Diagramas Horários do Movimento Uniforme
No movimento uniforme, a equação horária do espaço é do 1º grau
 Logo, o gráfico de s em função de t, sendo 𝑣 ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos.
Movimento progressivo  espaço cresce com o tempo
Movimento retrógrado  espaço diminui com o tempo
A velocidade escalar é constante
 o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta paralela ao eixo t.
Movimento progressivo  reta situa-se acima do eixo
Movimento retrógrado  reta situa-se abaixo do eixo
Como, no movimento uniforme, a aceleração escalar é nula, seu gráfico se traduz
em uma reta coincidente com o eixo t.
Exemplo 21: A equação horária do espaço de um móvel é 𝑠 = 12 − 3𝑡 (SI).
a) Determine o espaço inicial e a velocidade escalar do movimento.
b) Classifique o movimento como progressivo ou retrógrado.
c) Qual o espaço do móvel no instante t = 2s ?
d) Em que instante o móvel passa pela origem dos espaços ?
e) O que se pode dizer a respeito da trajetória do móvel ?
Solução
a) Sabemos que a equação horária do espaço para o MU é 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣 . 𝑡. Comparando
essa equação com a equação dada, obtemos: 𝑠0 = 12𝑚 e 𝑣 = −3 𝑚/𝑠
b) Como v < 0, o movimento é retrógrado.
c) Para t = 2s, temos: 𝑠 = 12 − 3 . 2 = 6
d) 12 − 3𝑡 = 0
𝑠 =6𝑚
𝑡 = 4𝑠
e) Como a equação horária é do 1º grau, concluímos que o movimento é uniforme.
Quanto à forma da trajetória, nada podemos dizer.
Exemplo 22: Um móvel realiza movimento uniforme. Sabe-se que, no instante t=0, o
espaço do móvel é – 6m. Escreva a equação horária do espaço, sabendo que a
velocidade tem módulo 10 m/s. Considere os casos:
a) o movimento é progressivo;
b) o movimento é retrógrado.
Solução
a) se o movimento é progressivo, então v > 0. Assim, a equação fica: 𝑠 = −6 + 10𝑡
(SI).
b) se o movimento é retrógrado, então v < 0. Assim, a equação fica: 𝑠 = −6 − 10𝑡
(SI).
Exemplo 23: As figuras representam as posições, no instante t = 0, de dois veículos A e
B, em movimento uniforme. A figura também indica os sentidos dos movimentos. Os
veículos A e B possuem velocidades escalares de valor absoluto 15 m/s e 30 m/s,
respectivamente. Determine as suas equações horárias do espaço referentes à
trajetória orientada.
Solução
Para a figura A, temos 𝑠0 = 20𝑚.
Como o movimento de A é progressivo, concluímos que 𝑣𝐴 = +15 𝑚/𝑠.
Portanto, sua equação horária é 𝑠 = 20 + 15𝑡 (SI)
Para a figura B, temos 𝑠0 = 30𝑚.
Como o movimento de B é retrógrado, concluímos que 𝑣𝐵 = −30 𝑚/𝑠.
Portanto, sua equação horária é 𝑠 = 30 − 30𝑡 (SI)
Exemplo 24: Um móvel em movimento uniforme possui espaço 𝑠1 = 12𝑚 no instante
𝑡1 = 2,0𝑠 e espaço 𝑠2 = 21𝑚 no instante 𝑡2 = 5,0𝑠. Qual a equação horária do
espaço do móvel ?
Solução
De 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣 . 𝑡, temos:
12 = 𝑠0 + 2𝑣
21 = 𝑠0 + 5𝑣
𝑠0 = 6,0𝑚 𝑒 𝑣 = 3,0 𝑚/𝑠
Assim, a equação horária do movimento é 𝑠 = 6,0 + 3,0 𝑡 (SI)
Exemplo 25: Os espaços de dois móveis A e B, que percorrem a mesma trajetória, são
medidos a partir da mesma origem. Suas equações horárias de espaço são 𝑠𝐴 = 60 −
10𝑡 e 𝑠𝐵 = 10 + 40𝑡, com t em horas e 𝑠𝐴 e 𝑠𝐵 em quilômetros. Determine o instante
e a posição do encontro.
Solução
No instante do encontro, os espaços dos móveis devem ser iguais.
𝑠𝐴 = 𝑠𝐵
60 − 10𝑡 = 10 + 40𝑡
Instante do encontro: 𝑡 = 1 ℎ
𝑡=1ℎ
Para calcular a posição do encontro, basta substituir esse valor de t em qualquer uma
das equações de espaço, já que os espaços serão iguais.
Escolhendo A: 𝑠 = 60 − 10 . 1 = 50𝑚
Posição do encontro: 𝑠 = 50𝑚
Exemplo 26: A figura mostra as posições de dois automóveis A e B no instante t=0. Os
automóveis A e B possuem movimento uniforme com velocidades escalares iguais a
70 km/h e 45 km/h, respectivamente. Depois de quanto tempo A alcança B ?
Solução
Primeiramente, é preciso determinar as equações horárias dos automóveis. Para isso,
devemos adotar uma origem dos espaços O e orientar a trajetória. Vamos adotar
como origem dos espaços a posição de A e orientar a trajetória de A para B.
Dessa forma, podemos escrever:
𝑠𝐴 = 0 + 70𝑡 (𝑠 𝑒𝑚 𝑘𝑚 𝑒 𝑡 𝑒𝑚 ℎ)
𝑠𝐵 = 1,125 + 45𝑡 (𝑠 𝑒𝑚 𝑘𝑚 𝑒 𝑡 𝑒𝑚 ℎ)
Note que 1125m = 1,125 km!
Fazendo 𝑠𝐴 = 𝑠𝐵 , vem:
0 + 70𝑡 = 1,125 + 45𝑡
𝑡 = 0,045ℎ = 0,045 . 3600 𝑠 = 162 𝑠 = 2 min 42 𝑠
Assim, depois de 2min42s, A alcançará B  𝑡 = 2𝑚𝑖𝑛42𝑠
______
Este exercício pode ser facilmente resolvido utilizando-se o conceito de velocidade
relativa. Dados dois móveis A e B, com velocidades escalares vA e vB, diz-se que a
velocidade de A em relação a B é:
𝑣𝐴𝐵 = 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵
Da mesma forma, a velocidade de B em relação a A é:
𝑣𝐵𝐴 = 𝑣𝐵 − 𝑣𝐴
Repare que 𝑣𝐴𝐵 = −𝑣𝐵𝐴 .
Os móveis caminham no mesmo sentido  velocidade relativa é a diferença 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵
Os móveis caminham em sentidos opostos  velocidade relativa é a soma 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵
(Sendo 𝑣𝐴 e 𝑣𝐵 os módulos)
•
Levando esse conceito para o exercício em questão, tudo se passa como se o
automóvel B estivesse parado e o automóvel A se movesse com velocidade (70
km/h – 45 km/h).
Sendo assim, para alcançar B, o automóvel A teria de percorrer a distância de 1,125
km (espaço relativo) com velocidade de 25 km/h (velocidade relativa).
Assim,
𝑠𝑟𝑒𝑙 = 𝑣𝑟𝑒𝑙 . 𝑡
1,125 = 25 . 𝑡
Ou seja, chegamos ao mesmo resultado.
𝑡 = 2𝑚𝑖𝑛42𝑠
Exemplo 27: A figura representa as posições de dois automóveis A e B no instante t=0.
Os automóveis A e B possuem movimentos uniformes cujas velocidades escalares têm
valores absolutos 70 km/h e 45 km/h, respectivamente. Depois de quanto tempo A e B
colidem ?
Solução
Baseados no mesmo raciocínio do exemplo anterior, podemos escrever as equações
horárias dos automóveis desta forma:
𝑠𝐴 = 0 + 70𝑡 (𝑠 𝑒𝑚 𝑘𝑚 𝑒 𝑡 𝑒𝑚 ℎ)
𝑠𝐵 = 1,125 − 45𝑡 (𝑠 𝑒𝑚 𝑘𝑚 𝑒 𝑡 𝑒𝑚 ℎ)
Fazendo 𝑠𝐴 = 𝑠𝐵 , vem:
0 + 70𝑡 = 1,125 − 45𝑡
𝑡 ≅ 35𝑠
Utilizando o conceito de velocidade relativa, considerando que o móvel B permanece
parado e o móvel A se movimenta com velocidade (70 km/h + 45 km/h), temos:
𝑠𝑟𝑒𝑙 = 𝑣𝑟𝑒𝑙 . 𝑡
1,125 = 115 . 𝑡
𝑡 ≅ 35𝑠
Portanto, num intervalo de tempo de 35 s, os automóveis colidirão.
Exemplo 28: Um trem de 200m de comprimento viaja com velocidade escalar
constante de 72 km/h e atravessa um túnel de comprimento 300m. Quanto tempo
demora a travessia ?
Solução
Das figuras acima, a primeira retrata o início da travessia do túnel e a segunda, o fim
da travessia.
𝑘𝑚
𝑚
Sabemos que 72
= 72 ÷ 3,6 = 20 𝑚/𝑠
ℎ
𝑠
•
Considerando o trem como um conjunto perfeitamente rígido, concluímos que
todos os pontos do trem realizam movimento uniforme com velocidade de 20 m/s.
•
O tempo de travessia nada mais é do que o tempo que a parte frontal do trem
gasta para percorrer o comprimento de 300m (túnel) mais o comprimento de
200m (tamanho do trem).
Portanto, o problema reduz-se à equação abaixo.
500 = 0 + 20𝑡
𝑡 = 25𝑠
Exemplo 29: Dois trens A e B de 200m de comprimento cada correm em linhas
paralelas com velocidades escalares de valores absolutos 60 km/h e 40 km/h, no
mesmo sentido. A figura mostra o instante em que o trem A começa a ultrapassar o
trem B. Depois de quanto tempo terminará a ultrapassagem ?
Solução
•
O trem A terá ultrapassado o trem B no instante em que a parte traseira de A
cruzar a parte dianteira de B.
•
Uma solução consistiria em escrever as equações horárias da parte traseira de A e
da parte dianteira de B, tomando como origem dos espaços a posição da parte
traseira de A no início da ultrapassagem (quando a parte dianteira de A encontra a
parte traseira de B).
Então:
𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠(𝐴)
150
=0+
𝑡
9
Pois: 60
∴
𝑠𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡(𝐵)
100
= 400 +
𝑡
9
𝑘𝑚 150 𝑚
𝑘𝑚 100 𝑚
=
𝑒 40
=
.
ℎ
9 𝑠
ℎ
9 𝑠
Fazendo 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠(𝐴) = 𝑠𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡(𝐵) , vem:
150
100
0+
𝑡 = 400 +
𝑡
9
9
𝑡 = 72𝑠
___________
Seria muito mais simples se resolvêssemos este problema pelo conceito de velocidade
relativa.
•
Assim, consideramos que o trem B está parado e que o trem A move-se com
velocidade escalar de (60 km/h – 40 km/h), ou seja, de 20 km/h.
•
Portanto, para que haja ultrapassagem, a parte dianteira de A deve percorrer
200m (comprimento do trem B) mais 200m (comprimento do próprio trem A).
Dessa forma, teríamos a equação:
𝑠𝑟𝑒𝑙 = 𝑣𝑟𝑒𝑙 . 𝑡
400 =
50
.𝑡
9
Pois: 20
𝑡 = 72𝑠
𝑘𝑚 50 𝑚
=
.
ℎ
9 𝑠
Portanto, o trem A levará 72 s para ultrapassar o trem B.
Exemplo 30: Dois trens A e B de 200m de comprimento cada correm em linhas
paralelas com velocidades escalares de valores absolutos 60 km/h e 40 km/h, em
sentidos opostos. Quanto tempo decorrerá desde o instante em que começam a se
cruzar até o instante em que terminam o cruzamento ?
Solução
Utilizando o conceito de velocidade relativa, temos:
𝑠𝑟𝑒𝑙 = 𝑣𝑟𝑒𝑙 . 𝑡
𝑠𝑟𝑒𝑙 = 400𝑚 ∴ 𝑣𝑟𝑒𝑙 = 100
250
400 =
.𝑡
9
Portanto, o cruzamento terá duração de 14,4 s.
𝑘𝑚 250 𝑚
=
ℎ
9 𝑠
𝑡 = 14,4𝑠
Exercício 31: Dois pontos materiais A e B percorrem a mesma trajetória, no mesmo
sentido, com movimentos uniformes. O móvel A parte no instante t=0 com velocidade
escalar de 10 m/s; o móvel B parte do mesmo ponto, 2 s depois, com velocidade de 12
m/s. Depois de quanto tempo, após a partida de A, os dois móveis se encontrarão ?
Solução
Adotamos o ponto de partida dos móveis como origem dos espaços e orientamos a
trajetória no sentido dos movimentos. Assim, temos 𝑠0𝐴 = 0𝑚, 𝑠0𝐵 = 0𝑚, 𝑣𝐴 =
10 𝑚/𝑠 e 𝑣𝐵 = 12 𝑚/𝑠.
Equação horária de A: 𝑠𝐴 = 0 + 10𝑡 (SI)
Equação horária de B: 𝑠𝐵 = 0 + 12 . (𝑡 − 2) (SI), com 𝑡 ≥ 2 𝑠
•
A origem dos tempos foi adotada no instante em que A parte.
•
Assim, como B partiu 2 s depois, em sua equação horária aparece o termo (t – 2),
enquanto que na equação horária de A aparece o termo t.
Do encontro, temos:
𝑠𝐴 = 𝑠𝐵
10𝑡 = 12 . 𝑡 − 2
𝑡 = 12𝑠
Portanto, o encontro ocorre 12 s após a partida de A e 10 s após a partida de B.
Exemplo 32: Um indivíduo dispara um projétil com velocidade de 200 m/s sobre um
alvo. Ele ouve o impacto do projétil no alvo 5,4 s depois do disparo. Sabendo que a
velocidade do som no ar é 340 m/s, qual a distância do indivíduo ao alvo ?
Solução
Seja 𝛥𝑡1 o tempo que o projétil leva para atingir o alvo e 𝛥𝑡2 o tempo que o som leva
para chegar até o atirador.
Temos:
𝛥𝑡1 + 𝛥𝑡2 = 5,4 𝑠 (1)
Como 𝛥𝑠1 = 𝑣1 . 𝛥𝑡1, então 𝑑 = 𝑣1 . 𝛥𝑡1 . Logo:
𝑑
𝑑
𝛥𝑡1 =
=
𝑣1 200
𝑑
𝑑
Analogamente: 𝛥𝑡2 =
=
𝑣2 340
De (1), obtemos:
𝑑
𝑑
+
= 5,4
200 340
17𝑑 + 10𝑑
= 5,4
3400
𝑑 = 680𝑚
Exemplo 33: (FGV-SP) De duas cidadezinhas, ligadas por uma estrada reta de 10 km de
comprimento, partem simultaneamente, uma em direção à outra, duas carroças
puxadas cada uma por um cavalo e andando à velocidade de 5 km/h. No instante da
partida, uma mosca, que estava pousada na testa do primeiro cavalo, parte voando
em linha reta, com a velocidade de 15 km/h e vai pousar na testa do segundo cavalo.
Após um intervalo de tempo desprezível, parte novamente e volta, com a mesma
velocidade de antes, em direção ao primeiro cavalo, até pousar em sua testa. E assim
prossegue nesse vaivém até que os dois cavalos se encontram e a nossa mosca morre
esmagada entre as duas testas. Quantos quilômetros percorreu a mosca ?
Solução
O conceito de velocidade relativa nos é muito útil aqui. A velocidade relativa entre as
duas carroças é:
𝑣𝑟𝑒𝑙 = 5 + 5 = 10 𝑘𝑚/ℎ
O espaço relativo é 𝑠𝑟𝑒𝑙 = 10 𝑘𝑚.
O tempo decorrido até as duas carroças se encontrarem é dado por:
𝑠𝑟𝑒𝑙 = 𝑣𝑟𝑒𝑙 . 𝑡
10 = 10 . 𝑡
𝑡 = 1ℎ
Durante esse tempo, a mosca voou com velocidade de v = 15 km/h. Logo, a distância
por ela percorrida até morrer esmagada foi:
𝑑=𝑣. 𝑡
Logo, a mosca percorreu 15 km.
𝑑 = 15 . 1
𝑑 = 15𝑘𝑚
Exemplo 34: Um móvel realiza movimento uniforme. Sabe-se que no instante t1=1,0s
o espaço do móvel é s1=10m e, no instante t2=4,0s o espaço do móvel é s2=20m.
a) Construa o gráfico do espaço s em função do tempo t.
b) Determine a velocidade escalar e o espaço inicial.
c) Escreva a equação horária do espaço.
Solução
a) O gráfico de s em função de t no movimento uniforme é uma reta oblíqua aos eixos.
Sendo assim, marcamos no gráfico abaixo dois pontos: (1,0 ; 10) e (4,0 ; 20).
b) Como o movimento é uniforme, a velocidade escalar instantânea coincide com a
velocidade escalar média. Logo,
𝛥𝑠
25 − 10
𝑣=
=
= 5,0 𝑚/𝑠
𝛥𝑡 4,0 − 1,0
Como v = 5 m/s, a equação do espaço pode ser assim escrita: 𝑠 = 𝑠0 + 5 . 𝑡.
Para descobrir 𝑠0 , escolhemos um ponto do gráfico e substituímos os valores na
equação anterior. Escolhemos o ponto (1,0 ; 10). Assim:
10 = 𝑠0 + 5 . 1
𝑠0 = 5 𝑚
c) Logo, a equação horária do espaço é: 𝑠 = 5 + 5 . 𝑡
Exemplo 35: Construa os gráficos do espaço em função do tempo e da velocidade em
função do tempo para os seguintes movimentos:
a) 𝑠 = −4 + 2𝑡 (SI);
b) 𝑠 = 10 − 5𝑡 (SI).
Solução
a) Para t = 0, s = - 4 m. Quando s = 0, t = 2 s. Portanto, o gráfico do espaço em função
do tempo está apresentado abaixo.
A velocidade é constante e igual a 2 m/s. Logo, o gráfico da velocidade em função do
tempo é:
b) Para t = 0, s = 10 m. Quando s = 0, t = 2 s. Portanto, o gráfico do espaço em função
do tempo é o seguinte:
Como a velocidade é constante e igual a – 5 m/s, o gráfico da velocidade em função do
tempo é:
Exemplo 36: Os diagramas apresentados referem-se aos movimentos de dois móveis,
A e B, que se deslocam sobre a mesma trajetória, a partir da mesma origem.
A) Classifique os movimentos de A e B como progressivo ou retrógrado.
B) Determine, através do gráfico, o instante e a posição do encontro.
Solução
A) A reta que representa o movimento de A é descendente; logo, seu coeficiente
angular, que é a velocidade, é negativo. Velocidade negativa significa movimento
retrógrado. Por sua vez, a reta que descreve o movimento de B é ascendente;
portanto, a velocidade de B é positiva e seu movimento é progressivo.
B) Pelo gráfico, 𝑠𝐴 = 𝑠𝐵 no instante t = 3 s. Nesse instante, os dois espaços são iguais a
1 m. Portanto, os móveis encontram-se no instante 3 s e na posição 1 m.
UNIDADE 4
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
(MUV)
1. Introdução
Vimos, no capítulo anterior, que no movimento
uniforme a aceleração escalar é constante e igual a
zero.
No entanto, sabemos que existem outros tipos de
movimento, na maioria dos quais a aceleração escalar
não é nula. Neste capítulo, estudaremos o caso em que
a aceleração escalar é constante e diferente de zero: o
movimento uniformemente variado (MUV).
2. Definição
Movimento uniformemente variado (MUV) é aquele no qual a aceleração
escalar instantânea é constante e não nula.
Decorre da definição que a aceleração escalar média também é constante e seu
módulo coincide com o da aceleração escalar instantânea, para qualquer intervalo de
tempo.
Assim, podemos escrever:
𝛼𝑚 = 𝛼
Então: 𝛥𝑣 = 𝛼𝛥𝑡
𝛼=
𝛥𝑣
(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ≠ 0)
𝛥𝑡
•
•
Observamos, dessa forma, que no movimento uniformemente variado, a variação
da velocidade é diretamente proporcional ao intervalo de tempo correspondente.
Assim, para iguais intervalos de tempo, teremos iguais variações de velocidade
escalar.
3. Equação Horária da Velocidade
Sendo 𝑣0 a velocidade inicial, correspondente ao instante t = 0, a velocidade 𝑣
num instante qualquer t é dada por
𝑣 = 𝑣0 + 𝛼𝑡
Portanto, a função horária da velocidade no movimento uniformemente variado
é uma função do 1º grau em t.
Exemplos:
4. Equação Horária do Espaço
Sendo 𝑠0 o espaço inicial de um móvel, 𝑣0 a sua velocidade inicial e 𝛼 a sua
aceleração escalar, a equação horária do espaço para esse móvel é
𝛼 2
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑡
2
Exemplos:
Notemos que o movimento uniformemente variado pode ser reconhecido através de
qualquer uma das três características seguintes.
1) A aceleração escalar é constante e não nula.
2) A velocidade escalar instantânea obedece a uma equação do 1º grau em t.
3) O espaço obedece a uma equação horária do 2º grau em t.
Exemplo 37: Uma partícula tem movimento que obedece à seguinte equação horária
da velocidade: 𝑣 = 8 − 4𝑡 (SI). Determine:
a) a velocidade escalar inicial (para t=0) e a aceleração escalar instantânea;
b) o valor da velocidade escalar nos instantes 𝑡1 = 1𝑠 e 𝑡2 = 4𝑠;
c) o instante da inversão do sentido do movimento.
Solução
a) O movimento proposto é um MUV, pois a equação horária da velocidade é do 1º
grau em t. Comparando a expressão acima com 𝑣 = 𝑣0 + 𝛼𝑡, concluímos que:
𝑣0 = 8 𝑚/𝑠 e 𝛼 = −4 𝑚/𝑠 2
b) No instante t = 1s, a velocidade escalar é: 𝑣 = 8 − 4 . 1 = 4
No instante t = 4s, a velocidade escalar é: 𝑣 = 8 − 4 . 4 = −8
𝑣 = 4 𝑚/𝑠
𝑣 = −8 𝑚/𝑠
Note que, no instante t = 1s, o movimento é progressivo. Já no instante t = 4s, o
movimento é retrógrado.
c) No instante em que o movimento se inverte, ou seja, deixa de ser progressivo e
passa a ser retrógrado, a velocidade escalar instantânea se anula:
0 = 8 − 4𝑡
Logo, o movimento se inverte no instante t = 2s.
𝑡 = 2𝑠
Exemplo 38: É dada a equação horária do espaço de um movimento uniformemente
variado: 𝑠 = 12 − 6𝑡 + 20𝑡 2 (SI).
a) Determine os parâmetros do movimento: 𝑠0 , 𝑣0 e α.
b) Determine a velocidade escalar para t = 3s.
Solução
a) Comparando a expressão acima com a expressão padrão 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 +
𝑠0 = 12 𝑚 , 𝑣0 = −6 𝑚/𝑠 , 𝛼 = 40 𝑚/𝑠 2
(Note que, se
𝛼
= 20, então 𝛼 = 40 𝑚/𝑠 2 )
2
𝛼 2
𝑡 :
2
Exemplo 39: Um ponto material P tem aceleração escalar constante e igual a 4 m/s2.
Na origem dos tempos (t = 0), o ponto material ocupa a posição indicada na figura e
tem velocidade escalar igual a – 8 m/s.
Determine, para o ponto P:
a) as equações horárias do espaço e da velocidade escalar;
b) o espaço e a velocidade escalar do móvel nos instantes 𝑡1 = 1𝑠 e 𝑡2 = 2𝑠.
Solução
a) A equação horária do espaço é: 𝑠 = 16 − 8𝑡 + 2𝑡 2 (SI).
A equação horária da velocidade é: 𝑣 = −8 + 4𝑡 (SI).
b) No instante t = 1s, o espaço e a velocidade escalar são, respectivamente,
𝑠 = 16 − 8 . 1 + 2 . 12 = 10
𝑣 = −8 + 4 . 1 = −4
𝑠 = 10𝑚
𝑣 = −4 𝑚/𝑠
No instante t = 3s, o espaço e a velocidade escalar são, respectivamente,
𝑠 = 16 − 8 . 2 + 2 . 22 = 4
𝑣 = −8 + 4 . 2 = 0
𝑠 = 4𝑚
𝑣 = 0 𝑚/𝑠
Exemplo 40: Um ciclista, partindo da origem dos espaços da ciclovia, onde estava em
repouso, segue um movimento acelerado pela pista. Sua aceleração escalar tem
módulo de 3,0 m/s2 (constante). Determine:
a) o seu espaço decorridos 6,0 s de movimento;
b) a velocidade escalar atingida em 50 s de movimento.
Solução
a) Do enunciado, tiramos: 𝑠0 = 0𝑚, 𝑣0 = 0 𝑚/𝑠 e 𝛼 = 3 𝑚/𝑠 2. Portanto, a equação
horária do espaço é:
3 2
𝑠= 𝑡
2
Portanto, em 6,0 s de movimento, o espaço percorrido foi: 𝑠 =
Assim, 𝑠 = 54𝑚
3 2
. 6 = 54
2
b) A equação horária da velocidade é:
3
𝑣= 𝑡
2
3
Portanto, em 50 s de movimento, a velocidade atingida foi: 𝑣 = . 50 = 75
2
Assim, 𝑣 = 75 𝑚/𝑠
Exemplo 41: A figura ilustra o movimento de um automóvel. No instante t=0, ele
passou por 𝑃0 com velocidade escalar de 1 m/s e, no instante t1=2s, ele passou por 𝑃1
com velocidade escalar 𝑣1 . Sua aceleração escalar permanece constante durante todo
o movimento.
Determine:
a) a aceleração escalar;
b) a velocidade escalar 𝑣1 ao passar por 𝑃1.
Solução
a) A equação horária do espaço para o MUV, como sabemos, é:
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 +
𝛼 2
𝑡
2
Adaptando essa equação para o problema em questão, vem:
𝛼 2
8 = 2 + 1 .2 + .2
2
𝛼 = 2 𝑚/𝑠 2
b) Para o MUV, sabemos que:
𝑣 = 𝑣0 + 𝛼𝑡
Substituindo os dados do problema e a aceleração encontrada nessa equação, vem:
𝑣 = 1 + 2 .2 = 5
𝑣 = 5 𝑚/𝑠
5. Velocidade Escalar Média
Num movimento uniformemente variado, a velocidade escalar média (𝑣𝑚 ), para
um dado intervalo de tempo [𝑡1 ,𝑡2], é igual à média aritmética entre as respectivas
velocidades escalares instantâneas 𝒗𝟏 e 𝒗𝟐 , correspondentes aos instantes 𝑡1 e 𝑡2.
Dessa forma, matematicamente:
𝑣𝑚 =
𝑣1 + 𝑣2
2
6. Equação de Torricelli
Considere um móvel que inicia seu movimento com velocidade 𝑣0 , mantendo
uma aceleração escalar constante igual a α, que percorre um espaço Δs.
A velocidade desse móvel ao final do percurso do espaço Δs é dada por:
𝑣 2 = 𝑣0 2 + 2𝛼 . 𝛥𝑠
A equação acima é conhecida como Equação de Torricelli, e normalmente é
usada quando não se fornece o tempo e não se pede pelo tempo.
Exemplo 42: O veículo da figura é assimilável a um ponto material. Ao passar por A,
sua velocidade escalar era 6,0 m/s. Durante o percurso AB, ele manteve aceleração
escalar constante e igual a – 2,0 m/s2. Considere t = 0 o instante em que ele passa por
A.
Determine:
a) o momento da inversão do sentido do movimento;
b) a velocidade escalar ao passar por B. Discuta as duas soluções.
Solução
a) Pelos dados do enunciado, a equação horária da velocidade do veículo é:
𝑣 = 6 − 2𝑡
No instante da inversão, v = 0. Logo,
0 = 6 − 2𝑡
𝑡 = 3𝑠
b) Pela equação de Torricelli, 𝑣 2 = 𝑣0 2 + 2𝛼 . 𝛥𝑠. Assim:
𝑣 2 = 62 + 2 . −2 . 8 = 36 − 32 = 4
𝑣 = ±2 𝑚/𝑠
Para a discussão das soluções, é preciso orientar a trajetória positivamente de A para
B. Tem-se velocidade escalar positiva quando o veículo passa por B no sentido de A
para B. Tem-se velocidade escalar negativa quando o veículo passa por B no sentido
de B para A.
Exemplo 43: Um ponto material passou pelo ponto A com velocidade escalar de
6,0m/s e atingiu o ponto B com velocidade escalar de 10 m/s. Sua aceleração escalar
se manteve constante.
Determine:
a) a aceleração escalar;
b) a velocidade escalar média entre A e B.
Solução
a) Usando a equação de Torricelli, temos:
102 = 6,02 + 2𝛼 . 16
64
2𝛼 =
=4
16
𝛼 = 2 𝑚/𝑠 2
b) Conforme exposto na teoria, a velocidade escalar média entre A e B, no caso
específico do MUV, é dada por:
𝑣𝐴 + 𝑣𝐵 6 + 10
𝑣𝑚 =
=
=8
2
2
𝑣𝑚 = 8 𝑚/𝑠
Exemplo 44: O carro da figura pode ser considerado um ponto material. Ele passou
por A com velocidade escalar de 19 m/s e dirigia-se para B. Sua aceleração escalar se
manteve constante e igual a – 1,5 m/s2.
Determine:
a) as velocidades escalares com que ele passa por B. Discuta cada caso;
b) a distância entre A e o ponto de inversão do sentido do movimento;
c) a velocidade escalar média entre A e B durante a ida de A para B.
Solução
a) Pela equação de Torricelli, obtemos:
𝑣 2 = 192 + 2 . −1,5 . 80 = 121
𝑣 = ±11 𝑚/𝑠
De A para B, o movimento é progressivo, ocasião em que 𝑣 = 11 𝑚/𝑠. De B para A, o
movimento é retrógrado, ocasião em que 𝑣 = −11 𝑚/𝑠.
b) No instante da inversão do movimento, temos 𝑣 = 0. Assim, ainda fazendo uso da
equação de Torricelli:
0 = 192 + 2 . −1,5 . 𝛥𝑠
𝛥𝑠 ≅ 120,3 𝑚
Essa é a distância entre A e o ponto de inversão do movimento.
c) A velocidade média entre A e B, durante a ida de A para B, é:
𝑣𝑚 =
𝑣𝐴 + 𝑣𝑖 19 + 0
=
= 9,5
2
2
𝑣𝑚 = 9,5 𝑚/𝑠
Exemplo 45: Uma partícula em MUV tem sua velocidade escalar dada pela equação
𝑣 = 4,0 + 12𝑡 (SI). Determine:
a) as velocidades escalares nos instantes 𝑡1 = 1,0 𝑠 e 𝑡2 = 4,0 𝑠;
b) a velocidade escalar média no intervalo de tempo que vai de 1,0 s a 4,0 s.
Solução
a) No instante 𝑡1 = 1,0 𝑠, a velocidade será: 𝑣 = 4,0 + 12 . 1 = 16
𝑣 = 16 𝑚/𝑠
No instante 𝑡2 = 4,0 𝑠, a velocidade será: 𝑣 = 4,0 + 12 . 4 = 52
𝑣 = 52 𝑚/𝑠
b) A velocidade escalar média entre os instantes 1,0 s e 4,0 s é:
𝑣𝑚 =
𝑣1 + 𝑣2 16 + 52
=
= 34
2
2
𝑣𝑚 = 34 𝑚/𝑠
7. Diagramas Horários do MUV
A equação horária do espaço em um movimento uniformemente variado é:
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 +
𝛼 2
𝑡
2
Percebe-se que o gráfico do espaço em função do tempo é um arco de parábola,
já que a expressão é do 2º grau.
•
Sabemos que uma parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para
baixo.
•
Como o termo que multiplica t2 é α/2, podemos concluir que a concavidade da
parábola será voltada para baixo quando α < 0 e será voltada para cima quando
α>0.
Cabe lembrar que, no instante t = 0, o móvel tem espaço inicial s = s0. Esse ponto
é representado sobre o eixo das ordenadas, como mostra a figura abaixo.
Repare o ponto M nos gráficos acima. Ele corresponde ao espaço mínimo quando
α > 0 e ao espaço máximo quando α > 0. Sua abscissa é t = t1.
Quando o espaço do móvel é máximo ou mínimo, a velocidade é nula e, nesse
instante, ocorre a inversão do movimento.
A equação horária da velocidade no MUV é:
𝑣 = 𝑣0 + 𝛼𝑡
Por ser uma função do 1º grau em t, ela tem como gráfico uma reta oblíqua aos
eixos num sistema cartesiano ortogonal.
O coeficiente de t é a aceleração escalar α. Portanto, a reta pode ser crescente ou
decrescente, conforme α seja positivo ou negativo, respectivamente.
Finalmente, sabemos que, no MUV, a aceleração escalar é constante.
É oportuno, neste momento, proceder a uma análise combinando os diagramas
de velocidade e aceleração.
a) Análise dos diagramas horários em que α > 0 (os dois da esquerda):
a.1) Para t < t1, temos v < 0 e α > 0  o movimento é retardado.
a.2) Para t > t1, temos v > 0 e α > 0  o movimento é acelerado.
b) Análise dos diagramas horários em que α < 0 (os dois da direita):
b.1) Para t < t1, temos v > 0 e α < 0  o movimento é retardado.
b.2) Para t > t1, temos v < 0 e α < 0  o movimento é acelerado.
Exemplo 46: A velocidade escalar de um ponto em MUV é dada pelo diagrama horário
abaixo.
A) Calcule sua aceleração escalar e identifique no gráfico a velocidade escalar inicial.
B) Escreva a equação horária do espaço e da velocidade escalar, admitindo que o
ponto tenha partido da origem dos espaços.
Solução
A) Percebemos claramente no gráfico que, quando t = 0, v = 50 m/s.
Logo, 𝑣0 = 50 𝑚/𝑠
A aceleração escalar é dada por:
𝛼=
𝛥𝑣 20 − 50
=
= −10
𝛥𝑡
3,0 − 0
𝛼 = −10 𝑚/𝑠 2
B) Com os dados encontrados, já podemos escrever a equação horária da velocidade
escalar: 𝑣 = 50 − 10𝑡
Para escrever a equação horária do espaço, o enunciado informa que 𝑠0 = 0.
Portanto, a equação pedida fica: 𝑠 = 0 + 50𝑡 + (10/2)𝑡 2. Assim:
𝑠 = 50𝑡 − 5,0𝑡 2
Exemplo 47: Uma partícula apresenta movimento uniformemente variado cujo
diagrama horário de espaço é mostrado abaixo.
Determine os parâmetros 𝑠0 , 𝑣0 e 𝛼 do movimento.
Solução
Pelo gráfico, vemos que, quando t = 0, s = 0. Logo, 𝑠0 = 0 𝑚
Vemos também que, quando t = 7 s, s = 49. Logo,
𝛼 2
49 = 0 + 𝑣0 . 7 + . 7
2
(1)
Além disso, quando t = 14 s, s = 0. Logo,
0 = 0 + 𝑣0 . 14 +
𝛼 2
14
2
(2)
As equações (1) e (2) formam um sistema de duas equações e duas incógnitas (𝑣0 e
𝛼). Resolvendo o sistema, achamos:
𝑣0 = 14 𝑚/𝑠
𝛼 = −2 𝑚/𝑠
Exemplo 48: Na figura, mostram-se as velocidades escalares dos automóveis A e B,
que passam pelo ponto P no instante t = 0.
Determine:
a) a aceleração escalar do automóvel B;
b) o instante em que B consegue alcançar A, após ambos terem passado por P.
Solução
a) Pelo aspecto do diagrama, B executa um MUV. Assim, a aceleração escalar de B é:
𝛼=
𝛥𝑣 20 − 10
=
= 1,0
𝛥𝑡
10 − 0
𝛼 = 1,0 𝑚/𝑠 2
b) A possui movimento uniforme de velocidade 20 m/s. A velocidade inicial de B, pelo
gráfico, é 10 m/s. As equações horárias de espaço de A e B são, respectivamente,
𝑠𝐴 = 20𝑡
1 2
𝑠𝐵 = 10𝑡 + 𝑡
2
Fazendo 𝑠𝐴 = 𝑠𝐵 , vem:
1
20𝑡 = 10𝑡 + 𝑡 2
2
𝑡 = 0 𝑠 ou 𝑡 = 20 𝑠.
Como o enunciado pede o instante após a passagem pelo ponto P, a resposta é
𝑡 = 20𝑠
UNIDADE 5
MOVIMENTO VERTICAL NO VÁCUO
1. A Queda Livre dos Corpos
No final do século XVI, estudos sobre os movimentos dos astros no espaço
levaram o astrônomo italiano Galileu Galilei a realizar uma de suas mais famosas
experiências.
 Do alto da Torre de Pisa, ele soltou duas esferas de tamanhos e massas
diferentes e verificou que elas atingiram o solo simultaneamente. Galileu concluiu,
então, que elas foram igualmente aceleradas, embora seus pesos fossem diferentes.
Hoje já se sabe que o resultado obtido por Galileu será rigorosamente verdadeiro
somente se as esferas forem abandonadas em queda livre, no vácuo ou em alguma
condição em que a resistência do ar possa ser considerada desprezível.
Concluímos, portanto, que todo corpo abandonado em queda livre, próximo à
superfície da Terra, adquire aceleração de módulo constante.
 Tal aceleração é chamada aceleração da gravidade (g).
A aceleração da gravidade depende fundamentalmente:
•
•
da latitude;
da altitude.
Para um espaço limitado, podemos considerar a aceleração da gravidade
praticamente constante.
O valor da aceleração da gravidade utilizado como referência é tomado a uma
latitude de 45º e ao nível do mar.
 Esse valor é chamado aceleração normal da gravidade, que é:
𝑔 = 9,80655 𝑚/𝑠 2
Normalmente, na resolução de exercícios, considera-se g = 9,8 m/s2 e, em alguns
casos, até mesmo 10 m/s2.
1.1 Equacionamento
Todo corpo em queda livre está sujeito a uma aceleração constante de módulo
igual ao da aceleração da gravidade.
 Tal corpo está em movimento uniformemente acelerado.
Vamos orientar a trajetória do corpo em queda livre para baixo, com origem no
ponto em que ele é lançado ou solto (O).
O corpo pode ter sido lançado verticalmente para baixo com velocidade inicial 𝑣0
ou ter sido simplesmente solto, ou seja, lançado com velocidade inicial nula
(abandonado em repouso).
Como a aceleração escalar é g, as equações horárias do corpo podem ser assim
escritas:
𝑣 = 𝑣0 + 𝑔𝑡
1
𝑠 = 𝑣0 𝑡 + 𝑔𝑡 2
2
Se considerarmos H a altura do lançamento, quando o corpo atingir o solo, seu
espaço s será igual a H (s = H).
Exemplo 49: Do alto de um prédio de 81m de altura, atira-se verticalmente para baixo,
com velocidade de módulo 3,0 m/s, uma pequena pedra. Despreze a resistência do ar
e considere g = 10 m/s2.
Orientando-se a trajetória para baixo e adotando-se a origem dos espaços no ponto de
lançamento:
a) escreva as equações horárias do movimento;
b) determine o instante em que a pedra toca o solo;
c) determine o módulo da velocidade dela ao tocar o solo.
Solução
a) Com os dados do enunciado, escrevem-se facilmente as equações horárias:
𝑣 = 3,0 + 10𝑡
𝑠 = 3,0𝑡 + 5𝑡 2
b) Quando a pedra toca o solo, s = 81 m. Logo,
81 = 3,0𝑡 +
5,0𝑡 2
−3,0 ± 32 + 4 . 5,0 . 81
𝑡=
2 .5
𝑡 ≅ 3,7 𝑠
c) Se ela leva 3,7 s para cair, substituímos este valor na expressão da velocidade:
𝑣 = 3,0 + 10 . 3,7 = 40
𝑣 = 40 𝑚/𝑠
Exemplo 50: Um helicóptero desce verticalmente em movimento uniforme com
velocidade de 25 km/h. Quando se encontrava a uma altura H do solo, escapou da sua
estrutura uma porca de aço. Em 5,0 s ela chegou ao solo. Sendo g = 10 m/s2 e sendo
desprezível a resistência do ar, determine a altura H.
Solução
Ao se desprender da estrutura
do helicóptero, a porca tem a
mesma velocidade dele.
𝑣0 = 25
𝑘𝑚 125 𝑚
=
ℎ
18 𝑠
Orientemos a trajetória para
baixo e tomemos como origem
o local em que a porca se solta.
Assim, a equação horária do
Espaço fica:
1
𝑠 = 𝑣0 𝑡 + 𝑔𝑡 2
2
125
𝑠=
𝑡 + 5𝑡 2
18
Para t = 5,0 s, temos s = H. Logo,
125
𝐻=
. 5,0 + 5,0 . (5,0)2
18
𝐻 ≅ 160 𝑚
2. Lançamento Vertical para Cima
Ao lançarmos um corpo verticalmente para cima, no vácuo ou num local onde a
resistência do ar seja desprezível, verificamos que:
a) Durante a subida, o movimento é retardado (a velocidade e a aceleração têm sinais
opostos); no pico da trajetória, a velocidade é nula.
b) Durante a descida, o movimento é acelerado (a velocidade e a aceleração têm o
mesmo sinal); o movimento de descida é iniciado em queda livre (velocidade zero).
2.1 Equacionamento e Discussão dos Sinais de v e α
O passo inicial é orientar a trajetória conforme a Figura 4 abaixo. Adotemos o
solo como origem dos espaços.
Pelo desenho, percebe-se que, com a orientação adotada, a velocidade inicial (v0)
será positiva.
Durante a subida, a velocidade escalar será positiva. Como a aceleração da
gravidade está orientada para baixo (negativa), corrobora-se a afirmação de que este
movimento é retardado.
Na descida, a velocidade muda de sinal, passando a ser negativa, assim como a
aceleração. Sendo assim, verificamos que, de fato, durante a descida, o movimento é
acelerado, pois a velocidade e a aceleração têm sinais iguais (ambas negativas).
Nos movimentos verticais livres, sabemos que a aceleração do corpo tem módulo
igual ao da gravidade local (g).
Assim, com a trajetória orientada para cima, a aceleração escalar é negativa tanto
na subida como na descida e vale:
𝛼 = −𝑔
Obviamente, o movimento é uniformemente variado e as equações horárias
correspondentes são:
1
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 + 𝛼𝑡 2
2
𝑣 = 𝑣0 + 𝛼𝑡
Vamos chamar o espaço de ℎ, pois ele representa a altura instantânea do corpo.
Também vamos chamar α de g. E finalmente obtemos:
1 2
ℎ = ℎ0 + 𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡
2
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
A equação de Torricelli também pode ser usada:
𝑣 2 = 𝑣0 2 + 2𝛼 . 𝛥𝑠
Adaptando a equação acima para o caso do movimento vertical, obtemos:
𝑣 2 = 𝑣0 2 − 2𝑔 . 𝛥ℎ
Pela Figura anterior, observamos que no pico da trajetória:
a) 𝛼 = −𝑔 (a aceleração escalar não é nula);
b) 𝑣 = 0 (a velocidade escalar é nula);
c) A altura do móvel é máxima. Denotaremos essa altura por H:
ℎ=𝐻
2.2 Propriedades do Lançamento Vertical para Cima
1ª ) Por um ponto P de altura h < H, o móvel passa duas vezes: uma subindo, com
velocidade 𝑣𝑠 , e outra descendo, com velocidade 𝑣𝑑 . Essas duas velocidades são iguais
em módulo e têm sinais contrários:
𝑣𝑠 = −𝑣𝑑
2ª ) O intervalo de tempo decorrido na subida é igual ao intervalo de tempo decorrido
na descida, até o ponto de onde foi lançado.
Dessa forma, se o corpo foi lançado a partir de uma altura ℎ0 e demorou um
tempo 𝛥𝑡𝑠 para atingir o pico, ele levará um tempo 𝛥𝑡𝑑 para voltar ao ponto de
lançamento, ou seja, à altura ℎ0 .
Dessa forma,
∆𝑡𝑠 = ∆𝑡𝑑
2.3 Gráficos do Movimento Vertical no Vácuo
2.3.1 Queda Livre
Num movimento de queda livre, com a trajetória orientada para baixo, as
equações horárias são:
Portanto, neste movimento, 𝛼 = 𝑔 (constante positiva).
2.3.2 Lançamento para Cima
No movimento vertical para cima, com a trajetória orientada positivamente para
cima e origem no solo, as equações horárias são:
1
ℎ = ℎ0 + 𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
𝛼 = −𝑔 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)
Exemplo 51: Uma partícula é lançada verticalmente para cima a partir do solo, com
velocidade inicial de módulo 𝑣0 . A aceleração da gravidade local tem módulo g e a
resistência do ar é desprezível. Considere a trajetória orientada para cima.
Calcule:
a) o tempo de subida (tsub);
b) a altura máxima atingida (H).
Solução
Tomemos a origem dos espaços no solo.
a) Como sabemos, a equação horária da velocidade escalar é:
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
No pico da trajetória, 𝑣 = 0. Logo:
0 = 𝑣0 − 𝑔𝑡𝑠𝑢𝑏
𝑡𝑠𝑢𝑏 =
𝑣0
𝑔
Essa expressão pode ser utilizada diretamente em questões de concursos que
envolvam a situação do enunciado. Assim, economiza-se tempo.
b) A equação de Torricelli para esse movimento fica:
𝑣 2 = 𝑣0 2 − 2𝑔 . 𝛥ℎ
No pico da trajetória, 𝑣 = 0 e 𝛥ℎ = 𝐻. Assim:
02 = 𝑣0 2 − 2𝑔𝐻
𝑣0 2
𝐻=
2𝑔
Essa expressão também pode ser usada diretamente em questões que tratem da
situação do enunciado e peçam a altura máxima atingida. Da mesma forma,
economiza-se tempo fazendo isso.
Exemplo 52: No vácuo, próximo à superfície terrestre, lança-se verticalmente para
cima um corpo com velocidade escalar de módulo 35 m/s. Considere a aceleração da
gravidade g = 10 m/s2. Se o corpo foi lançado do solo, determine:
a) o tempo de subida (ts);
b) a altura máxima (H).
Solução
Orientando a trajetória para cima e tomando a origem dos espaços no solo, as
equações horárias são:
1
ℎ = ℎ0 + 𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
Sendo ℎ0 = 0, 𝑣0 = 35 𝑚/𝑠 e 𝑔 = 10 𝑚/𝑠 2, vem:
1 ℎ = 35𝑡 − 5,0𝑡 2 (SI)
2 𝑣 = 𝑣0 − 10𝑡
(SI)
a) A velocidade é nula no pico da trajetória. Logo:
0 = 35 − 10𝑡
𝑡𝑠 = 3,5 𝑠
b) Para calcular a altura máxima H, substituímos o tempo encontrado na equação (1):
ℎ = 35 . 3,5 − 5,0 . (3,5)2
ℎ = 61,25 𝑚
Obs: poderíamos ter utilizado diretamente as fórmulas encontradas no exercício
anterior para calcular o tempo de subida e a altura máxima.
Exemplo 53: Do topo de um edifício, atira-se uma pedra verticalmente para cima com
velocidade de 20 m/s. A posição de lançamento está a uma altura de 60 m do solo.
Considere g = 10 m/s2. Despreze os efeitos do ar.
a) Determine os instantes em que a pedra passa por um ponto situado a 75 m do solo.
b) Determine as respectivas velocidades escalares ao passar pelo ponto anterior.
c) Determine o instante em que a pedra toca o solo.
Solução
Vamos orientar a trajetória para cima e adotar o solo como origem dos espaços.
As equações horárias são:
1
ℎ = ℎ0 + 𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
Com os dados do enunciado, essas equações ficam:
1
ℎ = 60 + 20𝑡 − 5,0 𝑡 2
2 𝑣 = 20 − 10𝑡
Ressalta-se que essas duas equações cobrem tanto o movimento de subida como o de
descida da pedra.
a) ℎ = 60 + 20𝑡 − 5,0𝑡 2
75 = 60 + 20𝑡 − 5,0𝑡 2
5,0𝑡 2 − 20𝑡 + 15 = 0
Essa equação do 2º grau equivale a: 𝑡 2 − 4,0𝑡 + 3,0 = 0
Daí, tiramos: 𝑡1 = 1,0 𝑠
𝑡2 = 3,0 𝑠
(quando estiver subindo)
(quando estiver descendo)
b) Consequentemente, as velocidades escalares nos instantes pedidos são:
𝑣1 = 20 − 10 . 𝑡1 = 20 − 10 . 1,0 = 10
𝑣2 = 20 − 10 . 𝑡2 = 20 − 10 . 3,0 = −10
𝑣1 = 10 𝑚/𝑠
𝑣2 = −10 𝑚/𝑠
c) Ao tocar o solo, h = 0. Logo,
0 = 60 + 20𝑡 − 5,0𝑡 2
Simplificando a equação:
5,0𝑡 2 − 20𝑡 − 60 = 0
1,0𝑡 2 − 4,0𝑡 − 12 = 0
+4,0 ± (4,0)2 −4 . 1,0 . (−12) +4,0 ± 8,0
𝑡=
=
2 . (1,0)
2,0
Interessa-nos somente o valor positivo de t, que é: 𝑡 = 6,0 𝑠
Exemplo 54: (FUVEST-SP) A figura representa o gráfico espaço-tempo do movimento
de um corpo lançado verticalmente para cima com velocidade inicial 𝑣0 na superfície
de um planeta.
a) Qual é o valor da aceleração da gravidade na superfície do planeta ?
b) Qual é o valor da velocidade inicial 𝑣0 ?
Solução
A equação horária de espaço do móvel é:
1
ℎ = ℎ0 + 𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
Do gráfico, tiramos os seguintes valores:
𝑡 = 0 → ℎ0 = 0
𝑡 = 1𝑠 → ℎ1 = 5𝑚
𝑡 = 2𝑠 → ℎ2 = 8𝑚
Substituímos esses valores na equação horária do espaço:
1
5 = 0 + 𝑣0 . 1 − 𝑔 . 12
2
10 + 2𝑣0 = 𝑔 (1)
1
8 = 0 + 𝑣0 . 2 − 𝑔 . 22
2
4 = 𝑣0 − 𝑔 (2)
As equações (1) e (2) formam um sistema de duas equações e duas incógnitas (𝑣0 e
𝑔):
10 + 2𝑣0 = 𝑔
4 = 𝑣0 − 𝑔
A solução desse sistema é:
𝑣0 = 6 𝑚/𝑠
𝑔 = 2 𝑚/𝑠 2
UNIDADE 6
DIAGRAMAS HORÁRIOS
1. Introdução
No sistema de eixos cartesianos xOy da figura abaixo, está representada uma reta
(r) de equação 𝑦 = 𝑏 + 𝑚𝑥, onde 𝑏 e 𝑚 são números reais e 𝑚 ≠ 0.
O parâmetro 𝑚 é denominado coeficiente angular da reta, enquanto 𝑏 chama-se
coeficiente linear.
O valor de 𝑚 é a tangente trigonométrica do ângulo θ que mede a sua
declividade em relação ao eixo das abscissas (x).
𝑚 ≅ 𝑡𝑔 𝜃
2. Determinação Gráfica da Velocidade Escalar Média
Consideremos o diagrama horário de espaço da figura abaixo, que descreve o
movimento de uma partícula, e dois instantes, 𝑡1 e 𝑡2.
A velocidade escalar média da partícula é definida como o quociente entre a
variação do espaço (Δs) e o intervalo de tempo (Δt).
𝑣𝑚 =
𝛥𝑠
𝛥𝑡
ou
Observemos, na figura abaixo, que foi traçado um segmento de reta do ponto P 1
ao ponto P2, cujo ângulo com o eixo do tempo é igual a θ.
Da figura, tiramos:
𝑡𝑔 𝜃 =
𝛥𝑠
𝛥𝑡
Comparando-se com a definição de velocidade escalar média, concluímos:
𝑣𝑚 = 𝑡𝑔 𝜃
Portanto, a velocidade escalar média é igual ao coeficiente angular da reta 𝑃1 𝑃2.
3. Determinação Gráfica da Velocidade Escalar Instantânea
Consideremos uma partícula em movimento numa trajetória qualquer, em
relação a um dado sistema de referência. O diagrama horário dessa partícula é
mostrado na figura a seguir.
Tomemos uma sequência de intervalos de tempo (Δt1, Δt2, Δt3, ...), em que cada
intervalo seja menor que o seu antecedente (Δt1 > Δt2 > Δt3 . . .).
Lembremos, também, que o coeficiente angular de cada uma das retas secantes
ao gráfico (𝑃0 𝑃1 , 𝑃0 𝑃2 , 𝑃0 𝑃3 , ...) é a medida das velocidades escalares médias
(𝑣𝑚1 , 𝑣𝑚2 , 𝑣𝑚3 , ...), nos respectivos intervalos de tempo (Δt1, Δt2, Δt3, ...).
À medida que esses intervalos de tempo vão diminuindo, os pontos P1, P2, P3, ...
aproximam-se de P0 e as retas (𝑃0 𝑃1, 𝑃0 𝑃2, 𝑃0 𝑃3, ...) tendem à tangente que passa por
ele (P0).
Sabemos, da Unidade 2, que a velocidade escalar instantânea é definida pelo
limite do quociente entre a variação do espaço Δs e o intervalo de tempo Δt quando
este tende a zero:
𝛥𝑠
𝛥𝑡→0 𝛥𝑡
𝑣 = lim
Podemos concluir, portanto, que a velocidade escalar instantânea, no instante t0,
pode ser medida pelo coeficiente angular (𝑡𝑔 𝜃) da reta tangente no ponto P0.
𝑣 = 𝑡𝑔 𝜃
(para 𝑡 = 𝑡0 )
Observemos que o limite acima apresentado é o valor da derivada do espaço em
relação ao tempo no instante t0.
 Concluímos, portanto, que o valor da derivada de uma função em relação ao
tempo num determinado instante também pode ser dada pelo valor do coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico da função no instante considerado.
3.1. Casos Particulares
No movimento uniforme, o gráfico do espaço em função do tempo é retilíneo.
Nesse caso, a velocidade escalar é constante e qualquer reta tangente ao gráfico
que fosse traçada coincidiria com o próprio gráfico.
Sendo assim, no movimento uniforme, determinamos a velocidade escalar
calculando o coeficiente angular da reta.
𝑣 = 𝑡𝑔 𝜃
No primeiro caso, a velocidade escalar é positiva e, no segundo, negativa.
Pela figura anterior, temos:
𝑣 = 𝑡𝑔 𝜃 =
𝑎
𝑏
𝑣 = 𝑡𝑔 𝜃 = −
para v > 0
𝑒
𝑎
(para v < 0)
𝑏
4. Aceleração Escalar
4.1. Caso Geral
De forma análoga ao caso anterior, calculam-se as acelerações escalares média e
instantânea usando, respectivamente, retas tangentes e secantes ao gráfico da
velocidade escalar em função do tempo.
Na figura 18(a), calcula-se a aceleração escalar média entre os instantes t1 e t2
encontrando-se o coeficiente angular da reta secante ao gráfico que passa pelos
pontos P1 e P2.
Na figura 18(b), calcula-se a aceleração escalar instantânea no instante t0
encontrando-se o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico que passa pelo
ponto P0.
4.2. Casos Particulares
No movimento uniformemente variado, o diagrama horário da velocidade escalar
é uma reta.
 Dessa forma, o processo de determinação da aceleração escalar torna-se
simples: basta calcular o coeficiente angular da reta da velocidade em função do
tempo.
Na figura da esquerda, a velocidade escalar é crescente e a aceleração angular é
positiva.
𝑣 = 𝑡𝑔 𝜃
Na figura da direita, a velocidade escalar é decrescente e a aceleração escalar é
negativa.
𝑣 = 𝑡𝑔 𝜃 = −𝑡𝑔 𝛽
Mais uma vez, o problema se resume ao cálculo de uma derivada: a derivada da
velocidade em relação ao tempo em determinado instante.
5. Resumo
Neste ponto, é muito importante que se tenha em mente o processo global do
cálculo de derivadas.
Portanto:
1) a partir do gráfico do espaço, calculamos a velocidade escalar usando a
tangente;
2) a partir do gráfico da velocidade escalar, calculamos a aceleração escalar
usando a tangente.
Exemplo 55: A figura mostra o diagrama horário da velocidade escalar de um móvel.
Determine:
a) a aceleração escalar do móvel;
b) a velocidade escalar no instante t = 5,0 s
Solução
a) A aceleração escalar é a derivada da velocidade escalar em relação ao tempo. Logo,
pode ser calculada a partir da declividade da reta da velocidade:
𝑎 = 𝑡𝑔 𝜃
𝑎=
8,0
(3,0 − 1,0)
𝑎 = 4,0 𝑚/𝑠 2
b) A equação horária da velocidade escalar é:
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
Com os dados do gráfico e a aceleração escalar encontrada, fazemos:
𝑣 = −4,0 + 4,0 . 5,0
𝑣 = 16 𝑚/𝑠
Exemplo 56: A função horária do espaço de um ponto material está representada no
diagrama cartesiano abaixo.
Determine:
a) a velocidade escalar do móvel;
b) o espaço no instante t = 8,0 s.
Solução
a) A velocidade escalar é a derivada do espaço em relação ao tempo. Portanto,
equivale à tangente do ângulo θ que a reta faz com o eixo do tempo.
0 − 49
𝑚
𝑡𝑔 𝜃 =
= −7,0
7,0 − 0
𝑠
𝑣 = −7,0
𝑚
𝑠
b) A equação horária do espaço para a situação dada é:
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡
𝑠 = 49 − 7,0 . 8,0 = −7,0
𝑠 = −7,0 𝑚
6. Cálculo da Variação de Espaço a Partir do Diagrama Horário da Velocidade
6.1. Movimento Uniforme
Consideremos um movimento uniforme (MU) cujo diagrama horário da
velocidade escalar está mostrado na figura abaixo.
Já sabemos que entre dois instantes t1 e t2, a variação de espaço é:
No retângulo hachurado da Figura 21, percebemos que a sua base corresponde à
variação do tempo Δt e que a sua altura corresponde à velocidade 𝑣.
Portanto, o produto 𝑣 . 𝛥𝑡 representa a área do retângulo hachurado.
6.2. Movimento Uniformemente Variado
A figura abaixo representa o diagrama horário da velocidade escalar de um MUV.
Entre os instantes t1 e t2, a velocidade escalar média é dada por Δs / Δt.
Assim:
𝑣𝑚 =
𝛥𝑠
𝛥𝑡
𝛥𝑠 = 𝑣𝑚 . 𝛥𝑡
(1)
Já vimos que uma propriedade do MUV é:
𝑣1 + 𝑣2
𝑣𝑚 =
2
(2)
Substituindo-se (2) em (1), vem:
𝛥𝑠 =
𝑣1 + 𝑣2
. 𝛥𝑡
2
(3)
Observando o trapézio hachurado da Figura 13, observamos que:
v1 representa a sua base menor;
v2 representa a sua base maior;
Δt representa a sua altura.
Recordando, da geometria, a fórmula da área de um trapézio, concluímos facilmente,
a partir de (3), que:
7. Cálculo da Variação da Velocidade Escalar a Partir do Diagrama Horário da
Aceleração
O gráfico a seguir refere-se a um movimento uniformemente variado, em que a
aceleração escalar é constante.
A definição de velocidade escalar, no MUV, é
𝑎=
𝛥𝑣
𝛥𝑡
Assim, podemos escrever:
𝛥𝑣 = 𝑎 . 𝛥𝑡
No retângulo hachurado, a medida da base é Δt e medida da altura é a.
Daí concluímos que a variação da velocidade no intervalo de tempo de t 1 a t2 é
dada pela área do retângulo hachurado.
Essa observação vale para os casos mais gerais, como o da figura abaixo.
8. Resumo
1) A partir do diagrama horário da velocidade escalar, calcula-se a variação de
espaço pela área sob o gráfico.
2) A partir do diagrama horário da aceleração escalar, calcula-se a variação de
velocidade escalar pela área sob o gráfico.
Exemplo 57: A velocidade escalar de um móvel ao percorrer uma trajetória retilínea
variou com o tempo, segundo o gráfico abaixo.
Determine a variação de espaço entre os instantes t0 = 0 e t1 = 3,0 s.
Solução
A variação de espaço entre os instantes t = 0 e t = 3,0 s é dada pela área A do gráfico
acima. Assim:
4,0 + 2,0
𝛥𝑠 =
. 3,0
2
𝛥𝑠 = 9,0 𝑚
Exemplo 58: O movimento de um ponto material é variável e sua aceleração escalar
em função do tempo está representada no diagrama a seguir.
A velocidade escalar inicial (t = 0) do móvel era de v0 = 20 m/s.
Determine:
a) a variação da velocidade escalar no intervalo de tempo [0, 15 s];
b) o valor da velocidade escalar no instante t1 = 15 s.
Solução
a) A área sob o gráfico entre os instantes t = 0 e t = 15 s nos dá a variação da
velocidade no intervalo de tempo referido. Assim:
𝛥𝑣 =
1,0 + 3,0
. 10 + 5,0 . 1,0
2
𝛥𝑣 = 25 𝑚/𝑠
b) A velocidade do ponto material no instante t1 = 15 s é dada por:
𝑣 = 𝑣0 + 𝛥𝑣
𝑣 = 20 + 25
𝑣 = 45 𝑚/𝑠
Exemplo 59: O gráfico abaixo indica a velocidade, em função do tempo, de dois
móveis movendo-se em trajetória retilínea, no mesmo sentido.
Determine a distância entre A e B no instante t = 4,0 s.
Sabe-se que eles partiram do mesmo local no instante t = 0.
Solução
No diagrama horário acima, o trapézio RNOP representa a distância percorrida por A e
o trapézio RMOP representa a distância percorrida por B entre os instantes 0 e 4s.
 A diferença entre essas distâncias (diferença entre as áreas) é representada pela
área do triângulo MNR.
Nesse triângulo:
𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑀𝑁 = 10
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑄𝑅 = 4,0
𝑑 = á𝑟𝑒𝑎 ∆𝑀𝑁𝑅 =
𝑑=
10 . 4,0
= 20
2
𝑏𝑎𝑠𝑒 . 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
𝑑 = 20 𝑚
Exemplo 60: (UFMG) No gráfico anexo representa-se a velocidade escalar de um
ponto material em função do tempo.
Determine:
a) a variação de espaço entre os instantes t = 0 e t1 = 4 s;
b) a distância efetivamente percorrida entre os respectivos instantes.
Solução
a) Observemos que do instante t=0 até o instante t=2 s, a área do gráfico é positiva
(velocidade positiva) e que do instante t=2 s até o instante t=4 s, a área é negativa
(velocidade negativa). Portanto, temos dois movimentos em sentidos opostos, cujos
espaços são:
2𝑠
2+1
𝛥𝑠
=
.2 = 3
0
2
𝛥𝑠
4𝑠
2+1
=−
. 2 = −3
2𝑠
2
𝛥𝑠
2𝑠
𝛥𝑠
=3𝑚
0
𝛥𝑠
4𝑠
= −3 𝑚
2𝑠
4𝑠
2𝑠
4𝑠
= 𝛥𝑠
+ 𝛥𝑠
= 3 + −3 = 0
0
0
2𝑠
𝛥𝑠
4𝑠
=0𝑚
0
b) A distância efetivamente percorrida não leva em conta o valor algébrico das
variações de espaço em cada trecho, mas sim os seus módulos. Assim:
𝑑
4𝑠
2𝑠
4𝑠
= 𝛥𝑠
+ 𝛥𝑠
=3+3=6
0
0
2𝑠
𝑑
4𝑠
=6𝑚
0