Física Geral
Claudia Regina Campos de Carvalho
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Módulo IV – Movimento Uniforme Variado (MUV)
Em física, o ato de tornar uma velocidade maior, representa o ato de acelerar.
Consideraremos a aceleração como variação da velocidade.
Aceleração Escalar (a):
Em movimentos em que a velocidade do móvel, varia em função do tempo
decorrido, introduz-se o conceito de aceleração.
ACELERAÇÃO ESCALAR (a) : taxa de variação da velocidade escalar numa
unidade de tempo.
Ao considerarmos um certo intervalo de tempo, em que ocorre uma dada variação
da velocidade, podemos definir a aceleração escalar média (am) pela relação:
am =
∆v v f − v 0
=
∆t
t f − t0
Quando o intervalo de tempo considerado é infinitamente pequeno, a aceleração
escalar média passa a se chamar aceleração escalar instantânea (a).
As unidades mais utilizadas de aceleração são:
SI
m/s2
CGS
cm/s2
Outras
km/h2 , km/s2
a>0
Valor algébrico da velocidade escalar aumenta com o
decorrer do tempo
a=0
a velocidade escalar permanece constante.
a<0
Valor algébrico da velocidade escalar diminui com o
decorrer do tempo.
Qualquer tipo de movimento (não apenas os uniformes) podem ser classificados em:
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a) MOVIMENTO PROGRESSIVO e ACELERADO: v > 0 e a > 0;
b) MOVIMENTO PROGRESSIVO e RETARDADO: v > 0 e a < 0;
c) MOVIMENTO RETRÓGRADO e RETARDADO: v < 0 e a > 0;
d) MOVIMENTO RETRÓGRADO e ACELERADO: v < 0 e a < 0;
(note que para movimentos ACELERADOS, os sinais de v e a são iguais enquanto que
para movimentos RETARDADOS os sinais são opostos)
Exemplo: 1. Um ônibus com velocidade de 54 km/h é freado, parando em 5 s. Qual é a
aceleração escalar média da freada, em m/s2?
Solução:
Temos
v 0 = 54km / h = 15m / s
vf =0
∆t = 5
então:
am =
∆v 0 − 15
=
⇒ a m = −3m / s 2
∆t
5
Movimento Uniformemente Variado (MUV)
Em movimentos retilíneos ou curvilíneos em que a aceleração escalar é mantida
constante, diz-se que o móvel está em movimento uniformemente variado. Neste caso, a
aceleração escalar instantânea será a igual a aceleração escalar média, pois não temos
alterações no valor da aceleração em nenhum instante.
MUV
a = cte ≠ 0
a = am ⇒ a =
∆v
∆t
Pode ter qualquer forma de trajetória.
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No caso da trajetória do MUV ser uma reta, o movimento recebe o nome de
movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).
Diagrama a x t
No MUV, a aceleração escalar mantém-se constante com o decorrer do tempo.
Portanto, os gráficos podem ser um dos seguintes:
a>0
a<0
a
a
t
t
Observação: neste caso a área limitada será numericamente igual ao valor absoluto
da variação da velocidade escalar.
Exemplo: 2.A partir do diagrama a x t fornecido, determine: (a) a velocidade escalar
atingida, no instante t = 20s, pelo móvel que parte a 10 m/s no instante t = 0 s; (b) a
aceleração escalar média no intervalo de 0 a 20 s.
2
2
a ( m/s )
1
0
0
5
10
t (s)
-1
-2
-3-
15
20
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O gráfico acima indica a aceleração em função do tempo. Sabemos que a área
representa o valor da velocidade, então:
Intervalo (s)
0 ≤ t ≤ 10
10 < t ≤ 15
15 < t ≤ 20
Área
2*10 = 20
0 (a = 0)
5*1 = 5
Sinal
+
nulo
-
∆v = 20 − 5 ⇒ ∆v = 15m / s
Portanto:
(a)
∆v = v − v 0 ⇒ 15 = v − 10 ⇒ v = 25m / s
(b)
O calculo da aceleração média será:
am =
∆v 15
=
= 0,75m / s 2
∆t 20
Função Horária da Velocidade do MUV:
A função horária da velocidade escalar do MUV pode ser obtida considerando a
velocidade inicial v0 em t0 = 0:
a=
∆v v − v0
=
⇒ v − v0 = a * t
∆t t − t 0
⇒ v = v0 + a * t
Exemplo: 3.Uma partícula obedece a seguinte função horária: v = -2 +5*t (m,s).
Determine: (a) a velocidade inicial e a aceleração escalar; (b) a velocidade no instante
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t = 3 s; (c) o instante em que o móvel muda de sentido.
Solução:
(a) por comparação temos:
v = v0 + a * t
v = −2 + 5 * t
então:
v 0 = −2 m / s
a = 5m / s 2
(b) usando t = 3 s na equação:
v = −2 + 5 * t
v = −2 + 5 * 3
v = −2 + 15
v = 13m / s
(c) no instante em que o móvel muda de sentido a velocidade vai a zero (v = 0):
0 = −2 + 5 * t
5*t = 2
t = 0,4 s
Exemplo: 4.Dada a função horária v = 18 –6*t (m,s), classifique o movimento quanto
ao sentido e à variação da velocidade escalar , nos instantes:
(a) t = 1s;
(b) t = 3 s;
(c) t = 5s.
Solução:
considerando a função horária, temos que a = - 6m/s2.
(a)
v = 18 − 6 * t
v = 18 − 6 * 1
v = 12m / s
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com v > 0 e a < 0 ⇒ movimento progressivo e retardado.
(b)
v = 18 − 6 * t
v = 18 − 6 * 3
v = 0m / s
com v = 0 ⇒ móvel mudando de sentido.
(c)
v = 18 − 6 * t
v = 18 − 6 * 5
v = −12m / s
com v < 0 e a < 0 ⇒ movimento retrógrado e acelerado.
Diagrama v x t
O diagrama da velocidade escalar em função do tempo do MUV é retilíneo pois
representa uma função de 1o grau.
Se a aceleração é positiva a reta é crescente, caso contrário, a reta é decrescente. A
tangente da reta irá fornecer o valor da aceleração.
v
a>0
v
a<0
θ
θ
t´
t
t’
Caso 1
Caso 2
Caso 1:
a>0
0 < θ < 90 0
-6-
t
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0 ≤ t < t’ ⇒ v < 0 ⇒ MUV retrógrado e retardado
t = t’ ⇒ v = 0 ⇒ mudança de sentido
t > t’ ⇒ v > 0 ⇒ MUV progressivo e acelerado
Caso 2:
a<0
90 0 < θ < 180 0
0 < t < t’ ⇒ v > 0 ⇒ MUV progressivo e retardado
t = t’ ⇒ v = 0 ⇒ mudança de sentido
t > t’ ⇒ v < 0 ⇒ MUV retrógrado e acelerado
Exemplo: 5. Calcule o deslocamento escalar e a velocidade média no intervalo entre t =
0 s e t = 15 s, de acordo com o diagrama:
300
v ( cm /s)
200
100
0
0
-100
5
10
15
t (s)
-200
-300
Como o gráfico não é uma única linha reta, temos de interpretar cada trecho de reta
separadamente.
Intervalo (s)
0≤t≤5
5 < t ≤ 10
10 < t ≤ 15
Área
5 * 300 = 1500
(5*300)/2 =750
(5*300)/2 =750
-7-
sinal
+
+
-
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Então:
∆s = 1500 + 750 − 750 = 1500cm
Com isso:
v=
∆s 1500
=
= 100cm / s
∆t
15
Função Horária do Espaço no MUV:
A função horária do espaço no MUV é uma função do 2o grau, que pode ser
demonstrada a partir do diagrama v x t (não será feita aqui por não ser objetivo desta nota
de aula). Seu gráfico é uma parábola cuja concavidade depende do sinal da aceleração ( a >
0, concavidade para cima; a< 0, concavidade para baixo).
s = s 0 + v0 * t +
1
*a*t2
2
Exemplo: 6.Um ponto material obedece à função horária (no SI):
s = −30 + 5 * t + 5 * t 2
Determine:
(a) o instante em que o móvel passa pela origem;
(b) a função horária da velocidade;
(c) o instante em que o móvel muda de sentido;
(d) a velocidade escalar média entre 0 e 3 s.
(c) na origem, s = 0
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0 = −30 + 5 * t + 5 * t 2 (÷5)
⇒t2 + t − 6 = 0
⇒t =
− 1 ± 12 − 4 * 1 * (−6)
2 * (1)
− 1 ± 1 + 24
2
− 1 ± 25
−1± 5
⇒t =
⇒t =
2
2
t = −3s
⇒
t = 2s
⇒t =
Como não tem sentido tempo negativo, t = 2s.
(b) por comparação:
s = s0 + v0 * t +
1
*a *t2
2
s = −30 + 5 * t + 5 * t 2
então:
s 0 = −30m
v 0 = 5m / s
a = 10m / s 2
⇒ v = v0 + a * t
⇒ v = 5 + 10 * t
(c) na mudança de sentido, v = 0:
v = 5 + 10 * t
0 = 5 + 10 * t
⇒ t = −0,5s
como o tempo tem de ser maior ou igual a zero, o móvel não muda de sentido.
(d) calculo da velocidade média será:
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t = 3 ⇒ s = −30 + 5 * 3 + 5 * 3 2 = 30m
vm =
∆s 30 − (−30) 60
=
=
= 20m / s
∆t
3−0
3
Equação de Torricelli
O deslocamento, a velocidade e a aceleração num MUV podem ser relacionados
numa única expressão, denominada equação de Torricelli:
v 2 = v 02 + 2 * a * ∆s
Esta equação é muito útil na resolução de problemas de MUV, principalmente
naqueles em que o intervalo de tempo não é fornecido.
Exemplo: 7.Um caminhão, com velocidade escalar de 72 km/h, é freado
uniformemente, até parar. Sabe-se que o caminhão desloca-se 100 m durante a
frenagem, Determine: (a) a aceleração escalar; (b) o tempo de frenagem.
(a) temos:
v 0 = 72km / h = 20m / s
v =vf =0
∆s = 100
v 2 = v 02 + 2 * a * ∆s
0 = 20 2 + 2 * a * 100
a = −2 m / s 2
(b) através de v(t):
v = v0 + a * t
0 = 20 − 2 * t ⇒ t = 10s
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Exercício Para o Aluno Resolver
1. No instante t1 = 10 s, a velocidade escalar de um móvel é 5 m/s e, no instante t = 16 s a
velocidade escalar é de 23 m/s. Qual é a aceleração escalar média no intervalo de tempo
transcorrido?
Solução: 3 m/s2;
2. Um móvel parte do repouso, sendo acelerado constantemente a 0,8 m/s2. Que
velocidade escalar é atingida após 2 min 5 s de movimento, em km/h?
Solução: 360 km/h
3. A tabela mostra os valores da velocidade escalar, em função do tempo, de um móvel em
MUV:
v (cm/s)
t (s)
-7
0
-2
10
3
20
8
30
13
40
18
50
Determine:
(a) A função horária da velocidade;
(b) o instante em que o móvel muda de sentido;
(c) a classificação do movimento em t = 10s, quanto ao sentido e à variação da
velocidade escalar.
Solução: (a) v = -7 + 0,5*t (cm,s); (b) 14 s; (c) retrógrado e retardado
4. Dois móveis, A e B , partem de um mesmo ponto, no instante t = 0. O móvel A
mantém, a velocidade escalar constante de 10 m/s. O móvel B parte do repouso e
mantém a aceleração constante de 0,2 m/s2. Sabendo-se que ambos percorrem a mesma
trajetória, no mesmo sentido, determine:
(a) o instante em que B alcança A;
(b) a velocidade escalar de B no instante em que estiver ultrapassando A;
(c) a velocidade escalar de B em relação a A, no item anterior.
Solução: (a) 100s; (b) 20 m/s (c) 10 m/s.
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5. Um objeto, movendo-se em linha reta, tem, no instante 4 s a velocidade de 6 m/s e no
instante 7 s a velocidade de 12 m/s. Sua aceleração média, nesse intervalo de tempo, é,
em m/s2:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1,6;
2;
3;
4,2;
6;
Solução: alternativa b.
6. Segundo a função horária v = 2 – 0,5*t (SI), no instante t = 3s, o movimento é.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Progressivo e acelerado;
Progressivo e retardado;
Progressivo e uniforme;
Retrógrado e retardado;
Retrógrado e acelerado;
Solução: alternativa b.
7. Um carro está a 20 m de um sinal de tráfego quando este passa de verde a amarelo.
Supondo que o motorista acione o freio imediatamente, aplicando ao carro uma
desaceleração de 10 m/s2, calcule, em km/h, a velocidade máxima que o carro pode Ter,
antes de frear, para que ele pare antes de cruzar o sinal.
Solução: 72 km/h
8. Um carro de 5 m de comprimento inicia a travessia de uma ponte com velocidade de 5
m/s e completa-a com aceleração constante de 2 m/s2, atingindo a velocidade de 15 m/s.
O comprimento da ponte é de:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
50 m;
45 m;
55 m;
100 m;
95 m;
Solução: alternativa b.
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