Disciplina: Desenho Geométrico
Professora: Iêda
Atividades Complementares
9º Ano do Ensino Fundamental
Prezado aluno,
Consulte o seu caderno para resolver os exercícios propostos.
Turma:
Data: 07/2011
Bons estudos! Boas férias!
Iêda.
AP 2
. Sabendo que AP = 12 cm,
=
PB 5
calcule PB , AB e a distância de P a M, que é ponto médio do segmento AB .
1) Um ponto P, pertencente ao segmento AB , é tal que
2) Na figura, temos que a // b // c // d.
a
b
c
d
x
4
8
10
y
10
Calcule as medidas x e y indicadas.
3) A distância em linha reta entre Boa Vista e Brasília é 5 cm em um mapa com escala de
1: 50 000 000. Qual é a distância real, em quilômetros, em linha reta entre Brasília e Boa Vista?
4) Uma quadra de um loteamento tem a foram da figura abaixo e as medidas foram dadas em
metro.
D
E
Lote 2
60
y
B
C
Lote 1
120
x
100
A
-1-
No triângulo ADE, DE / / BC . Calcule as medidas x e y indicadas.
5) Na figura, o segmento AC mede 4 cm. Sabendo que BC ≅ CD , que ACDE é um
paralelogramo e que a distância entre CD e AE é 1 cm, determine a área do trapézio BDEA.
A
E
30º
B
C
D
6) Na figura calcule, em centímetros, as medidas m e n indicadas, sabendo que AD é bissetriz do
ângulo  e que BC mede 22 cm.
A
15
B
18
m
D
n
C
7) Sendo a // b // c, calcule x e y.
a
4
8
b
27
x
y
4
c
Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo da encosta?
-2-
8) A planta de uma casa foi feita na escala 1:50. Uma dependência retangular dessa casa tem, na
planta, dimensões de 8cm e 14 cm. Quais são as dimensões reais dessa dependência da casa?
9) Na figura, reta t é tangente à circunferência. Calcule, em graus, as medidas x e y indicadas.
10) Na figura, calcule o perímetro do quadrilátero ABOC.
11) Na figura, os segmentos MS , MN , PQ são tangentes à circunferência. Se a medida do
segmento MN é 15 cm, a medida do segmento PQ é 10 cm e a do segmento QS é 3 cm,
calcule o perímetro do triângulo MPQ.
12) A figura, a distância entre os centros das circunferências é 85 cm. A medida do raio da
circunferência maior é expressa por ( 3x + 7) cm e a medida do raio da circunferência menor é
expressa por (2x + 1) cm. Calcule a medida do raio de cada circunferência.
-3-
1

1

x + 3  cm e r 2 =  x − 1
2

4

13) A figura nos mostra duas circunferências concêntricas. Se r 1 = 
cm, calcule os valores de r 1 e r 2 .
14) A 50 m da base de uma encosta encontra-se
encontra se uma árvore cujo pé forma um ângulo de elevação
de 60º até o topo da encosta.
60º
-4-
15) Calcule o valor de x na figura
x
7
2
3
3 3
-5-
Disciplina: Matemática
Professor: Marcelo
Atividades Complementares
9º Ano do Ensino Fundamental
Turma:
Data: 07/2011
1) Introdução: ....................................................................................................................................Erro! Indicador não definido.
1.1.
Estudar Matemática:................................................................................................................................................... 6
2) Equação de 2° grau: ................................................................................................................................................................... 7
2.1.
Raízes: ......................................................................................................................................................................... 7
2.2.
Questões Propostas: .................................................................................................................................................... 7
2.3.
Gabarito: ..................................................................................................................................................................... 8
3) Sistemas: .................................................................................................................................................................................... 8
4) Primeira prova da segunda etapa: ............................................................................................................................................. 9
1.1. Estudar Matemática:
A Matemática é, relativamente, desafiadora e interessante. Mas, para que ela se apresente assim é preciso:
1.
organizar o espaço, deixando todo material de fácil acesso;
2.
desligar aparelhos de som, mp3, celular e demais dispositivos que podem desviar sua atenção para assim obter melhor
resultado no seu estudo.
3.
prestar muita atenção nas aulas e no livro texto, anotando, em seu caderno para posterior esclarecimento;
4.
fazer os exercícios sugeridos;
5.
corrigir os exercícios de classe e das avaliações para que estejam todos certos em seu caderno na hora de revê-los para a
prova;
6.
rever os pré-requisitos básicos;
7.
usar rascunho para fazer as operações;
8.
organizar os cálculos com capricho e cuidado;
9.
não tentar memorizar os conteúdos e sim, compreendê-los, pois só desta maneira se aprende a raciocinar;
10. resolver as expressões por partes e lembrar-se de substituir os resultados parciais;
11. com relação aos PROBLEMAS:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
lê-los, com atenção, até entendê-los perfeitamente;
encontrar ligação entre o que é estudado e o que é pedido;
buscar diferentes caminhos para resolvê-los, planejando sua solução através de esquemas, perguntas, fórmulas, etc;
conferir se os dados foram copiados corretamente;
efetuar os cálculos com a máxima atenção;
evisar os cálculos, pois a maioria dos erros nos problemas está nas operações;
reler a pergunta, para respondê-la adequadamente.
-6-
2) Equação de 2° grau:
2.1. Raízes:
P13.
Determine o valor de t na equação (t + 2)x² + (2t +
5)x + 2 = 0 de modo que -1 seja uma de suas raízes.
Dizemos que um número real “α” é raiz de um polinômio
P(x) quando P(α) = 0. Aplicação similar pode ser utilizada
para o conceito de raiz de uma equação polinomial.
P14.
Verifique que 1 + 7
equação x² - 2x – 6 = 0.
P15.
(CSA) Os números reais p e q as raízes da equação
de segundo grau 15x 2 − 14x + 2 = 0 . Determine o
1 1
valor de + .
p q
P16.
(CSA) A soma dos quadrados de dois números pares,
positivos e consecutivos é 164. Determine esses
números.
P17.
(CSA)
Quais
as
(2x − 3)2 = (x − 2)2 ?
P18.
(CSA) Se m e n são as raízes da equação
1 1
3x 2 + 2x − 5 = 0 , qual o valor de + ?
m n
P19.
(CSA) Os lados de um terreno retangular de área 224
metros quadrados são expressos por dois números
pares e consecutivos. Qual o perímetro desse
retângulo?
Para determinar as raízes da equação ax 2 + bx + c = 0
utilizaremos a fórmula de Báskara, que afirma
x=
−b ± ∆
2a
onde
∆ = b 2 − 4ac
2.2. Questões Propostas:
2
P1.
Verifique se o número ¼ é raiz da equação 4x + 7x –
2 = 0.
P2.
Verifique se o número ½ é raiz da equação x + 16x +
10 = 0.
2
2
P3.
O número -3 é a raiz da equação x - 7x - 2c = 0.
Nessas condições, determine o valor de c.
P4.
Considere a equação 2(3x-2) + m(x-1) = m, na
incógnita x. Calcule o valor da constante real m de
modo que o número -1 seja solução dessa equação.
P5.
As igualdades ax² - bx = 3 e ax + b = 1 verificam-se
quando x = -1. Determine a e b.
P6.
Sabendo-se que uma das raízes da equação x³ - 2x² +
ax + 6 = 0 é 1. Calcule o valor de a.
P7.
Seja U = {-2, 0, 1, 4 } o conjunto universo da equação
2
de 2° grau definida por x -2x-8= 0. Existe algum
elemento de U que é solução da equação
apresentada? Em caso afirmativo, qual seu conjunto
solução?
P8.
Verifique se -5 é raiz da equação 2x² - 7x + 40 = 0.
P9.
Verifique se -0,2 é raiz da equação 7(x² - x) + 8x – 2 =
0.
P10.
Dos elementos do conjunto {x∈ IR / 0 < x < 6}, quais
são raízes da equação x² - 7x + 12 = 0.
P11.
Para a equação do 2° grau (a – 1)x² + (a + 1)x – (2a –
3) = 0 em x, determine o valor de a para que uma de
suas raízes seja 3.
P12.
Determine m para que a equação do 2º grau (m 2)x² + (2m - 5)x + (1 - 2m)=0 tenha uma raiz nula.
A)
B)
C)
D)
P20.
e 1− 7
soluções
são raízes da
da
equação
14 m
15 m
30 m
60 m
O seguinte problema pode ser expresso por uma
2
equação: “Um terreno retangular de área 720 m
tem o comprimento excedendo em 6 metros a
largura.”
Qual das equações abaixo apresenta uma solução
para o problema acima proposto?
A)
B)
C)
D)
P21.
(CSA) Qual a soma de todas as raízes reais da
equação (2x – 6)(4 – x)(x – 7) = 0?
A)
B)
C)
D)
-7-
2
x –720x + 6 = 0
2
x + 6x – 720 = 0
2
x +720x – 6 = 0
2
x – 6x + 720 = 0
0
3
7
14
P22.
(CSA) A soma dos quadrados de dois números pares
e consecutivos é 100. É correto afirmar que a soma
desses números é igual a
A)
B)
C)
D)
P7.
P8.
P9.
P10.
P11.
P12.
P13.
P14.
P15.
P16.
P17.
P18.
P19.
P20.
P21.
P22.
10
14
16
20
2.3. Gabarito:
P1.
P2.
P3.
P4.
P5.
P6.
Sim.
Não.
15
-10/3
(a, b) = (1, 2)
-7
S = {-2, 4}
Não.
Sim.
S = {3, 4}
3/10
½
-1
Sim
7.
8 e 10.
{1, 1/3}
2/5
D
B
D
B
3) Sistemas:
Q6. Represente, no plano cartesiano, todos os pontos P =
3.1. Plano Cartesiano:
(k, 2k) onde k pertence ao conjunto {-2, -1, 0, 1, 2, 3,
4}. Observando tais pontos, o que podemos afirmar a
respeito do gráfico formado?
Q1. Determine m para que o ponto P(2m-8, m) pertença ao
eixo das ordenadas.
Aprofundando conceitos:
Q2. Determine todos os valores de m e n para os quais o
ponto
A = (m + 3, n – 1) pertença ao 2º quadrante.
Toda equação de forma Ax + By = C quando representada
no plano cartesiano tem o aspecto de uma reta.
Comumente, a equação Ax + By = C é denominada
equação de uma reta.
Q3. Determine o simétrico do ponto P = (3, 4) em relação:
A) ao eixo das abscissas;
B) ao eixo das ordenadas;
C) à origem.
Q7. Represente, no plano cartesiano, cada uma das
seguintes retas:
A)
B)
C)
D)
Q4. O simétrico do ponto P = (a, b) em relação ao eixo das
ordenadas é Q = (2, 7). Qual o valor de a + b?
Q5. (Desafio) Nesta figura, está representado um quadrado
2x + 3y = 6
x–y=5
x – 2y = 6
3x + y = 12
de vértices ABCD:
Q8. Determine a área da região delimitada pela reta
3x + 4y = 24 e pelos eixos coordenados.
Q9. Seja R a região delimitada pela reta cuja equação é x +
2y = 8 e pelos eixos coordenados. Calcule o perímetro
de R.
Q10. Sejam A, B, C e D pontos de interseção da curva cuja
2
2
equação é 4x + 9y = 36 com os eixos coordenados.
Represente, no plano cartesiano os pontos A, B, C e D e
calcule a área do quadrilátero por eles determinado.
Q11. Com o auxílio do Geogebra, descreva como é a
representação gráfica da curva cuja equação cartesiana
2
2
é (x – 2) + (y – 1) = 25. Se existirem, determine os
pontos de interseção dessa curva com os eixos
coordenados.
Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos pontos A e
B são A = (0, 0) e B = (3, 4). DETERMINE as coordenadas
do vértice D.
Q12. Quantas são as soluções inteiras e positivas da equação
x + 2y = 20?
-8-
Q21. Proponha um sistema de 2 equações quadráticas, cada
3.2. Sistemas de 2° grau:
uma com duas incógnitas que não possui solução real.
Um sistema é do 2° grau quando pelo menos uma de suas
equações é quadrática e para resolver um sistema com
essa característica, usam-se
se os métodos estudados para
resolução de sistemas de 1° grau: substituição e adição. A
seguir são propostos
stos vários sistemas, resolva-os
resolva
de forma
algébrica e utilize o Geogebra par verificar a consistência
das respostas obtidas:
Q13.
 x + y = 10

2 x − 3y = 15
Q14.
x − y = 0

 xy = 1
Q15.
y = x − 2
 2
2
x − y = 4
Q16.
x − y = 5
 2
2
x + y = 13
Q22. Sejam x e y dois números pares consecutivos cujo
produto é 168. Escreva um sistema
siste
de duas equações e
duas incógnitas que resolve o problema proposto e
utilize esse sistema para determinar x e y.
Utilize o Geogebra para resolver as seguintes questões:
x − y = 1

Q17.  1 1
1
x − y = − 6

Janela do Geogebra
Q23. Sabe-se
se que os pontos A(-3,
A( -1), B(-2, 6) e C(5, 5) são
vértices
ices de um quadrado ABCD. Julgue os itens abaixo:
Q18.
2 x + 9y = 20
 2
x − y 2 = −1
Q19.
( x − 2) 2 + ( y − 5) 2 = 20

y = x + 3
Q20.
y = 3( x + 5) + 20

5 x + 2y = 15
2
2
1.
2.
3.
4.
A área do quadrado é igual a 50.
O vértice D tem coordenadas (4, -2).
Os pontos B e D pertencem à reta 4x + 3y = 10.
As diagonais do quadrado interceptam-se
interceptam
no
ponto (1, 2).
Q24. Com o auxílio do Geogebra, determine
det
a área do
triângulo ABC o triângulo de vértices A = (1, 2), B = (3,
8) e C = (5, 1). Algebricamente, como poderia ser
calculada a área desse triângulo?
2
4) Primeira prova da segunda etapa:
1ª Questão:
2ª Questão:
Uma folha retangular tem perímetro e área iguais a 16 cm e
14 cm², respectivamente.
O menor
enor valor inteiro de k, para o qual a equação 2kx + 5x
– 4 = 0 tenha raízes reais e distintas é:
2
ASSINALE a alternativa que apresenta uma equação que
tenha duas soluções que representem, as dimensões da
folha retangular.
A)
B)
C)
D)
A)
B)
C)
D)
x² - 16x + 14 = 0
x² + 16x - 14 = 0
x² - 8x + 14 = 0
x² + 8x - 14 = 0
-9-
–1
0
1
2
3ª Questão:
Sejam p e q raízes da equação x² + kx + 36 = 0.
DETERMINE o valor de k para que a soma dos inversos das
raízes seja igual a 5/12.
A) -15
B) -5/12
C) 15
D) 5/12
4ª Questão:
Sobre equação irracional
afirmar que:
A)
B)
C)
D)
x 2 + 1 = x − 1 é CORRETO
não possui raízes reais.
possui apenas uma raiz real.
possui duas raízes reais distintas.
o
é equivalente a uma equação do 1 grau.
5ª Questão:
Na figura, o ponto B pertence ao segmento AC:
B deve estar situado de tal forma que o quociente de AC
por AB seja igual ao de AB por BC, ou seja,
AC AB
=
AB BC
Esse quociente é a razão áurea φ .
Considerando que BC = 1 cm, determine o valor de AB e,
por conseqüência, o valor de de φ .
6ª Questão:
DETERMINE o valor da soma de todas as raízes da equação
2
(x – 1) – (x – 1)(x + 4) = (x–1)(x + 2).
7ª Questão:
Uma equação é dita biquadrada na incógnita x se pode ser
expressa na forma
ax 4 + bx 2 + c = 0
com a, b e c reais e a ≠ 0.
ESCREVA a equação (x + 2).(x – 2).(x + 1).(x – 1) + 5x² = 20
na forma de uma equação biquadrada e DETERMINE seu
conjunto solução.
- 10 -
- 11 -